Σταθμικός μέσος γωνιών

#1

Σε κάθε τρίγωνο με πλευρές $\displaystyle a,b,c$ και γωνίες $\displaystyle A,B,C$ , να αποδείξετε ότι :

$\displaystyle {{60}^{0}}\le \frac{aA+bB+cC}{a+b+c}\le {{90}^{0}}$

Πανεπιστήμιο Μόσχας

Edit : Η αριστερή ισότητα ισχύει για το ισόπλευρο. Η δεξιά όμως είναι γνήσια. Ισχύει αν τα $\displaystyle A,B,C$ είναι συνευθειακά
Ευχαριστώ το Γ. Βισβίκη.

ksofsa · #2

Καλησπέρα!

Για την αριστερή:

Οι τριάδες (a,b,c), (A,B,C)

είναι όμοια διατεταγμένες. Οπότε, σύμφωνα με την
ανισότητα του Chebyshev θα είναι

$aA+bB+cC\geq \dfrac{(a+b+c)(A+B+C)}{3}\Leftrightarrow \dfrac{aA+bB+cC}{a+b+c}\geq 60^{\circ}$ .

Για τη δεξιά:

Από την τριγωνική ανισότητα έχω

$\dfrac{aA+bB+cC}{a+b+c}=\dfrac{aA}{a+b+c}+\dfrac{bB}{a+b+c}+\dfrac{cC}{a+b+c}<$

$\dfrac{aA}{a+a}+\dfrac{bB}{b+b}+\dfrac{cC}{c+c}=\dfrac{A+B+C}{2}=90^{\circ}$ .

#3

Να πω απλώς ότι η άσκηση υπάρχει στο βιβλίο του Ιωάννου.Φ.Πανάκη, Γεωμετρία του Τριγώνου, Τόμος Α (1969).

Είναι το θεώρημα 274 στη σελίδα 160.

Al.Koutsouridis · #4

Τα ελληνικά σχολικά βιβλία γεωμετρίας είναι πολύ ισχυρά και έχουν πολύ καλά και ποιοτικά προβλήματα. Το συγκεκριμένο υπάρχει και σε ξενόγλωσσα.

Απλά να σημειώσουμε ότι τόσο αυτό το πρόβλημα όσο και το πρόβλημα εδώ , δεν είναι τμήμα των επίσημων προβλημάτων των εισαγωγικών εξετάσεων του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, ούτε στην γραπτή εξέταση ούτε και στην προφορική. Είναι από ανεπίσημα προφορικά ερωτήματα που είχαν γίνει για να «κόψουν» κάποιους υποψηφίους λόγω εθνικών διακρίσεων. Εμφανίζονται σε δυο τρία άρθρα που περιέχουν μερικά τέτοιου είδους ερωτήματα που είχαν τεθεί κατά καιρούς.

Τι εννοώ επίσημο. Η εξέταση στο Μηχανικό-Μαθηματικό (Μεχ-Ματ) τμήμα, όπως και στα άλλα, γινόταν μέσω μιας γραπτής εξέτασης και μιας προφορικής. Στην γραπτή εξέταση διάλεγες μια έκδοση των θεμάτων τυχαία, ονομαζόταν μπιλέτ (“εισητήριο”), έλυνες τα θέματα και παρέδιδες γραπτά τις απαντήσεις. Ύστερα υπήρχε η προφορική εξέταση, πάλι διάλεγες μια από τις εκδόσεις των θεμάτων τυχαία, σου δινόταν χρόνος να τις σκεφτείς και ύστερα σε καλούσαν στον πίνακα/έδρα για να τις απαντήσεις. Τα παραπάνω προβλήματα δεν υπάρχουν σε αυτές τις εκδώσεις των θεμάτων (τουλάχιστον δεν τα έχω δει εγώ). Συχνά όμως οι καθηγητές εξεταστές μπορούσαν στην προφορική εξέταση να κάνουν και έξτρα ερωτήματα. Εκεί είναι που υπεισέρχονταν αυτά τα ερωτήματα. Μπορεί να ήταν ερωτήσεις παγίδα (αν το τετράπλευρο έχει όλες τις πλευρές ίσες, είναι ρόμβος;) για να δικαιολογήσουν το πιθανό «κόψιμο» σου αλλά και προβλήματα που ήταν δύσκολο να λυθούν σε τόσο χρόνο.

#5

Ευχαριστούμε τον Αλέξανδρο για τις πληροφορίες .
Να προσθέσω ότι μια συλλογή τέτοιων ασκήσεων είναι εδώ
Έχει εκδοθεί και σχετικό βιβλίο, εδώ

Σταθμικός μέσος γωνιών

Σταθμικός μέσος γωνιών

Re: Σταθμικός μέσος γωνιών

Re: Σταθμικός μέσος γωνιών

Re: Σταθμικός μέσος γωνιών

Re: Σταθμικός μέσος γωνιών

Μέλη σε σύνδεση