Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

batmsup1 · #142

Καταρχήν το μηδέν είναι ακέραιος οπότε το θεωρούμε κι αυτό υποψήφιο για ρίζα. Θα το κοιτάξω να σου πω για τα περαιτέρω πώς λύνεται.

dimitra_gi · #143

Επειδή ζητείται το τριώνυμο να έχει θετική τιμή για κάθε χ μικρότερο ή ισο του μηδενός ,για αυτό ρώτησα αν μπορεί να θεωρηθεί λύση το μηδέν.Αλλιώς η μοναδική περίπτωση είναι οι λύσεις 1,2. Και η επόμενη ερώτηση μου αφορούσε την περίπτωση να είναι διπλή η λύση 1 ή διπλή η λύση 2; Δεν είναι σαφές από την εκφώνηση αν οι λύσεις πρέπει να είναι άνισες ή υπάρχει και η περίπτωση να είναι ίσες.

batmsup1 · #144

Είναι σωστές οι σκέψεις σου, αλλα επειδή δε το ξεκαθαρίζει ας θεωρήσουμε ολες τις περιπτώσεις και βλέπουμε. Μάλλον εννοεί να είναι διακριτές αλλα ας δούμε και την περίπτωση να ναι διπλή.

nik21 · #145

dimitra_gi έγραψε:Στο τέταρτο θέμα 7677 στο γ) υποερώτημα το μηδέν μπορεί να θεωρηθεί ως η μία λύση από τις 2 που ψάχνουμε ή η μοναδική περίπτωση είναι οι λύσεις 1 και 2;Επίσης μπορεί και σαν περίπτωση να υπάρχει διπλή λύση η 1 ή διπλή λύση η 2;

Καλησπέρα. Είναι από το ζόρικα τέταρτα θέματα, αφού ο μαθητής πρέπει να έχει κατανοήσει πολύ καλά τα περί προσήμου τριωνύμου για να κάνει σωστά τη διερεύνηση.

Για τις ερωτήσεις της Δήμητρας:
οι ρίζες είναι αναγκαστικά

και

. Το

δεν μπορεί να είναι ρίζα, αφού τότε το τριώνυμο δεν θα ήταν θετικό στο

, όπως απαιτεί η εκφώνηση, αλλά θα μηδενιζόταν. Επίσης δεν μπορεί να έχω διπλή λύση, αφού και πάλι από εκφώνηση το τριώνυμο θέλουμε να έχει ρίζες δύο από τις ακέραιες λύσεις.

#146

Άσκηση 4_7677
Λύση

α) $|x + 1| < 4 \Leftrightarrow - 4 < x + 1 < 4 \Leftrightarrow \boxed{ - 5 < x < 3}$

: oxonas.png (13.01 KiB) Προβλήθηκε 4091 φορές

β) Προφανώς οι ακέραιες λύσεις είναι το σύνολο $\boxed{L = \left\{ { - 4, - 3, - 2, - 1,0,1,2} \right\}}$

γ) το τριώνυμο $f(x) = {x^2} + \beta x + \gamma$ είναι θετικό για κάθε $x \leqslant 0$ και άρα $f(0) = \gamma > 0\,\,(1)$ .

Αλλά από τους τύπους του Vieta για τις ρίζες του τριωνύμου ${x_1}\,\,,{x_2}$ είναι για το δεδομένο τριώνυμο $\boxed{{x_1}{x_2} = \gamma }$ συνεπώς οι ρίζες που θα επιλέξουμε από το

θα πρέπει να είναι ομόσημες

( αυτόματα αποκλείεται η τιμή

).

Δεν γίνεται να είναι οι ρίζες ίσες και αρνητικές γιατί τότε το τριώνυμο θα γίνεται μηδέν όταν η τιμή του

συμπέσει με την ρίζα αυτή.

Εξετάζουμε τώρα αν γίνεται να είναι ρίζες δύο διακεκριμένες αρνητικές τιμές του

.

Σε τέτοια περίπτωση, ισχύει ότι και προηγουμένως δηλαδή το τριώνυμο θα μηδενίζεται όταν η τιμή του

συμπέσει με μια από τις ρίζες ( Σωστή παρέμβαση του Κ. Κυριαζή)

(Επί πλέον δε οι τιμές του τριωνύμου ανάμεσα στις ρίζες αυτές θα είναι ετερόσημες του $\alpha = 1 > 0$ που πάλι έρχεται σε αντίφαση με τις προϋποθέσεις της άσκησης).

Μετά από τα παραπάνω το τριώνυμο θα έχει για ρίζες είτε τις δύο διακεκριμένες θετικές τιμές του συνόλου

, δηλαδή τις ${x_1} = 1,\,\,{x_2} = 2$ και $\boxed{f(x) = {x^2} - 3x + 2}$

είτε διπλή κάθε μια απ’ αυτές και πράγματι τότε $\boxed{f(x) = {{(x - 1)}^2}}\,\,$ ή $\boxed{f(x) = {{(x - 2)}^2}}\,\,$ που είναι θετικό για κάθε $x \leqslant 0$ .

Αυτό το τελευταίο με τις διπλές ρίζες που γράφω ελέγχετε. Όμως ο θεματοδότης έπρεπε ρητά να αποκλείει τέτοιο ενδεχόμενο με τη φράση διακεκριμένες
Νίκος

#147

GI_A_ALG_4_1868

Σε ένα τμήμα της Α’ Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών.
Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι $\displaystyle{0,8}$ .
Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί Αγγλικά είναι τετραπλάσια από την πιθανότητα να παρακολουθεί Γαλλικά.
Τέλος, η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί μαθήματα τουλάχιστον μιας από τις δύο γλώσσες είναι $\displaystyle{0,9}$ .
α) Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη.
i) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα και των δύο γλωσσών;
ii) Ποια είναι η πιθανότητα αυτός να παρακολουθεί μαθήματα μόνο μιας από τις δύο γλώσσες;
β) Αν $\displaystyle{14}$ μαθητές παρακολουθούν μόνο Αγγλικά, πόσοι είναι οι μαθητές του τμήματος ;

Λύση

α) Ορίζουμε τα ενδεχόμενα :
$\displaystyle{{\rm A}}$ : Ο μαθητής παρακολουθεί Αγγλικά , $\displaystyle{{\rm{\Gamma }}}$ : Ο μαθητής παρακολουθεί Γαλλικά ,
οπότε το ενδεχόμενο : $\displaystyle{A \cup {\rm{\Gamma }}}$ είναι ο μαθητής να παρακολουθεί μαθήματα τουλάχιστον μιας από τις δύο γλώσσες .
Δίνεται ότι
$\displaystyle{{\rm P}(\Gamma ') = 0,8 \Rightarrow {\rm P}(\Gamma ) = 1 - {\rm P}(\Gamma ') = 1 - 0,8 = 0,2}$ και $\displaystyle{{\rm P}({\rm A}) = 4{\rm P}(\Gamma ) = 4 \cdot 0,2 = 0,8}$
Ακόμα $\displaystyle{{\rm P}(A \cup {\rm{\Gamma ) = 0}}{\rm{,9}}}$
ι ) Ζητούμε την πιθανότητα
$\displaystyle{{\rm P}({\rm A} \cap \Gamma ) = {\rm P}({\rm A}) + {\rm P}(\Gamma ) - {\rm P}({\rm A} \cup \Gamma ) = 0,8 + 0,2 - 0,9 = 0,1}$
ιι) Ζητούμε την πιθανότητα $\displaystyle{{\rm P}\left[ {({\rm A} - \Gamma ) \cup (\Gamma - {\rm A})} \right]}$ και επειδή τα ενδεχόμενα $\displaystyle{{\rm A} - \Gamma ,\Gamma - {\rm A}}$ είναι ασυμβίβαστα , έχουμε :
$\displaystyle{\begin{array}{l} {\rm P}\left[ {({\rm A} - \Gamma ) \cup (\Gamma - {\rm A})} \right] = {\rm P}(\Gamma - {\rm A}) + {\rm P}({\rm A} - \Gamma ) = {\rm P}(\Gamma ) - {\rm P}({\rm A} \cap \Gamma ) + {\rm P}({\rm A}) - {\rm P}({\rm A} \cap \Gamma ) = \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 0,2 + 0,8 - 2 \cdot 0,1 = 0,8 \\ \end{array}}$
β) Είναι : $\displaystyle{{\rm P}({\rm A} - \Gamma ) = {\rm P}({\rm A}) - {\rm P}({\rm A} \cap \Gamma ) = 0,8 - 0,1 = 0,7}$
και $\displaystyle{{\rm P}({\rm A} - \Gamma ) = \frac{{{\rm N}({\rm A} - \Gamma )}}{{{\rm N}(\Omega )}} \Leftrightarrow 0,7 = \frac{{14}}{{{\rm N}(\Omega )}} \Leftrightarrow {\rm N}(\Omega ) = \frac{{14}}{{0,7}} = 20}$

#148

GI_A_ALG_4_1874

Δίνεται η εξίσωση: $\displaystyle{{x^2} - 2(\lambda - 1)x + {\rm{\lambda + 5 = 0}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}$ , με παράμετρο $\displaystyle{{\rm{\lambda }} \in R}$ .
α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης $\displaystyle{\,\,{\rm{(1)}}}$ είναι: $\displaystyle{\,\,\,\,{\rm{\Delta = 4}}{{\rm{\lambda }}^2} - 12\lambda - 16\,\,}$
β) Να βρείτε τις τιμές του $\displaystyle{{\rm{\lambda }} \in R}$ , ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.
γ) Αν η εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς $\displaystyle{\,{x_1},{x_2}\,\,}$ και $\displaystyle{\,\,\,\,d({x_1},{x_2})}$ είναι η απόσταση των $\displaystyle{\,{x_1},{x_2}\,\,}$ στον άξονα των πραγματικών αριθμών, να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει: $\displaystyle{d({x_1},{x_2}) = \sqrt {24} }$

Λύση

α) Είναι : $\displaystyle{{\rm{\Delta = 4(\lambda - 1}}{{\rm{)}}^2} - 4(\lambda + 5) = 4{\lambda ^2} - 8\lambda + 4 - 4\lambda - 20 = 4{\lambda ^2} - 12\lambda - 16}$
β) Η εξίσωση θα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες αν και μόνο αν :
$\displaystyle{{\rm{\Delta > 0}} \Leftrightarrow 4{\lambda ^2} - 12\lambda - 16 > 0 \Leftrightarrow {\lambda ^2} - 3\lambda - 4 > 0}$ .
Το τριώνυμο $\displaystyle{\,\,{\lambda ^2} - 3\lambda - 4\,\,\,\,\,\,\,}$ έχει : $\displaystyle{\Delta ' = 25}$ , ρίζες τις $\displaystyle{{{\rm{\lambda }}_1} = - 1,\,\,\,\,{\lambda _2} = 4}$ και $\displaystyle{{\rm{\alpha = 1 > 0}}}$ .
Επομένως : $\displaystyle{{\rm{\Delta > }}\,\,{\rm{0}} \Leftrightarrow {\lambda ^2} - 3\lambda - 4 > 0 \Leftrightarrow \lambda < - 1\,\,\,\,\,\,\lambda > 4}$

γ) Εφόσον η εξίσωση έχει δυο ρίζες , έχουμε ότι : $\displaystyle{\lambda < - 1\,}$ ή $\displaystyle{\,\,\,\lambda > 4}$ . Τότε :
$\displaystyle{\begin{array}{l} d({x_1},{x_2}) = \sqrt {24} \Leftrightarrow \,\,|{x_1} - {x_2}| = \sqrt {24} \Leftrightarrow {({x_1} - {x_2})^2} = 24 \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_2}{x_1} + x_2^2 = 24 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_2}{x_1} - 2{x_2}{x_1} = 24 \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_2}{x_1} = 24\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \\ \end{array}}$

Από τους τύπους Vieta και από την $\displaystyle{(1)}$ έχουμε ότι :
$\displaystyle{{x_1} + {x_2} = S = 2({\rm{\lambda - 1)}}{\rm{,}}\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = P = {\rm{\lambda }} + 5}$ , οπότε η $\displaystyle{\,\,\,(2)\,\,\,}$ γίνεται :

$\displaystyle{\begin{array}{l} 4{(\lambda - 1)^2} - 4(\lambda + 5) = 24 \Leftrightarrow 4{\lambda ^2} - 8\lambda + 4 - 4\lambda - 20 = 24 \Leftrightarrow 4{\lambda ^2} - 12\lambda - 40 = 0 \Leftrightarrow \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\lambda ^2} - 3\lambda - 10 = 0 \Leftrightarrow \lambda = - 2\,\,\, \vee \,\,\lambda = 5 \\ \end{array}}$
Οι ρίζες αυτές είναι και οι δύο δεκτές .

Εdit : Μετά την παρέμβαση του Stopjohn (παρακάτω στην ίδια σελίδα ) και μόνο για να καλύψω την παράλειψη του θεματοδότη συμπληρώνω το (γ) ερώτημα :

Στην περίπτωση που οι ρίζες είναι ίσες τότε $\displaystyle{d({x_1},{x_2}) = 0 \ne \sqrt {24} ,}$ άτοπο.
Επίσης $\displaystyle{{x_1} = {x_2} \Leftrightarrow {\rm{\Delta = 0}} \Leftrightarrow \lambda = - 1 \vee \lambda = 4}$
Επομένως οι τιμές που βρέθηκαν στο (γ) ερώτημα εξακολουθούν να είναι δεκτές .
ΥΓ : Όπως λέει κι ο Γιάννης παρακάτω , δεν απαιτούμε τέτοια διερεύνηση από τους μαθητές

#149

GI_A_ALG_4_1880

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ , με $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,f(x) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }}}$
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $\displaystyle{\,\,\,\,f}$ .
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες.
γ) Αν είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τους άξονες $\displaystyle{\,\,\,x'x,y'y}$ αντίστοιχα,
να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από τα $\displaystyle{\,\,\,A,B}$

Λύση

α) Η $\displaystyle{\,\,\,f}$ ορίζεται αν και μόνο αν : $\displaystyle{9 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow {x^2} < 9 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2}} < \sqrt 9 \Leftrightarrow |x| < 3 \Leftrightarrow - 3 < x < 3}$ ,
επομένως είναι : $\displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,\,{A_f} = ( - 3,3)}$

β) Για $\displaystyle{\,\,\,x = 0}$ , είναι $\displaystyle{\,\,\,f(0) = \frac{{0 + 2}}{{\sqrt {9 - 0} }} = \frac{2}{3}}$ , επομένως τέμνει τον $\displaystyle{y'y}$ στο $\displaystyle{B\left( {0,\frac{2}{3}} \right)}$
Για $\displaystyle{y = 0}$ , είναι $\displaystyle{0 = \frac{{x + 2}}{{\sqrt {9 - {x^2}} }} \Leftrightarrow x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2}$ , επομένως τέμνει τον $\displaystyle{x'x}$ στο $\displaystyle{A\left( { - 2,0} \right)}$

γ) Έστω $\displaystyle{y = kx + m}$ η εξίσωση της ευθείας (ε) . Τα σημεία $\displaystyle{A,B}$ , ανήκουν στην ευθεία , οπότε αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες τους σχηματίζουμε το σύστημα :
$\displaystyle{\left. \begin{array}{l} 0 = k( - 2) + m \\ \frac{2}{3} = k \cdot 0 + m \\ \end{array} \right\} \Leftrightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {2k = \frac{2}{3}} \\ {m = \frac{2}{3}} \\ \end{array}} \right\} \Leftrightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {k = \frac{1}{3}} \\ {m = \frac{2}{3}} \\ \end{array}} \right\}}$
Επομένως είναι η $\displaystyle{({\rm{\varepsilon }}):y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}$

pap65 · #150

Άσκηση 4542

α) Να λύσετε την ανίσωση: $\displaystyle{{{x}^{2}}<x}$ στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.
(Μονάδες 8)
β) Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός $\alpha$ με $\displaystyle{0<\alpha <1.}$

i) Να βάλετε στη σειρά, από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο και να τοποθετήσετε
πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών, τους αριθμούς:
$\displaystyle{0,\text{ }1,\,\alpha ,\,{{\alpha }^{2}},\,\sqrt{a}}$ Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας με τη βοήθεια και του ερωτήματος α). (Mονάδες 10)

ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα: $\displaystyle{\sqrt{1+a}<1+\sqrt{a}}$ (Mονάδες 7)

Λύση
α) $\displaystyle{{{x}^{2}}<x\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x<0}$ (1)

θα βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle{{{x}^{2}}-x=0\Leftrightarrow \chi \left( \chi -1 \right)=0\Leftrightarrow \chi =0\text{ }\chi =1}$
Όταν έχουμε ανίσωση 2ου βαθμού κάνουμε το πινακάκι:

: 4542.png (2.25 KiB) Προβλήθηκε 3764 φορές

Άρα η (1) $\Leftrightarrow 0<\chi <1$ .

β) i. Από το α) αφού $\displaystyle{0<\alpha <1\Leftrightarrow {{\alpha }^{2}}<\alpha }$

Σύμφωνα με εφαρμογή του βιβλίου

$\displaystyle{0<{{\alpha }^{2}}<\alpha \Leftrightarrow \sqrt{{{\alpha }^{2}}}<\sqrt{\alpha }\Leftrightarrow \left| \alpha \right|<\sqrt{\alpha }}$ ( και αφού $\alpha >0$ ) $\Leftrightarrow \alpha <\sqrt{\alpha }$

Επίσης $\displaystyle{0<\alpha <1\Leftrightarrow \sqrt{\alpha }<\sqrt{1}\Leftrightarrow \sqrt{\alpha }<1}$
Επομένως $\displaystyle{0<{{\alpha }^{2}}<\alpha <\sqrt{\alpha }<1}$

ii. Αφού $\displaystyle{\sqrt{1+a},\quad 1+\sqrt{a}}$ θετικοί αριθμοί

$\displaystyle{\sqrt{1+a}<1+\sqrt{a}\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{{\left( \sqrt{1+a} \right)}^{2}}<{{\left( 1+\sqrt{a} \right)}^{2}}\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{1+a<1+2\cdot 1\cdot \sqrt{\alpha }+{{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{0<2\sqrt{\alpha }}$ που ισχύει για κάθε $\alpha >0$ .

Άσκηση 4545

Δίνεται η συνάρτηση $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-5\left| x \right|+6}{\left| x \right|-3}$
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης

. (Μονάδες 6)
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε $\displaystyle{x\in A}$ ισχύει: $\displaystyle{f\left( x \right)=\left| x \right|-2}$ (Μονάδες 9)
γ) Για $\displaystyle{x\in A}$ , να λύσετε την εξίσωση: $\displaystyle{{{\left( f\left( x \right)+2 \right)}^{2}}-4f\left( x \right)-5=0~}$
(Μονάδες 10)

Λύση
α) Θα πρέπει $\left| x \right|-3\ne 0\Leftrightarrow \left| x \right|\ne 3\Leftrightarrow x\ne \pm 3$

Αρα το πεδίο ορισμού $A=\mathbb{R}-\left\{ -3,+3 \right\}$

β) $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-5\left| x \right|+6}{\left| x \right|-3}\Leftrightarrow \frac{{{\left| x \right|}^{2}}-5\left| x \right|+6}{\left| x \right|-3}$

Αν στον αριθμητή θέσουμε $\left| x \right|=\omega$ τότε προκύπτει το τριώνυμο ${{\omega }^{2}}-5\omega +6$
με $\Delta ={{\left( -5 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 6=1$ και ρίζες που δίνονται από τον τύπο $\omega =\frac{-\left( -5 \right)\pm \sqrt{1}}{2\cdot 1}=\frac{5\pm 1}{2}=3\text{ }\mathrm{2}$

Άρα ${{\omega }^{2}}-5\omega +6=\left( \omega -3 \right)\left( \omega -2 \right)\overset{\left| x \right|=\omega }{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\left( \left| x \right|-3 \right)\left( \left| x \right|-2 \right)$

Επομένως $f\left( x \right)=\frac{\left( \left| x \right|-3 \right)\left( \left| x \right|-2 \right)}{\left| x \right|-3}=\left| x \right|-2$

Η εξίσωση $\displaystyle{{{\left( f\left( x \right)+2 \right)}^{2}}-4f\left( x \right)-5=0~}$ με την βοήθεια της σχέσης $\displaystyle{f\left( x \right)=\left| x \right|-2}$ γράφεται

$\displaystyle{{{\left( \left| x \right|-2+2 \right)}^{2}}-4\left( \left| x \right|-2 \right)-5=0\Leftrightarrow ~{{\left| \chi \right|}^{2}}-4\left| \chi \right|+3=0}$

Αν θέσουμε $\left| x \right|=\omega$ τότε προκύπτει η εξίσωση ${{\omega }^{2}}-4\omega +3=0$
με $\Delta ={{\left( -4 \right)}^{2}}-4\cdot 1\cdot 3=4$ και ρίζες που δίνονται από τον τύπο $\omega =\frac{-\left( -4 \right)\pm \sqrt{4}}{2\cdot 1}=\frac{4\pm 2}{2}=3\text{ 1}$

Επομένως $\left| x \right|=3$ ( που απορρίπτεται λόγω του πεδίου ορισμού της

)

ή $\left| x \right|=1\Leftrightarrow x=\pm 1$ που αποτελούν τις ρίζες της εξίσωσης.

pap65 · #151

Άσκηση491

Δίνονται οι ανισώσεις: $\displaystyle{3x-1<x+9}$ και $2-\frac{x}{2}\le x+\frac{1}{2}$

α) Να βρείτε τις λύσεις τους. (Μονάδες 15)
β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων. (Μονάδες 10)

Λύση
α) • $\displaystyle{3x-1<x+9\Leftrightarrow 3x-x<9+1\Leftrightarrow 2x<10\Leftrightarrow x<5}$

• $\displaystyle{2-\frac{x}{2}\le x+\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2\cdot 2-2\cdot \frac{x}{2}\le 2\cdot x+2\cdot \frac{1}{2}\Leftrightarrow 4-x\le 2x+1\Leftrightarrow }$
$\displaystyle{4-1\le 2x+x\Leftrightarrow 3\le 3x\Leftrightarrow x\ge 1}$

β) Άρα οι κοινές τους λύσεις είναι $1\le x<5$ ή $x\in \left[ 1,5 \right)$ .

Άσκηση 492

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( x \right)={{x}^{2}}+2\text{ }x-15,\text{ }x\in \mathbb{R}}$ .
α) Να υπολογίσετε το άθροισμα $\displaystyle{f\text{ }\left( -1 \right)+f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)}$ . (Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της

με τους άξονες.
(Μονάδες 15)

Λύση

α) $\displaystyle{f\text{ }\left( -1 \right)+f\left( 0 \right)+f\left( 1 \right)=\left[ {{\left( -1 \right)}^{2}}+2\left( -1 \right)-15 \right]+\left[ {{0}^{2}}+2\cdot 0-15 \right]+\left[ {{1}^{2}}+2\cdot 1-15 \right]} =\left$ $\left[ 1+2\left( -1 \right)-15 \right]+\left( -15 \right)+\left[ 1+2\cdot 1-15 \right]\ =\left( 1-2-15 \right)-15+\left( 1+2-15 \right)=$
-14-15-12=-41

Για να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της

με τον άξονα {y}'y

βάζουμε όπου x=0

.
$f\left( 0 \right)={{0}^{2}}+2\cdot 0-15=-15$

Επομένως το κοινό σημείο είναι το $\left( 0,-15 \right)$

Για να βρούμε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της

με τον άξονα {x}'x

βάζουμε όπου $y=f\left( x \right)=0$ δηλαδή:

$\displaystyle{{{x}^{2}}+2\text{ }x-15=0\Leftrightarrow x=-5\text{ }\chi =3}$

αφού $\displaystyle{\mathrm{ }\!\!\Delta\!\!\text{ =}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}-\mathrm{4}\cdot \mathrm{1}\cdot \left( -15 \right)=64}$

και οι ρίζες $\displaystyle{x=\frac{-2\pm \sqrt{64}}{2\cdot 1}=\frac{-2\pm 8}{2}=\left\{ \begin{matrix} \frac{-2+8}{2}=3 \\ \frac{-2-8}{2}=-5 \\ \end{matrix} \right.}$ ,

Επμένως τα κοινά σημεία είναι τα $\left( 3,0 \right)$ και $\left( -5,0 \right)$

Άσκηση 493

α) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{|\text{ }x-2\text{ }|=\sqrt{3}}$ . (Μονάδες 10)
β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α)
ερωτήματος. (Μονάδες 15)

Λύση

α) $\displaystyle{|\text{ }x-2\text{ }|=\sqrt{3}\Leftrightarrow \chi -2=\sqrt{3}\text{ }\chi -2=-\sqrt{3}\Leftrightarrow \chi =2+\sqrt{3}\text{ }\chi =2-\sqrt{3}}$

β) Για να βρούμε μια δευτεροβάβμια αεξίσωση ενώ ξέρουμε τις ρίζες της χρησιμοποιούμε τον τύπο ${{\chi }^{2}}-S\chi +P=0$

όπου $S={{\chi }_{1}}+{{\chi }_{2}}=2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}=4$

και $P={{\chi }_{1}}\cdot {{\chi }_{2}}=\left( 2-\sqrt{3} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)={{2}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}=4-3=1$

Άρα ${{\chi }^{2}}-S\chi +P=0\Rightarrow {{\chi }^{2}}-4\chi +1=0$ .

Άσκηση 494

Οι διαστάσεις (σε m) του πατώματος του εργαστήριου της πληροφορικής ενός
σχολείου είναι $\displaystyle{\left( \chi +1 \right)}$ και $\chi$ , με $\displaystyle{\chi >0}$ .
α) Να γράψετε με τη βοήθεια του $\chi$ την περίμετρο και το εμβαδόν του πατώματος. (Μονάδες 10)
β) Αν το εμβαδόν του πατώματος του εργαστηρίου είναι $\displaystyle{90{{m}^{2}}}$ , να βρείτε τις
διαστάσεις του. (Μονάδες 15)

Λύση

Προφανώς το πάτωμα του εργαστηρίου είναι Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο.
α) Η περίμετρος $\Pi =2\left( \chi +1 \right)+2\chi =4\chi +2,\quad \chi >0$
Το Εμβαδόν: Ε $=\chi \left( \chi +1 \right)={{\chi }^{2}}+\chi ,\quad \chi >0$

β) Ε $=90\Leftrightarrow {{\chi }^{2}}+\chi =90\Leftrightarrow {{\chi }^{2}}+\chi -90=0\Leftrightarrow \chi =9\text{ }$ ή $\text{ }\chi =-10$

αφού $\displaystyle{\mathrm{ }\!\!\Delta\!\!\text{ =}{{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}- \mathrm{4}\cdot \mathrm{1}\cdot \left( -90 \right)=361}$ και ρίζες $\displaystyle{x=\frac{-1\pm \sqrt{361}}{2\cdot 1}=\frac{-1\pm 19}{2}=\left\{ \begin{matrix} \frac{-1+19}{2}=9 \\ \frac{-1-19}{2}=-10 \\ \end{matrix} \right.}$ ,

Όμως $\chi >0$ άρα $\chi =9$ . Επομένως διαστάσεις του πατώματος του εργαστηρίου είναι $\displaystyle{9~}$ και $\displaystyle{\text{ }10}$ .

mathxl · #152

Άσκηση 485
Δίνεται η εξίσωση $\displaystyle{\lambda \cdot x = x + {\lambda ^2} - 1}$ , με παράμετρο $\lambda \in R$ .

α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:
$\displaystyle{(\lambda - 1)x = (\lambda - 1)\left( {\lambda + 1} \right),\lambda \in R}$ (Μονάδες 8)
β) Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε. (Μονάδες 8)
γ) Για ποια τιμή του η παραπάνω εξίσωση είναι ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ
α)
$\displaystyle{\lambda \cdot x = x + {\lambda ^2} - 1 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\lambda \cdot x - x = {\lambda ^2} - 1 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{\left( {\lambda - 1} \right)x = \left( {\lambda - 1} \right)\left( {\lambda + 1} \right),\lambda \in R:\left( 1 \right)}$
β)
Για να έχει η εξίσωση (1)

ακριβώς μία λύση πρέπει και αρκεί: $\lambda - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \lambda \ne 1$

Για την μοναδική λύση, έχουμε: $\displaystyle{\frac{{(\lambda - 1)x}}{{\lambda - 1}} = \frac{{(\lambda - 1)\left( {\lambda + 1} \right)}}{{\lambda - 1}} \Leftrightarrow x = \lambda + 1}$
γ) Για να είναι η εξίσωση (1)

ταυτότητα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών πρέπει και αρκεί :
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda - 1 = 0}\\ {\left( {\lambda - 1} \right)\left( {\lambda + 1} \right) = 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda = 1}\\ {\lambda = 1{\rm{ }}\lambda = - 1} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \lambda = 1$

mathxl · #153

Άσκηση 486
Αν $0 < \alpha < 1$ , τότε
α) να αποδείξετε ότι: ${\alpha ^3} < \alpha$ (Μονάδες 13)
β) να διατάξετε από το μικρότερο προς το μεγαλύτερο τους αριθμούς : $0,{\alpha ^3},1,\alpha ,\frac{1}{\alpha }$
(Μονάδες 12)
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ

α) Είναι $0 < \alpha < 1 \Rightarrow \alpha < 1\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha > 0} \alpha \cdot \alpha < \alpha \cdot 1 \Rightarrow {\alpha ^2} < \alpha$
Άρα: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha ^2} < \alpha }\\ {\kappa \alpha \iota }\\ {\alpha < 1} \end{array}} \right.\mathop \Rightarrow \limits_{\theta \varepsilon \tau \iota \kappa \alpha }^{\mu \varepsilon \lambda \eta } {\alpha ^2} \cdot \alpha < \alpha \cdot 1 \Rightarrow {\alpha ^3} < \alpha$
β) Είναι $0 < \alpha$ άρα $0 < {\alpha ^3}$ και από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι ${\alpha ^3} < \alpha$ , επομένως $0 < {\alpha ^3} < \alpha$ . Από την υπόθεση ισχύει $\alpha < 1$ και τα μέλη της ανισότητας είναι θετικά, άρα $\frac{1}{\alpha } > 1$ .
Συνεπώς: $0 < {\alpha ^3} < \alpha < 1 < \frac{1}{\alpha }$

mathxl · #154

Άσκηση 487

α) Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x,y

ισχύει:
${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = {x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 10$ (Μονάδες 12)
β) Να βρείτε τους αριθμούς x,y

ώστε: ${x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 10 = 0$ (Μονάδες 13)

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ
α) Για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x,y

έχουμε:
${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} =$

${x^2} - 2 \cdot x \cdot 1 + {1^2} + {y^2} + 2 \cdot y \cdot 3 + {3^2} =$

${x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 10$

β) Είναι

${x^2} + {y^2} - 2x + 6y + 10 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( \alpha \right)}$

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow$

$x - 1 = 0{\rm{ \kappa \alpha \iota }}y + 3 = 0 \Leftrightarrow$

$x = 1{\rm{ \kappa \alpha \iota }}y = - 3$

STOPJOHN · #155

Kαλησπέρα σε όλους
Το ΘΕΜΑ 1874

που κληρώθηκε σήμερα στο σχολείο μου μας δημιουργησε μια απορία στη λύση στο τελευταίο ερώτημα :
Χρειάζεται η μελέτη της απόστασης των ριζών όταν είναι ίσες ; Δηλαδή μηδενική απόσταση ; εννοείται ότι οι ρίζες μπορεί να είναι άνισες η να είναι ίσες

Γιάννης
ΥΓ Η λύση έχει γραφτεί παραπάνω χωρίς διερεύνηση......

Christos.N · #156

STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα σε όλους
Το ΘΕΜΑ που κληρώθηκε σήμερα στο σχολείο μου μας δημιουργησε μια απορία στη λύση στο τελευταίο ερώτημα :
Χρειάζεται η μελέτη της απόστασης των ριζών όταν είναι ίσες ; Δηλαδή μηδενική απόσταση ; εννοείται ότι οι ρίζες μπορεί να είναι άνισες η να είναι ίσες

Γιάννης
ΥΓ Η λύση έχει γραφτεί παραπάνω χωρίς διερεύνηση......

Αφού ορίζεται ξεκάθαρα ότι οι ρίζες είναι άνισες, η απόσταση είναι μη μηδενική.

STOPJOHN · #157

ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΞΕΚΑΘΑΡΟ ΔΗΛΑΔΉ Ο ΣΥΣΧΕΤΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΕΡΩΤΗΜΑΤΩΝ
Γιάννης

Christos.N · #158

exdx έγραψε:GI_A_ALG_4_1874

γ) Αν η εξίσωση έχει ρίζες τους αριθμούς $\displaystyle{\,{x_1},{x_2}\,\,}$ και $\displaystyle{\,\,\,\,d({x_1},{x_2})}$ είναι η απόσταση των $\displaystyle{\,{x_1},{x_2}\,\,}$ στον άξονα των πραγματικών αριθμών, να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει: $\displaystyle{d({x_1},{x_2}) = \sqrt {24} }$

Αφού το ερώτημα υποθέτει ξεκάθαρα ότι $\displaystyle{d({x_1},{x_2}) = \sqrt {24} }$ , προφανώς αν είχαμε μια ρίζα διπλή δεν καλύπτεται η υπόθεση του ερωτήματος και απορρίπτεται ως λύση, αφού έχουμε μη μηδενική απόσταση.

Εννοείς ότι πρέπει να γίνει διερεύνηση για να απορριφθεί η περίπτωση αυτή;

#159

Εύλογη η απορία σου (και δική μου)
Υπέθεσα ότι είναι άνισες λόγω του προηγούμενου ερωτήματος
Πιστεύω ότι είναι άλλη μια ασάφεια - παράλειψη του θεματοδότη
Θα το δώ πάλι .

STOPJOHN · #160

Εννοώ για τη διερεύνηση και δεν είχαμε την απαίτηση οι μαθητές να το μελετήσουν
Γιάννης

Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μέλη σε σύνδεση