ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

ΝΟΥΤΣΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Παρ Δεκ 02, 2011 10:36 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#181

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΟΥΤΣΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ » Τρί Ιουν 03, 2014 4:39 pm

καλησπερα, υπάρχει καπου η λύση του θέματος (4) 3737;


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#182

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 03, 2014 4:57 pm

ΝΟΥΤΣΟΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ έγραψε:καλησπερα, υπάρχει καπου η λύση του θέματος (4) 3737;
Άσκηση 3737
Δίνεται τραπέζιο AB\Gamma\Delta, τέτοιο ώστε \displaystyle{\widehat {\rm A} = \widehat \Delta  = {90^0}}, \displaystyle{{\rm A}{\rm B} = \frac{1}{4}\Delta \Gamma } και \displaystyle{{\rm A}{\rm B} = \frac{1}{3}{\rm A}\Delta }. Επιπλέον φέρνουμε \displaystyle{{\rm B}{\rm E} \bot \Delta \Gamma }.

α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ABE\Delta ορθογώνιο. (Μονάδες 6)

β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο BE\Gamma είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. (Μονάδες 10)

γ) Αν K,\Lambda είναι τα μέσα των BE και A\Gamma αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι η A\Gamma διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος BK (Μονάδες 9)
Λύση:

α) Το τετράπλευρο ABE\Delta ορθογώνιο, επειδή έχει τρεις γωνίες ορθές.

β) Είναι \Delta\Gamma=4AB, BE=A\Delta=3AB, AB=\Delta E.

Άρα, E\Gamma=\Delta\Gamma-\Delta E=3AB. Δηλαδή, \boxed{BE=E\Gamma}, οπότε το τρίγωνο BE\Gamma είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
3737.png
3737.png (6.92 KiB) Προβλήθηκε 2303 φορές
γ) Το τετράπλευρο AB\Gamma E είναι τραπέζιο και το τμήμα K\Lambda ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του. Άρα

K\Lambda||AB και \displaystyle{{\rm K}\Lambda  = \frac{{{\rm E}\Gamma  - {\rm A}{\rm B}}}{2} = \frac{{3{\rm A}{\rm B} - {\rm A}{\rm B}}}{2} \Leftrightarrow } \boxed{{\rm K}\Lambda || = {\rm A}{\rm B}}.

Επομένως το AB\Lambda K είναι παραλληλόγραμμο και αν M είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του, τότε θα είναι το μέσο του BK.


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#183

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Τρί Ιουν 03, 2014 9:50 pm

Άσκηση 2799
Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται μια κρεμάστρα τοίχου η οποία αποτελείται από έξι ίσα ευθύγραμμα κομμάτια
ξύλου \left( {{\rm A}\Delta ,{\rm B}\Gamma ,\Gamma {\rm Z},\Delta {\rm H},{\rm Z}{\rm K},{\rm H}\Lambda } \right) που είναι στερεωμένα με έντεκα καρφιά \left( {{\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta ,\Theta ,{\rm E},{\rm M},{\rm H},{\rm K},\Lambda ,{\rm Z}} \right).
Αν το σημείο \Theta, είναι μέσο των τμημάτων {\rm A}\Delta και {\rm B}\Gamma ενώ το σημείο {\rm E} είναι μέσο των τμημάτων \Gamma {\rm Z} και \Delta {\rm H}, να
αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο \Gamma {\rm H}{\rm Z}\Delta είναι ορθογώνιο.
β) Τα σημεία {\rm B},\Delta ,{\rm Z} είναι συνευθειακά.
γ) Το τετράπλευρο {\rm A}\Gamma {\rm Z}\Delta είναι παραλληλόγραμμο.

Λύση

α) Το τετράπλευρο \Gamma {\rm H}{\rm Z}\Delta είναι ορθογώνιο αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται στο {\rm E} και είναι ίσες λόγω της υπόθεσης.
β) Για τον ίδιο λόγο και το {\rm A}{\rm B}\Delta \Gamma είναι ορθογώνιο, έτσι:

\widehat {{\rm B}\Delta \Gamma } + \widehat {\Gamma \Delta {\rm Z}} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ άρα τα σημεία {\rm B},\Delta ,{\rm Z} είναι συνευθειακά.

γ) Για τον ίδιο λόγο και τα σημεία {\rm A},\Gamma ,{\rm H} είναι συνευθειακά, οπότε {\rm A}\Gamma //\Delta {\rm Z}\;\left( 1 \right)

Το τετράπλευρο \Gamma \Theta \Delta {\rm E} είναι ρόμβος αφού και οι τέσσερεις πλευρές του είναι ίσες ως μισά ίσων τμημάτων, οπότε \displaystyle{\widehat {\Gamma \Theta \Delta } = \widehat {\Gamma {\rm E}\Delta }} .

Τα τρίγωνα {\rm A}\Theta \Gamma και \Delta {\rm E}{\rm Z} είναι ίσα από \Pi  - \Gamma  - \Pi αφού έχουν:

{\rm A}\Theta  = \Delta {\rm E} και \Gamma \Theta  = {\rm Z}{\rm E} ως μισά ίσων τμημάτων και \widehat {{\rm A}\Theta \Gamma } = \widehat {\Delta {\rm E}{\rm Z}} ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών \displaystyle{\widehat {\Gamma \Theta \Delta } = \widehat {\Gamma {\rm E}\Delta }}.

Έτσι {\rm A}\Gamma  = \Delta {\rm Z}\;\left( 2 \right)

Από \left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow {\rm A}\Gamma // = \Delta {\rm Z} άρα το {\rm A}\Gamma {\rm Z}\Delta είναι παραλληλόγραμμο.
Συνημμένα
2799.png
2799.png (15.57 KiB) Προβλήθηκε 2234 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4934
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#184

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Ιουν 03, 2014 9:56 pm

4-3759

ΘΕΜΑ 4
Δίνεται κύκλος (O,R) με διάμετρο \displaystyle {\rm B}\Gamma . Θεωρούμε σημείο A του κύκλου και σχεδιάζουμε το τρίγωνο \displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma . H προέκταση της AO τέμνει τον κύκλο στο σημείο Z. Φέρουμε το ύψος του \displaystyle {\rm A}\Delta , η προέκταση του οποίου τέμνει τον κύκλο στο σημείο E.

α) Να αποδείξετε ότι:
i. \displaystyle {\rm Z}\Gamma  = {\rm A}{\rm B} = {\rm B}{\rm E} (Μονάδες 8)
ii. Το τετράπλευρο \displaystyle {\rm B}{\rm E}{\rm Z}\Gamma είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 7)

β) Αν \displaystyle \widehat \Gamma  = 30^\circ , να αποδείξετε ότι η περίμετρος του τραπεζίου \displaystyle {\rm B}{\rm E}{\rm Z}\Gamma είναι ίση με 5R , όπου R η ακτίνα του κύκλου. (Μονάδες 10)
02-06-2014 Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία.jpg
02-06-2014 Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρία.jpg (13.08 KiB) Προβλήθηκε 2224 φορές
α) i) Φέρνουμε τις \displaystyle {\rm B}{\rm E},\;{\rm B}{\rm Z},\;\Gamma {\rm Z} . Η \displaystyle {\rm O}\Delta είναι απόστημα στη χορδή AE, οπότε η OB διχοτομεί το \displaystyle \mathop {{\rm A}{\rm E}}\limits^ \cap , άρα AB=BE.

Το \displaystyle {\rm A}{\rm B}{\rm Z}\Gamma είναι παραλληλόγραμμο, αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούνται, άρα \displaystyle {\rm A}{\rm B} = \Gamma {\rm Z} .

ii) Είναι \displaystyle {\rm E}{\rm Z}//{\rm B}\Gamma αφού είναι χορδές που ορίζουν ίσα κυρτά τόξα. Επίσης είναι \displaystyle {\rm E}{\rm Z} < {\rm B}\Gamma (διάμετρος του κύκλου), άρα το \displaystyle {\rm B}{\rm E}{\rm Z}\Gamma είναι τραπέζιο, ισοσκελές.

β) Είναι \displaystyle \widehat {{\rm B}{\rm A}\Gamma } = 90^\circ ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο.

Έστω \displaystyle \widehat {{\rm A}\Gamma {\rm B}} = 30^\circ , οπότε \displaystyle {\rm A}{\rm B} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2} = R , άρα και \displaystyle \Gamma {\rm Z} = R

Αφού \displaystyle \mathop {B{\rm E}}\limits^ \cap   = \mathop {\Gamma Z}\limits^ \cap   = 60^\circ  \Rightarrow \mathop {{\rm E}{\rm Z}}\limits^ \cap   = 60^\circ , οπότε \displaystyle \widehat {{\rm E}{\rm A}{\rm Z}} = 30^\circ δηλαδή και \displaystyle {\rm E}{\rm Z} = \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{2} = R

Οπότε Περίμετρος \displaystyle {\rm B}{\rm E}{\rm Z}\Gamma = \displaystyle BE + EZ + Z\Gamma  + \Gamma {\rm B} = 5R

edit: Έκανα μια διόρθωση: Γωνία EAZ αντί AEZ στο 2ο ερώτημα. Ευχαριστώ τον Θανάση (thanasis363) για τη διακριτική διορθωση!


==========================
edit
προστέθηκαν στο ευρετήριο
Φωτεινή.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Παρ Ιουν 13, 2014 6:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


VreAnt
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 20, 2009 9:40 pm
Τοποθεσία: Ρέθυμνο, Κρήτη

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#185

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από VreAnt » Τετ Ιουν 04, 2014 10:27 am

Άσκηση 4-3691
Οι κύκλοι (K,\rho) και (\Lambda,3\rho) εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο A. Μία ευθεία \varepsilon εφάπτεται εξωτερικά και στους δυο κύκλους στα σημεία B και \Gamma αντίστοιχα και τέμνει την προέκταση της διακέντρου K\Lambda στο σημείο E. Φέρουμε από το σημείο K παράλληλο τμήμα στην \varepsilon που τέμνει το τμήμα \Lambda \Gamma στο \Delta.
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο B\Gamma\Delta K είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 9)
β) Να αποδείξετε ότι η γωνία \Delta\hat{K}\Lambda είναι 30^o. (Μονάδες 8)
γ) Να αποδείξετε ότι το τμήμα E\Lambda=6\rho, όπου \rho η ακτίνα του κύκλου (K,\rho) (Μονάδες 8)
Λύση
4-3691.png
4-3691.png (25.03 KiB) Προβλήθηκε 1956 φορές
α) Αφού \varepsilon είναι κοινή εφαπτομένη έχω BK\perp\varepsilon και \Lambda\Gamma\perp\varepsilon.
Άρα B\Gamma\parallel\Lambda\Gamma και \hat{B}=90^o=\hat{\Gamma}.
Είναι K\Delta\parallel\varepsilon (υπόθεση )και \Lambda\Gamma\perp\varepsilon, άρα K\Delta\perp\Lambda\Gamma δηλ. \hat{\Delta}=90^o.
Τότε το τετράπλευρο B\Gamma\Delta K είναι ορθογώνιο αφού έχει τρεις ορθές γωνίες.

β)Λόγω του α) \Gamma\Delta=BK=\rho ως απέναντι πλευρές ορθογωνίου. Έτσι, \Delta\Lambda=\Gamma\Lambda-\Gamma\Delta=3\rho-\rho=2\rho.
Τότε στο ορθογώνιο(\hat{\Delta}=90^o) τρίγωνο K\Delta\Lambda, \Delta\Lambda=2\rho=\dfrac{K\Lambda}{2}. Άρα από θεώρημα, \hat{\phi}_1=30^o.

γ)Αλλά \hat{\phi}_2=\hat{\phi}_1=30^o ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες, των παραλλήλων K\Delta\parallel\varepsilon που τέμνονται από E\Lambda.
Τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο E\Gamma\Lambda, \hat{\phi}_2=30^o. Επομένως \Gamma\Lambda=\dfrac{E\Lambda}{2}\leftrightarrow E\Lambda=2\Gamma\Lambda=6\rho.
τελευταία επεξεργασία από VreAnt σε Τετ Ιουν 04, 2014 12:13 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Βρέντζος Αντώνης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#186

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 04, 2014 10:44 am

Άσκηση 2804
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται τρίγωνο AB\Gamma, τα ύψη του B\Delta και \Gamma E που τέμνονται στο σημείο H και το μέσο M της πλευράς B\Gamma.

α) Να αποδείξετε ότι:

i) M\Delta=ME (Μονάδες 10)

ii) Η ευθεία AH τέμνει κάθετα τη B\Gamma και \displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm H}\Delta  = \widehat \Gamma }, όπου \displaystyle{\widehat \Gamma } η γωνία του τριγώνου AB\Gamma. (Μονάδες 5)

γ) Να βρείτε το ορθόκεντρο του τριγώνου ABH. (Μονάδες10)
Λύση:

α. i) Τα ορθογώνια τρίγωνα \Delta B\Gamma, EB\Gamma έχουν αντίστοιχες διαμέσους \Delta M, EM. Άρα: \displaystyle{{\rm M}\Delta  = {\rm M}{\rm E} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2}}
2804.png
2804.png (11.81 KiB) Προβλήθηκε 1996 φορές
α. ii) H είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AB\Gamma, οπότε και το τρίτο ύψος AZ θα διέρχεται από το σημείο H. Δηλαδή, \boxed{{\rm A}{\rm H} \bot {\rm B}\Gamma }.

Τα τρίγωνα AH\Delta, AZ\Gamma είναι ισογώνια, επειδή είναι ορθογώνια και έχουν κοινή τη γωνία \displaystyle{{\widehat {\rm A}_1}}. Άρα: \boxed{{\rm A}\widehat {\rm H}\Delta  = \widehat \Gamma }

γ) Το σημείο \Gamma είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABH (Πόρισμα του σχολικού βιβλίου).



Σημείωση: α) Η αρίθμηση των ερωτημάτων είναι της εκφώνησης της άσκησης (από το (α) πηγαίνει στο (γ)).
β) Απαράδεκτη κατανομή μονάδων. Θεωρώ τα ερωτήματα (α. i), (γ) - ειδικά το (γ)- υπερτιμημένα. Δεν μπορώ να βρω ένα λόγο που δόθηκαν 10 Μονάδες για να απαντήσει κάποιος το προφανές!!!
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Ιουν 04, 2014 11:36 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5520
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#187

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Τετ Ιουν 04, 2014 10:58 am

ΘΕΜΑ 3693

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma ( \overset{\wedge }{\mathop{A}}\,={{90}^{0}} ) και η διχοτόμος του B\Delta . Από το \Delta φέρουμε \Delta E\bot B\Gamma και ονομάζουμε Z το σημείο στο οποίο η ευθεία E\Delta τέμνει την προέκταση της BA . Να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)

β)Τα τρίγωνα AB\Gamma και BEZ είναι ίσα. (Μονάδες 6)

γ) Η ευθεία B\Delta είναι μεσοκάθετη των τμημάτων AE και Z\Gamma . (Μονάδες 6)

δ)Το τετράπλευρο AE\Gamma Z είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 7)

Λύση

α) Τα ορθογώνια τρίγωνα B\Delta A,B\Delta E είναι ίσα διότι η B\Delta είναι κοινή και \Delta A=\Delta E , αφού τα σημεία της διχοτόμου μιας γωνίας

ισαπέχουν από τις πλευρές της(ή διότι οι γωνίες \Delta BA,\Delta B\Gamma είναι ίσες). Επομένως BA=BE
2014-6-4-3693.PNG
2014-6-4-3693.PNG (11.65 KiB) Προβλήθηκε 2018 φορές
β) Τα τρίγωνα AB\Gamma και ABE είναι ορθογώνια και έχουν :

- AB=AE, από το πρώτο ερώτημα

- Τη γωνία B κοινή.

Επομένως τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα.

γ)i) Είναι BA=BE και \Delta A=\Delta E , οπότε τα σημεία B,\Delta βρίσκονται στη μεσοκάθετο του AE .

ii) Επειδή BZ=B\Gamma , το τρίγωνο BZ\Gamma είναι ισοσκελές. Επομένως η διχοτόμος της γωνίας B , δηλαδή η (ημι)ευθεία B\Delta είναι μεσοκάθετος της βάσης του \Gamma Z .

Εναλλακτικά, μπορούμε επίσης να βασιστούμε στο γεγονός ότι : \Delta Z=\Delta \Gamma ,BZ=B\Gamma

*** A! Ξέχασα να βαλω και το αρχείο word για το Χρήστο, που πάντα αναλαμβάνει τα δύσκολα !!!
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 3693.doc
(98 KiB) Μεταφορτώθηκε 96 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Τετ Ιουν 04, 2014 11:57 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#188

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 04, 2014 11:49 am

Άσκηση 2806
Δύο κύκλοι (K,\rho), (\Lambda, R) τέμνονται στα σημεία A, B. Αν \Gamma και \Delta είναι τα αντιδιαμετρικά σημεία του A στους δύο κύκλους, τότε να αποδείξετε ότι:

α) \displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma  = {90^0}} (Μονάδες 5)

β) Τα σημεία \Gamma, B, \Delta είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10)

γ) Το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία K, \Lambda, \Gamma, \Delta είναι τραπέζιο. (Μονάδες 10)
Λύση:

α) Στον κύκλο (K), η γωνία \displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma } είναι εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο, οπότε \boxed{{\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma  = {90^0}}

β) Ομοίως είναι και \displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm B}\Delta  = {90^0}} (ως εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο του κύκλου (\Lambda)). Άρα \displaystyle{\Gamma \widehat {\rm B}\Delta  = {180^0}}, δηλαδή τα σημεία \Gamma, B, \Delta είναι συνευθειακά.
2806.png
2806.png (15.4 KiB) Προβλήθηκε 1947 φορές
γ) Τα σημεία K, \Lambda είναι τα μέσα των πλευρών A\Gamma, A\Delta αντίστοιχα, του τριγώνου A\Gamma\Delta. Άρα K\Lambda||\Gamma\Delta και\displaystyle{{\rm K}\Lambda  = \frac{{\Gamma \Delta }}{2}}. Το τετράπλευρο λοιπόν, με κορυφές τα σημεία K, \Lambda, \Gamma, \Delta είναι τραπέζιο (δεν μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο, αφού \displaystyle{{\rm K}\Lambda  \ne \Gamma \Delta }).

========
\color{red}\checkmark

Φ.


VreAnt
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 20, 2009 9:40 pm
Τοποθεσία: Ρέθυμνο, Κρήτη

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#189

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από VreAnt » Τετ Ιουν 04, 2014 12:23 pm

Άσκηση 4-3698
Δίνεται τραπέζιο {\rm{AB\Gamma \Delta }} με AB\parallel\Gamma\Delta, {\rm{\hat A = \hat \Delta  = 9}}{{\rm{0}}^{\rm{O}}}, \Delta \Gamma  = 2{\rm A}{\rm B} και \hat{B}=3\hat{\Gamma}.
Από το B φέρνουμε κάθετη στη \Gamma \Delta που τέμνει την {\rm A}\Gamma στο σημείο {\rm K} και την A\Gamma στο {\rm E}. Επίσης φέρνουμε την {\rm A}{\rm E} που τέμνει τη {\rm B}\Delta στο σημείο \Lambda.
Να αποδείξετε ότι:
α) \hat \Gamma  = {45^{\rm O}} (Μονάδες 8)
β) B\Delta=AE(Μονάδες 9)
γ) {\rm K}\Lambda  = \dfrac{1}{4}\Delta \Gamma (Μονάδες 8)
Λύση
4-3698.png
4-3698.png (8.6 KiB) Προβλήθηκε 1834 φορές
α) Αφού AB\parallel\Gamma\Delta τότε \hat{B}+\hat{\Gamma}=180^o\mathop\leftrightarrow \limits^{\hat B = 3\hat \Gamma }\hat{\Gamma}=45^o ως εντός και επι τα αυτά μέρη (...).

β)Αφού BE\perp\Delta\Gamma  \,,\, B\hat{E}A=B\hat{E}\Gamma=90^o.
Τότε:
-τετράπλευρο ABE\Delta ορθογώνιο αφού και \hat{A}=\hat{\Delta}=90^o (τρεις ορθές). Άρα \boxed{AE=B\Delta} (διαγώνιες ορθογωνίου ίσες).
Ακόμη AE,B\Delta διχοτομούνται. Άρα \Lambda μέσο του AE.
Λόγω του ορθογωνίου ακόμη, \Delta E=AB=\alpha (απέναντι πλευρές ορθογωνίου).
Τότε E\Gamma=\Delta\Gamma-\Delta E=\alpha.

-τρίγωνο BE\Gamma ορθογώνιο με \hat{\sigma}_1=45^ο . Άρα ισοσκελές, με BE=E\Gamma=\alpha.

γ)Έτσι έχουμε AB\parallel = E\Gamma. Άρα το τετράπλευρο AB\Gamma E είναι παραλληλόγραμμο. Έτσι A\Gamma, BE διχοτομούνται. Άρα K μέσο A\Gamma.
Τότε στο τρίγωνο AE\Gamma τα K,\Lambda είναι μέσα, άρα K\Lambda=\dfrac{E\Gamma}{2}=\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{\Delta\Gamma}{4}.
τελευταία επεξεργασία από VreAnt σε Τετ Ιουν 04, 2014 3:26 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Βρέντζος Αντώνης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#190

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 04, 2014 12:45 pm

Άσκηση 2808
Θεωρούμε παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta και τις προβολές A',B',\Gamma ',\Delta ' των κορυφών A,B,\Gamma,\Delta αντίστοιχα, σε μία ευθεία \epsilon.

α) Αν η ευθεία \epsilon αφήνει τις κορυφές του παραλληλογράμμου στο ίδιο ημιεπίπεδο και είναι AA'=3, BB'=2, \Gamma\Gamma '=5, τότε:

i) Να αποδείξετε ότι η απόσταση του κέντρου O του παραλληλογράμμου από την ευθεία \epsilon είναι ίση με 4. (Μονάδες 8)

ii) Να βρείτε την απόσταση \Delta\Delta '. (Μονάδες 9)

β) Αν η ευθεία \epsilon διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράμμου και είναι παράλληλη προς δύο απέναντι πλευρές του, τι παρατηρείτε για τις αποστάσεις AA', BB', \Gamma\Gamma ', \Delta\Delta '; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)
Λύση:

α. i) Έστω O' η προβολή του O στην ευθεία \epsilon.

Το τετράπλευρο AA'\Gamma '\Gamma είναι τραπέζιο (δεν μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο γιατί \displaystyle{{\rm A}{\rm A}' \ne \Gamma \Gamma '}) και OO' είναι η διάμεσός του ( αφού O είναι το μέσο του A\Gamma και OO'||AA'||\Gamma\Gamma '). Άρα:

\displaystyle{{\rm O}{\rm O}' = \frac{{{\rm A}{\rm A}' + \Gamma \Gamma '}}{2} = \frac{{3 + 5}}{2} \Leftrightarrow } \boxed{OO'=4}

2808.png
2808.png (13.66 KiB) Προβλήθηκε 1878 φορές
α. ii) Ομοίως το τετράπλευρο \Delta\Delta ' B'B είναι τραπέζιο και OO' είναι η διάμεσός του. Άρα:

\displaystyle{{\rm O}{\rm O}' = \frac{{{\rm B}{\rm B}' + \Delta \Delta '}}{2} \Leftrightarrow 4 = \frac{{2 + \Delta \Delta '}}{2} \Leftrightarrow } \boxed{\Delta\Delta '=6}

β) Οι αποστάσεις είναι ίσες.
Πράγματι, η ευθεία \epsilon διέρχεται από το κέντρο του παραλληλογράμμου και έστω ότι είναι παράλληλη στις AB, \Gamma\Delta. Άρα θα είναι η μεσοπαράλληλή τους, οπότε θα ισαπέχει από αυτές, άρα και από τις κορυφές του παραλληλογράμμου.

2808.bpng.png
2808.bpng.png (12.83 KiB) Προβλήθηκε 1878 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#191

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 04, 2014 4:11 pm

Άσκηση 2809
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο AB\Gamma και τα ύψη του BK,\Gamma\Lambda τα οποία τέμνονται στο I. Αν M,N τα μέσα των BI,\Gamma I αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο BI\Gamma είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5)

β) Τα τρίγωνα BI\Lambda και \Gamma IK είναι ίσα. (Μονάδες 5)

γ) Το AI προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσο της πλευράς B\Gamma. (Μονάδες 5)

δ) Το τετράπλευρο M\Lambda KN είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 10)
Λύση:

α) Στο ισόπλευρο τρίγωνο τα ύψη είναι διάμεσοι και διχοτόμοι. Άρα \displaystyle{\Gamma \widehat {\rm B}{\rm I} = {\rm B}\widehat \Gamma {\rm I} = {30^0}}, οπότε το τρίγωνο BI\Gamma είναι ισοσκελές.

β) Τα ορθογώνια τρίγωνα BI\Lambda και \Gamma IK έχουν τις υποτείνουσες BI και \Gamma I ίσες και τις κατακορυφήν γωνίες \displaystyle{{\rm B}\widehat {\rm I}\Lambda  = \Gamma \widehat {\rm I}{\rm K}}. Άρα είναι ίσα.
2809.png
2809.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 1800 φορές
γ) Επειδή το τρίγωνο AB\Gamma είναι ισόπλευρο το ορθόκεντρο I, θα συμπίπτει με το βαρύκεντρο, οπότε το AI προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσο της πλευράς B\Gamma.

δ) \displaystyle{{\rm M}\Lambda || = \frac{{{\rm A}{\rm I}}}{2}} (M, \Lambda είναι τα μέσα των BI,BA)

\displaystyle{{\rm K}{\rm N}|| = \frac{{{\rm A}{\rm I}}}{2}} (N, K είναι τα μέσα των \Gamma I,\Gamma A). Άρα:

\displaystyle{\Lambda {\rm M}|| = {\rm K}{\rm N}}, δηλαδή το τετράπλευρο M\Lambda KN είναι παραλληλόγραμμο. Επειδή όμως \displaystyle{{\rm A}{\rm I} \bot {\rm B}\Gamma } (I είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AB\Gamma)), θα είναι και \displaystyle{{\rm A}{\rm I} \bot {\rm K}\Lambda } (K\Lambda||B\Gamma). Άρα οι δύο πλευρές του παραλληλογράμμου είναι κάθετες στις δύο άλλες πλευρές του. Επομένως το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο.


VreAnt
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 20, 2009 9:40 pm
Τοποθεσία: Ρέθυμνο, Κρήτη

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#192

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από VreAnt » Τετ Ιουν 04, 2014 10:22 pm

Άσκηση 3700
Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta είναι \Delta\hat{\Gamma}A=30^{o} και O το κέντρο του.
Φέρουμε \Delta E\perp A\Gamma.
α) Να αποδείξετε ότι η γωνία A\hat{\Delta}\Gamma χωρίζεται από τη \Delta E και τη διαγώνιο \Delta B σε τρεις
ίσες γωνίες. (Μονάδες 13)
β) Φέρουμε κάθετη στην A\Gamma στο σημείο O η οποία τέμνει την προέκταση της A\Delta στο Z.
Να δείξετε ότι τα τρίγωνα AZO και AB\Gamma είναι ίσα. (Μονάδες 12)
Λύση
4-3700.png
4-3700.png (18.62 KiB) Προβλήθηκε 1633 φορές
α) Αφού το AB\Gamma\Delta είναι ορθογώνιο, AO=O\Gamma=O\Delta=OB=\alpha (διαγώνιοι διχοτομούνται και είναι ίσες) και \hat{\Delta}=90^{o}=\hat{B}.
Τότε:
- στο ορθογώνιο τρίγωνο A\Delta\Gamma, \hat{\phi}=30^{o}. ΄Άρα A\Delta=\dfrac{A\Gamma}{2}=\alpha. Έτσι τρίγωνο A\Delta O ισόπλευρο. Άρα \hat{\phi}_1+\hat{\phi}_2=60^{o}.
Όμως από υπόθεση \Delta E\perp A\Gamma δηλ. \Delta E ύψος του ισοπλεύρου τριγώνου. Επομένως θα είναι και διχοτόμος. Άρα \hat{\phi}_1=\hat{\phi}_2=30^{o}.

- το τρίγωνο \Delta O\Gamma είναι ισοσκελές. Άρα οι προσκείμενες στη βάση γωνίες του είναι ίσες δηλ. \hat{\phi}_3=\hat{\phi}=30^{o}.
Συνεπώς \boxed{\hat{\phi}_1=\hat{\phi}_2=\hat{\phi}_3}.

β) Τα τρίγωνα AZO,AB\Gamma είναι ορθογώνια (\, ZO\perp A\Gamma και \hat{B}=90^{o}).
Έχουν AO=A\Delta=\alpha και A\hat{\Gamma}B=\hat{\sigma} (εντός εναλλάξ). Άρα είναι ίσα.
τελευταία επεξεργασία από VreAnt σε Τετ Ιουν 04, 2014 11:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Βρέντζος Αντώνης
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2016
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#193

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τετ Ιουν 04, 2014 10:56 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΘΕΜΑ 3693


*** A! Ξέχασα να βαλω και το αρχείο word για το Χρήστο, που πάντα αναλαμβάνει τα δύσκολα !!!
Ευτυχώς που με σκέφτεται ο ΜΠΑΜΠΗΣ.
Γιώργη και Γιώργο μην κάνετε μορφοποίηση στις ασκήσεις (ούτε bold ούτε κενά στο latex).
Μου κάνετε τη ζωή δύσκολη :D


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3343
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#194

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τετ Ιουν 04, 2014 11:26 pm

Ο φίλος και συνάδελφος Θωμάς Μανδέκης προτείνει:

Όχι μόνο λύσεις της τράπεζας θεμάτων αλλά και δημοσίευση των σημείων που κόβουν μονάδες (σύμφωνα με τις οδηγίες των βαθμολογικών), διότι πολλά παιδιά βρίσκουν "σωστό" κάποιο αποτέλεσμα με τελείως λάθος σκέψη και μόλις βλέπουν τους βαθμούς τους πέφτουν από τα σύννεφα.


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1564
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#195

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Ιουν 05, 2014 8:32 am

3701

Έστω ότι \displaystyle{{\rm{{\rm E}}}{\rm{,{\rm Z}}}} είναι τα μέσα των πλευρών \displaystyle{{\rm A}{\rm B},\Gamma \Delta } παραλληλογράμμου \displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } αντίστοιχα.
Αν για το παραλληλόγραμμο \displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } επιπλέον ισχύει \displaystyle{{\rm A}{\rm B} > {\rm A}\Delta } , να εξετάσετε αν είναι αληθείς ή όχι οι ακόλουθοι ισχυρισμοί:
Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο \displaystyle{\Delta {\rm E}{\rm B}{\rm Z}} είναι παραλληλόγραμμο.
Ισχυρισμός 2: \displaystyle{\widehat{{\rm{{\rm A}{\rm E}\Delta }}}{\rm{ = }}\widehat{{\rm{{\rm B}{\rm Z}\Gamma }}}}
Ισχυρισμός 3: Οι \displaystyle{\Delta {\rm E},{\rm B}{\rm Z}} είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών \displaystyle{\Delta ,{\rm B}} .
α) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής να τον αποδείξετε. (Μονάδες 16)
β) Στην περίπτωση που κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να βρείτε τη σχέση των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι αληθής.
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 9)
3701.png
3701.png (9.4 KiB) Προβλήθηκε 1552 φορές
Λύση
α)
Ισχυρισμός 1: Είναι αληθής αφού : \displaystyle{\Delta {\rm Z}//{\rm E}{\rm B}} και \displaystyle{\Delta {\rm Z} = {\rm E}{\rm B}} ως μισά ίσων τμημάτων .
Άρα τετράπλευρο \displaystyle{\Delta {\rm E}{\rm B}{\rm Z}} είναι παραλληλόγραμμο, αφού έχει ένα ζεύγος πλευρές ίσες και παράλληλες .

Ισχυρισμός 2: Είναι αληθής αφού : \displaystyle{\widehat{{\rm{{\rm A}{\rm E}\Delta }}}{\rm{ = }}\widehat{{\rm{{\rm E}{\rm B}{\rm Z}}}}} (εντός ,εκτός και επί τα αυτά των \displaystyle{{\rm{\Delta {\rm E}//{\rm B}{\rm Z}}}}) , \displaystyle{\widehat{{\rm E}{\rm B}{\rm Z}}{\rm{ = }}\widehat{{\rm{{\rm B}{\rm Z}\Gamma }}}} (εντός εναλλάξ των \displaystyle{\Delta \Gamma //{\rm A}{\rm B}} ) .
Επομένως : \displaystyle{\widehat{{\rm{{\rm A}{\rm E}\Delta }}}{\rm{ = }}\widehat{{\rm{{\rm B}{\rm Z}\Gamma }}}}

Ισχυρισμός 3: Οι \displaystyle{\Delta {\rm E},{\rm B}{\rm Z}} είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών \displaystyle{\Delta ,{\rm B}} .
Αν υποτεθεί ότι αυτό συμβαίνει , τότε \displaystyle{{\widehat\Delta _1} = {\widehat\Delta _2} = \widehat{{\rm A}{\rm E}\Delta }} ,οπότε το τρίγωνο \displaystyle{{\rm A}{\rm E}\Delta } θα είναι ισοσκελές , άρα \displaystyle{{\rm A}\Delta  = {\rm A}{\rm E} = \frac{1}{2}{\rm A}{\rm B}} .
Η τελευταία σχέση , εφόσον \displaystyle{{\rm A}\Delta  < {\rm A}{\rm B}} μπορεί να είναι είτε αληθής , είτε ψευδής.
Άρα ο ισχυρισμός ότι Οι \displaystyle{\Delta {\rm E},{\rm B}{\rm Z}} είναι διχοτόμοι των απέναντι γωνιών \displaystyle{\Delta ,{\rm B}} είναι άλλοτε αληθής κι άλλοτε ψευδής . Ομοίως για την \displaystyle{{\rm B}{\rm Z}}
β)
Ισχυρισμός 3: Ο ισχυρισμός είναι αληθής εφόσον , όπως είδαμε στο (α) , ισχύει : \displaystyle{{\rm A}\Delta  = \frac{1}{2}{\rm A}{\rm B}}


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1564
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#196

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Ιουν 05, 2014 9:39 am

Μιχάλης Νάννος έγραψε:Ο φίλος και συνάδελφος Θωμάς Μανδέκης προτείνει:

Όχι μόνο λύσεις της τράπεζας θεμάτων αλλά και δημοσίευση των σημείων που κόβουν μονάδες (σύμφωνα με τις οδηγίες των βαθμολογικών), διότι πολλά παιδιά βρίσκουν "σωστό" κάποιο αποτέλεσμα με τελείως λάθος σκέψη και μόλις βλέπουν τους βαθμούς τους πέφτουν από τα σύννεφα.
Θα μπορούσε ο ίδιος ο συνάδελφος ( και όλοι οι άλλοι που διορθώνουν γραπτά της Α΄) να δημοσιεύσει τα σχόλια του για τα λάθη , τα κενά και τις παρανοήσεις των μαθητών . Θα μπορούσαμε μετά να τα ενσωματώσουμε στις λύσεις .

Επίσης , κάτι πρέπει να γίνει με τις δεύτερες ή τρίτες λύσεις σε ήδη λυμένες ασκήσεις . Καλό θα ήταν , στο μέλλον , κάθε άσκηση από την τράπεζα να αποτελεί μια δημοσίευση με όλες τις λύσεις και τα τυχόν σχόλια από κάτω .


Kαλαθάκης Γιώργης
achilleas
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 2824
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#197

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Ιουν 05, 2014 1:35 pm

Σήμερα στο σχολείο μας ως τέταρτο θέμα κληρώθηκε το 3723. (Δείτε σελ. 44 στο αρχείο του mathematica.

Στο κυρτό εξάγωνο AB\Gamma\Delta EZ ισχύουν τα εξής: \widehat{\alpha}=\widehat{\beta}, \widehat{\gamma}=\widehat{\delta} και \widehat{\varepsilon}=\widehat{\zeta}.

(α) Να υπολογίσετε το άθροισμα \widehat{\alpha}+\widehat{\gamma}+ \widehat{\varepsilon}. (8 Μονάδες)

(β) Αν οι πλευρές AZ και \Delta E προεκτεινόμενες τέμνονται στο H και οι πλευρές AB και \Delta\Gamma προεκτεινόμενες τέμνονται στο \Theta, να αποδείξετε ότι:

(i.) Οι γωνίες A και H είναι παραπληρωματικές.(10 Μονάδες)
(ii.) Το τετράπλευρο A\Theta \Delta H είναι παραλληλόγραμμο. (7 Μονάδες)


Σχόλιο: Θα μπορούσε αυτός που το πρότεινε τουλάχιστον να αντιστοιχούσε τα γράμματα των γωνιών με τα γράμματα των κορυφών στο δοθέν σχήμα του.

Λύση: (α) Οι γωνίες κυρτού εξαγώνου έχουν άθροισμα 2\cdot 6-4=8 ορθές, δηλ. 8\cdot 90^{\circ}=720^{\circ}. Αφού \widehat{\alpha}=\widehat{\beta}, \widehat{\gamma}=\widehat{\delta} και \widehat{\varepsilon}=\widehat{\zeta}, είναι
\displaystyle{ 
		\widehat{\alpha}+\widehat{\gamma}+ \widehat{\varepsilon}=\dfrac{720^{\circ}}{2}=360^{\circ}. 
		}

(β) (i) Είναι

\displaystyle{ 
			\begin{aligned}\notag 
			\widehat{A}+\widehat{H}&=\widehat{\alpha}+(180^{\circ}-H\widehat{Z}E-H\widehat{E}Z)&\\\notag 
						&=\widehat{\alpha}+\widehat{\zeta}-H\widehat{E}Z&\\\notag 
						&=\widehat{\alpha}+\widehat{\zeta}-(180^{\circ}-\widehat{\delta})&\\\notag 
						&=\widehat{\alpha}+ \widehat{\delta}+\widehat{\zeta}-180^{\circ}&\\\notag 
						&=\widehat{\alpha}+\widehat{\gamma}+ \widehat{\varepsilon}-180^{\circ}&\\\notag 
						&=360^{\circ}-180^{\circ}&\\\notag 
						&=180^{\circ}&\notag 
			\end{aligned} 
}

(2ος τρόπος): Το κυρτό πεντάγωνο AB\Gamma\Delta H έχει άθροισμα γωνιών 2\cdot 5-4=6 ορθές, δηλ. 6\cdot 90^{\circ}=540^{\circ}. Συνεπώς,

\displaystyle{ 
			\widehat{\alpha}+\widehat{\gamma}+ \widehat{\varepsilon}+\widehat{\Delta}+\widehat{H}=540^{\circ}, 
			}

κι άρα

\displaystyle{ 
			\widehat{\Delta}+\widehat{H}=540^{\circ}-(\widehat{\alpha}+\widehat{\gamma}+ \widehat{\varepsilon})=540^{\circ}-360^{\circ}=180^{\circ}. 
			}

Αφού \widehat{\Delta}=\widehat{A}, έπεται ότι και \widehat{A}+\widehat{H}=180^{\circ}.

(ii) Από το προηγούμενο υποερώτημα είναι A\Theta //H\Delta. Επίσης,
\displaystyle{ 
			\widehat{\Delta}+\widehat{H}=\widehat{A}+\widehat{H}=180^{\circ}, 
			}
κι άρα AH//\Delta\Theta.
Συνεπώς, οι απέναντι πλευρές του A\Theta \Delta H είναι παράλληλες, κι άρα είναι παραλληλόγραμμο.

Φιλικά,

Αχιλλέας
Συνημμένα
final_exam_fig4_2.png
final_exam_fig4_2.png (9.2 KiB) Προβλήθηκε 1497 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#198

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 05, 2014 2:27 pm

Άσκηση 2810

Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο AB\Gamma που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο O και ακτίνα \rho. Τα τμήματα \Gamma Z και BZ είναι τα εφαπτόμενα τμήματα του κύκλου στα σημεία \Gamma και B αντίστοιχα. Αν το τμήμα \Theta H είναι κάθετο στο τμήμα AZ στο Z, να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο ZB\Gamma είναι ισόπλευρο. (Μονάδες 7)

β) Το τετράπλευρο A\Gamma ZB είναι ρόμβος (Μονάδες 8)

γ) Το τετράπλευρο B\Gamma H\Theta είναι τραπέζιο με B\Theta=BZ και \Theta H=2B\Gamma. (Μονάδες 10)

Λύση:

α) \displaystyle{{\rm B}\widehat \Gamma {\rm Z} = \Gamma \widehat {\rm B}{\rm Z} = {60^0}} (είναι γωνίες χορδής και εφαπτομένης ίσες με την αντίστοιχη εγγεγραμμένη \displaystyle{\widehat {\rm A} = {60^0}}).
Επομένως το τρίγωνο ZB\Gamma είναι ισόπλευρο.

β) Τα τρίγωνα AB\Gamma και ZB\Gamma είναι ισόπλευρα, οπότε όλες οι πλευρές του τετραπλεύρου A\Gamma ZB είναι ίσες μεταξύ τους, άρα είναι ρόμβος.
2810.png
2810.png (11.38 KiB) Προβλήθηκε 1428 φορές
γ) \displaystyle{{\rm A}{\rm Z} \bot {\rm B}\Gamma } (ως διαγώνιες ρόμβου) και \displaystyle{{\rm A}{\rm Z} \bot \Theta {\rm H}} (από υπόθεση). Άρα B\Gamma||\Theta H, δηλαδή το τετράπλευρο B\Gamma H\Theta είναι τραπέζιο, αφού οι B\Theta, \Gamma H τέμνονται στο σημείο A.

Αν M είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του ρόμβου A\Gamma ZB, τότε θα είναι το μέσο της B\Gamma, άρα τα σημεία B, \Gamma είναι τα μέσα των πλευρών A\Theta, AH αντίστοιχα, του τριγώνου A\Theta H. Επομένως:
\Theta H=2B\Gamma και \displaystyle{{\rm B}\Theta  = {\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma  = {\rm B}{\rm Z}}.



Σημείωση: Το κέντρο O του κύκλου και η ακτίνα \rho που δίνονται στην εκφώνηση, και το σημείο E που δίνεται στο σχήμα, δεν χρησιμεύουν πουθενά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#199

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 05, 2014 5:46 pm

Άσκηση 3765

Δίνεται τραπέζιο AB\Gamma\Delta (AB||\Gamma\Delta) με \displaystyle{\widehat {\rm A} = \widehat \Delta  = {90^0}}, \Delta\Gamma=2AB και \displaystyle{\widehat {\rm B} = 3\widehat \Gamma }. Φέρνουμε \displaystyle{{\rm B}{\rm E} \bot \Delta \Gamma } που τέμνει τη διαγώνιο A\Gamma στο M. Φέρνουμε την AE που τέμνει τη διαγώνιο B\Delta στο N.
Να αποδείξετε ότι:

α) \displaystyle{\widehat \Gamma  = {45^0}} (Μονάδες 6)

β) Το τετράπλευρο AB\Gamma E είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 6)

γ) \displaystyle{{\rm M}{\rm N} = \frac{1}{4}\Gamma \Delta } (Μονάδες 7)

δ) \displaystyle{{\rm A}{\rm E} \bot {\rm B}\Delta } (Μονάδες 6)

Λύση:

α) \displaystyle{{\rm A}{\rm B}||\Gamma \Delta  \Leftrightarrow \widehat {\rm B} + \widehat \Gamma  = {180^0}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\widehat {\rm B} = 3\widehat \Gamma } 4\widehat \Gamma  = {180^0} \Leftrightarrow \widehat \Gamma  = {45^0}}

β) Το τετράπλευρο ABE\Delta είναι ορθογώνιο (έχει τρεις γωνίες ορθές), κι επειδή \Delta\Gamma||=2AB, θα είναι AB=\Delta E=E\Gamma, οπότε το AB\Gamma E είναι παραλληλόγραμμο.
3765.png
3765.png (9.76 KiB) Προβλήθηκε 1393 φορές
γ) Τα σημεία M, N ως σημεία τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου AB\Gamma E και του ορθογωνίου ABE\Delta αντίστοιχα, θα είναι μέσα των πλευρών A\Gamma, AE του τριγώνου AE\Gamma. Άρα:

\displaystyle{{\rm M}{\rm N} = \frac{1}{2}{\rm E}\Gamma  = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}\Delta \Gamma } \right) \Leftrightarrow {\rm M}{\rm N} = \frac{1}{4}\Gamma \Delta }

δ) Επειδή \displaystyle{\widehat \Gamma  = {45^0}} το τρίγωνο BE\Gamma είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε BE=E\Gamma=E\Delta. Άρα το ορθογώνιο ABE\Delta είναι τετράγωνο, που σημαίνει ότι οι διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα, δηλαδή \displaystyle{{\rm A}{\rm E} \bot {\rm B}\Delta }.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#200

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 05, 2014 7:14 pm

Άσκηση 3771

Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου AB και δύο χορδές του A\Gamma και B\Delta οι οποίες τέμνονται στο σημείο E. Φέρουμε \displaystyle{{\rm E}{\rm Z} \bot {\rm A}{\rm B}}. Να αποδείξετε ότι:

α) Οι γωνίες \displaystyle{\Delta \widehat {\rm A}\Gamma } και \displaystyle{\Delta \widehat {\rm B}\Gamma } είναι ίσες. (Μονάδες 7)

β) Τα τετράπλευρα A\Delta EZ και EZB\Gamma είναι εγγράψιμα. (Μονάδες 9)

γ) Η EZ είναι διχοτόμος της γωνίας \displaystyle{\Delta \widehat {\rm Z}\Gamma }. (Μονάδες 9)

Λύση:

α) Οι γωνίες \displaystyle{\Delta \widehat {\rm A}\Gamma } και \displaystyle{\Delta \widehat {\rm B}\Gamma } είναι ίσες, επειδή είναι εγγεγραμμένες στο ίδιο τόξο \Delta\Gamma.

β) Είναι \displaystyle{{\rm A}\widehat \Delta {\rm B} = {\rm A}\widehat \Gamma {\rm B} = {90^0}}(ως εγγεγραμμένες σε ημικύκλιο). Επομένως τα τετράπλευρα A\Delta EZ και EZB\Gamma είναι εγγράψιμα, επειδή έχουν τις απέναντι γωνίες τους ορθές.
3771.png
3771.png (16.3 KiB) Προβλήθηκε 2251 φορές
γ) Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα A\Delta EZ και EZB\Gamma, έχουμε \displaystyle{\Delta \widehat {\rm A}{\rm E} = {\widehat {\rm Z}_1}} και \displaystyle{\Gamma \widehat {\rm B}{\rm E} = {\widehat {\rm Z}_2}}.

Αλλά, \displaystyle{\Delta \widehat {\rm A}{\rm E} = \Gamma \widehat {\rm B}{\rm E} \Leftrightarrow {\widehat {\rm Z}_1} = {\widehat {\rm Z}_2}}, οπότε η EZ είναι διχοτόμος της γωνίας \displaystyle{\Delta \widehat {\rm Z}\Gamma }.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία A”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης