Ανίσωση

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Ανίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Κυρ Σεπ 06, 2020 7:20 pm

Αν \displaystyle x > 0, να λυθεί η ανίσωση :
\displaystyle x\left( {8\sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x} } \right) \le 11\sqrt {1 + x}  - 16\sqrt {1 - x}

Εισαγωγικές πανεπιστημίου Μόσχας


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4689
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ανίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Σεπ 06, 2020 8:54 pm

Γιώργη, καλησπέρα.

Θα χαρώ να δω κάτι πιο ευφυές και κομψό γιατί αυτό που αναρτώ μού φαίνεται άχαρο.

Για να ορίζεται η ανίσωση πρέπει  \displaystyle 0 < x \le 1

Για αυτά τα x έχουμε

 \displaystyle x\left( {8\sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x} } \right) \le 11\sqrt {1 + x}  - 16\sqrt {1 - x}  \Leftrightarrow 8\left( {x + 2} \right)\sqrt {1 - x}  \le \left( {11 - x} \right)\sqrt {1 + x}

 \displaystyle  \Leftrightarrow \left( {64{x^2} + 256x + 256} \right)\left( {1 - x} \right) \le \left( {121 - 22x + {x^2}} \right)\left( {1 + x} \right)

 \displaystyle  \Leftrightarrow 65{x^3} + 171{x^2} + 99x - 135 \ge 0

 \displaystyle  \Leftrightarrow \left( {5x - 3} \right)\left( {13{x^2} + 42x + 45} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ {\frac{3}{5},\;1} \right]


edit: Ομολογώ:

Τη ρίζα 3/5 την κρυφοκοίταξα, κάνοντας το γράφημα στο Geogebra.


Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 351
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Ανίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Δευ Σεπ 07, 2020 3:30 pm

exdx έγραψε:
Κυρ Σεπ 06, 2020 7:20 pm
Αν \displaystyle x > 0, να λυθεί η ανίσωση :
\displaystyle x\left( {8\sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x} } \right) \le 11\sqrt {1 + x}  - 16\sqrt {1 - x}

Εισαγωγικές πανεπιστημίου Μόσχας
Καλησπέρα. Εύχομαι σε όλους καλή ακαδημαϊκή-σχολική χρονιά!
Μια προσπάθεια ...
Κατ΄αρχάς έχουμε 0<x\leq 1. Η ανίσωση ισοδυνάμως παίρνει την μορφή:
x\left ( 8\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} +1\right )\leq 11-16\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} .
Θέτοντας όπου \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} = t με 0<t\leq 1 , έχουμε :
\dfrac{1-t^2}{1+t^2}(8t+1) \leq 11-16t \Leftrightarrow
\Leftrightarrow 4t^3-6t^2+12t-5 \leq0 .
Σύμφωνα με το Θεώρημα ρητών ριζών (εκτός ύλης πια...) ρίζα της παραπάνω είναι το \dfrac{1}{2} .
Παραγοντοποιώντας με Horner έχουμε ισοδυνάμως την ανίσωση: \left ( t-\dfrac{1}{2} \right )(4t^2-4t+10)\leq 0\Leftrightarrow 0<t\leq \frac{1}{2}.
Αντικαθιστώντας έχουμε : \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}\leq \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x\geq \dfrac{3}{5} .
Άρα λύσεις της ανίσωσης : x\in \left [\dfrac{3}{5} ,1 \right ) .
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διάφορα άλλα θέματα εξετάσεων”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης