, που ορίζεται στο διάστημα ![{\left[ {0,1} \right]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/df74559b7104412c4d06dfaf28d0cad7.png "{\left[ {0,1} \right]}")
ως εξής:
1. Σχεδιάστε την γραφική παράσταση της
. Υπολογιστε την 
και σχεδιάστε την γραφική της παράσταση.2. Έστω
![x_{0} \in {\left[ {0,1} \right]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/5343b60ca99bf96b03d02e6d32103c91.png "x_{0} \in {\left[ {0,1} \right]}")
, θεωρούμε την ακολουθία που ορίζεται αναδρομικά ως 
, 
. Να αποδείξετε, ότι αν 
, τότε η ακολουθία 
είναι γνησίως αύξουσα μέχρι να έχουμε 
.3. Θυμίζουμε ότι το ακέραιο
![{\left[ {x} \right]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/6c461876c14afc7aa2ae4bb9cd41d50f.png "{\left[ {x} \right]}")
και το κλασματικό 
μέρος ενός πραγματικού αριθμού 
ορίζονται ως![{\left[ {x} \right]} = k \in \mathrm{Z}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9843b6870aa73376d72991626ec1335f.png "{\left[ {x} \right]} = k \in \mathrm{Z}")
ώστε 
, ![\quad {\left\{ {x} \right\}} = x-{\left[ {x} \right]}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c9b64e9522b6d3b2b5a37b47545404ae.png "\quad {\left\{ {x} \right\}} = x-{\left[ {x} \right]}")
.Για
ορίζουμε![\displaystyle{m:= m(x_{0}) =
\begin{cases}
1+min {\left\{ {n \geq1 , x_{n} \in {\left[ { \frac{1}{2}, 1} \right]}} \right\}}, & \quad 0 < x_{0} < \frac{1}{2} \\
1, & \quad \frac{1}{2} \leq x_{0} \leq 1 \\
\end{cases} }](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/35c4c3c0b031e1051031ca5fd9736b86.png "\displaystyle{m:= m(x_{0}) =
\begin{cases}
1+min {\left\{ {n \geq1 , x_{n} \in {\left[ { \frac{1}{2}, 1} \right]}} \right\}}, & \quad 0 < x_{0} < \frac{1}{2} \\
1, & \quad \frac{1}{2} \leq x_{0} \leq 1 \\
\end{cases} }")
Να δείξετε ότι
.