Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1787
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))
Παρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 23-30 των φετινών εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας στα μαθηματικά, για την ενότητα γεωμετρία. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση.
23. Έστω σημείο συμμετρικό του σημείου ως προς το επίπεδο και συμμετρικό του ως προς το επίπεδο . Πόσο είναι το μήκος του τμήματος ; [2 μόρια]
24. Πόσο είναι το μήκος του τμήματος που ορίζουν οι κορυφές της υπερβολής με μία από τις εστίες της να είναι το σημείο ; (όπου θετικός αριθμός) [3 μόρια]
25. Αν είναι η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες και στο καρτεσιανό επίπεδο, πόσο ισούται το ; [3 μόρια]
26. Έστω σημείο της έλλειψης με εστίες τα σημεία , , που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο. Έστω κύκλος που εφάπτεται των τμημάτων , και έχει το κέντρο του στον άξονα με αρνητική τεταγμένη. Αν το κέντρο του είναι το σημείο και το τετράπλευρο έχει εμβαδόν , πόσο είναι το μήκος της ακτίνας του ; [3 μόρια]
27. Δίνεται ο κύβος , όπως φαίνεται στο σχήμα, με μήκος ακμής . Αν είναι το μέσο της ακμής , πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου ; [3 μόρια]
28. Έστω η εστία της παραβολής , όπου θετικοί αριθμοί και η εστία της παραβολής . Αν είναι τα σημεία τομής του τμήματος με τις παραπάνω παραβολές, , , πόσο ισούται η τιμή της έκφρασης ; [4 μόρια]
29. Στο καρτεσιανό επίπεδο δίνεται το παραλληλόγραμμο με , , και σημείο , που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:
α) (,
b)
Για το σημείο που κινείται σε κύκλο, κέντρου , που διέρχεται από το σημείο ας είναι η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της έκφρασης . Αν , ποιά η τιμή της έκφρασης ; (όπου θετικοί ρητοί αριθμοί) [4 μόρια]
30. Στον καρτεσιανό χώρο δίνεται σφαίρα με εξίσωση κέντρου που διέρχεται από το σημείο . Έστω , οι ορθογώνιες προβολές των σημείων στο επίπεδο , με το σημείο να κινείται σε κύκλο που είναι η τομή του επιπέδου με την σφαίρα και το σημείο να κινείται στην σφαίρα . Το εμβαδόν της ορθογώνιας προβολής στο επίπεδο του τριγώνου , για τα σημεία που μεγιστοποιούν το εμβαδόν του τριγώνου , είναι . Ποια είναι η τιμή της έκφρασης ;
(Όπου η αρχή των αξόνων, τα σημεία είναι μη συνευθειακά και πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.)
23. Έστω σημείο συμμετρικό του σημείου ως προς το επίπεδο και συμμετρικό του ως προς το επίπεδο . Πόσο είναι το μήκος του τμήματος ; [2 μόρια]
24. Πόσο είναι το μήκος του τμήματος που ορίζουν οι κορυφές της υπερβολής με μία από τις εστίες της να είναι το σημείο ; (όπου θετικός αριθμός) [3 μόρια]
25. Αν είναι η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες και στο καρτεσιανό επίπεδο, πόσο ισούται το ; [3 μόρια]
26. Έστω σημείο της έλλειψης με εστίες τα σημεία , , που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο. Έστω κύκλος που εφάπτεται των τμημάτων , και έχει το κέντρο του στον άξονα με αρνητική τεταγμένη. Αν το κέντρο του είναι το σημείο και το τετράπλευρο έχει εμβαδόν , πόσο είναι το μήκος της ακτίνας του ; [3 μόρια]
27. Δίνεται ο κύβος , όπως φαίνεται στο σχήμα, με μήκος ακμής . Αν είναι το μέσο της ακμής , πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου ; [3 μόρια]
28. Έστω η εστία της παραβολής , όπου θετικοί αριθμοί και η εστία της παραβολής . Αν είναι τα σημεία τομής του τμήματος με τις παραπάνω παραβολές, , , πόσο ισούται η τιμή της έκφρασης ; [4 μόρια]
29. Στο καρτεσιανό επίπεδο δίνεται το παραλληλόγραμμο με , , και σημείο , που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:
α) (,
b)
Για το σημείο που κινείται σε κύκλο, κέντρου , που διέρχεται από το σημείο ας είναι η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της έκφρασης . Αν , ποιά η τιμή της έκφρασης ; (όπου θετικοί ρητοί αριθμοί) [4 μόρια]
30. Στον καρτεσιανό χώρο δίνεται σφαίρα με εξίσωση κέντρου που διέρχεται από το σημείο . Έστω , οι ορθογώνιες προβολές των σημείων στο επίπεδο , με το σημείο να κινείται σε κύκλο που είναι η τομή του επιπέδου με την σφαίρα και το σημείο να κινείται στην σφαίρα . Το εμβαδόν της ορθογώνιας προβολής στο επίπεδο του τριγώνου , για τα σημεία που μεγιστοποιούν το εμβαδόν του τριγώνου , είναι . Ποια είναι η τιμή της έκφρασης ;
(Όπου η αρχή των αξόνων, τα σημεία είναι μη συνευθειακά και πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.)
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Μάιος 29, 2022 2:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13235
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))
Με Πυθαγόρειο βρίσκωAl.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pmΠαρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 23-30 των φετινών εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας στα μαθηματικά, για την ενότητα γεωμετρία. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση.
27. Δίνεται ο κύβος , όπως φαίνεται στο σχήμα, με μήκος ακμής . Αν είναι το μέσο της ακμής , πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου ; [3 μόρια]
Θεώρημα διαμέσων στο
Με τον τύπο του Ήρωνα τώρα, παίρνω
- Maria-Eleni Nikolaou
- Δημοσιεύσεις: 81
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm
- Τοποθεσία: Άγιοι Απόστολοι - Κάλαμος Αττικής
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))
Από Μαθηματικά Προσανατολισμού Β' Λυκείου γνωρίζουμε:Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm24. Πόσο είναι το μήκος του τμήματος που ορίζουν οι κορυφές της υπερβολής με μία από τις εστίες της να είναι το σημείο ; (όπου θετικός αριθμός) [3 μόρια]
Η εξίσωση της υπερβολής με εστίες στον άξονα είναι: , όπου
Επίσης, και οι συντεταγμένες των εστιών.
Άρα: και
Οπότε:
Επομένως,
Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
- Maria-Eleni Nikolaou
- Δημοσιεύσεις: 81
- Εγγραφή: Δευ Σεπ 27, 2021 8:14 pm
- Τοποθεσία: Άγιοι Απόστολοι - Κάλαμος Αττικής
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))
Ομοίως γνωρίζουμε:Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm25. Αν είναι η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες και στο καρτεσιανό επίπεδο, πόσο ισούται το ; [3 μόρια]
Η ευθεία με εξίσωση είναι παράλληλη στο διάνυσμα
Έχουμε, και
Οπότε έχουμε τα αντίστοιχα διανύσματα: και
Ισχύει:
Όμως είναι:
Για τα μέτρα των διανυσμάτων είναι: και
Επομένως,
Ο Θεός μπορεί να μην παίζει ζάρια με το σύμπαν, αλλά κάτι περίεργο συμβαίνει με τους πρώτους αριθμούς ~ Paul Erdős
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1787
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))
Στην προσπάθεια να μειώσει κανείς τις απαιτούμενες πράξεις για να βρει το αποτέλεσμα θα μπορούσαμε να παρατηρήσουμε ότι το ύψος του τριγώνου που αντιστοιχεί στην κορυφή , είναι ίσο με την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με την μία κάθετη πλευρά να είναι ίση με την ακμή του κύβου και την άλλη με το υποτετραπλάσιο της διαγωνίου της έδρας του. Οπότε το μήκος αυτόυ του ύψους θα είναι ίσο με:έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm
27. Δίνεται ο κύβος , όπως φαίνεται στο σχήμα, με μήκος ακμής . Αν είναι το μέσο της ακμής , πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου ; [3 μόρια]
Screen Shot 2022-05-22 at 21.45.28.png
και το εμβαδόν του τριγώνου ίσο με
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1787
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))
Η γωνία μεταξύ των ευθειών δεν αλλάζει αν τις μετατοπίσουμε παράλληλα. Οπότε εξετάζουμε τις αντίστοιχες παράλληλες τους που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Σχεδιάζοντάς τες σε ορθοκανονικό σύστημα παρατηρούμε ότι σχηματίζεται ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο (αρκεί να "μετρήσουμε" τα τετραγωνάκια). Οπότε η γωνία μεταξύ τους είναι και το ζητούμενο συνημίτονο ίσο με .έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm
25. Αν είναι η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες και στο καρτεσιανό επίπεδο, πόσο ισούται το ; [3 μόρια]
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1787
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))
Να ευχαριστήσω τους Maria-Eleni και κ.Γιώργο για τις λύσεις τους. Από την πλευρά μου να σημειώσω ότι πρόσθεσα και το θέμα 30 στην αρχική ανάρτηση. Με είχε μπερδέψει αρχικά η μετάφρασή του και το είχα παραλείψει. Σαν σχόλιο, η μετάφραση δίνει σαν τίτλο "Ενότητα γεωμετρία" παρόλα αυτά τα θέματα είναι περισσότερο αυτό που θα λέγαμε αναλυτική γεωμετρία. Ωστόσο οι κλασικές γεωμετρικές γνώσεις και η εποπτεία γεωμετρικού σχήματος βοηθούν στο να λυθούν οι ασκήσεις πιο γρήγορα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης