Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

pap65 · #21

GI_A_ALG_4_13092

Σε έναν οργανισμό, αρχικά υπάρχουν 204800

βακτήρια. Μετά από

ώρα υπάρχουν 102400

βακτήρια, μετά από

ώρες

βακτήρια, και γενικά ο αριθμός των βακτηρίων
υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα.
α) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν μετά από

ώρες; (Μονάδες 6)
β) Τη χρονική στιγμή όμως που τα βακτήρια ήταν 3200

, ο οργανισμός παρουσίασε ξαφνική
επιδείνωση. Ο αριθμός των βακτηρίων άρχισε πάλι να αυξάνεται ώστε κάθε μια ώρα να
τριπλασιάζεται. Το φαινόμενο αυτό διήρκεσε για

ώρες. Συμβολίζουμε με $\beta _{\nu }$ το πλήθος των
βακτηρίων $\nu$ ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης ( $\nu \leq 5$ ).
i) Να δείξετε ότι η ακολουθία $(\beta _{\nu })$ είναι γεωμετρική πρόοδος, και να βρείτε τον πρώτο όρο
και το λόγο της.
ii) Να εκφράσετε το πλήθος $\beta _{\nu }$ των βακτηρίων συναρτήσει του $\nu$ . (Μονάδες 12)
iii) Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στον οργανισμό

ώρες μετά από την στιγμή της
επιδείνωσης; (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ
α) Αφού «γενικά ο αριθμός των βακτηρίων υποδιπλασιάζεται κάθε μια ώρα» ( δηλαδή ο αριθμός τους γίνεται $\displaystyle{~102400,51200,25600,.....}$ ) σύμφωνα με τον ορισμό της γεωμετρικής προόδου , τα πλήθη των βακτηρίων μετά από $\nu$ ώρες αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου $\displaystyle{{{a}_{\nu }},\ \nu \in {{\mathbb{N}}^{*}}}$ με λόγο $\displaystyle{\lambda =\frac{1}{2}}$ και πρώτο όρο $\displaystyle{{{\alpha }_{1}}=102400}$ .
Ο γενικός τύπος θα δίνεται από τον τύπο $\displaystyle{{{a}_{\nu }}={{\alpha }_{1}}{{\lambda }^{\nu -1}}\Leftrightarrow {{a}_{\nu }}=102400{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{\nu -1}}}$
Επομένως μετά από 6 ώρες για $\nu =6$ παίρνουμε: $\displaystyle{{{a}_{6}}=102400{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{5}}=102400\cdot \frac{1}{32}=3200}$ .
β) Σύμφωνα με την εξέλιξη του φαινομένου μετά την έκτη ώρα ο αριθμό ς των βακτηρίων τριπλασιάζεται ύστερα από κάθε μια ώρα (δηλαδή γίνεται : 9600,28800,86400,.......

)
Επομένως τα πλήθη των βακτηρίων $\nu$ ώρες μετά από την επιδείνωση αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου $\displaystyle{{{\beta }_{\nu }},\ \nu \in {{\mathbb{N}}^{*}},\nu \le 5}$ με λόγο $\displaystyle{\lambda =3}$ και πρώτο όρο $\displaystyle{{{\beta }_{1}}=9600}$ .
Ο γενικός τύπος θα δίνεται από τον τύπο $\displaystyle{{{\beta }_{\nu }}={{\beta }_{1}}{{\lambda }^{\nu -1}}\Leftrightarrow {{\beta }_{\nu }}=9600\cdot {{3}^{\nu -1}}}$ .
Το πλήθος των βακτηρίων που θα υπάρχουν στον οργανισμό 3 ώρες μετά από την στιγμή της επιδείνωσης θα δίνονται από τον γενικό τύπο για $\nu =3$ .
Επομένως $\displaystyle{{{\beta }_{3}}=9600\cdot {{3}^{2}}=9600\cdot 9=86400}$ .

pap65 · #22

GI_A_ALG_ 4_13158

Δυο φίλοι αποφάσισαν να κάνουν το χόμπι τους δουλειά. Τους άρεσε να ζωγραφίζουν
μπλουζάκια και έστησαν μια μικρή επιχείρηση για να τα πουλήσουν μέσω διαδικτύου.
Σε διάστημα ενός μηνός τα έξοδα κατασκευής (σε ευρώ) για

μπλουζάκια δίνονται από τη
συνάρτηση $\displaystyle{K(x)=12,5x+120}$ και τα έσοδα από την πώλησή τους (σε ευρώ), από τη συνάρτηση $\displaystyle{E(x)=15,5x}$ .
α) Αν η επιχείρηση κάποιο μήνα δεν κατασκευάσει μπλουζάκια, έχει έξοδα; Να αιτιολογήσετε
την απάντησή σας.
(Μονάδες 6)
β) Τι εκφράζει ο αριθμός $\displaystyle{12,5}$ και τι ο αριθμός $\displaystyle{15,5}$ στο πλαίσιο του προβλήματος;
(Μονάδες 4)
γ) Να βρείτε πόσα μπλουζάκια πρέπει να πουλήσουν ώστε να έχουν έσοδα όσα και έξοδα
(δηλαδή να μην «μπαίνει μέσα» η επιχείρηση) (Μονάδες 6)
δ) Αν πουλήσουν

μπλουζάκια θα έχουν κέρδος; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ

α) Αν η επιχείρηση κάποιο μήνα δεν κατασκευάσει μπλουζάκια, τότε από την συνάρτηση των εξόδων κατασκευής, για x=0

μας παίρνουμε $\displaystyle{K(0)=12,5\cdot 0+120=120}$ ευρώ. Δηλαδή η επιχείρηση έχει πάγια έξοδα ( ανεξάρτητα από το ύψος της παραγωγής ) 120

ευρώ το μήνα.
β) Ο συντελεστής $\displaystyle{12,5}$ στην συνάρτηση των εξόδων κατασκευής, εκφράζει την αύξηση των εξόδων για κάθε ένα μπλουζάκι που κατασκευάζεται. Αφού για x=0

, $\displaystyle{K(0)=120}$ , για x=1

, $\displaystyle{K(1)=132,5}$ , για x=2

, $\displaystyle{K(2)=145}$ κλπ.
Όμοια ο συντελεστής $\displaystyle{15,5}$ στην συνάρτηση των εσόδων εκφράζει τα έσοδα για κάθε ένα μπλουζάκι που πουλιέται. Αφού για x=0

, $\displaystyle{K(0)=0}$ , για x=1

, $\displaystyle{K(1)=15,5}$ , για x=2

, $\displaystyle{K(2)=31}$ κλπ.
γ) Θα πρέπει $\displaystyle{K(x)=E(x)\Leftrightarrow 15,5x=12,5x+120\Leftrightarrow 15,5x-12,5x=120}$
$\displaystyle{\Leftrightarrow 3x=120\Leftrightarrow x=40}$
Επομένως για να μην «μπαίνει μέσα» η επιχείρηση πρέπει να πουλήσουν

μπλουζάκια.
δ) Αν πουλήσουν

μπλουζάκια τότε θα έχουν έσοδα : $\displaystyle{E(60)=15,5\cdot 60=930}$
και έξοδα : $\displaystyle{K(60)=12,5\cdot 60+120=870}$ , επομένως θα έχουν κέρδος : 930-870=60

ευρώ.

Υ.Γ. Έγινε διόρθωση ύστερα από PM του swsto.

pap65 · #23

Επισυνάπτω το Word

pap65 · #24

GI_A_ALG_4_13084

Δίνεται συνάρτηση $\displaystyle{g\left( \chi \right)=\frac{\left( {{\chi }^{2}}-1 \right)\left( {{\chi }^{2}}-4 \right)}{{{\chi }^{2}}+\kappa \chi +\lambda }}$ , η οποία έχει πεδίο ορισμού το $\displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ -2,1 \right\}}$ .
α) Να βρείτε τις τιμές των $\kappa$ και $\lambda$ . (Mονάδες 9)
β) Για $\displaystyle{\kappa =1}$ και $\displaystyle{\lambda =-2}$ :
i ) Να απλοποιήσετε τον τύπο της

. (Μονάδες 9)
ii) Να δείξετε ότι: $\displaystyle{g\left( \alpha +3 \right)>g\left( \alpha \right)}$ , όταν $\displaystyle{\alpha \in \left( -1,\ 1 \right)\cup \left( 1,\ 2 \right)}$ (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) Αφού το πεδίο ορισμού της

είναι το $\displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ -2,1 \right\}}$ συμπεραίνουνε ότι ο παρονομαστής
$\displaystyle{{{x}^{2}}+\kappa x+\lambda =0}$ για $\chi =-2$ ή $\chi =1$ .

Δηλαδή το τριώνυμο $\displaystyle{{{\chi }^{2}}+\kappa \chi +\lambda }$ έχει ρίζες ${{\chi }_{1}}=-2$ και ${{\chi }_{2}}=1$

Συνεπώς από τους τύπους Vietta

$\displaystyle{{{\chi }_{1}}+{{\chi }_{2}}=-\frac{\beta }{\alpha }\Leftrightarrow -2+1=-\kappa \Leftrightarrow \kappa =1}$
$\displaystyle{{{\chi }_{1}}\cdot {{\chi }_{2}}=\frac{\gamma }{\alpha }\,\ \Leftrightarrow -2\cdot 1=\lambda \Leftrightarrow \lambda =-2}$

β) i) Παραγοντοποιώντας αριθμητή και παρονομαστή :

$\displaystyle{g\left( \chi \right)=\frac{\left( {{\chi }^{2}}-1 \right)\left( {{\chi }^{2}}-4 \right)}{{{\chi }^{2}}+\chi -2}=\frac{\left( \chi -1 \right)\left( \chi +1 \right)\left( \chi -2 \right)\left( \chi +2 \right)}{\left( \chi -1 \right)\left( \chi +2 \right)}=\left( \chi +1 \right)\left( \chi -2 \right)}$

ii) Είναι $\displaystyle{g\left( \chi \right)=\left( \chi +1 \right)\left( \chi -2 \right)={{\chi }^{2}}-\chi -2}$ με ρίζες το

και

.

Για το τριώνυμο $\displaystyle{{{\chi }^{2}}-\chi -2}$ έχουμε τον παρακάτω πίνακα προσήμων

Επομένως το πρόσημο της συνάρτησης

στο πεδίο ορισμού της είναι:

Έγγραφο2.pdf: (55.81 KiB) Μεταφορτώθηκε 200 φορές

Άρα όταν $\displaystyle{\alpha \in \left( -1,\ 1 \right)\cup \left( 1,\ 2 \right)}$ , δηλαδή $\displaystyle{-1<\alpha <2}$ τότε $\displaystyle{2<\alpha +3}$ .
Έτσι όπως φαίνεται στον παραπάνω πίνακα
$\displaystyle{g\left( \alpha +3 \right)>0}$ και $\displaystyle{g\left( \alpha \right)<0}$
δηλαδή $\displaystyle{g\left( \alpha +3 \right)>g\left( \alpha \right)}$ .

Υ.Γ. ΒΟΗΘΕΙΑ Πως θα εισάγω το πινακα word που έχω επισυνάψει.

dpa2007 · #25

Είτε χειροκίνητα, είτε χρησιμοποιώντας κάποιον word2latex:
http://www.wordtolatex.com/
http://www.chikrii.com/
δες και:
http://tex.stackexchange.com/questions/ ... x-document

#26

Καλημέρα σε όλους!

Συγκεντρωμένες οι λύσεις και τα σχόλια για τα νέα θέματα της Άλγεβρας Α΄ Λυκείου είναι ΕΔΩ.

panppdop · #27

pap65 έγραψε:GI_A_ALG_2_13096

α) Αν $\displaystyle{A,B,\Gamma }$ είναι τρία ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης, να διατυπώσετε λεκτικά τα παρακάτω ενδεχόμενα:
i) $\displaystyle{A\bigcup B}$ ii) $\displaystyle{B\bigcap \Gamma }$ iii) $\displaystyle{(A\bigcap B)\bigcap \Gamma }$ iv) $\displaystyle{{A}'}$ (Μονάδες 12)
β) Στο παρακάτω σχήμα παριστάνονται με διάγραμμα Venn ο παραπάνω δειγματικός χώρος Ω και τα τρία ενδεχόμενα $\displaystyle{\text{A}\text{,B }}$ και $\displaystyle{\Gamma }$ αυτού.
Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των ενδεχομένων του (α) ερωτήματος. (Μονάδες 13)

aσκηση 13096 συνολα.png

ΛΥΣΗ

α)
i. $\displaystyle{A\bigcup B}$ : πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα ενδεχόμενα Α και Β.
ii. $\displaystyle{B\bigcap \Gamma }$ : πραγματοποιούνται συγχρόνως τα ενδεχόμενα Β και Γ.
iii. $\displaystyle{(A\bigcap B)\bigcap \Gamma }$ : πραγματοποιούνται συγχρόνως τα ενδεχόμενα Α και Β και Γ.
iv. $\displaystyle{{A}'}$ : Δεν πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α.

β) Είναι $A\bigcup B\text{=}\left\{ \text{-12}\text{,-5}\text{,-2}\text{,0}\text{,1}\text{,2}\text{,7}\text{,8} \right\}$ με $\displaystyle{N\left( A\bigcup B \right)=8}$
$B\bigcap \Gamma =\left\{ 2,8 \right\}$ με $\Nu \left( \Beta \bigcap \Gamma \right)=2$
$\displaystyle{(A\bigcap B)\bigcap \Gamma =\left\{ 2 \right\}}$ με $\displaystyle{N\left[ \left( A\bigcap B \right)\bigcap \Gamma \right]=1}$
${A}'=\left\{ -1,0,3,4,6,7,8,10,21 \right\}$ με $\displaystyle{\Nu \left( {{A}'} \right)=9}$
Ακόμη $\displaystyle{N\left( \Omega \right)=12}$

Επομένως εφαρμόζοντας τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας:
i. $\displaystyle{P\left( A\bigcup B \right)=\frac{N\left( A\bigcup B \right)}{N\left( \Omega \right)}=\frac{8}{12}}$
ii. $\displaystyle{P\left( B\bigcap \Gamma \right)=\frac{N\left( B\bigcap \Gamma \right)}{N\left( \Omega \right)}=\frac{2}{12}}$

iii. $\displaystyle{P\left[ \left( A\bigcap B \right)\bigcap \Gamma \right]=\frac{N\left[ \left( A\bigcap B \right)\bigcap \Gamma \right]}{N\left( \Omega \right)}=\frac{1}{12}}$
iv. $\displaystyle{P\left( {{A}'} \right)=\frac{N\left( {{A}'} \right)}{N\left( \Omega \right)}=\frac{9}{12}}$

Αν δεν κάνω λάθος είναι $N(\Omega)=14$ . Οπότε οι πιθανότητες έχουν διαφορετικό παρονομαστή.

pap65 · #28

Εννοείται.!!

Ευχαριστώ.

#29

Παναγιώτη ευχαριστούμε θερμά για τη διόρθωση.

Κάνουμε άμεσα τη διόρθωση και στο αρχείο ΕΔΩ.

Το αρχείο θα έχει ημερομηνία 8-11-2014

, έκδοση 2η.

panppdop · #30

george visvikis έγραψε:GI_A_ALG_4_13088

Εξαιτίας ενός ατυχήματος σε διυλιστήριο πετρελαίου, διαρρέει στην θάλασσα πετρέλαιο που
στο τέλος της ης ημέρας καλύπτει τετραγωνικά μίλια (τ.μ), στο τέλος της 2ης ημέρας καλύπτει τ.μ, στο τέλος της ης ημέρας καλύπτει τ.μ. και γενικά εξαπλώνεται έτσι, ώστε στο τέλος κάθε ημέρας να καλύπτει επιφάνεια διπλάσια από αυτήν που κάλυπτε την προηγούμενη.
α) Να βρείτε την επιφάνεια της θάλασσας που θα καλύπτει το πετρέλαιο στο τέλος της ης ημέρας μετά το ατύχημα. (Μονάδες )

β) Πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος το πετρέλαιο θα καλύπτει τ.μ.;
(Μονάδες )

γ) Στο τέλος της ης ημέρας επεμβαίνει ο κρατικός μηχανισμός και αυτομάτως σταματάει η εξάπλωση του πετρελαίου. Στο τέλος της επόμενης ημέρας η επιφάνεια που καλύπτει το πετρέλαιο έχει μειωθεί κατά τ.μ. και συνεχίζει να μειώνεται κατά τ.μ. την ημέρα. Να βρείτε πόσες ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος η θαλάσσια επιφάνεια που καλύπτεται από το πετρέλαιο θα έχει περιοριστεί στα τ.μ. (Μονάδες )

Λύση.

α) Η εξάπλωση του πετρελαίου στην επιφάνεια της θάλασσας ανά ημέρα, αυξάνεται με γεωμετρική πρόοδο $\displaystyle{{a_n},n \in {N^*}}$ , όπου ο πρώτος όρος είναι και ο λόγος $\lambda=2$ . Στο τέλος της ης ημέρας θα καλύπτει επιφάνεια ίση με $\displaystyle{{a_5} = 3 \cdot {2^4} = 48}$ τ. μ.

β) Αναζητούμε το ώστε .
$\displaystyle{768 = 3{\lambda ^{n - 1}} \Leftrightarrow {\lambda ^{n - 1}} = 256 = {2^8} \Leftrightarrow n = 9}$ .
Άρα, ημέρες μετά από τη στιγμή του ατυχήματος το πετρέλαιο θα καλύπτει τ.μ.

γ) Το πετρέλαιο στην επιφάνεια της θάλασσας μειώνεται με αριθμητική πρόοδο $\displaystyle{{b_n},n \in {N^*}}$ , όπου ο πρώτος όρος είναι , η διαφορά της προόδου και ο νιοστός όρος . Έχουμε λοιπόν:
$\displaystyle{12 = 768 - 6(n - 1) \Leftrightarrow n - 1 = \frac{{768 - 12}}{6} \Leftrightarrow n = 127}$

Άρα σε ημέρες από τη στιγμή που επενέβη ο κρατικός μηχανισμός, δηλαδή σε ημέρες από τη στιγμή του ατυχήματος, η θαλάσσια επιφάνεια που καλύπτεται από το πετρέλαιο θα έχει περιοριστεί στα τ.μ.

Νομίζω πως η σωστή απάντηση είναι 9+126=135 διότι ως β1 θεωρούμε το α9, δηλ. το β1 δεν είναι η πρώτη ημέρα επίδρασης του κρατικού μηχανισμού.. Άρα οι ημέρες από την επέμβαση του κρατικού μηχανισμού νομίζω πως είναι 126.

#31

panppdop έγραψε:
Νομίζω πως η σωστή απάντηση είναι 9+126=135 διότι ως β1 θεωρούμε το α9, δηλ. το β1 δεν είναι η πρώτη ημέρα επίδρασης του κρατικού μηχανισμού.. Άρα οι ημέρες από την επέμβαση του κρατικού μηχανισμού νομίζω πως είναι 126.

Αγαπητέ Παναγιώτη καλησπέρα. Σε ευχαριστούμε για το ενδιαφέρον σου να διορθωθούν και να γίνουν όσο ποιο έγκυρες γίνεται οι προτεινόμενες λύσεις του

Αυτή είναι η δυναμική ενός χώρου, όπως το

, με ζωντανή ανταλλαγή απόψεων σε πραγματικό χρόνο.
(Προσ)καλώ όποιον φίλο ή μέλος του

να συμβάλει στην προσπάθειά μας αυτή, κι εδώ και στο διάλογο που ήδη ξεκίνησε για τα θέματα της Β΄ Λυκείου.

Κάνουμε την εξής παρέμβαση στις λύσεις:

Την έννατη μέρα (με εμβαδό a_9=768

) τη θεωρούμε αρχική τιμή b_0=768

, δηλαδή η μείωση αρχίζει από την επόμενη μέρα, που τη λέμε b_1=762

, οπότε συνολικά έχουμε 9+126=135

.

#32

panppdop έγραψε: Νομίζω πως η σωστή απάντηση είναι 9+126=135 διότι ως β1 θεωρούμε το α9, δηλ. το β1 δεν είναι η πρώτη ημέρα επίδρασης του κρατικού μηχανισμού.. Άρα οι ημέρες από την επέμβαση του κρατικού μηχανισμού νομίζω πως είναι 126.

Έχεις απόλυτο δίκιο. Μου ξέφυγε τελείως.

#33

Αυτή η άσκηση δεν ήταν και τον Ιούνιο ; Θυμάμαι που την έλυνα και ψαχνόμουμε με τον πρώτο όρο κάθε φορά που συνέβαινε μια αλλαγή στην πορεία του φαινομένου.Αληθινός μπελάς , πόσο μάλλον για μαθητές !

akis_man · #34

ΘΕΜΑ: GI_A_ALG_4_19364

Δίνεται το τριώνυμο: $x^2 - \left( {\alpha + 1} \right)x + 4 + \alpha , \alpha \in R$ .
α) Να αποδείξετε ότι η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι:
$\displaystyle{\Delta = {\left( {\alpha - 1} \right)^2} - 16}$
(Μονάδες 5)
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του α το τριώνυμο έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.
(Μονάδες 10)
γ) Αν το τριώνυμο έχει ρίζες ${x_1},{x_2}$ , τότε:
i. Να εκφράσετε το άθροισμα $S = {x_1} + {x_2}$ και το γινόμενο $P = {x_1} \cdot {x_2}$ των ριζών του συναρτήσει του α.
(Μονάδες 2)
ii. Να αποδείξετε ότι: $d\left( {{x_1},1} \right) \cdot d\left( {{x_2},1} \right) = 4$ .
(Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ:

α) Από τον τύπο της διακρίνουσας έχουμε:
$\begin{array}{l} \Delta = {\beta ^2} - 4\alpha \gamma = {\left( { - \left( {\alpha + 1} \right)} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( {4 + \alpha } \right) = {\left( {\alpha + 1} \right)^2} - 16 - 4\alpha = \\ = {\alpha ^2} + 2\alpha + 1 - 16 - 4\alpha = {\alpha ^2} - 2\alpha + 1 - 16 = {\left( {\alpha - 1} \right)^2} - 16 \end{array}$

β) Το τριώνυμό μας έχει πραγματικές ρίζες και άνισες μεταξύ τους όταν $\Delta > 0$ .
Άρα έχουμε:

α΄ τρόπος

$\displaystyle{\begin{array}{l} {\left( {\alpha - 1} \right)^2} - 16 > 0 \Leftrightarrow {\left( {\alpha - 1} \right)^2} > 16 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha - 1 > \sqrt {16} }\\ \\ {\alpha - 1 < - \sqrt {16} } \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha - 1 > 4}\\ \\ {\alpha - 1 < - 4} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha > 5}\\ \\ {\alpha < - 3} \end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \\ \alpha \in \left( { - \infty , - 3} \right) \cup \left( {5, + \infty } \right) \end{array}}$

Οπότε όταν $\alpha \in \left( { - \infty , - 3} \right) \cup \left( {5, + \infty } \right)$ το τριώνυμό μας έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.

β΄ τρόπος

$\begin{array}{l} {\left( {\alpha - 1} \right)^2} - 16 > 0 \Leftrightarrow {\alpha ^2} - 2\alpha + 1 - 16 > 0 \Leftrightarrow {\alpha ^2} - 2\alpha - 15 > 0 \Leftrightarrow \\ \Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4 \cdot 1 \cdot \left( { - 15} \right) = 4 + 60 = 64 \end{array}$

Οπότε οι ρίζες είναι:

${\alpha _{1,2}} = \frac{{ - \beta \pm \sqrt \Delta }}{{2\alpha }} = \frac{{ - \left( { - 2} \right) \pm \sqrt {64} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{2 \pm 8}}{2} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1} = \frac{{2 + 8}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5}\\ {{\alpha _2} = \frac{{2 - 8}}{2} = \frac{{ - 6}}{2} = - 3} \end{array}} \right.$

Από τον πίνακα προσήμων του τριωνύμου έχουμε:
Εικόνα

Άρα: $\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\alpha < - 3}\\ \\ {\alpha > 5} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \alpha \in \left( { - \infty , - 3} \right) \cup \left( {5, + \infty } \right)}$ , διότι θέλουμε το τριώνυμό μας να είναι θετικό.
Οπότε όταν $\alpha \in \left( { - \infty , - 3} \right) \cup \left( {5, + \infty } \right)$ το τριώνυμό μας έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.

γ)
i. Από τους τύπου Vieta έχουμε:
$S = {x_1} + {x_2} = - \frac{\beta }{\alpha } = - \frac{{ - \left( {\alpha + 1} \right)}}{1} = \alpha + 1$
και
$P = {x_1} \cdot {x_2} = \frac{\gamma }{\alpha } = \frac{{4 + \alpha }}{1} = \alpha + 4$

ii. Από τον τύπο της απόστασής δύο σημείων, αλλά και από τους τύπους Vieta του προηγούμενου ερωτήματος έχουμε:
$\begin{array}{l} d\left( {{x_1},1} \right) \cdot d\left( {{x_2},1} \right) = \left| {{x_1} - 1} \right| \cdot \left| {{x_2} - 1} \right| = \left| {\left( {{x_1} - 1} \right) \cdot \left( {{x_2} - 1} \right)} \right| = \\ = \left| {{x_1} \cdot {x_2} - {x_1} - {x_2} + 1} \right| = \left| {{x_1} \cdot {x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1} \right| = \left| {P - S + 1} \right| = \\ = \left| {\alpha + 4 - \left( {\alpha + 1} \right) + 1} \right| = \left| {\alpha + 4 - \alpha - 1 + 1} \right| = \left| 4 \right| = 4 \end{array}$

Παρατήρηση: Είναι το πρώτο μου θέμα που ανεβάζω, και ελπίζω όλα να είναι καλά, και να συμμορφώνονται με τις απαιτήσεις σας. Με χαρά θα ακούσω τις παρατηρήσεις - διορθώσεις σας.
Επίσης ζητάω συγγνώμη για την εικόνα, αλλά δεν ξέρω πως να εισάγω τον πίνακα στο LaTex. Πάντως στο αρχείο word είναι πλήρως προσβάσιμη.

#35

GI_A_ALG_4_20330

Μια μικρή μεταλλική σφαίρα εκτοξεύεται κατακόρυφα από το έδαφος. Το ύψος $\displaystyle{y}$ (σε $\displaystyle{m}$ )
στο οποίο θα βρεθεί η σφαίρα τη χρονική στιγμή $\displaystyle{t}$ (σε $\displaystyle{\sec }$ ) μετά την εκτόξευση, δίνεται από
τη σχέση: $\displaystyle{y = 60t - 5{t^2}}$
α) Μετά από πόσο χρόνο η σφαίρα θα επανέλθει στο έδαφος; (Μονάδες 8)
β) Ποιες χρονικές στιγμές η σφαίρα θα βρεθεί σε ύψος $\displaystyle{y = 175\,\,m}$ ; (Μονάδες 8)
γ) Να βρεθεί το χρονικό διάστημα στη διάρκεια του οποίου η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος
μεγαλύτερο από $\displaystyle{100\,\,m}$ . (Μονάδες 9)

Λύση
α) Προφανώς $\displaystyle{t \ge 0}$ /
Ακόμα : $\displaystyle{y \ge 0 \Leftrightarrow 60t - 5{t^2} \ge 0 \Leftrightarrow t(60 - 5t) \ge 0 \Leftrightarrow 60 - 5t \ge 0}$ (αφού $\displaystyle{t \ge 0}$ ) , οπότε $\displaystyle{60 - 5t \ge 0 \Leftrightarrow t \le 12}$
Τελικά : $\displaystyle{0 \le t \le 12}$
Η σφαίρα είναι στο έδαφος όταν $\displaystyle{y = 0}$
Είναι $\displaystyle{y = 0 \Leftrightarrow 60t - 5{t^2} = 0 \Leftrightarrow t(60 - 5t) = 0 \Leftrightarrow t = 0}$ , (πράγμα που συμβαίνει κατά την εκτόξευση ) ή $\displaystyle{60 - 5t = 0 \Leftrightarrow t = 12}$
Επομένως μετά από $\displaystyle{12\,\,\sec }$ θα επανέλθει στο έδαφος
β) $\displaystyle{y = 175 \Leftrightarrow 60t - 5{t^2} = 175 \Leftrightarrow 5{t^2} - 60t + 175 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 12t + 35 = 0 \Leftrightarrow t = 5}$ ή $\displaystyle{t = 7}$ που είναι δεκτές .
γ) Είναι $\displaystyle{y > 100 \Leftrightarrow 60t - 5{t^2} > 100 \Leftrightarrow 5{t^2} - 60t + 100 < 0 \Leftrightarrow {t^2} - 12t + 20 < 0}$
Το τριώνυμο έχει $\displaystyle{{\rm{\Delta = 144 - 80 = 64 > 0}}}$ και επομένως έχει δυο λύσεις , τις :
$\displaystyle{{t_{1,2}} = \frac{{12 \pm \sqrt {64} }}{2} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{t_1} = \frac{{12 + 8}}{2} = 10} \\ {{t_2} = \frac{{12 - 8}}{2} = 2} \\ \end{array}} \right.}$
κι αφού $\displaystyle{{\rm{\alpha = 1 > 0}}}$ , το τριώνυμο είναι αρνητικό στο διάστημα ανάμεσα στις ρίζες , δηλαδή $\displaystyle{{\rm{2 < t < 10}}}$
Επομένως η σφαίρα βρίσκεται σε ύψος μεγαλύτερο από $\displaystyle{100\,\,m}$ στο (ανοιχτό ) χρονικό διάστημα από $\displaystyle{{\rm{2}}}$ έως $\displaystyle{{\rm{10}}}$ sec ,

Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Re: Λύσεις Νέων θεμάτων Άλγεβρας Α΄ Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση