Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Al.Koutsouridis · #1

Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2007 (μια από τις εκδόσεις των θεμάτων)

1. Να λύσετε το συστήμα των εξισώσεων

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} xy+2x+3y = 2 \\ 2x^2y+3xy^2 +12x+18y= 16 . \end{matrix}\right.$

2. Να λύσετε την ανισώση

$\displaystyle \log_{\left (x-1 \right)^4} \left ( 4-x\right )^2 + \log_{\left (1-x \right)^2} \left ( x+1\right ) \leq 1$ .

3. Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle \tan \left ( \dfrac{2\pi \cos^2 x +\pi}{4\cos^6 x +1} \right) + \cot \left ( \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4\cos^6 x +1} \right ) = 0$ .

4. Κύκλος εφάπτεται της πλευράς

τετραπλεύρου ABCD

στο σημείο

και της πλευράς

στο μέσο της

. Η διαγώνιος

τέμνει τον κύκλο στα σημεία

και

(

). Είναι γνωστό ότι AK=5

,

. Οι ημιευθείες

και

τέμνονται στο σημείο

, εξάλλου $\angle ASB = 120^{0}$ . Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου και το εμβαδόν του ABCD

.

5. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για τις οποίες η εξίσωση

$\displaystyle \dfrac{1}{2} \left ( \cos x\right)^{\frac{2}{3}} + \left ( \sin x\right)^{\frac{2}{3}} = a$

έχει μοναδική λύση στο διάστημα $\displaystyle \ [ 0, \dfrac{\pi}{2} \ ]$ .

6. Στην πυραμίδα ABCD

οι έδρες

και

είναι ισοσκελή τρίγωνα με κοινή βάση

. Σφαίρα ακτίνας

με κέντρο το σημείο

, που βρίσκεται στην έδρα ABC

, εφάπτεται όλων των ακμών της πυραμίδας ABCD

. Να βρείτε τα μήκη των ευθυγράμμων τμημάτων στα οποία χωρίζουν τα σημεία επαφής της σφαίρας τις ακμές της πυραμίδας και τον όγκο της πυραμίδας ABCD

, αν η γωνία ABC

είναι ίση με

. Να βρείτε την τιμή της γωνίας ABC

, για την οποία ο όγκος της πυραμίδας ABCD

ελαχιστοποιείται. Να βρείτε αυτή την ελάχιστη τιμή του όγκου της πυραμίδας ABCD

.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 am
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2007 (μια από τις εκδόσεις των θεμάτων)

1. Να λύσετε το συστήμα των εξισώσεων

$\displaystyle \left\{\begin{matrix} xy+2x+3y = 2 \\ 2x^2y+3xy^2 +12x+18y= 16 . \end{matrix}\right.$

Από την πρώτη εξίσωση παίρνω $\boxed{2x+3y=2-xy}$ (1)

και η δεύτερη εξίσωση γράφεται:

$\displaystyle xy(2x + 3y) + 6(2x + 3y) = 16\mathop \Rightarrow \limits^{(1)} {(xy)^2} + 4xy + 4 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{xy=-2}$ (2)

Έχουμε λοιπόν το σύστημα $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 2x + 3y = 4\\ \\ xy = - 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow$ $\boxed{x=-1, y=2}$ ή $\boxed{x=3, y=-\dfrac{2}{3}}$

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 am
5. Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες η εξίσωση

$\displaystyle \dfrac{1}{2} \left ( \cos x\right)^{\frac{2}{3}} + \left ( \sin x\right)^{\frac{2}{3}} = a$

έχει μοναδική λύση στο διάστημα $\displaystyle \ [ 0, \dfrac{\pi}{2} \ ]$ .

Για ευκολία θέτω $k=\sin^2 x$ και η εξίσωση γράφεται $f(k):=\dfrac{1}{2}(1-k)^{\frac{1}{3}}+k^{\frac{1}{3}}=a.$

Για 0<k<1

έχουμε ${f}'(k)=-\dfrac{1}{6}(1-k)^{-2/3}+\dfrac{1}{3}k^{-2/3}$ η οποία εύκολα μπορούμε

να δούμε ότι μηδενίζεται στο $k^*=\dfrac{1}{1+2^{-3/2}}\in (0,1)$ . Επίσης, για 0<k<k^*

είναι

και για

είναι

.

Τώρα η συνάρτηση του αριστερού μέλους της ισότητας είναι η $f(\sin^2 x)$ και επειδή η $\sin^2 x$

είναι γνησίως αύξουσα (εύκολο με παράγωγο) η μονοτονία της σύνθετης είναι ακριβώς ίδια με της

.

Τέλος, $f(\sin^2 0)=f(0)=\dfrac{1}{2},f(\sin^2 (\pi /2))=f(1)=1$ . Άρα τα ζητούμενα

όπως μπορούμε

να δούμε από ένα πρόχειρο σχήμα (μόνο η μονοτονία και οι τιμές στα άκρα φτάνουν) είναι τα $a\in [\frac{1}{2},1).$

Al.Koutsouridis · #4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 10:16 am
να δούμε από ένα πρόχειρο σχήμα (μόνο η μονοτονία και οι τιμές στα άκρα φτάνουν) είναι τα $a\in [\frac{1}{2},1).$

Λίγο προσοχή στη μελέτη της συνάρτησης f(k)

, υπάρχει και άλλη λύση ...

Λάμπρος Κατσάπας · #5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 pm

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 10:16 am
να δούμε από ένα πρόχειρο σχήμα (μόνο η μονοτονία και οι τιμές στα άκρα φτάνουν) είναι τα $a\in [\frac{1}{2},1).$
Λίγο προσοχή στη μελέτη της συνάρτησης , υπάρχει και άλλη λύση ...

Σωστά. Έφαγα και την περίπτωση η y=a

να εφάπτεται στην κορυφή. Είναι το a=f(p)

όπου

η ρίζα της $\sin x=\sqrt{\dfrac{1}{1+2^{-3/2}}}$ στο $(0,\frac{\pi}{2})$ .

KARKAR · #6

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 am

4. Κύκλος εφάπτεται της πλευράς τετραπλεύρου στο σημείο και της πλευράς στο μέσο της . Η διαγώνιος τέμνει

τον κύκλο στα σημεία και (). Είναι γνωστό ότι , , . Οι ημιευθείες και τέμνονται

στο σημείο , εξάλλου $\angle ASB = 120^{0}$ . Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου και το εμβαδόν του .

: Russian.png (28.5 KiB) Προβλήθηκε 786 φορές

Είναι : $CM=\sqrt{5} , AD=3\sqrt{5}$ και αν SC=x

, τότε : $DS=x+\sqrt{5} , AC=10$ και άρα

( νόμος συνημιτόνων στο ASC

) : $x=\dfrac{4}{3}\sqrt{15}-2\sqrt{5}$ και το σχήμα κατασκευάστηκε .
Τα ζητούμενα μεγέθη είναι πλέον "δεμένα' αλλά οι υπολογισμοί δεν έγιναν , προκύπτουν άχαρα νούμερα

#7

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 05, 2019 10:43 am

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 am

4. Κύκλος εφάπτεται της πλευράς τετραπλεύρου στο σημείο και της πλευράς στο μέσο της . Η διαγώνιος τέμνει

τον κύκλο στα σημεία και (). Είναι γνωστό ότι , , . Οι ημιευθείες και τέμνονται

στο σημείο , εξάλλου $\angle ASB = 120^{0}$ . Να βρείτε την ακτίνα του κύκλου και το εμβαδόν του .
Russian.png

Είναι : $CM=\sqrt{5} , AD=3\sqrt{5}$ και αν , τότε : $DS=x+\sqrt{5} , AC=10$ και άρα

( νόμος συνημιτόνων στο ) : $x=\dfrac{4}{3}\sqrt{15}-2\sqrt{5}$ και το σχήμα κατασκευάστηκε .
Τα ζητούμενα μεγέθη είναι πλέον "δεμένα' αλλά οι υπολογισμοί δεν έγιναν , προκύπτουν άχαρα νούμερα

Χαρά στο κουράγιο σου

Εγώ τα παράτησα πριν καν φτιάξω το σχήμα.

Σταμ. Γλάρος · #8

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 am

2. Να λύσετε την ανισώση

$\displaystyle \log_{\left (x-1 \right)^4} \left ( 4-x\right )^2 + \log_{\left (1-x \right)^2} \left ( x+1\right ) \leq 1$ .

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια.
Πρώτα απ' όλα έχουμε τους περιορισμούς : $x\in(-1,0) \cup (0,1) \cup (1,2) \cup(2,4) \cup(4,+\infty)$

Είναι: $\displaystyle \log_{\left (x-1 \right)^4} \left ( 4-x\right )^2 + \log_{\left (1-x \right)^2} \left ( x+1\right ) \leq 1$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $\displaystyle\frac{\log_{(x-1)^2}(x-4)^2}{\log_{(x-1)^2}(x-1)^4}$ $+ \log_{\left (x-1 \right)^2} \left ( x+1\right ) \leq 1$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $\dfrac{1}{2}\cdot \log_{(x-1)^2}(x-4)^2 + \log_{\left (x-1 \right)^2} \left ( x+1\right ) \leq 1$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $\log_{(x-1)^2} |x-4| + \log_{\left (x-1 \right)^2} \left ( x+1\right ) \leq 1$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $\log_{(x-1)^2} \left (|x-4|(x+1)\right ) \leq 1 = \log_{\left (x-1 \right)^2} \left ( x-1\right )^2$ (2)
Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

α) 0<(x-1)^2<1

$\Leftrightarrow$ $x\in(0,1)\cup(1,2)$ .
(2) $\Leftrightarrow$ $|x-4|(x+1)\geqslant (x-1)^2$ $\Leftrightarrow$ $2x^2-5x-3\leqslant 0$ ,αφού x<4

, με λύσεις : $x\in \left [- \dfrac{1}{2}, 3 \right ]$ .
Συναληθεύοντας με τους περιορισμούς προκύπτουν λύσεις της ανίσωσης : $x\in(0,1)\cup(1,2)$ .

β) (x-1)^2>1

$\Leftrightarrow$ x<0

ή

. Άρα $x\in(-1,0) \cup(2,4) \cup(4,+\infty)$ .
(2) $\Leftrightarrow$ $|x-4|(x+1)\leqslant (x-1)^2$ (3)
i) $x\in(-1,0) \cup(2,4)$
(3) $\Leftrightarrow$ $|x-4|(x+1)\leqslant (x-1)^2$ $\Leftrightarrow$ $2x^2-5x-3\geqslant0$ ,αφού x<4

, με λύσεις : $x \leqslant -\dfrac{1}{2}$ ή $x\geqslant3$ .
Συναληθεύοντας με τους περιορισμούς προκύπτουν λύσεις της ανίσωσης : $x\in \left (-1,- \dfrac{1}{2} \right ] \cup [3,4)$ .

ii) $x\in (4,+\infty)$
(3) $\Leftrightarrow$ $|x-4|(x+1)\leqslant (x-1)^2$ $\Leftrightarrow$ $-x\leqslant 5$ , αφού x>4

, με λύσεις : $x\geqslant -5$
Συναληθεύοντας με τους περιορισμούς προκύπτουν λύσεις της ανίσωσης : $x\in (4,+\infty)$ .

Τελικά οι λύσεις της ανίσωσης είναι : $x\in \left (-1,- \dfrac{1}{2} \right ] \cup(0,1)\cup(1,2) \cup [3,4) \cup(4,+\infty)$ .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Al.Koutsouridis · #9

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 12:56 pm

Σωστά. Έφαγα και την περίπτωση η να εφάπτεται στην κορυφή. Είναι το όπου

η ρίζα της $\sin x=\sqrt{\dfrac{1}{1+2^{-3/2}}}$ στο $(0,\frac{\pi}{2})$ .

Πάντως, σαν σημείωση, μπορεί να υπολογιστεί ακριβώς αυτή η τιμή του

.

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Οκτ 05, 2019 10:43 am

Είναι : $CM=\sqrt{5} , AD=3\sqrt{5}$ και αν , τότε : $DS=x+\sqrt{5} , AC=10$ και άρα

( νόμος συνημιτόνων στο ) : $x=\dfrac{4}{3}\sqrt{15}-2\sqrt{5}$ και το σχήμα κατασκευάστηκε .
Τα ζητούμενα μεγέθη είναι πλέον "δεμένα' αλλά οι υπολογισμοί δεν έγιναν , προκύπτουν άχαρα νούμερα

Από αυτό το σημείο και ύστερα δεν θέλει και ιδιαίτερα δύσκολες πράξεις. Για πρόβλημα ολυμπιάδας θα ήταν βαρετές, για εισαγωγικές εξετάσεις συχνά έχω δει να ζητούνται. Ίσως για να δούμε αν ο μαθητής είναι εξοικειωμένος με αριθμητικές πράξεις που περιέχουν ριζικά, άλλους άρητους αριθμούς $\pi, e$ αλλά και να τους συγκρίνει και να αναγνωρίζει την σχετική τους θέση στο άξονα των αριθμών. Πολλές φορές τα αριθμητικά δεδομένα στα γεωμετρικά προβλήματα μπορεί να οδηγούν και σε διαφορετικό σχέδιο κτλ. (όχι ότι συμβαίνει κάτι αντίστοιχο εδώ).

miltosk · #10

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 am
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2007 (μια από τις εκδόσεις των θεμάτων)
3. Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle \tan \left ( \dfrac{2\pi \cos^2 x +\pi}{4\cos^6 x +1} \right) + \cot \left ( \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4\cos^6 x +1} \right ) = 0$ .

Υπάρχει σοβαρή πιθανότητα να τα χω κάνει μπάχαλο παρακαλώ διορθώστε με.
Παίρνοντας την συνεφαπτομένη στο άλλο μέλος, μετατρέποντάς τη σε εφαπτομένη και με χιαστί καταλήγω στην:
$\tan \left ( \dfrac{2\pi \cos^2 x +\pi}{4\cos^6 x +1} \right)\cdot \tan \left ( \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4\cos^6 x +1} \right ) = -1$ .
Συνεπώς δεν ορίζεται (σύμφωνα με την ταυτότητα της εφαπτομένης της διαφοράς 2 γωνιών) η:
$\displaystyle \tan \left ( \dfrac{2\pi \cos^2 x +\pi}{4\cos^6 x +1} \right- \left ( \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4\cos^6 x +1} \right ) \right$
Όμως χωρίς δυσκολία καταλήγουμε στις:
$0\leq\dfrac{2\pi \cos^2 x +\pi}{4\cos^6 x +1}\leq2\pi$ .
$\frac{11\pi}{30}\leq\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4\cos^6 x +1}\leq \frac{7\pi}{6}$ .
Αφού δεν ορίζονταν η εφαπτομένη της διαφοράς έπεται:
$\dfrac{2\pi \cos^2 x +\pi}{4\cos^6 x +1} \right- \left ( \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4\cos^6 x +1} \right ) \right )=k\pi+\frac{\pi}{2}$
Θέτοντας $cos^{2}x=y$ κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στην:
Edit: υπήρχε αριθμητικό. Η λύση ολοκληρώνεται σε παρακάτω post

Al.Koutsouridis · #11

miltosk έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 06, 2019 4:37 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 am
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2007 (μια από τις εκδόσεις των θεμάτων)
3. Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle \tan \left ( \dfrac{2\pi \cos^2 x +\pi}{4\cos^6 x +1} \right) + \cot \left ( \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4\cos^6 x +1} \right ) = 0$ .

$\dfrac{2\pi \cos^2 x +\pi}{4\cos^6 x +1} \right- \left ( \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4\cos^6 x +1} \right ) \right )=k\pi+\frac{\pi}{2}$
Θέτοντας $cos^{2}x=y$ κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στην:

Μπάχαλο δεν είναι σίγουρα, απλά δεν είναι αρκετά καθαρογραμμένο/δικαιολογημένο το τι ακριβώς κάνεις στην αρχή. Αλλά το λάθος που δεν σε οδηγεί σε λύση είναι αριθμητικό. Στις παραπάνω πράξεις προκύπτει η εξίσωση

(3k+2)4y^3-6y+(3k+2)=0

miltosk · #12

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 06, 2019 5:45 pm

miltosk έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 06, 2019 4:37 pm

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Παρ Οκτ 04, 2019 12:00 am
Εισαγωγικές εξετάσεις του Φυσικό Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας, 2007 (μια από τις εκδόσεις των θεμάτων)
3. Να λύσετε την εξίσωση

$\displaystyle \tan \left ( \dfrac{2\pi \cos^2 x +\pi}{4\cos^6 x +1} \right) + \cot \left ( \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4\cos^6 x +1} \right ) = 0$ .

$\dfrac{2\pi \cos^2 x +\pi}{4\cos^6 x +1} \right- \left ( \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{4\cos^6 x +1} \right ) \right )=k\pi+\frac{\pi}{2}$
Θέτοντας $cos^{2}x=y$ κάνοντας τις πράξεις καταλήγουμε στην:

Μπάχαλο δεν είναι σίγουρα, απλά δεν είναι αρκετά καθαρογραμμένο/δικαιολογημένο το τι ακριβώς κάνεις στην αρχή. Αλλά το λάθος που δεν σε οδηγεί σε λύση είναι αριθμητικό. Στις παραπάνω πράξεις προκύπτει η εξίσωση

Με την επισήμανσή σας:
Από τις διπλές ανισότητες k={-1,0,1}

Για

:

. Αφού $y\geq0$ τότε LHS<0

άρα άτοπο.
Για k=1

:

. Από αριθμητικό γεωμετρικό μέσο: $2(y^3+2)\geq6y\Leftrightarrow2y^3+4-6y\geq0$ οπότε πρέπει για ισότητα y=1

και

(ταυτόχρονα), άτοπο.
Για k=0

: $8y^3-6y+2=0\Leftrightarrow4y^3-3y+1=0$
Θέτω y=cosa

. Από την ταυτότητα: cos3a=4cos^3a-3cosa

λαμβάνουμε:
cos3a=-1

. Πρέπει $cosa\geq0$ . Λύνοντας: $a=\frac{(2l+1)\pi}{3}$ . Άρα $cosa=cos\frac{(2l+1)\pi}{3}$
Αν $l\equiv 0(mod 3)$ τότε $cosa=\frac{1}{2}$
Αν $l\equiv 1(mod 3)$ τότε cosa=-1

Αν $l\equiv 2(mod 3)$ τότε $cosa=\frac{1}{2}$
Οπότε καταλήγουμε με $cosa=\frac{1}{2}\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}\Leftrightarrow cos^2x=\frac{1}{2}$
Λύνοντας την τελευταία: $x=2t\pi+\frac{\pi}{4}$
$x=2t\pi-\frac{\pi}{4}$
$x=2t\pi+\frac{3\pi}{4}$
$x=2t\pi-\frac{3\pi}{4}$
Φτιάχνοντας τες σε ενιαίο τύπο:
$x=r\pi+\frac{\pi}{4}$
$x=r\pi-\frac{\pi}{4}$ , με

ακέραιο
(Παρακαλώ συγχωρέστε τις ελλειπείς δικαιολογήσεις που οφείλονται σε θέμα χρόνου)
Edit: η τελευταία βγαίνει και με Horner αλλά για κάποιο (?) λόγο το δα μετά.

KARKAR · #13

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 06, 2019 1:56 pm

Από αυτό το σημείο και ύστερα δεν θέλει και ιδιαίτερα δύσκολες πράξεις.

: Russian.png (30.08 KiB) Προβλήθηκε 525 φορές

Ας τις γράψουμε , θυμίζοντας ότι : $x=\dfrac{4}{3}\sqrt{15}-2\sqrt{5}$ . Από : $\tan60^0=\dfrac{r}{x+\sqrt{5}}$ ,

προκύπτει : $r=4\sqrt{5}-\sqrt{15}\simeq5.071288$ . Επίσης : (ABCD)=(SAB)-(SCD)=

$=\dfrac{1}{2}\sin120^0[(x+4\sqrt{5})(x+2\sqrt{5})-x(x+\sqrt{5})]...=25-2.5\sqrt{3}\simeq20.6698$ .

Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Re: Εισαγωγικές Φυσικό-Τεχνολογικού Ινστιτούτου Μόσχας 2007

Μέλη σε σύνδεση