Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

Al.Koutsouridis · #1

Παρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 23-30 των φετινών εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας στα μαθηματικά, για την ενότητα γεωμετρία. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση.

23. Έστω

σημείο συμμετρικό του σημείου A(2,1,3)

ως προς το επίπεδο

και

συμμετρικό του

ως προς το επίπεδο

. Πόσο είναι το μήκος του τμήματος

; [2 μόρια]

24. Πόσο είναι το μήκος του τμήματος που ορίζουν οι κορυφές της υπερβολής $\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{6} =1$ με μία από τις εστίες της να είναι το σημείο $(3\sqrt{2}, 0)$ ; (όπου

θετικός αριθμός) [3 μόρια]

25. Αν $\theta$ είναι η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες $\dfrac{x+1}{2} =y-3$ και $x-2=\dfrac{y-5}{3}$ στο καρτεσιανό επίπεδο, πόσο ισούται το $\cos \theta$ ; [3 μόρια]

26. Έστω

σημείο της έλλειψης $\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{16} =1$ με εστίες τα σημεία

, $F^{\prime}$ , που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο. Έστω

κύκλος που εφάπτεται των τμημάτων

, $AF^{\prime}$ και έχει το κέντρο του στον άξονα

με αρνητική τεταγμένη. Αν το κέντρο του

είναι το σημείο

και το τετράπλευρο $AFBF^{\prime}$ έχει εμβαδόν

, πόσο είναι το μήκος της ακτίνας του

; [3 μόρια]

: Screen Shot 2022-05-22 at 21.41.22.png (31.07 KiB) Προβλήθηκε 3791 φορές

27. Δίνεται ο κύβος ABCD-EFGH

, όπως φαίνεται στο σχήμα, με μήκος ακμής

. Αν

είναι το μέσο της ακμής

, πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου MEG

; [3 μόρια]

: Screen Shot 2022-05-22 at 21.45.28.png (22.17 KiB) Προβλήθηκε 3791 φορές

28. Έστω $F_{1}$ η εστία της παραβολής (y-a)^2=4px

, όπου

θετικοί αριθμοί και $F_{2}$ η εστία της παραβολής y^2=-4x

. Αν

είναι τα σημεία τομής του τμήματος $F_{1}F_{2}$ με τις παραπάνω παραβολές, $F_{1}F_{2}=3$ , PQ=1

, πόσο ισούται η τιμή της έκφρασης a^2+p^2

; [4 μόρια]

: Screen Shot 2022-05-22 at 21.51.23.png (24.32 KiB) Προβλήθηκε 3791 φορές

29. Στο καρτεσιανό επίπεδο δίνεται το παραλληλόγραμμο OACB

με $OA=\sqrt{2}$ , $OB=2\sqrt{2}$ , $\cos (\angle AOB) =\frac{1}{4}$ και σημείο

, που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

α) $\overrightarrow{OP} =s \cdot \overrightarrow{OA}+t \cdot \overrightarrow{OB}$ ( $0 \leq s \leq 1$ , $0 \leq t \leq 1)$

b) $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OB} +\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{BC} =2$

Για το σημείο

που κινείται σε κύκλο, κέντρου

, που διέρχεται από το σημείο

ας είναι

η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της έκφρασης $|3 \overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OX}|$ . Αν $M \cdot m = a\sqrt{6}+b$ , ποιά η τιμή της έκφρασης a^2+b^2

; (όπου

θετικοί ρητοί αριθμοί) [4 μόρια]

: Screen Shot 2022-05-22 at 22.02.48.png (12.55 KiB) Προβλήθηκε 3791 φορές

30. Στον καρτεσιανό χώρο δίνεται σφαίρα με εξίσωση $S: (x-2)^2+(y-\sqrt{5})^2+(z-5)^2 =25$ κέντρου $C(2, \sqrt{5},5)$ που διέρχεται από το σημείο P(0,0,1)

. Έστω $Q_{1}$ , $R_{1}$ οι ορθογώνιες προβολές των σημείων Q,P

στο επίπεδο

, με το σημείο

να κινείται σε κύκλο που είναι η τομή του επιπέδου OPC

με την σφαίρα

και το σημείο

να κινείται στην σφαίρα

. Το εμβαδόν της ορθογώνιας προβολής στο επίπεδο PQR

του τριγώνου $OQ_{1}R_{1}$ , για τα σημεία Q,P

που μεγιστοποιούν το εμβαδόν του τριγώνου $OQ_{1}R_{1}$ , είναι $\frac{q}{p} \sqrt{6}$ . Ποια είναι η τιμή της έκφρασης p+q

;

(Όπου

η αρχή των αξόνων, τα σημεία $O, Q_{1}, R_{1}$ είναι μη συνευθειακά και p,q

πρώτοι μεταξύ τους φυσικοί αριθμοί.)

: Screen Shot 2022-05-29 at 14.13.05.png (27.08 KiB) Προβλήθηκε 3480 φορές

#2

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm
Παρακάτω μπορείτε να βρείτε τα θέματα 23-30 των φετινών εισαγωγικών εξετάσεων της Κορέας στα μαθηματικά, για την ενότητα γεωμετρία. Τα θέματα 23-28 είναι πολλαπλής επολογής και στα 29-30 ζητείτε μόνο η τελική απάντηση.

27. Δίνεται ο κύβος , όπως φαίνεται στο σχήμα, με μήκος ακμής . Αν είναι το μέσο της ακμής , πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου ; [3 μόρια]

: Κορεατικές 2022.27.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 3722 φορές

Με Πυθαγόρειο βρίσκω $\displaystyle ME = 2\sqrt 5 ,EG = GD = 4\sqrt 2 ,AG = 4\sqrt 3 .$

Θεώρημα διαμέσων στο AGD,

$\displaystyle 48 + 32 = 2G{M^2} + 8 \Leftrightarrow GM = 6$

Με τον τύπο του Ήρωνα τώρα, παίρνω $\boxed{(MEG)=12}$

Maria-Eleni Nikolaou · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm
24. Πόσο είναι το μήκος του τμήματος που ορίζουν οι κορυφές της υπερβολής $\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{y^2}{6} =1$ με μία από τις εστίες της να είναι το σημείο $(3\sqrt{2}, 0)$ ; (όπου θετικός αριθμός) [3 μόρια]

Από Μαθηματικά Προσανατολισμού Β' Λυκείου γνωρίζουμε:
Η εξίσωση της υπερβολής με εστίες στον άξονα x'x

είναι: $\dfrac{x^{2}}{\alpha ^{2}}-\dfrac{y^{2}}{\beta^{2} }=1$ , όπου $\beta =\sqrt{\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}$
Επίσης, $E(\gamma ,0)$ και $E'(-\gamma ,0)$ οι συντεταγμένες των εστιών.

Άρα: $\beta =\sqrt{6}$ και $\gamma =3\sqrt{2}$

Οπότε: $\alpha ^{2}=\gamma ^{2}-\beta ^{2}\Rightarrow \alpha ^{2}=18-6\Leftrightarrow \alpha =2\sqrt{3}$

Επομένως, $A'A=2\alpha=4\sqrt{3}$

Maria-Eleni Nikolaou · #4

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm
25. Αν $\theta$ είναι η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες $\dfrac{x+1}{2} =y-3$ και $x-2=\dfrac{y-5}{3}$ στο καρτεσιανό επίπεδο, πόσο ισούται το $\cos \theta$ ; [3 μόρια]

: 25) Κορεάτικες εισαγωγικές εξετάσεις.png (12.99 KiB) Προβλήθηκε 3622 φορές

Ομοίως γνωρίζουμε:
Η ευθεία με εξίσωση $Ax +By+\Gamma =0$ είναι παράλληλη στο διάνυσμα $\vec{\delta }=(B,-A)$
Έχουμε, $\varepsilon _{1}:\dfrac{x+1}{2}=y-3\Leftrightarrow x-2y+7=0$ και $\varepsilon _{2}:x-2=\dfrac{y-5}{3}\Leftrightarrow 3x-y-1=0$
Οπότε έχουμε τα αντίστοιχα διανύσματα: $\vec{\delta _{1}}=(-2,-1)$ και $\vec{\delta _{2}}=(-1,-3)$
Ισχύει: $\vec{\delta _{1}}\cdot \vec{\delta _{2}}=\left | \vec{\delta _{1}} \right |\cdot \left | \vec{\delta _{2}} \right |\cdot \cos \vartheta$
Όμως είναι: $\vec{\delta _{1}}\cdot \vec{\delta _{2}}=2+3=5$
Για τα μέτρα των διανυσμάτων είναι: $\left |\vec{\delta _{1}} \right |=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$ και $\left |\vec{\delta _{2}} \right |=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$
Επομένως, $\cos \vartheta =\dfrac{\vec{\delta _{1}}\cdot \vec{\delta _{2}}}{\left |\vec{\delta _{1}} \right |\cdot \left |\vec{\delta _{2}} \right |} =\dfrac{5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \vartheta =45^{\circ}$

Al.Koutsouridis · #5

έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm

27. Δίνεται ο κύβος , όπως φαίνεται στο σχήμα, με μήκος ακμής . Αν είναι το μέσο της ακμής , πόσο είναι το εμβαδόν του τριγώνου ; [3 μόρια]

Screen Shot 2022-05-22 at 21.45.28.png

Στην προσπάθεια να μειώσει κανείς τις απαιτούμενες πράξεις για να βρει το αποτέλεσμα θα μπορούσαμε να παρατηρήσουμε ότι το ύψος του τριγώνου MEG

που αντιστοιχεί στην κορυφή

, είναι ίσο με την υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου με την μία κάθετη πλευρά να είναι ίση με την ακμή του κύβου και την άλλη με το υποτετραπλάσιο της διαγωνίου της έδρας του. Οπότε το μήκος αυτόυ του ύψους θα είναι ίσο με:

$\sqrt{ 4^2 +(\sqrt{2})^2} = \sqrt{18}$ και το εμβαδόν του τριγώνου MEG

ίσο με

$(MEG) = \dfrac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = 12$

: Screen Shot 2022-05-24 at 22.07.40.png (53.28 KiB) Προβλήθηκε 3597 φορές

Al.Koutsouridis · #6

έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 22, 2022 10:04 pm

25. Αν $\theta$ είναι η οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες $\dfrac{x+1}{2} =y-3$ και $x-2=\dfrac{y-5}{3}$ στο καρτεσιανό επίπεδο, πόσο ισούται το $\cos \theta$ ; [3 μόρια]

Η γωνία μεταξύ των ευθειών δεν αλλάζει αν τις μετατοπίσουμε παράλληλα. Οπότε εξετάζουμε τις αντίστοιχες παράλληλες τους που διέρχονται από την αρχή των αξόνων. Σχεδιάζοντάς τες σε ορθοκανονικό σύστημα παρατηρούμε ότι σχηματίζεται ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο (αρκεί να "μετρήσουμε" τα τετραγωνάκια). Οπότε η γωνία μεταξύ τους είναι 45^0

και το ζητούμενο συνημίτονο ίσο με $\sqrt{2}/2$ .

: korean_2022_geo_25.png (14.91 KiB) Προβλήθηκε 3589 φορές

Al.Koutsouridis · #7

Να ευχαριστήσω τους Maria-Eleni και κ.Γιώργο για τις λύσεις τους. Από την πλευρά μου να σημειώσω ότι πρόσθεσα και το θέμα 30 στην αρχική ανάρτηση. Με είχε μπερδέψει αρχικά η μετάφρασή του και το είχα παραλείψει. Σαν σχόλιο, η μετάφραση δίνει σαν τίτλο "Ενότητα γεωμετρία" παρόλα αυτά τα θέματα είναι περισσότερο αυτό που θα λέγαμε αναλυτική γεωμετρία. Ωστόσο οι κλασικές γεωμετρικές γνώσεις και η εποπτεία γεωμετρικού σχήματος βοηθούν στο να λυθούν οι ασκήσεις πιο γρήγορα.

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

Re: Κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις 2022 (Ενότητα Γεωμετρία))

Μέλη σε σύνδεση