Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Kostas Tzimoulias · #121

τα αρχεία έγω τα κατέβασα στον υπολογιστή μου ίσως έχουν αλλαχτεί κάποια νούμερα ασκήσεω γι αυτό αυτή η 2082 που λέω φένεται κανονική δεν ξέρω τι έγινε

geogeorgia26 · #122

Υπάρχει μήπως λυμένο το 4ο θέμα αριθμός 6224?

#123

geogeorgia26 έγραψε:Υπάρχει μήπως λυμένο το 4ο θέμα αριθμός 6224?

Άλγεβρα 6224

Οι πλευρές ${x_1},{x_2}$ ενός ορθογωνίου είναι οι ρίζες της εξίσωσης :

${x^2} - 4(\lambda + \dfrac{1}{\lambda })x + 16 = 0\,\,,\lambda \in (0,4)$

α) Να βρείτε :

1. την περίμετρο $\Pi$ του ορθογωνίου συναρτήσει του $\lambda$ (μ 6)

2. Το εμβαδόν

του ορθογωνίου. (μ 6)

β) Να αποδείξετε ότι $\Pi \geqslant 16$ , για κάθε $\lambda \in (0,4)$ (μ 7)

γ) Για ποια τιμή του $\lambda$ η περίμετρος $\Pi$ του ορθογωνίου γίνεται ελάχιστη , δηλαδή ίση με

; τι μπορείτε να πείτε τότε για το ορθογώνιο ; (μ 6)

Λύση

Πρώτα-πρώτα ελέγχουμε αν οι ρίζες της εξίσωσης είναι θετικές , αφού είναι μήκη πλευρών ορθογωνίου.

Πρέπει η διακρίνουσα , $\Delta = 16{(\lambda + \dfrac{1}{\lambda })^2} - 64 \geqslant 0$ .
Η προηγούμενη σχέση δίδει ισοδύναμα: ${(\lambda + \dfrac{1}{\lambda })^2} - 4 \geqslant 0 \Leftrightarrow (\lambda + \dfrac{1}{\lambda } + 2)(\lambda + \dfrac{1}{\lambda } - 2) \geqslant 0\,\,\,\,(1)$

Όμως για κάθε $\lambda > 0$ , άρα και για $\lambda \in (0,4)$ η παράσταση: $(\lambda + \dfrac{1}{\lambda } + 2) > 0\,\,$

και για κάθε $\lambda > 0$ , άρα και για $\lambda \in (0,4)$ $\lambda + \dfrac{1}{\lambda } \geqslant 2\,$ (γνωστή εφαρμογή) και άρα $\lambda + \dfrac{1}{\lambda } - 2 \geqslant 0$ , οπότε η (1)

αληθής .

Μετά απ’ αυτά: Από τους τύπους του Vieta

έχουμε: ${x_1} + {x_2} = 4(\lambda + \dfrac{1}{\lambda })\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{x_1}{x_2} = 16$ . Συνεπώς :
i) $\boxed{\Pi (\lambda ) = 8(\lambda + \dfrac{1}{\lambda })\,\,}\,$
και

ii) $\,\boxed{E = 16}$

β) Επειδή $\Pi (\lambda ) \geqslant 16 \Leftrightarrow \,8(\lambda + \dfrac{1}{\lambda })\, \geqslant 16 \Leftrightarrow \lambda + \dfrac{1}{\lambda }\, \geqslant 2$ (αληθής) το ζητούμενο έχει δειχθεί.

( Πιο αναλυτικά αλλά νομίζω δεν μπορούμε να το απαιτήσουμε αναγκαστικά)

$\lambda + \dfrac{1}{\lambda }\, \geqslant 2 \Leftrightarrow \dfrac{{{\lambda ^2} - 2\lambda + 1}}{\lambda } \geqslant 0 \Leftrightarrow \boxed{\dfrac{{{{(\lambda - 1)}^2}}}{\lambda } \geqslant 0}$ που ισχύει για κάθε $\lambda \in (0,4)$ με το ίσον να ισχύει για $\boxed{\lambda = 1}$

γ) Σύμφωνα με τα παραπάνω για $\lambda = 1$ έχουμε την ελάχιστη περίμετρο δηλαδή $\Pi = 16$ , τότε δε ${x_1} = {x_2} = \dfrac{{4(1 + 1)}}{2} = 4$ ( διπλή ρίζα) και το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο.

Νίκος

Δημήτρης Γιαννουσόπ · #124

Καλησπέρα. Στο θέμα 2064 μήπως στο ερώτημα β) η σωστή ερώτηση είναι: "να είναι γυναίκα ή να παίζει σκάκι;" Αλλιώς δεν βγάζει νόημα η ερώτηση.

Θανάσης Νικολόπουλος · #125

Αναρωτιέμαι αν κολλήσαμε...

Δεν υπάρχει νέα δημοσίευση εδώ και καμπόσες ώρες (μιάμιση μέρα αν είδα καλά...) Σταμάτησε η επίλυση ασκήσεων ή καταφέραμε και τις καθαρίσαμε τόσο σύντομα;

Υπάρχουν νεότερα από το τι υλικό συγκεντρώθηκε και τί γίνεται από δω και πέρα;

#126

Όσα θέματα συζητήθηκαν βρίσκονται

στην Άλγεβρα-Τράπεζα θεμάτων

στα Ευρετήρια θεμάτων mathematica.gr.

Θα ανανεωθεί...

perpant · #127

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Μέχρι τώρα έχουμε
ΓΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

mathxl 481-499 και η 1015
gavrilos 7677-8458
Christos.N 503 - 938
Κατσίπης 944 - 1005
Τηλέγραφος 1007-1057 (να μην λυθεί η 1015)
perpant 1062 - 1088
Στόγιας 1089 - 1101
panosG 1102- 1287
exdx 1288-1509
Χασάπης 1521 - 1533
Καναβής 2212 - 3828
Νικολόπουλος 3859 - 4299
Παγώνης 4295 – 4308
sifis 4308 – 8173
mg2002 473-480
Πρωτοπαπάς 1868 - 2055
Ιωάννου 2064 – 2229
ji2mada 2006 2234 – 2313
Μανιατοπούλου 2323 -4551
Valaranko 4558- 4660
Κουτσούδης 4663-4819
Λαζαρίδης 4828-4861
Παγώνης (β δόση) 4862-4965
Συγκελάκης 4970 – 5882
panpdop 6227 -7504
Νικολόπουλος (β δόση ) 7506-7522 και 10774, 10775
Λιναρδάτος 7552-7974
Θάνος 4679-4681
Φανέλη 5884-6146
Στεργίου 6148 -6226

Καλησπέρα στην παρέα.
Σε συνενόηση με το Σπύρο, ανέλαβα τη συγκέντρωση και μορφοποίηση για όλα τα δεύτερα θέματα. Θα παρακαλέσω όλους τους συναδέλφους που έχουν αναλάβει δεύτερα θέματα και δεν τα έχουν στείλει ακόμη στον Σπύρο, πλέον η αποστολή να γίνει σε μένα στο per_pant@yahoo.gr

Όσο πιο σύντομα τα στείλετε, τόσο πιο σύντομα θα είναι έτοιμα.
Ευχαριστώ σε όλους τους συμμετέχοντες.
Υ.Γ. Όσοι έχουν αναλάβει τέταρτα θέματα και δεν τα έχουν στείλει ακόμη, τα στέλνουν στον Σπύρο στο spyroskardamitsis@hotmail.com
Edit: Αν κάποιος δεν προλαβαίνει να ανταπεξέλθει, ας το δηλώσει για να αναλάβει κάποιος άλλος.

perpant · #128

Καλημέρα και επαναφορά για τους πρωϊνούς.

369 · #129

pana1333 έγραψε:Άσκηση 3380

α) Θα λύσουμε την ανίσωση $f\left( x \right)\le 0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+9x-12\le 0$ .
Λύνουμε την εξίσωση $3{{x}^{2}}+9x-12=0\Leftrightarrow 3\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+3x-4=0$ . Είναι $\Delta ={{\beta }^{2}}-4\alpha \gamma =9-4\cdot 1\cdot \left( -4 \right)=25>0$ επομένως η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες τις ${{x}_{1,2}}=\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }=\frac{-3\pm 5}{2}$ , επομένως οι ρίζες είναι ${{x}_{1}}=1$ ή ${{x}_{2}}=-4$ . Το τριώνυμο για $\Delta >0$ είναι ομόσημο του $\alpha =3$ εντός των ριζών και ετερόσημο εκτός. Επομένως είναι $f\left( x \right)\le 0$ για κάθε $x\in \left( -\infty ,-4 \right]\cup \left[ 1,+\infty \right)$ .

σχημα2.png
β) Ο αριθμός $\sqrt[3]{2}$ είναι μεγαλύτερος της μονάδας διότι είναι άρα και $\sqrt[3]{2}>\sqrt[3]{1}=1$ . Επομένως ανήκει στην ένωση $\left( -\infty ,-4 \right]\cup \left[ 1,+\infty \right)$ άρα αποτελεί λύση της ανίσωσης.

pana1333 έχεις κάνει λάθος στο διάστημα αφού το πρόσημο είναι ετερόσημο του α εντός των ριζών και όχι ομόσημο.

geotsamp · #130

Νομίζω ότι η διατύπωση στο θεμα 6143 είναι τουλάχιστον ατυχής.
Λέει "... θα μου λείπει ένας μαθητής" και θα έπρεπε να λέει "... μου περισεύει ένας μαθήτης"
ώστε το πλήθος των μαθητών να έιναι 90 όπως ζητάει στο ερώτημα β.

#131

geotsamp έγραψε:Νομίζω ότι η διατύπωση στο θεμα 6143 είναι τουλάχιστον ατυχής.
Λέει "... θα μου λείπει ένας μαθητής" και θα έπρεπε να λέει "... μου περισεύει ένας μαθήτης"
ώστε το πλήθος των μαθητών να έιναι 90 όπως ζητάει στο ερώτημα β.

Καλησπέρα και καλώς ήλθες στο

.
Νομίζω ότι εδώ είναι σωστή η εκφώνηση:

4- 6143

Στην Α’ τάξη ενός Λυκείου της Καρδίτσας η σύμβουλος των μαθηματικών πρόκειται να πραγματοποιήσει μια δραστηριότητα. Επειδή όμως δεν γνωρίζει το πλήθος των μαθητών της τάξης, συμβουλεύεται το Γυμναστή του σχολείου, που στοιχίζει τους μαθητές για τις παρελάσεις και εκείνος της απαντά με ένα πρόβλημα:
«Μπορώ να τοποθετήσω όλους τους μαθητές σε

σειρές με

μαθητές σε κάθε σειρά.
Αν όμως θελήσω να τους τοποθετήσω σε x+3

σειρές με

μαθητές σε κάθε σειρά, θα μου λείπει ένας μαθητής».
α) Να βρείτε την τιμή του

(Μονάδες 6)
β) Να αποδείξετε η Α΄ τάξη έχει

μαθητές. (Μονάδες 6)
γ) Η σύμβουλος σκοπεύει να μοιράσει τους παραπάνω

μαθητές σε $\nu$ ομάδες εργασίας, ώστε στην πρώτη ομάδα να πάνε

μαθητές και σε κάθε επόμενη ομάδα να πηγαίνουν

παραπάνω κάθε φορά. Να βρείτε την τιμή του $\nu$ , δηλαδή πόσες ομάδες εργασίας θα δημιουργηθούν. (Μονάδες 13)

Λύση:

α) Οι μαθητές είναι . $x\left( {x - 1} \right)$ . ή $\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) - 1$ όπου $x \ge 3$ , ακέραιος.

Εξισώνοντας, έχουμε $x\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right) - 1 \Leftrightarrow {x^2} - x = {x^2} - 9 - 1 \Leftrightarrow x = 10$

β) Οπότε οι μαθητές είναι $9 \cdot 10 = 90$

Πράγματι, αν κάνει

σειρές θα έχει

μαθητές σε κάθε σειρά,

Αν θελήσει να κάνει

σειρές των

μαθητών, θα χρειαστεί

μαθητές, οπότε του λείπει ένας.

γ) Σχηματίζεται Αριθμητική Πρόοδος με ${\alpha _1} = 2,\;\omega = 2$
Ζητάμε την τιμή θετικού φυσικού αριθμού $\nu$ , ώστε ${S_\nu } = 90$
Είναι ${S_\nu } = 90 \Leftrightarrow \frac{\nu }{2}\left( {2 \cdot 2 + \left( {\nu - 1} \right) \cdot 2} \right) = 90 \Leftrightarrow ...\; \Leftrightarrow {\nu ^2} + \nu - 90 = 0 \Leftrightarrow \nu = 9$

Eδώ υπάρχει ένα άλλο (ας το πούμε) προβληματάκι με την εκφώνηση:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#132

Γιώργος Ρίζος έγραψε:...........

Στην Καρδίτσα έχουν άνδρα σύμβουλο Μαθηματικών[/b]. Οι Καρδιτσιώτες συνάδελφοι και οι σύνεδροι στο 30o Συνέδριο, το Νοέμβριο του 2013 μπορούν να το επιβεβαιώσουν!

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Προσπαθούμε να προβλέψουμε και το μέλλον, όχι να αποδώσουμε μόνο το παρόν !

Μπάμπης

makisman · #133

4_ 8445

Ζητήθηκε από το μέλος "ys1" και δε την βλέπω κάπου αναρτημένη.

ys1 έγραψε:Υπάρχουν οι λύσεις της 10775 και της 8445;;
σας ευχαριστώ πολύ
Γιάννης

Λύση :

α) Είναι
$\Delta =1$ και οι ρίζες της εξίσωσης $x_{1} = 1$ , $x_{2} = 2$ άρα
$x^{2}-3x+2>0$ , $x\in (-\infty,1)\bigcup{}(2,+\infty)$ και
$x^{2}-3x+2<0$ , $x\in (1,2)$

β) από το α. ερώτημα τα τριώνυμα $(a^{2}-3a+2), ( b^{2}-3b+2)$ ακολουθούν τα ίδια πρόσημα με αυτό του ερωτήματος α.

Είναι $(a^{2}-3a+2) ( b^{2}-3b+2) <0$ άρα

- αν $a^{2}-3a+2>0$ και $b^{2}-3b+2 <0$
τότε a<1

ή

και

,
προφανώς δεν μπορεί να είναι a>2

και

αφού

,
άρα a<1

και

,
οπότε (a-1)(b-2)>0

- αν $a^{2}-3a+2<0$ και $b^{2}-3b+2 >0$
τότε 1<a<2

και

ή

,
προφανώς δεν μπορεί να είναι 1<a<2

και

αφού

, άρα

και

,
οπότε (a-1)(b-2)>0

Σε κάθε περίπτωση είναι (a-1)(b-2)>0

άρα $\left| (a-1)(b-2)\right|=(a-1)(b-2)$

makisman · #134

4_ 10775

α) Έστω $(a_{n})$ η ακολουθία του πλήθους των καθισμάτων με $a_{1}=16 ,a_{7}=28$ και $a_{n}$ τα καθίσματα στην σειρά $n , 1\leq n \leq 20$

τότε για την τυχαία θέση

με $1\leq k \leq 19$ είναι $a_{k+1}=a_{k}+\omega$ , όπου $\omega$ ο αριθμός με τον οποίο αυξάνουν τα καθίσματα από σειρα σε σειρά.
συνεπώς η $(a_{n})$ είναι Α.Π. με πρώτο όρο $a_{1}=16$ και διαφορά $\omega$

τώρα, $a_{7}=28\Leftrightarrow a_{1}+6\omega =28\Leftrightarrow 16+6\omega =28\Leftrightarrow \omega =2$

β) γενικός όρος $a_{n} = a_{1}+(n-1) \omega \Leftrightarrow a_{n} = 16+(n-1) 2 \Leftrightarrow a_{n} =2n+14$

γ) σύνολο καθισμάτων $S_{20}=\frac{20[32+(20-1)2]}{2}=700$

δ) Με παρόμοιο τρόπο με το α) η ακολουθία των κενών καθισμάτων είναι Α.Π. με $b_{1}=3$ και $\omega =3$ , γενικό όρο $b_{n} = 3n +3$ , $1\leq n\leq 20$

i) όσο είναι $a_{n} \geq b_{n}$ τα καθίσματα της αντίστοιχης σειράς είναι περισσότερα ή ίσα από τα κενά της ίδιας σειράς ,
λύνωντας την ανίσωση έχω $2n+14 \geq 3n +3\Leftrightarrow n \leq 11$ άρα από την 11 εως την 20 είναι κενά καθίσματα.

ii) οι θεατές είναι όσoi

τα καθίσματα μέχρι τη 10η σειρά

-

τα άδεια καθίσματα εως την 10 σειρά

$= S_{10}-S'_{10}=\frac{10(16+34)}{2}-\frac{10(6+33)}{2}=55$

nikostz · #135

Μία ερώτηση ήθελα να κάνω το 7512 το (δ) δεν είνα εκτος διδακταιας ύλης επειδή αναφέρεται σε ακρότατα;

#136

Είναι εντός ύλης

Αξιοποιείς το (γ) ερώτημα

nikostz · #137

Ναι το ξέρω πως βγαινει εύκολο είναι απλα αναφέρεται σε μέγιστο εμβαδό για αυτό το αναφέρω που είναι από τα ακρότατα για την συνάρτηση

karas51 · #138

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:6227
α) Το τριώνυμο $\displaystyle{{x^2} - 5x - 6}$
έχει διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta = {( - 5)^2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 6) = 49}$
και ρίζες .
Συνεπώς: $\displaystyle{{x^2} - 5x - 6 < 0} \Leftrightarrow -1<x<6$ .
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση με $f(x)={x^2} - 5x - 6$ , οπότε $\displaystyle{K = f\left( { - \frac{{46}}{{47}}} \right)}$ .
Όμως $\displaystyle{ - \frac{{46}}{{47}} \in ( - 1,6)}$ και , για κάθε $x \in (-1, 6)$ ,
άρα .
γ) Έχουμε ότι $a \in (-6, 6) \Leftrightarrow |a| <6 \Rightarrow 0 \leq a < 6$ .
Επίσης $\displaystyle{{\Lambda = }{{\alpha }^2} - 5|{\alpha }| - 6{ = |\alpha }^2 - 5|{\alpha }| - 6 = f(|{\alpha }|) < 0}$ , αφού $\displaystyle{|{\alpha }| \in [0,6) \subseteq ( - 1,6)}$ .

Ο δαίμων του τυπογραφείου:
Έχουμε ότι $a \in (-6, 6) \Leftrightarrow |a| <6 \Rightarrow 0 \leq |a| < 6$ .
Επίσης $\displaystyle{{\Lambda = }{{\alpha }^2} - 5|{\alpha }| - 6{ = |\alpha| }^2 - 5|{\alpha }| - 6 = f(|{\alpha }|) < 0}$ , αφού $\displaystyle{|{\alpha }| \in [0,6) \subseteq ( - 1,6)}$ .

dimitra_gi · #139

Στο τέταρτο θέμα 7677 στο γ) υποερώτημα το μηδέν μπορεί να θεωρηθεί ως η μία λύση από τις 2 που ψάχνουμε ή η μοναδική περίπτωση είναι οι λύσεις 1 και 2;Επίσης μπορεί και σαν περίπτωση να υπάρχει διπλή λύση η 1 ή διπλή λύση η 2;

batmsup1 · #140

Ποιες ακέραιες λύσεις έχεις βρει απ την ανίσωση?

Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Re: Λύσεις τράπεζας θεμάτων άλγεβρας σε latex

Μέλη σε σύνδεση