ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#221

Τέλος

Christos.N · #222

3695

Έστω ΑΒΓ τρίγωνο και τα ύψη του ${\rm B}{\rm E}$ και $\Gamma \Delta$ που αντιστοιχούν στις πλευρές ${\rm A}\Gamma$ και ${\rm A}{\rm B}$
αντίστοιχα. Δίνεται η ακόλουθη πρόταση:
Π: Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με $\displaystyle{{\text{{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma }} }$ , τότε τα ύψη που αντιστοιχούν στις ίσες πλευρές του είναι ίσα.

α) Να εξετάσετε αν ισχύει η πρόταση Π αιτιολογώντας την απάντησή σας
(Μονάδες 10)
β) Να διατυπώσετε την αντίστροφη πρόταση της Π και να αποδείξετε ότι ισχύει.
(Μονάδες 10)
γ) Να διατυπώσετε την πρόταση Π και την αντίστροφή της ως ενιαία πρόταση.
(Μονάδες 5)

Απαντήσεις:

: Καταγραφή.PNG (10.1 KiB) Προβλήθηκε 22001 φορές

α) Αρκεί να δείξουμε ότι $\Gamma \Delta = {\rm B}{\rm E}$ . Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα ${\rm B}\Delta \Gamma$ και $\Gamma {\rm E}{\rm B}$ είναι ορθογώνια $\left( {\hat \Delta = \hat {\rm E} = 90^o } \right)$ έχουν την πλευρά ${\rm B}\Gamma$ κοινή και τις γωνίες $\hat {\rm B}$ και $\hat \Gamma$ ίσες (καθώς το ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ισοσκελές με βάση ${\rm B}\Gamma$ ), συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα -οξεία γωνία) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία τους ίσα, άρα $\Gamma \Delta = {\rm B}{\rm E}$ .

β) Πρόταση: Έστω ΑΒΓ τρίγωνο με βάση ${\rm B}\Gamma$ , αν τα ύψη του ${\rm B}{\rm E}$ και $\Gamma \Delta$ είναι ίσα μεταξύ τους τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.
Αρκεί να δείξουμε ότι οι γωνίες $\hat {\rm B}$ και $\hat \Gamma$ ίσες. Γνωρίζουμε ότι τα τρίγωνα ${\rm B}\Delta \Gamma$ και $\Gamma {\rm E}{\rm B}$ είναι ορθογώνια $\left( {\hat \Delta = \hat {\rm E} = 90^o } \right)$ έχουν την πλευρά ${\rm B}\Gamma$ κοινή και τις πλευρές ${\rm B}{\rm E}$ και $\Gamma \Delta$ ίσες, συνεπώς ικανοποιείται το κριτήριο ισότητας ορθογωνίων τριγώνων (υποτείνουσα -κάθετη πλευρά) άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Θα έχουν λοιπόν όλα τα στοιχεία τους ίσα, άρα και τις γωνίες $\hat {\rm B}$ και $\hat \Gamma$ ίσες μεταξύ τους.

γ) Μια διατύπωση: Από nik21 : "Ένα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν δύο από τα ύψη του είναι ίσα.".

VreAnt · #223

Άσκηση 4593
Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ και οι διάμεσοί του $A\Delta,BE$ και $\Gamma Z$ . Προεκτείνουμε το τμήμα

(προς το

) κατά τμήμα EH=ZE

.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο $EH\Delta B$ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8)
β) Η περίμετρος του τριγώνου $A\Delta H$ είναι ίση με το άθροισμα των διαμέσων του
τριγώνου $AB\Gamma$ . (Μονάδες 9)
γ) Οι ευθείες

και $\Delta H$ τριχοτομούν το τμήμα $Z\Gamma$ . (Μονάδες 8)
Λύση

: 4-4593.png (20.21 KiB) Προβλήθηκε 21933 φορές

α)Αφού $A\Delta,BE,\Gamma Z$ διάμεσοι του τριγώνου $AB\Gamma$ τότε $E,Z,\Delta$ μέσα των πλευρών του και

βαρύκεντρο. Άρα $GZ=\dfrac{1}{3}\cdot\Gamma Z\,\kappa \alpha \iota\,G\Gamma=\dfrac{2}{3}\cdot\Gamma Z \,\,(1)$
Αφού Z,E

μέσα $AB,A\Gamma$ αντίστοιχα, τότε από θεώρημα, $ZE\parallel=\dfrac{B\Gamma}{2}=\dfrac{\alpha}{2}$ .
Αλλά από υπόθεση ZE=EH

. Έτσι $EH \parallel= B \Delta \,\,(2)$ και

μέσο $ZH\,\,\, (3)$
Από (2)

το τετράπλευρο $EH\Delta B$ είναι παραλληλόγραμμο. Συνεπώς $\Delta H=BE=\mu_\beta\,\, (4)$

β) Λόγω (3) και

μέσο $A\Gamma$ τα $A\Gamma, ZH$ διχοτομούνται. Άρα $AH\Gamma Z$ είναι παραλληλόγραμμο. Επομένως $AH=\Gamma Z=\mu_\gamma\,\, (5)$ .
Από (4),(5)

το β) είναι προφανές.

γ)Στο τρίγωνο $BG\Gamma$ , $\Delta$ μέσο $B\Gamma$ και $\Delta\Theta\parallel BG$ (λόγω παραλληλογράμμου $EH\Delta B$ ).
Άρα $\Theta$ μέσο $G\Gamma$ . Τότε από $(1)\,\, GZ=G\Theta=\Theta\Gamma=\dfrac{1}{3}\cdot\Gamma Z$ .
Άρα, οι ευθείες

και $\Delta H$ τριχοτομούν το τμήμα $Z\Gamma$ .

Christos.N · #224

3697

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τα μέσα πλευρών ισοσκελούς τριγώνου είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)

β) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε ανάλογη πρόταση για
i. ισόπλευρο τρίγωνο. (Μονάδες 8)
ii. ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο. (Μονάδες 9)

Απαντήσεις:

α)

: Καταγραφή.PNG (10.65 KiB) Προβλήθηκε 21972 φορές

Υποθέτουμε ότι Δ,Ε,Ζ είναι τα μέσα του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) τότε:
$\displaystyle{ \left. \begin{gathered} {\rm E},{\rm Z}\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,{\rm A}\Gamma ,{\rm B}\Gamma \hfill \\ \Delta ,{\rm Z}\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \left. \begin{gathered} {\rm E}{\rm Z}// = \frac{{{\rm A}{\rm B}}} {2} \hfill \\ \Delta {\rm Z}// = \frac{{{\rm A}\Gamma }} {2} \hfill \\ \end{gathered} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^{{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma } {\rm E}{\rm Z} = \Delta {\rm Z} }$ ,άρα το ΔΖΕ είναι ισοσκελές.

β)

i. Υποθέτουμε ότι Δ,Ε,Ζ είναι τα μέσα του ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ τότε:

: Καταγραφή2.PNG (9.54 KiB) Προβλήθηκε 21972 φορές

$\displaystyle{ \left. \begin{gathered} {\rm E},{\rm Z}\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,{\rm A}\Gamma ,{\rm B}\Gamma \hfill \\ \Delta ,{\rm Z}\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,{\rm A}{\rm B},{\rm B}\Gamma \hfill \\ \Delta ,{\rm E}\,\mu \varepsilon \sigma \alpha \,{\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow \left. \begin{gathered} {\rm E}{\rm Z}// = \frac{{{\rm A}{\rm B}}} {2} \hfill \\ \Delta {\rm Z}// = \frac{{{\rm A}\Gamma }} {2} \hfill \\ \Delta {\rm E}// = \frac{{{\rm B}\Gamma }} {2} \hfill \\ \end{gathered} \right\}\mathop \Rightarrow \limits^{{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma = {\rm B}\Gamma } {\rm E}{\rm Z} = \Delta {\rm Z} = \Delta {\rm E}}$ , άρα το ΔΖΕ είναι ισόπλευρο.

Σχόλιο: μπορεί βέβαια να πει ο λύτης προφανές καθώς κάθε ισόπλευρο θεωρείται ισοσκελές ανά δύο πλευρές και να αναχθεί στο α) ερώτημα.

ii. Υποθέτουμε ότι Δ,Ε,Ζ είναι τα μέσα του ορθογωνίου και ισοσκελές τριγώνου ΑΒΓ $\left( {\hat {\rm A} = 90^o } \right)$
τότε:

: Καταγραφή 3.PNG (7.96 KiB) Προβλήθηκε 21972 φορές

Γνωρίζουμε ότι σχηματιζόμενο τρίγωνο είναι ισοσκελές από το ερώτημα α), μένει να δείξουμε ότι είναι ορθογώνιο.
Πράγματι:
$\left. \begin{gathered} \Delta {\rm Z} = {\rm A}{\rm E} \hfill \\ {\rm Z}{\rm E} = {\rm A}\Delta \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow {\rm A}\Delta {\rm Z}{\rm E}\# \mathop \Rightarrow \limits^{\hat {\rm A} = 90^o } \hat {\rm Z} = 90^o$

#225

Άσκηση 3699

Έστω παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ . Αν τα σημεία

και

είναι τα μέσα των

και $\Gamma\Delta$ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο $\Delta EBZ$ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8)

β) $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm E}\Delta = {\rm B}\widehat {\rm Z}\Gamma }$ (Μονάδες 8)

γ) Οι $\Delta E$ και

τριχοτομούν τη διαγώνιο $A\Gamma$ του παραλληλογράμμου $AB\Gamma\Delta$ . (Μονάδες 7)

Λύση:

α) $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}|| = \Delta \Gamma \Leftrightarrow {\rm E}{\rm B}|| = \Delta {\rm Z}}$ , οπότε το τετράπλευρο $\Delta EBZ$ είναι παραλληλόγραμμο.

β) Θα δείξω ότι $\omega=\theta$ .
Πράγματι, $\omega=\phi$ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων $AB, \Delta\Gamma$ που τέμνονται από την $\Delta E$ ) και $\phi=\theta$ (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων $AB, \Delta\Gamma$ που τέμνονται από τη

)

Άρα, $\omega=\theta$ , δηλαδή $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm E}\Delta = {\rm B}\widehat {\rm Z}\Gamma }$

: 3699.png (11.01 KiB) Προβλήθηκε 21933 φορές

γ) Έστω

τα σημεία τομής της $A\Gamma$ με τις $\Delta E, ZB$ αντίστοιχα. Θα δείξω ότι $AM=MN=N\Gamma$ .

Στο τρίγωνο ABN

,

είναι το μέσο της

και

. Άρα,

είναι το μέσο της

. Οπότε:

Στο τρίγωνο $\Delta M\Gamma$ ,

είναι το μέσο της $\Delta\Gamma$ και $ZN||\Delta M$ . Άρα,

είναι το μέσο της $M\Gamma$ . Οπότε: $MN=M\Gamma$ .

Επομένως, $AM=MN=N\Gamma$ .

#226

ΑΣΚΗΣΗ 3704
Έστω $\displaystyle{\epsilon _1 , \epsilon _2}$ δυο κάθετες ευθείες που τέμνονται στο Ο και τυχαίο σημείο Μ του επιπέδου που δεν ανήκει στις ευθείες.
α) Αν $\displaystyle{M_1}$ είναι το συμμετρικό του Μ ως προς την $\displaystyle{\epsilon _1}$ και $\displaystyle{M_2}$ το συμμετρικό του $\displaystyle{M_1}$ ως προς την $\displaystyle{\epsilon _2}$ , να αποδείξετε ότι:
I. $\displaystyle{OM=OM_1}$
II. Τα σημεία Μ, Ο και $\displaystyle{M_2}$ είναι συνευθειακά.
III. Το τρίγωνο $\displaystyle{MM_1 M_2}$ είναι ορθογώνιο.
β) Αν $\displaystyle{M_3}$ είναι το συμμετρικό σημείο του $\displaystyle{M_2}$ ως προς την $\displaystyle{\epsilon _1}$ , τι είδους παραλληλόγραμμο είναι το $\displaystyle{MM_1 M_2 M_3}$ ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

ΛΥΣΗ

: 3704 β.png (5.12 KiB) Προβλήθηκε 21855 φορές

(α) (i) Aφού η $\displaystyle{\epsilon _1}$ είναι μεσοκάθετος του $\displaystyle{MM_1}$ , (λόγω της συμμετρίας) , θα έχουμε $\displaystyle{OM=OM_1}$ .

(ii) Αφού και η $\displaystyle{\epsilon _2}$ είναι μεσοκάθετος της $\displaystyle{M_1 M_2}$ άρα και το τρίγωνο $\displaystyle{OM_1 M_2}$ είναι ισοσκελες. Αφού λοιπόν τα τρίγωνα

$\displaystyle{OMM_1}$ και $\displaystyle{OM_1 M_2}$ είναι ισοσκελή, άρα τα ύψη τους θα είναι και διχοτόμοι των γωνιών των κορυφών τους. Άρα $\displaystyle{\widehat{O_1}=\widehat{O_2}}$

και $\displaystyle{\widehat{O_3}=\widehat{O_4}}$ . Όμως $\displaystyle{\widehat{O_2}+\widehat{O_3}=90^{o}\Rightarrow 2\widehat{O_2}+2\widehat{O_3}=180^{o}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\widehat{MOM_1}+\widehat{M_1 OM_2}=180^{o}\Rightarrow \widehat{MOM_2}=180^{o}}$ .

Άρα τα σημεία $\displaystyle{M,O,M_2}$ είναι συνευθειακά.

(iii) Επίσης λόγω των ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε πιο πάνω , είναι $\displaystyle{M_2 O=OM_1 =OM$ . Άρα στο τρίγωνο $\displaystyle{MOM_2}$ η διάμεσος $\displaystyle{M_1 O}$ ισούται

με το μισό της αντίστοιχης πλευράς. Άρα το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο με $\displaystyle{\widehat{MM_1 M_2 =90^{o}}$

(β) Με όμοιο τρόπο όπως και στο (ιι) δείχνουμε ότι τα σημεία $\displaystyle{M_3 , O , M_1}$ είναι επίσης συνευθειακά και ότι τo τρίγωνo $\displaystyle{OM_2 M_3}$ είναι και αυτό

ισοσκελές.

Άρα λόγων και των άλλων ισοσκελών τριγώνων που αναφέραμε στα προηγούμενα, θα έχουμε: $\displaystyle{OM_3 =OM_2 =OM_1 =OM}$ . Συνεπώς στο τετράπλευρο

$\displaystyle{MM_1 M_2 M_3}$ οι διαγώνιοί του διχοτομούνται και είναι ίσες και άρα το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

#227

ΑΣΚΗΣΗ 3699

Βλέπω την ετοιμάζει Ο Γιώργος αλλά αφού την έγραψα την αφήνω

: 4_3699.png (52.95 KiB) Προβλήθηκε 21795 φορές

Λύση

: 3699.png (26.31 KiB) Προβλήθηκε 21973 φορές

Ας πούμε το μήκος της πλευράς $\boxed{{\rm A}{\rm B} = 2a}\,,a > 0$ τότε προφανώς θα είναι : $\boxed{{\rm A}{\rm E} = {\rm E}{\rm B} = \Delta {\rm Z} = {\rm Z}\Gamma = \alpha }$ .

α) το τετράπλευρο $\Delta {\rm E}{\rm B}{\rm Z}$ έχει τις απέναντι πλευρές του $\Delta {\rm Z},{\rm E}{\rm B}$ παράλληλες γιατί από την υπόθεση το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης $\Delta {\rm Z} = {\rm E}{\rm B} = \alpha$ . Δηλαδή $\Delta {\rm Z} = //{\rm E}{\rm B}$ που μας

εξασφαλίζει ότι και το τετράπλευρο $\Delta {\rm E}{\rm B}{\rm Z}$ είναι παραλληλόγραμμο και άρα :

β) $\Delta {\rm E}// = {\rm Z}{\rm B}$ , οι δε απέναντι γωνίες του είναι ίσες , συνεπώς $\Delta \widehat {\rm Z}{\rm B} = \Delta \widehat {\rm E}{\rm B}$ .

Επειδή τα παραπληρώματα ίσων γωνιών είναι ίσα από: $\Delta \widehat {\rm Z}{\rm B} = \Delta \widehat {\rm E}{\rm B} \Leftrightarrow {180^0} - \Delta \widehat {\rm Z}{\rm B} = {180^0} - \Delta \widehat {\rm E}{\rm B} \Leftrightarrow \boxed{\widehat {{\alpha _1}} = \widehat {{\alpha _2}}}$

γ) Φέρνουμε από το $\Gamma$ παράλληλη στην ${\rm Z}{\rm B}$ και θα κόψει την ευθεία ${\rm A}{\rm B}$ στο $\Sigma$ .

Άμεση συνέπεια: και το τετράπλευρο ${\rm Z}{\rm B}\Sigma \Gamma$ είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει ανά δύο τις απέναντι πλευρές του παράλληλες . Θα είναι επομένως ίσες, οπότε :

$\boxed{{\rm Z}\Gamma = {\rm B}\Sigma = \alpha }$

Ας είναι τώρα ${\rm K},\Lambda$ τα σημεία τομής της ${\rm A}\Gamma$ με τις $\Delta {\rm E},{\rm Z}{\rm B}$ αντίστοιχα.

Οι ευθείες $\Delta {\rm E},{\rm Z}{\rm B},\Gamma \Sigma$ είναι παράλληλες και τα τμήματα ${\rm A}{\rm E} = {\rm E}{\rm B} = {\rm B}\Sigma = \alpha$ θα είναι λοιπόν και $\boxed{{\rm A}{\rm K} = {\rm K}\Lambda = \Lambda \Gamma }$ . Αφού ως γνωστόν:

Αν τμήματα ευθείας περιεχόμενα μεταξύ παραλλήλων ευθειών είναι ίσα και κάθε άλλης ευθείας τα τμήματα τα περιεχόμενα μεταξύ των αυτών παραλλήλων ευθειών είναι ίσα.

Νίκος

nik21 · #228

Christos.N έγραψε: γ) Να διατυπώσετε την πρόταση Π και την αντίστροφή της ως ενιαία πρόταση.
(Μονάδες 5)
γ) Μια διατύπωση: Σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο τα ύψη που φέρονται από την βάση είναι ίσα και αντίστροφα.

Μάλλον λέγοντας "ως ενιαία πρόταση" εννοεί "ενα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν δύο από τα ύψη του είναι ίσα."

Christos.N · #229

nik21 έγραψε:
Μάλλον λέγοντας "ως ενιαία πρόταση" εννοεί "ενα τρίγωνο είναι ισοσκελές αν και μόνο αν δύο από τα ύψη του είναι ίσα."

Δεν διαφωνώ καθόλου, νομίζω ότι το εκφράζεις άψογα. Υπάρχει ένσταση εννοιολογική στην δική μου διατύπωση; Αν ναι να την διορθώσω άμεσα.

nik21 · #230

Christos.N έγραψε: Δεν διαφωνώ καθόλου, νομίζω ότι το εκφράζεις άψογα. Υπάρχει ένσταση εννοιολογική στην δική μου διατύπωση; Αν ναι να την διορθώσω άμεσα.

Καμία ένσταση ως προς την ορθότητα. Επειδή όμως ζητάει μία ενιαία πρόταση θεωρώ ότι δεν εννοεί το "και αντίστροφα", αφού αυτό εννοεί ουσιαστικά μία άλλη πρόταση (αυτή του προηγούμενου ερωτήματος, δηλ. αν δυό ύψη είναι ίσα, τότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές.)

Christos.N · #231

Συμφωνώ μαζί σου αποτυπώνω στην παραπάνω απάντηση την δική σου πρόταση.

#232

Άσκηση 3705

Δίνεται ορθογώνιο $AB\Gamma\Delta$ και έξω από αυτό, κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα $ABE, B\Gamma Z, \Gamma\Delta H, \Delta A\Theta$ .

α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο $EZH\Theta$ είναι ρόμβος. (Μονάδες 15)

β) Αν το αρχικό τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ είναι τετράγωνο, τότε τι είδους παραλληλόγραμμο είναι το $EZH\Theta$ ; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)

Λύση:

α) $\displaystyle{\Theta \widehat \Delta {\rm H} = {360^0} - \left( {\Theta \widehat \Delta {\rm A} + {\rm A}\widehat \Delta \Gamma + {\rm H}\widehat \Delta \Gamma } \right) = {360^0} - \left( {{{60}^0} + {{90}^0} + {{60}^0}} \right) \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{\Theta \widehat \Delta {\rm H} = {150^0}}$

Ομοίως αποδεικνύεται ότι: $\displaystyle{\Theta \widehat {\rm A}{\rm E} = {\rm Z}\widehat {\rm B}{\rm E} = {\rm Z}\widehat \Gamma {\rm H} = {150^0}}$

Έχουμε ακόμα: $\Delta H=AE=EB=\Gamma H$ και $\Delta\Theta=A\Theta=BZ=\Gamma Z$

Άρα τα τρίγωνα $\Delta\Theta H, A\Theta E, BZE, \Gamma ZH$ είναι ίσα (Π-Γ-Π).
Οπότε, $EZ=ZH=H\Theta=\Theta E$ . Δηλαδή το το τετράπλευρο $EZH\Theta$ είναι ρόμβος.

: 3705.png (21.81 KiB) Προβλήθηκε 21879 φορές

β) Αν το αρχικό τετράπλευρο $AB\Gamma\Delta$ είναι τετράγωνο, τότε τα ίσα τρίγωνα του προηγούμενου ερωτήματος θα είναι ισοσκελή, οπότε $\displaystyle{{\rm H}\widehat \Theta \Delta = {\rm A}\widehat \Theta {\rm E} = {15^0}}$

$\displaystyle{{\rm H}\widehat \Theta {\rm E} = {\rm H}\widehat \Theta \Delta + \Delta \widehat \Theta {\rm A} + {\rm A}\widehat \Theta {\rm E} = {15^0} + {60^0} + {15^0} \Leftrightarrow {\rm H}\widehat \Theta {\rm E} = {90^0}}$

Άρα το $EZH\Theta$ είναι τετράγωνο, αφού είναι ρόμβος με μία γωνία ορθή.

: 3705.2png.png (21.03 KiB) Προβλήθηκε 21879 φορές

VreAnt · #233

Άσκηση 3706
Θεωρούμε ευθεία $(\varepsilon )$ και δυο σημεία

και

εκτός αυτής, τα οποία βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο σε σχέση με την $(\varepsilon )$ έτσι ώστε, η ευθεία

να μην είναι κάθετη στην $(\varepsilon )$ . Έστω

και

τα συμμετρικά σημεία των

και

αντίστοιχα ως προς την ευθεία $(\varepsilon )$ .
α) Αν η μεσοκάθετος του

τέμνει την ευθεία $(\varepsilon )$ στο σημείο

, να αποδείξετε ότι το

ανήκει και στη μεσοκάθετο του A'B'

. (Μονάδες 10)
β) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ABB'A'

είναι τραπέζιο. (Μονάδες 8)
γ) Να βρείτε τη σχέση των ευθειών

και της ευθείας $(\varepsilon )$ ώστε το τετράπλευρο
ABB'A'

να είναι ορθογώνιο. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Μονάδες 7)
Λύση

: σχ.(1); 4-3706.png (24.56 KiB) Προβλήθηκε 21826 φορές

α)Τα συμμετρικά των A,B,K

ως προς $(\varepsilon )$ είναι τα A',B',K

. Άρα $KA=KA' \,\,KB=KB', \,\,AB=A'B'$ .
Αλλά $(\zeta )$ μεσοκάθετος

. Άρα

. Επομένως KA'=KB'

. Συνεπώς

ανήκει στη μεσοκάθετο του A'B'

.

β)Από ορισμό συμμετρίας, έχω: $AA'\perp\varepsilon$ και $BB'\perp\varepsilon$ . Άρα $\boxed{AA'\parallel BB'\,\, (1)}$ .

1η περίπτωση: Αν $AB\not\parallel A'B'$ τότε εξ ορισμού ABB'A'

είναι τραπέζιο. (και μάλιστα ισοσκελές αφού AB=A'B'

)

2η περίπτωση: Αν $AB \parallel A'B'$ τότε εξ ορισμού ABB'A'

είναι παραλληλόγραμμο.
Άρα $AA'=BB'\Rightarrow\dfrac{AA'}{2}=\dfrac{BB'}{2}$ .Έτσι $AM=\parallel BN$ . Συνεπώς ABNM

ορθογώνιο γιατί έχουμε ακόμη ότι $AA'\perp\varepsilon$ .

: σχ.(2); 4-3706(b).png (12 KiB) Προβλήθηκε 21826 φορές

Τότε, $AB\perp AA'$ . Επομένως ABB'A'

είναι ορθογώνιο.

γ) Όπως προκύπτει από το β), πρέπει $AB\parallel \varepsilon$ .

(*) όπως προκύπτει από την παραπάνω διερεύνηση το ερώτημα β), γ) δεν είναι σωστά διατυπωμένα. (Ένα τραπέζιο στο β) ερώτημα γίνεται ορθογώνιο στο γ) )

=======
edit
$\checkmark$

Φ.

asemarak · #234

Καλησπέρα σε όλους και συγχαρητήρια για την προσπάθειά σας.
Συμμετέχοντας και εγώ λύνω την άσκηση 3713.
Γράφω για πρώτη φορά και για αυτό ζητώ επιείκεια.

ΑΣΚΗΣΗ 3713

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με $\widehat{B}=2\widehat{\Gamma }$ , και η διχοτόμος $B\Delta$ της γωνίας $\widehat{B}$ . Από το μέσο

της $A\Gamma$ φέρνουμε παράλληλη στη διχοτόμο $B\Delta$ που τέμνει την πλευρά $B\Gamma$ στο

.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο $B \Delta \Gamma$ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5)
β) Το τρίγωνο $MN \Gamma$ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 10)
γ) $AN \perp B \Gamma$ . (Μονάδες 10)

Λύση

α) $\widehat{\Delta B\Gamma } =\frac{\widehat{B}}{2}=\widehat{\Gamma }$ , οπότε το τρίγωνο $B\Delta \Gamma$ είναι ισοσκελές με $\Delta B=\Delta\Gamma$ .
β) $\widehat{MN \Gamma }=\widehat{\Delta B\Gamma }=\widehat{\Gamma }$ , γιατί οι γωνίες $\widehat{MN \Gamma },\widehat{\Delta B\Gamma }$ είναι εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων $\Delta B$ ,

. Άρα το τρίγωνο $MN \Gamma$ είναι ισοσκελές με

= $M \Gamma$ .
γ) Στο ισοσκελές τρίγωνο $MN \Gamma$ έχουμε $MN=M \Gamma = \frac{A \Gamma }{2}$ .
Δηλαδή η διάμεσος

του τριγώνου $A \Gamma N$ ισούται με το μισό της πλευράς που αντιστοιχεί. Άρα το τρίγωνο $A\Gamma N$ είναι ορθογώνιο με $AN\perp N\Gamma\Leftrightarrow AN\perp B\Gamma$

hlkampel · #235

Άσκηση 3714

Σε κύκλο κέντρου ${\rm O}$ θεωρούμε τα ίσα τόξα ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm A}\Gamma$ , το καθένα ίσο με $120^\circ$ .
Έστω $\Delta$ και ${\rm E}$ τα μέσα των τόξων ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm A}\Gamma$ αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ισόπλευρο.
β) Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm H}\Delta$ και ${\rm A}\Theta {\rm E}$ είναι ίσα και να υπολογίσετε τις γωνίες τους.
γ) Η χορδή $\Delta {\rm E}$ τριχοτομείται από τις χορδές ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm A}\Gamma$ .

Λύση

α) Είναι $\widehat {\rm B} = \widehat \Gamma = 60^\circ$ ως εγγεγραμμένες σε τόξα $120^\circ$ .

Άρα το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ισόπλευρο αφού δύο γωνίες $60^\circ$ .

β) Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm H}\Delta$ και ${\rm A}\Theta {\rm E}$ είναι ίσα από $\Gamma - \Pi - \Gamma$ διότι έχουν:

${\rm A}{\rm E} = {\rm A}\Delta$ ως χορδές με ίσα αντίστοιχα τόξα $\left( {\tau o\xi {\rm A}{\rm E} = \tau o\xi {\rm A}\Delta = 60^\circ } \right)$

$\widehat {{\rm A}{\rm E}{\rm H}} = \widehat {{\rm A}\Delta {\rm Z}} = 30^\circ \;\left( 1 \right)$ και $\widehat {{\rm E}{\rm A}{\rm H}} = \widehat {\Delta {\rm A}{\rm Z}} = 30^\circ \;\left( 2 \right)$ ως εγγεγραμμένες σε τόξα $60^\circ$

Επειδή τα δύο τρίγωνα έχουν από δύο γωνίες ίσες με $30^\circ$ τότε οι τρίτες γωνίες τους είναι:

$\widehat {{\rm A}{\rm H}{\rm E}} = \widehat {{\rm A}{\rm Z}\Delta } = 180^\circ - 2 \cdot 30^\circ = 120^\circ$

γ) Τα τρίγωνα ${\rm A}{\rm H}\Delta$ και ${\rm A}\Theta {\rm E}$ είναι ισοσκελή αφού έχουν από δύο γωνίες ίσες (β’ ερώτημα) έτσι είναι:

${\rm H}{\rm E} = {\rm A}{\rm H}\;\left( 3 \right)$ και $\Delta {\rm Z} = {\rm A}{\rm Z}\;\left( 4 \right)$

Από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων είναι και ${\rm A}{\rm Z} = {\rm A}{\rm H}\;\left( 4 \right)$

Το τρίγωνο ${\rm A}{\rm Z}{\rm H}$ έχει και $\widehat {\rm A} = 60^\circ$ από το ισόπλευρο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ , οπότε ${\rm A}{\rm Z} = {\rm A}{\rm H}\; = {\rm Z}{\rm H}\left( 5 \right)$

Έτσι από τις σχέσεις $\left( 3 \right),\left( 4 \right),\left( 5 \right) \Rightarrow \Delta {\rm Z} = {\rm Z}{\rm H} = {\rm H}{\rm E}$

δηλαδή η χορδή $\Delta {\rm E}$ τριχοτομείται από τις χορδές ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm A}\Gamma$ .

#236

asemarak έγραψε:Καλησπέρα σε όλους και συγχαρητήρια για την προσπάθειά σας.
Συμμετέχοντας και εγώ λύνω την άσκηση 3713.
Γράφω για πρώτη φορά και για αυτό ζητώ επιείκεια.

Καλησπέρα και Καλωσόρισες.

Δεν χρειάζεται καμία επιείκεια. Η λύση σου είναι άψογη.

#237

Άσκηση 3715

Δίνονται οι ακόλουθες προτάσεις $\Pi_1$ και $\Pi_2$ :
$\Pi_1$ : Αν ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος, τότε οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες.
$\Pi_2$ : Αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες, τότε το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος.

α) Να εξετάσετε αν ισχύουν οι προτάσεις $\Pi_1$ και $\Pi_2$ αιτιολογώντας πλήρως την απάντησή σας. (Μονάδες 20)

β ) Στην περίπτωση που και οι δύο προτάσεις ισχύουν, να τις διατυπώσετε ως μια ενιαία πρόταση. (Μονάδες 5)

Λύση:

α) Έστω παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ και BE, BZ

οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του.

$\Pi_1$ : Το παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος.

Τα τρίγωνα $ABE, B\Gamma Z$ είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια, $AB=B\Gamma$ (διαδοχικές πλευρές ρόμβου) και $\displaystyle{\widehat {\rm A} = \widehat \Gamma }$ (απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα BE=BZ

, οπότε η πρόταση ισχύει.

: 3715.png (11.25 KiB) Προβλήθηκε 21830 φορές

$\Pi_2$ : Οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του παραλληλογράμμου είναι ίσες.

Τα τρίγωνα $ABE, B\Gamma Z$ είναι ίσα επειδή είναι ορθογώνια, BE=BZ

(από υπόθεση) και $\displaystyle{\widehat {\rm A} = \widehat \Gamma }$ (απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου). Άρα $AB=B\Gamma$ . Δηλαδή το παραλληλόγραμμο έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, άρα είναι ρόμβος και η πρόταση ισχύει.

β) Ένα παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος αν και μόνο αν οι αποστάσεις των απέναντι πλευρών του είναι ίσες.

hlkampel · #238

Άσκηση 3717

Δίνεται τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και Έστω ${\rm K},\Lambda$ τα μέσα των πλευρών του ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm A}\Gamma$ αντίστοιχα.

α) Θεωρούμε τυχαίο σημείο ${\rm M}$ στο εσωτερικό του τριγώνου και $\Delta ,{\rm E}$ τα συμμετρικά του ${\rm M}$ ως προς ${\rm K}$ και $\Lambda$ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι $\Delta {\rm E}//{\rm B}\Gamma$ .

β) Στην περίπτωση που το σημείο ${\rm M}$ είναι το μέσο της πλευράς ${\rm B}\Gamma$ , και $\Delta ,{\rm E}$ τα συμμετρικά του ${\rm M}$ ως προς ${\rm K}$ και $\Lambda$ αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι τα σημεία $\Delta ,{\rm A}$ και ${\rm E}$ είναι συνευθειακά.

Λύση

α) (Σχήμα 1) Αφού τα ${\rm K},\Lambda$ είναι τα μέσα των πλευρών ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm A}\Gamma$ του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ θα ισχύει ${\rm K}\Lambda //{\rm B}\Gamma \;\left( 1 \right)$ και ${\rm K}\Lambda = \dfrac{{{\rm B}\Gamma }}{2}\;\left( 2 \right)$

Τα ${\rm K},\Lambda$ είναι και τα μέσα των πλευρών ${\rm M}\Delta$ και ${\rm M}{\rm E}$ του τριγώνου ${\rm M}\Delta {\rm E}$ έτσι ${\rm K}\Lambda //\Delta {\rm E}\;\left( 3 \right)$ και ${\rm K}\Lambda = \dfrac{{\Delta {\rm E}}}{2}\;\left( 4 \right)$

Από $\left( 1 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \Delta {\rm E}//{\rm B}\Gamma$

β) (Σχήμα 2) Αν το ${\rm M}$ είναι το μέσο της πλευράς ${\rm B}\Gamma$ τότε:

Το ${\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm B}$ είναι παραλληλόγραμμο αφού ${\rm K}\Lambda // = \dfrac{{{\rm B}\Gamma }}{2}\; \Rightarrow {\rm K}\Lambda // = {\rm B}{\rm M}\;\left( 5 \right)$

Το ${\rm A}{\rm E}\Lambda {\rm K}$ είναι παραλληλόγραμμο αφού ${\rm M}\Lambda // = \dfrac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} \Rightarrow \Lambda {\rm E}// = {\rm A}{\rm K}$ επειδή το ${\rm M}\Lambda$ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$

Άρα ${\rm K}\Lambda //{\rm A}{\rm E}\;\left( 6 \right)$

Από $\left( 5 \right),\left( 6 \right) \Rightarrow {\rm A}{\rm E}//{\rm B}{\rm M} \Rightarrow {\rm A}{\rm E}//{\rm B}\Gamma$

Ομοίως ${\rm A}\Delta //\Gamma {\rm M} \Rightarrow {\rm A}\Delta //{\rm B}\Gamma$

Άρα τα σημεία $\Delta ,{\rm A}$ και ${\rm E}$ είναι συνευθειακά αφού από το ${\rm A}$ μόνο μια παράλληλη διέρχεται προς το ${\rm B}\Gamma$ .

Christos.N · #239

3718

Το τετράπλευρο ΑΒΓΔ του παρακάτω σχήματος είναι ρόμβος. Θεωρούμε ${\rm A}{\rm Z} \bot \Gamma \Delta$ και ${\rm A}{\rm E} \bot \Gamma {\rm B}$
.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο ΖΑΕ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)
β) Η ευθεία ΑΓ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΖΕ. (Μονάδες 9)
γ) Αν Μ και Ν τα μέσα των πλευρών ΑΔ και ΑΒ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΜΝΕ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 10)

: Καταγραφή.PNG (11.03 KiB) Προβλήθηκε 21821 φορές

Απαντήσεις:
α)
Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα $\Delta {\rm Z}{\rm A}$ και ${\rm A}{\rm E}{\rm B}$ :
Είναι ορθογώνια καθώς $\hat {\rm Z} = \hat {\rm E} = 90^o$ έχουν ίσες υποτείνουσες ${\rm A}\Delta ,{\rm A}{\rm B}$ (πλευρές ρόμβου) και έχουν ίσες οξείες γωνίες $\hat \Delta ,\hat {\rm B}$ (απέναντι παραλληλογράμμου) ,άρα είναι ίσα συνεπώς όλα τα στοιχεία τους θα είναι ίσα, άρα ${\rm A}{\rm Z} = {\rm A}{\rm E}$ και το τρίγωνο ${\rm Z}{\rm A}{\rm E}$ είναι ισοσκελές.

β)
Θα δείξουμε ότι τα σημεία ${\rm A},\Gamma$ ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του τμήματος ${\rm Z}{\rm E}$ .
Πράγματι, από το ερώτημα α) προκύπτει ${\rm Z}\Gamma = \Delta \Gamma - \Delta {\rm Z} = {\rm B}\Gamma - {\rm B}{\rm E} = {\rm E}\Gamma$ , άρα το σημείο $\Gamma$ ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ${\rm Z}{\rm E}$ . Ομοίως το σημείο ${\rm A}$ ισαπέχει από τα άκρα του τμήματος ${\rm Z}{\rm E}$ , άρα τα σημεία ${\rm A},\Gamma$ ανήκουν στην μεσοκάθετο ευθεία του τμήματος ${\rm Z}{\rm E}$
.
γ)
Τα σημεία ${\rm M},{\rm N}$ είναι μέσα υποτεινουσών των ίσων τριγώνων $\Delta {\rm Z}{\rm A}$ και ${\rm A}{\rm E}{\rm B}$ , άρα οι διάμεσοι ${\rm Z}{\rm M},{\rm E}{\rm N}$ θα είναι ίσες μεταξύ τους. Μένει να δείξουμε ότι ${\rm M}{\rm N}//{\rm Z}{\rm E}$ .

Στο τρίγωνο $\Delta {\rm A}{\rm B}$ :
Τα ${\rm M},{\rm N}$ είναι μέσα των πλευρών ${\rm A}\Delta$ και ${\rm A}{\rm B}$ αντίστοιχα, συνεπώς: ${\rm M}{\rm N}//\Delta {\rm B}$

Από το ερώτημα β)
$\left. \begin{gathered} {\rm Z}{\rm E} \bot {\rm A}\Gamma \hfill \\ {\rm A}\Gamma \bot \Delta {\rm B} \hfill \\ \end{gathered} \right\} \Rightarrow {\rm Z}{\rm E}//\Delta {\rm B}$

Από τις παραπάνω λαμβάνουμε ότι ${\rm M}{\rm N}//{\rm Z}{\rm E}$
.
Τέλος αν επιχειρήσουμε να δείξουμε ότι οι πλευρές ${\rm Z}{\rm M},{\rm E}{\rm N}$ δεν είναι παράλληλες θα συλλάβουμε ότι υπάρχει περίπτωση να είναι παράλληλες , είναι η περίπτωση που ο ρόμβος έχει μια γωνία εξήντα μοιρών.
Τι κάνουμε τώρα γιατρέ μου;

#240

Άσκηση 3720

Δίνεται ρόμβος $AB\Gamma\Delta$ με $\displaystyle{\widehat \Gamma = {120^0}}$ . Έστω ότι

και

είναι οι αποστάσεις του σημείου

στις πλευρές $\Gamma\Delta$ και $\Gamma B$ αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι:

i) Τα σημεία

και

είναι τα μέσα των $\Gamma\Delta$ και $\Gamma B$ αντίστοιχα. (Μονάδες 8)

ii) $\displaystyle{{\rm A}\Gamma \bot {\rm E}{\rm Z}}$ (Μονάδες 8)

β) Αν

και

τα μέσα των $A\Delta$ και

αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο EMNZ

είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9)

Λύση:

α. i) Οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούν τις γωνίες του. Άρα $\displaystyle{\Delta \widehat \Gamma {\rm A} = {\rm A}\widehat \Gamma {\rm B} = {60^0}}$ . Τα τρίγωνα λοιπόν $A\Gamma\Delta, A\Gamma B$ , ως ισοσκελή με μία γωνία 60^0

, θα είναι ισόπλευρα. Άρα τα ύψη AE, AZ

θα είναι και διάμεσοι. Οπότε, τα σημεία

και

είναι τα μέσα των $\Gamma\Delta$ και $\Gamma B$ αντίστοιχα.

α. ii) $EZ||\Delta B$ (λόγω του προηγούμενου ερωτήματος). Επειδή όμως οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες, θα είναι $\displaystyle{{\rm A}\Gamma \bot {\rm E}{\rm Z}}$ .

: 3720.png (11.38 KiB) Προβλήθηκε 22520 φορές

β) $\displaystyle{{\rm M}{\rm N}|| = \frac{{\Delta {\rm B}}}{2}}$ (

και

τα μέσα των $A\Delta$ και

αντίστοιχα)

Αλλά και $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z}|| = \frac{{\Delta {\rm B}}}{2}}$ . Οπότε $\displaystyle{{\rm M}{\rm N}|| = {\rm E}{\rm Z}}$ , δηλαδή το EMNZ

είναι παραλληλόγραμμο και έχει πλευρές παράλληλες με τις διαγώνιες του ρόμβου. Επειδή όμως $\displaystyle{{\rm A}\Gamma \bot {\Delta}{\rm B}}$ , θα είναι και $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z} \bot {\rm E}{\rm M}}$ .

Άρα, το τετράπλευρο EMNZ

είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Μέλη σε σύνδεση