Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016.
Οι μαθητές των θεωρητικών επιστημών πρέπει να λύσουν τα θέματα των ενοτήτων 1 και 2 (προβλήματα 1-20, σύνολο 160 μόρια, χρόνος 2 ώρες). Οι μαθητές των θετικών επιστημών πρέπει να λύσουν και τις τρεις ενότητες (προβλήματα 1-23, σύνολο 200 μόρια, χρόνος δυόμιση ώρες).
Ενότητα 1. Συμπληρώστε τα κενά (14 ερωτήσεις, 5 μόρια η καθεμία, σύνολο 70 μόρια).
1. Δίνονται τα σύνολα και , .
2. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός , όπου η μιγαδική μονάδα. Το πραγματικό μέρος του είναι .
3. Στο καρτεσιανό επίπεδο η απόσταση μεταξύ των εστιών της υπερβολής είναι .
4. Δεδομένου των δηγμάτων η τυπική απόκλιση ισούται με .
5. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι .
6. Δεδομένου του διαγράμματος ροής του παρακάτω αλγορίθμου, η έξοδος είναι ίση με .
7. Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι (κύβο με τους αριθμούς σε κάθε έδρα) δυο φορές. Η πιθανότητα του αθροίσματος των αριθμών της πάνω έδρας να είναι μικρότερο του είναι .
8. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος , είναι το άθροισμα των πρώτων όρων της. Αν , , τότε η τιμή του είναι .
9. Ο αριθμός των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και στο διάστημα είναι .
10. Στο παρακάτω σχήμα, είναι η δεξιά εστία της έλλειψης , . Η ευθεία τέμνει την έλλειψη στα σημεία και . Τότε η εκκεντρότητα της έλλειψης ισούται . 11. Έστω περιοδική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και περίοδο . Στο διάστημα
Όπου . Αν , τότε ισούται .
12. Οι πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν το σύστημα
Τότε το εύρος τιμών της παράστασης είναι .
13. Στο παρακάτω τρίγωνο το σημείο είναι το μέσο του τμήματος . Τα σημεία χωρίζουν το σε τρία ίσα μέρη. . Τότε .
14. Αν σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ισχύει , τότε η μέγιστη τιμή της παράστασης είναι .
Έπεται δημοσίευση με τα θέματα της 2ης ενότητας...
Οι μαθητές των θεωρητικών επιστημών πρέπει να λύσουν τα θέματα των ενοτήτων 1 και 2 (προβλήματα 1-20, σύνολο 160 μόρια, χρόνος 2 ώρες). Οι μαθητές των θετικών επιστημών πρέπει να λύσουν και τις τρεις ενότητες (προβλήματα 1-23, σύνολο 200 μόρια, χρόνος δυόμιση ώρες).
Ενότητα 1. Συμπληρώστε τα κενά (14 ερωτήσεις, 5 μόρια η καθεμία, σύνολο 70 μόρια).
1. Δίνονται τα σύνολα και , .
2. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός , όπου η μιγαδική μονάδα. Το πραγματικό μέρος του είναι .
3. Στο καρτεσιανό επίπεδο η απόσταση μεταξύ των εστιών της υπερβολής είναι .
4. Δεδομένου των δηγμάτων η τυπική απόκλιση ισούται με .
5. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι .
6. Δεδομένου του διαγράμματος ροής του παρακάτω αλγορίθμου, η έξοδος είναι ίση με .
7. Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι (κύβο με τους αριθμούς σε κάθε έδρα) δυο φορές. Η πιθανότητα του αθροίσματος των αριθμών της πάνω έδρας να είναι μικρότερο του είναι .
8. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος , είναι το άθροισμα των πρώτων όρων της. Αν , , τότε η τιμή του είναι .
9. Ο αριθμός των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και στο διάστημα είναι .
10. Στο παρακάτω σχήμα, είναι η δεξιά εστία της έλλειψης , . Η ευθεία τέμνει την έλλειψη στα σημεία και . Τότε η εκκεντρότητα της έλλειψης ισούται . 11. Έστω περιοδική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και περίοδο . Στο διάστημα
Όπου . Αν , τότε ισούται .
12. Οι πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν το σύστημα
Τότε το εύρος τιμών της παράστασης είναι .
13. Στο παρακάτω τρίγωνο το σημείο είναι το μέσο του τμήματος . Τα σημεία χωρίζουν το σε τρία ίσα μέρη. . Τότε .
14. Αν σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ισχύει , τότε η μέγιστη τιμή της παράστασης είναι .
Έπεται δημοσίευση με τα θέματα της 2ης ενότητας...
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Αύγ 01, 2021 12:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
Ενότητα 2. Λύστε τα παρακάτω ερωτήματα ( 6 ερωτήσεις, σύνολο 90 μόρια).
15. [14 μόρια] Στο τρίγωνο είναι , .
(1) Πόσο ισούται το μήκος του τμήματος ;
(2) Ποια η τιμή του ;
16. [14 μόρια] Στο ορθό τριγωνικό πρίσμα παρακάτω είναι τα μέσα των ακμών αντίστοιχα. Το σημείο βρίσκεται στο , , . Να αποδείξετε ότι:
(1) παράλληλη στο επίπεδο .
(2) Το επίπεδο είναι κάθετο στο επίπεδο .
17. [14 μόρια] Θέλουμε να σχεδιάσουμε μια αποθήκη που αποτελείται από δυο μέρη. Το άνω μέρος είναι μια τετραγωνική πυραμίδα και το κάτω μέρος ένα τετραγωνικό ορθό πρίσμα (όπως στο σχήμα παρακάτω). Το ύψος της ορθής τετραγωνικής πυραμίδας πρέπει να είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερο από το ύψος της τετραγωνικής πυραμίδας.
(1) Αν , πόσο είναι ο όγκος της αποθήκης;
(2) Αν η παράπλευρη ακμή της τετραγωνικής πυραμίδας είναι , ποιο είναι το μήκος του που μεγιστοποιεί τον όγκο της αποθήκης;
18. [16 μόρια] Στο καρτεσιανό επίπεδο ο κύκλος με κέντρο περιγράφεται από την εξίσωση και σημείο του .
(1) Έστω ο κύκλος εφάπτεται του άξονα και εξωτερικά του κύκλου . Το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία . Ποια η εξίσωση του κύκλου ;
(2) Έστω ευθεία παράλληλη στο και τέμνει τον στα σημεία . Εξάλλου . Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας ;
(3) Έστω το σημείο ικανοποιεί τις εξής συνθήκες: υπάρχουν σημεία στον , ώστε . Ποιο είναι το σύνολο τιμών των τιμών του ;
19. [16 μόρια] Δίνεται η συνάρτηση ().
(1) Έστω .
(a) Λύστε την εξίσωση .
(b) Για κάθε ισχύει . Ποια η μέγιστη δυνατή τιμή του ;
(2) Αν και η συνάρτηση μηδενίζεται σε ένα μόνο σημείο, ποια η τιμή του γινομένου ;
20. [16 μόρια] Έστω και () μια ακολουθία. Έστω ένα υποσύνολο του . Ορίζουμε αν και αν . Για παράδειγμα, αν , τότε . Τώρα υποθέστε ότι η ακολουθία () είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο . Εξάλλου για .
(1) Ποιος είναι ο τύπος της ακολουθίας ;
(2) Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο , αν , τότε .
(3) Έστω , , . Να αποδείξετε ότι .
Ακολουθεί δημοσίευση με τα θέματα της 3ης ενότητας...
15. [14 μόρια] Στο τρίγωνο είναι , .
(1) Πόσο ισούται το μήκος του τμήματος ;
(2) Ποια η τιμή του ;
16. [14 μόρια] Στο ορθό τριγωνικό πρίσμα παρακάτω είναι τα μέσα των ακμών αντίστοιχα. Το σημείο βρίσκεται στο , , . Να αποδείξετε ότι:
(1) παράλληλη στο επίπεδο .
(2) Το επίπεδο είναι κάθετο στο επίπεδο .
17. [14 μόρια] Θέλουμε να σχεδιάσουμε μια αποθήκη που αποτελείται από δυο μέρη. Το άνω μέρος είναι μια τετραγωνική πυραμίδα και το κάτω μέρος ένα τετραγωνικό ορθό πρίσμα (όπως στο σχήμα παρακάτω). Το ύψος της ορθής τετραγωνικής πυραμίδας πρέπει να είναι τέσσερις φορές μεγαλύτερο από το ύψος της τετραγωνικής πυραμίδας.
(1) Αν , πόσο είναι ο όγκος της αποθήκης;
(2) Αν η παράπλευρη ακμή της τετραγωνικής πυραμίδας είναι , ποιο είναι το μήκος του που μεγιστοποιεί τον όγκο της αποθήκης;
18. [16 μόρια] Στο καρτεσιανό επίπεδο ο κύκλος με κέντρο περιγράφεται από την εξίσωση και σημείο του .
(1) Έστω ο κύκλος εφάπτεται του άξονα και εξωτερικά του κύκλου . Το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία . Ποια η εξίσωση του κύκλου ;
(2) Έστω ευθεία παράλληλη στο και τέμνει τον στα σημεία . Εξάλλου . Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας ;
(3) Έστω το σημείο ικανοποιεί τις εξής συνθήκες: υπάρχουν σημεία στον , ώστε . Ποιο είναι το σύνολο τιμών των τιμών του ;
19. [16 μόρια] Δίνεται η συνάρτηση ().
(1) Έστω .
(a) Λύστε την εξίσωση .
(b) Για κάθε ισχύει . Ποια η μέγιστη δυνατή τιμή του ;
(2) Αν και η συνάρτηση μηδενίζεται σε ένα μόνο σημείο, ποια η τιμή του γινομένου ;
20. [16 μόρια] Έστω και () μια ακολουθία. Έστω ένα υποσύνολο του . Ορίζουμε αν και αν . Για παράδειγμα, αν , τότε . Τώρα υποθέστε ότι η ακολουθία () είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο . Εξάλλου για .
(1) Ποιος είναι ο τύπος της ακολουθίας ;
(2) Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο , αν , τότε .
(3) Έστω , , . Να αποδείξετε ότι .
Ακολουθεί δημοσίευση με τα θέματα της 3ης ενότητας...
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Αύγ 01, 2021 12:16 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1797
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
Ενότητα 3. Επιπλέον προβλήματα για τους μαθητές των θετικών επιστημών (σύνολο 40 μόρια).
21. Διαλέξτε δύο από τα τέσσερα ερωτήματα.
(Α) (Άσκηση πάνω σε γεωμετρικές αποδείξεις, 10 μόρια)
Στο τρίγωνο είναι , . είναι το μέσο της . Να αποδείξετε ότι .
(B) (Άσκηση πάνω στους πίνακες και μετασχηματισμούς, 10 μόρια)
Δίνεται ο πίνακας και ο αντίστροφος πίνακας του , . Πόσο ισούται το γινόμενο ;
( C ) (Σύστηματα συντεταγμένων και παραμετρικές εξισώσεις, 10 μόρια)
Στο καρτεσιανό σύστημα δίνεται η παραμετρική εξίσωση της ευθείας
, όπου παράμετρος. Η παραμετρική εξίσωση της έλλειψης είναι , όπου παράμετρος. Έστω ότι η ευθεία τέμνει την έλλειψη σε δυο σημεία . Πόσο είναι το μήκος του τμήματος ;
(D) (ασκήσεις στις ανισότητες, 10 μόρια)
Έστω , , . Αποδείξτε ότι .
22. [10 μόρια] Στο καρτεσιανό σύστημα δίνονται η ευθεία με εξίσωση και η παραβολή με εξίσωση , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
(1) Αν η ευθεία διέρχεται από την εστία της παραβολής , ποια η εξίσωσή της;
(2) Υπάρχουν δυο σημεία της έτσι, ώστε τα να είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία .
(a) Να αποδείξετε ότι το μέσο του τμήματος είναι .
(b) Ποιο είναι το σύνολο των δυνατών τιμών της παραμέτρου ;
23. [10 μόρια]
(1) Ποια η τιμή της έκφρασης ;
(2) Έστω , . Να αποδείξετε, ότι
.
21. Διαλέξτε δύο από τα τέσσερα ερωτήματα.
(Α) (Άσκηση πάνω σε γεωμετρικές αποδείξεις, 10 μόρια)
Στο τρίγωνο είναι , . είναι το μέσο της . Να αποδείξετε ότι .
(B) (Άσκηση πάνω στους πίνακες και μετασχηματισμούς, 10 μόρια)
Δίνεται ο πίνακας και ο αντίστροφος πίνακας του , . Πόσο ισούται το γινόμενο ;
( C ) (Σύστηματα συντεταγμένων και παραμετρικές εξισώσεις, 10 μόρια)
Στο καρτεσιανό σύστημα δίνεται η παραμετρική εξίσωση της ευθείας
, όπου παράμετρος. Η παραμετρική εξίσωση της έλλειψης είναι , όπου παράμετρος. Έστω ότι η ευθεία τέμνει την έλλειψη σε δυο σημεία . Πόσο είναι το μήκος του τμήματος ;
(D) (ασκήσεις στις ανισότητες, 10 μόρια)
Έστω , , . Αποδείξτε ότι .
22. [10 μόρια] Στο καρτεσιανό σύστημα δίνονται η ευθεία με εξίσωση και η παραβολή με εξίσωση , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
(1) Αν η ευθεία διέρχεται από την εστία της παραβολής , ποια η εξίσωσή της;
(2) Υπάρχουν δυο σημεία της έτσι, ώστε τα να είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία .
(a) Να αποδείξετε ότι το μέσο του τμήματος είναι .
(b) Ποιο είναι το σύνολο των δυνατών τιμών της παραμέτρου ;
23. [10 μόρια]
(1) Ποια η τιμή της έκφρασης ;
(2) Έστω , . Να αποδείξετε, ότι
.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
Πολύ ωραία και ουσιώδη θέματα, που καλύπτουν τεράστιο εύρος ύλης...
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
ΠΑΡΑ πολύ ωραία θέματα. Ευχαριστούμε θερμότατα τον Αλέξανδρο για την ανάρτησή τους.
Τα θέματα είναι χωρίς ακρότητες και εξετάζουν όλα όσα πρέπει να ξέρει κάποιος που θα ασχοληθεί άμεσα ή έμμεσα με Μαθηματικά.
Παρατηρείστε ότι δεν υπάρχουν ερωτήσεις σε Απειριστικό Λογισμό. Έχω την πεποίθηση και το φωνάζω όπου μπορώ ότι κακώς ο Απειροστικός Λογισμός είναι το κυρίαρχο θέμα στην δική μας ύλη της Γ΄ Λυκείου, και φυσικά στις εισαγωγικές. Το ιδεατό θα ήταν να μην υπάρχει καθόλου! Ο μαθητής πρέπει ΠΡΩΤΑ να μάθει καλά τα κλασικά Μαθηματικά και ΜΕΤΑ να πάει στον Απειροστικό Λογισμό όπου του διδάσκουμε θεωρήματα ύπαρξης ριζών ενώ δεν έχει μάθει να λύνει εξισώσεις, και l' Hospital για να βρίσκει όρια που δεν θα χρειαστεί (και φυσικά ο l' Hospital είναι χωρίς απόδειξη, οπότε τα όρια που βρήκε στην ουσία είναι στην σφαίρα του αυθαίρετου).
Τα Μαθηματικά πρέπει να διδάσκονται με την σωστή σειρά. Δεν αρχίζουμε από το τέλος. Πρέπει επίσης να περιέχουν ουσιαστικές αποδείξεις Θεωρημάτων ώστε να βλέπουν οι μαθητές πλήρεις συλλογισμούς και για να αποκτήσουν την δεξιότητα να στηρίζουν τα επιχειρήματά τους.
...........
Για να αλλάξω θέμα, στην 20 της δεύτερης ενότητας υπάρχει δευτερεύον τυπογραφικό. Το πρέπει να γίνει
Τα θέματα είναι χωρίς ακρότητες και εξετάζουν όλα όσα πρέπει να ξέρει κάποιος που θα ασχοληθεί άμεσα ή έμμεσα με Μαθηματικά.
Παρατηρείστε ότι δεν υπάρχουν ερωτήσεις σε Απειριστικό Λογισμό. Έχω την πεποίθηση και το φωνάζω όπου μπορώ ότι κακώς ο Απειροστικός Λογισμός είναι το κυρίαρχο θέμα στην δική μας ύλη της Γ΄ Λυκείου, και φυσικά στις εισαγωγικές. Το ιδεατό θα ήταν να μην υπάρχει καθόλου! Ο μαθητής πρέπει ΠΡΩΤΑ να μάθει καλά τα κλασικά Μαθηματικά και ΜΕΤΑ να πάει στον Απειροστικό Λογισμό όπου του διδάσκουμε θεωρήματα ύπαρξης ριζών ενώ δεν έχει μάθει να λύνει εξισώσεις, και l' Hospital για να βρίσκει όρια που δεν θα χρειαστεί (και φυσικά ο l' Hospital είναι χωρίς απόδειξη, οπότε τα όρια που βρήκε στην ουσία είναι στην σφαίρα του αυθαίρετου).
Τα Μαθηματικά πρέπει να διδάσκονται με την σωστή σειρά. Δεν αρχίζουμε από το τέλος. Πρέπει επίσης να περιέχουν ουσιαστικές αποδείξεις Θεωρημάτων ώστε να βλέπουν οι μαθητές πλήρεις συλλογισμούς και για να αποκτήσουν την δεξιότητα να στηρίζουν τα επιχειρήματά τους.
...........
Για να αλλάξω θέμα, στην 20 της δεύτερης ενότητας υπάρχει δευτερεύον τυπογραφικό. Το πρέπει να γίνει
Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 01, 2021 12:04 am
(2) Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο , αν , τότε .
Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
Συμφωνώ με το σχολιασμό των κ. κ. Κοντογεώργη και Λάμπρου .
- Maria-Eleni Nikolaou
- Δημοσιεύσεις: 82
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm
- Τοποθεσία: Άγιοι Απόστολοι - Κάλαμος Αττικής
Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
Είναι: , άρα το πραγματικό μέρος του είναι .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 31, 2021 11:45 pm
2. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός , όπου η μιγαδική μονάδα. Το πραγματικό μέρος του είναι .
Για την υπερβολή ισχύει: και3. Στο καρτεσιανό επίπεδο η απόσταση μεταξύ των εστιών της υπερβολής είναι .
Η απόσταση μεταξύ των εστιών είναι: , διότι: και .
Πρέπει:5. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι .
Τελικά:
Σε γλώσσα python το διάγραμμα ροής γίνεται: Η τιμή εξόδου είναι:6. Δεδομένου του διαγράμματος ροής του παρακάτω αλγορίθμου, η έξοδος είναι ίση με .
china_2016_6.png
Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
- Maria-Eleni Nikolaou
- Δημοσιεύσεις: 82
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm
- Τοποθεσία: Άγιοι Απόστολοι - Κάλαμος Αττικής
Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
Θα εξετάσουμε πότε το άθροισμα είναι μεγαλύτερο ή ίσο του και θα αφαιρέσουμε αυτές τις περιπτώσεις από το σύνολο των δυνατών ρίψεων. Οπότε είναι: , συνολικά 6 περιπτώσεις.Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 31, 2021 11:45 pm
7. Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο ζάρι (κύβο με τους αριθμούς σε κάθε έδρα) δυο φορές. Η πιθανότητα του αθροίσματος των αριθμών της πάνω έδρας να είναι μικρότερο του είναι .
Οι δυνατές ρίψεις είναι: οπότε η ζητούμενη πιθανότητα είναι:
Η ζητούμενη Α.Π. είναι:8. Δίνεται η αριθμητική πρόοδος , είναι το άθροισμα των πρώτων όρων της. Αν , , τότε η τιμή του είναι .
Η διαφορά είναι: οπότε:
Γραφική λύση: Διαφορετικά λύνουμε την εξίσωση: στο που δίνει τις λύσεις:9. Ο αριθμός των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και στο διάστημα είναι .
Δηλαδή, ο αριθμός των σημείων τομής είναι:
Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
- Maria-Eleni Nikolaou
- Δημοσιεύσεις: 82
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm
- Τοποθεσία: Άγιοι Απόστολοι - Κάλαμος Αττικής
Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
Λύνοντας κάθε ανίσωση ως προς και σχεδιάζοντας τα χωρία, προκύπτει το παρακάτω σχήμα:Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 31, 2021 11:45 pm
12. Οι πραγματικοί αριθμοί ικανοποιούν το σύστημα
Τότε το εύρος τιμών της παράστασης είναι .
Η μέγιστη τιμή της παράστασης προκύπτει για τις τιμές των στην τομή των ευθειών δηλαδή, από τη λύση του συστήματός τους:
Οπότε:
Η ελάχιστη τιμή της ζητούμενης παράστασης βρίσκεται στην ευθεία οπότε, το ελάχιστο της είναι το ελάχιστο της συνάρτησης: δηλαδή:
και
Επομένως, το εύρος τιμών της παράστασης είναι:
Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
- Maria-Eleni Nikolaou
- Δημοσιεύσεις: 82
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm
- Τοποθεσία: Άγιοι Απόστολοι - Κάλαμος Αττικής
Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
Τα σημεία έχουν αντίθετες τετμημένες που δίνονται αν στην εξίσωση της έλλειψης αντικαταστήσουμε την τεταγμένη:Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Ιούλ 31, 2021 11:45 pm
10. Στο παρακάτω σχήμα, είναι η δεξιά εστία της έλλειψης , . Η ευθεία τέμνει την έλλειψη στα σημεία και . Τότε η εκκεντρότητα της έλλειψης ισούται .
china_2016_10.png
Προκύπτει: και
Επίσης είναι: , οπότε:
Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο :
Έχουμε:
Μετά από πράξεις προκύπτει:
Η εκκεντρότητα της έλλειψης δίνεται από τον τύπο:
Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
10.10. Στο παρακάτω σχήμα, F είναι η δεξιά εστία της έλλειψης . Η ευθεία τέμνει την έλλειψη στα σημεία B,C και . Τότε η εκκεντρότητα της έλλειψης ισούται ......
Για τα σημεία τομής της ευθείας και της έλλειψης:
Αφού έχω άρα άρα
και επομένως οι συντεταγμένες των σημείων είναι:
Αφού έχουμε οπότε
Άρα και
Τελικά .
13.
Από τηνΣτο παρακάτω τρίγωνο ABC το σημείο D είναι το μέσο του τμήματος BC. Τα σημεία E,F χωρίζουν το AD σε τρία ίσα μέρη. . Τότε
έχουμε
άρα
.
Αλλά
(αφού το βαρύκεντρο του και το παραλληλόγραμμό, βλέπε σχήμα). Άρα
και τελικά
οπότε
(αφού μέσο του ).
Άρα
.
--------------------------------
διορθώθηκε ένα διάνυσμα..
τελευταία επεξεργασία από add2math σε Τρί Ιουν 14, 2022 7:50 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Χρήστος Σαμουηλίδης
Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
18.18. [16 μόρια] Στο καρτεσιανό επίπεδο xOy ο κύκλος M με κέντρο M περιγράφεται από την εξίσωση x^2+y^2-12x-14y+60=0 και A(2,4) σημείο του M.
(1) Έστω ο κύκλος N εφάπτεται του άξονα x και εξωτερικά του κύκλου M. Το κέντρο του N βρίσκεται στην ευθεία x=6. Ποια η εξίσωση του κύκλου N;
(2) Έστω l ευθεία παράλληλη στο OA και τέμνει τον M στα σημεία B,C. Εξάλλου AO=BC. Ποια είναι η εξίσωση της ευθείας l;
(3) Έστω το σημείο T(t,0) ικανοποιεί τις εξής συνθήκες: υπάρχουν σημεία P,Q στον M, ώστε . Ποιο είναι το σύνολο τιμών των τιμών του t;
china_2016_18.png
Α) Από την εξίσωση έχω με συμπλήρωση τετραγώνου την εξίσωση , άρα
Άρα κύκλος με κέντρο το και ακτίνα .
Το σημείο έχει λοιπόν την ίδια τετμημένη με το . Για να εφάπτονται εξωτερικά οι δύο κύκλοι πρέπει η διάκεντρος να είναι ίση με το άθροισμα των ακτινών τους, επομένως
άρα άρα
Ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα άρα και τελικά
Άρα ο κύκλος έχει εξίσωση
Β) έχουμε άρα
άρα
Φέρουμε το απόστημα κάθετο στη χορδή . Οπότε από Πυθαγόρειο θεώρημα στο έχουμε:
Το είναι η απόσταση του από την ευθεία
Άρα
άρα
και τελικά κ=5 ή κ=-15
Άρα η ευθεία είναι η ή
Γ) Έχουμε
άρα
άρα
με Άρα
οπότε |
άρα
άρα
Και τελικά
21( )( C ) (Σύστηματα συντεταγμένων και παραμετρικές εξισώσεις, 10 μόρια)
Στο καρτεσιανό σύστημα xOy δίνεται η παραμετρική εξίσωση της ευθείας l , όπου t παράμετρος. Η παραμετρική εξίσωση της έλλειψης C είναι , όπου παράμετρος. Έστω ότι η ευθεία l τέμνει την έλλειψη C σε δυο σημεία A,B. Πόσο είναι το μήκος του τμήματος AB;
Με απαλοιφή του έχω εύκολα για την ευθεία
Από την τριγωνομετρική ταυτότητα
έχουμε για την έλλειψη
Για τα κοινά σημεία των δυο γραμμών έχω
οπότε
οπότε
και τελικά ή
Άρα . Έχουμε ακόμα
Άρα
τελευταία επεξεργασία από add2math σε Τετ Ιουν 15, 2022 8:15 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Σαμουηλίδης
- Maria-Eleni Nikolaou
- Δημοσιεύσεις: 82
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm
- Τοποθεσία: Άγιοι Απόστολοι - Κάλαμος Αττικής
Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
Καλησπέρα σας, πολύ ενδιαφέρουσα λύση. Μια μικρή απορία, στο υπογραμμισμένο εννοείτε ή χάνω κάτι;add2math έγραψε: ↑Τρί Ιουν 14, 2022 6:34 pm
13.Από τηνΣτο παρακάτω τρίγωνο ABC το σημείο D είναι το μέσο του τμήματος BC. Τα σημεία E,F χωρίζουν το AD σε τρία ίσα μέρη. . Τότε
έχουμε
άρα
.
Αλλά
(αφού το βαρύκεντρο του και το παραλληλόγραμμό, βλέπε σχήμα). kinezikes13.png
Άρα
και τελικά
οπότε
(αφού μέσο του ).
Άρα
.
Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
Re: Κινεζικές εισαγωγικές εξετάσεις 2016
22.22. [10 μόρια] Στο καρτεσιανό σύστημα δίνονται η ευθεία με εξίσωση και η παραβολή με εξίσωση , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
(1) Αν η ευθεία διέρχεται από την εστία της παραβολής , ποια η εξίσωσή της;
(2) Υπάρχουν δυο σημεία της έτσι, ώστε τα να είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία .
(a) Να αποδείξετε ότι το μέσο του τμήματος είναι .
(b) Ποιο είναι το σύνολο των δυνατών τιμών της παραμέτρου ;
(1) Η εστία ανήκει στην ευθεία με εξίσωση άρα ή
(2)
(a) Έστω οπότε το μέσο του είναι το σημείο
Αφού η είναι άξονας συμμετρίας του έχουμε
άρα
άρα
οπότε
άρα
άρα
και τελικά .
Αφού το είναι σημείο της με εξίσωση έχουμε ότι άρα
Τελικά το σημείο είναι το
(b)
Προφανώς θα πρέπει το σημείο να βρίσκεται δεξιά του άξονα και ανάμεσα στους δυο κλάδους της παραβολής.
Οπότε πρέπει και
άρα και
άρα
και ή
και ή
και ή
και ή
και .
Άρα
- Συνημμένα
-
- kinezikes2016-problem22.png (36.41 KiB) Προβλήθηκε 1180 φορές
Χρήστος Σαμουηλίδης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες