ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
ΑΣΚΗΣΗ 3693: Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο (, και η διχοτόμος του . Από το
φέρνουμε την κάθετη στην και ονομάζουμε το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει την προέκταση της .
Nα αποδείξετε ότι:
(α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές
(β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα
(γ) Η ευθεία είναι μεσοκάθετη των τμημάτων και
(δ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο
ΛΥΣΗ
(α) Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν την υποτείνουσα κοινή και . Άρα
είναι ίσα και άρα θα έχουν και , δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
(β) Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν: (όπως είδαμε στο (α) ερώτημα) και την γωνία κοινή. Άρα είναι ίσα.
(γ) Αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η είναι διχοτόμος της γωνίας , άρα η είναι μεσοκάθετος του ,
διότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο, η διχοτόμος που άγεται από την κορυφή του είναι και διάμεσος και ύψος.
Eπίσης αφού και τα τρίγωνα και είναι ίσα (όπως δείξαμε στο (β) ερώτημα), θα έχουμε ότι και άρα και το
τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το . Συνεπώς η διχοτόμος που άγεται από την κορυφή θα είναι η μεσοκάθετος του
(δ) Οι ευθείες είναι παράλληλες ως κάθετες στην ίδια ευθεία . Kαι εφόσον οι ευθείες τέμνονται (στο )
συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. Επίσης από τα προηγούμενα ερωτήματα έχουμε ότι:
Με αφαίρεση αυτών κατά μέλη παίρνουμε : , οπότε το πιο πάνω τραπέζιο είναι ισοσκελές.
φέρνουμε την κάθετη στην και ονομάζουμε το σημείο στο οποίο η ευθεία τέμνει την προέκταση της .
Nα αποδείξετε ότι:
(α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές
(β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα
(γ) Η ευθεία είναι μεσοκάθετη των τμημάτων και
(δ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο
ΛΥΣΗ
(α) Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν την υποτείνουσα κοινή και . Άρα
είναι ίσα και άρα θα έχουν και , δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
(β) Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν: (όπως είδαμε στο (α) ερώτημα) και την γωνία κοινή. Άρα είναι ίσα.
(γ) Αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές και η είναι διχοτόμος της γωνίας , άρα η είναι μεσοκάθετος του ,
διότι σε κάθε ισοσκελές τρίγωνο, η διχοτόμος που άγεται από την κορυφή του είναι και διάμεσος και ύψος.
Eπίσης αφού και τα τρίγωνα και είναι ίσα (όπως δείξαμε στο (β) ερώτημα), θα έχουμε ότι και άρα και το
τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το . Συνεπώς η διχοτόμος που άγεται από την κορυφή θα είναι η μεσοκάθετος του
(δ) Οι ευθείες είναι παράλληλες ως κάθετες στην ίδια ευθεία . Kαι εφόσον οι ευθείες τέμνονται (στο )
συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο. Επίσης από τα προηγούμενα ερωτήματα έχουμε ότι:
Με αφαίρεση αυτών κατά μέλη παίρνουμε : , οπότε το πιο πάνω τραπέζιο είναι ισοσκελές.
τελευταία επεξεργασία από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ σε Τετ Μάιος 28, 2014 12:26 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
ΘΕΜΑ 3694
Δίνεται τρίγωνο () και η διχοτόμος του . Φέρουμε από το κάθετη στην που τέμνει την στο και την πλευρά στο.
Αν είναι το μέσο της πλευράς , να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9)
β) (Μονάδες 8)
γ) (Μονάδες 8
Λύση
α) Στο τρίγωνο αυτό η είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε είναι ισοσκελές.
β) Στο ισοσκελές τρίγωνο η είναι και διάμεσος, δηλαδή το είναι μέσο του .Έτσι, από το τρίγωνο προκύπτει ότι .
γ) Είναι , διότι , αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές από το πρώτο ερώτημα.
( Θα κάνω την τελική μορφοποίηση στο word αρχείο. To βάζω από τώρα συνημμένο για τη συλλογή των λύσεων)
Μπάμπης
Δίνεται τρίγωνο () και η διχοτόμος του . Φέρουμε από το κάθετη στην που τέμνει την στο και την πλευρά στο.
Αν είναι το μέσο της πλευράς , να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9)
β) (Μονάδες 8)
γ) (Μονάδες 8
Λύση
α) Στο τρίγωνο αυτό η είναι ύψος και διχοτόμος, οπότε είναι ισοσκελές.
β) Στο ισοσκελές τρίγωνο η είναι και διάμεσος, δηλαδή το είναι μέσο του .Έτσι, από το τρίγωνο προκύπτει ότι .
γ) Είναι , διότι , αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές από το πρώτο ερώτημα.
( Θα κάνω την τελική μορφοποίηση στο word αρχείο. To βάζω από τώρα συνημμένο για τη συλλογή των λύσεων)
Μπάμπης
- Συνημμένα
-
- 3694-4.doc
- (83.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 180 φορές
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 5886
Δίνεται τρίγωνο με και το ύψος του . Αν , και είναι τα μέσα των , και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι :
α) το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 8)
β) οι γωνίες και είναι ίσες . (Μονάδες 8)
γ) οι γωνίες και είναι ίσες. (Μονάδες 9)
Λύση
α) Τα , είναι μέσα των και αντίστοιχα. Από θεώρημα, . Άρα . Όμοια με πριν .
Αφού τέμνει , θα τέμνει και την παράλληλη της . Συνεπώς τραπέζιο.
Αρκεί να δείξω ότι . Πράγματι, διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου , άρα . Δηλαδή . Επομένως ισοσκελές τραπέζιο.
β), γ) Λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου, οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες, .
Αφού , ως εντός και επι τα αυτά (...).
Επομένως οι απέναντι γωνίες του τραπεζίου είναι παραπληρωματικές, συνεπώς το τραπέζιο είναι εγγράψιμο. Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες (θεώρημα). Έτσι, και .
Δίνεται τρίγωνο με και το ύψος του . Αν , και είναι τα μέσα των , και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι :
α) το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 8)
β) οι γωνίες και είναι ίσες . (Μονάδες 8)
γ) οι γωνίες και είναι ίσες. (Μονάδες 9)
Λύση
α) Τα , είναι μέσα των και αντίστοιχα. Από θεώρημα, . Άρα . Όμοια με πριν .
Αφού τέμνει , θα τέμνει και την παράλληλη της . Συνεπώς τραπέζιο.
Αρκεί να δείξω ότι . Πράγματι, διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου , άρα . Δηλαδή . Επομένως ισοσκελές τραπέζιο.
β), γ) Λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου, οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες, .
Αφού , ως εντός και επι τα αυτά (...).
Επομένως οι απέναντι γωνίες του τραπεζίου είναι παραπληρωματικές, συνεπώς το τραπέζιο είναι εγγράψιμο. Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες (θεώρημα). Έτσι, και .
- Συνημμένα
-
- 4-5886.png (10.15 KiB) Προβλήθηκε 3247 φορές
τελευταία επεξεργασία από VreAnt σε Παρ Μάιος 30, 2014 4:09 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4737
Δίδεται τρίγωνο με γωνία . Φέρνουμε τα ύψη που τέμνονται στο . Φέρνουμε διχοτόμο της γωνίας και κάθετο στο ύψος . Να αποδείξετε ότι :
α) Για το τμήμα ισχύει . (μ 9)
β) Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο . (μ8)
γ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο . (μ8)
Λύση
Επειδή οι είναι κάθετες στην θα είναι μεταξύ τους παράλληλες και άρα . Στο ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των οξειών του είναι
, συνεπώς . Όμως γιατί έχουν κάθετες πλευρές και άρα και . Επειδή όμως το ορθογώνιο τρίγωνο έχει την οξεία του γωνία
η άλλη οξεία του γωνία θα είναι και συνεπώς κάθε μια από τις ίσες , λόγω διχοτόμου, γωνίες θα είναι από , δηλαδή : .
[attachment=1]4737_ok.png[/attachment]
Στο τρίγωνο η γωνία είναι εξωτερική του και άρα . Μετά απ αυτά αβίαστα προκύπτουν:
α) (η κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου με απέναντι γωνία
β) τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα γιατί έχουν από 2 γωνίες ίσες με
γ) Το τραπέζιο είναι ισοσκελές γιατί οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες, από κάθε μιά.
Νίκος
α) Για το τμήμα ισχύει . (μ 9)
β) Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο . (μ8)
γ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο . (μ8)
Λύση
Επειδή οι είναι κάθετες στην θα είναι μεταξύ τους παράλληλες και άρα . Στο ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των οξειών του είναι
, συνεπώς . Όμως γιατί έχουν κάθετες πλευρές και άρα και . Επειδή όμως το ορθογώνιο τρίγωνο έχει την οξεία του γωνία
η άλλη οξεία του γωνία θα είναι και συνεπώς κάθε μια από τις ίσες , λόγω διχοτόμου, γωνίες θα είναι από , δηλαδή : .
[attachment=1]4737_ok.png[/attachment]
Στο τρίγωνο η γωνία είναι εξωτερική του και άρα . Μετά απ αυτά αβίαστα προκύπτουν:
α) (η κάθετη πλευρά ορθογωνίου τριγώνου με απέναντι γωνία
β) τα τρίγωνα είναι ισόπλευρα γιατί έχουν από 2 γωνίες ίσες με
γ) Το τραπέζιο είναι ισοσκελές γιατί οι γωνίες της βάσης του είναι ίσες, από κάθε μιά.
Νίκος
- Συνημμένα
-
- 4737_ok.png (30.99 KiB) Προβλήθηκε 3215 φορές
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Νομίζω ότι στο β ερώτημα μπορούμε να πούμε ότι οι γωνίες ως οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές και επειδή θα ισχύει για τις γωνίες άραhlkampel έγραψε:Άσκηση 3919
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο με και τα ύψη του. Να αποδείξετε ότι:
α)
β)
γ) Το τετράπλευρο
δ)
Λύση
α) Το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου είναι και διάμεσος, δηλαδή το είναι μέσο του .
Στο ορθ. τρίγωνο το είναι διάμεσος στην υποτείνουσα , έτσι .
β) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο αφού η πλευρά του φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ορθή γωνία.
Άρα
(Σημείωση: Μάλλον κάτι άλλο είχε στο μυαλό του ο θεματοδότης)
γ) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο από το (β) ερώτημα.
δ) Είναι αφού το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
-
- Δημοσιεύσεις: 36
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 27, 2013 8:42 am
- Τοποθεσία: Λάρισα
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ Γεωμετριας
Η ασκηση 3731 εχει λάθος α ερωτημα. Τι γίνεται αν κληρωθει????
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ Γεωμετριας
Δίνεις το σωστό : .Μαρία Σαμπάνη έγραψε:Η ασκηση 3731 εχει λάθος α ερωτημα. Τι γίνεται αν κληρωθει????
Δεν υπάρχει ούτε στα χίλια να σου ζητήσουν το λόγο, το γιατί, προφανές.
Τέτοια πράγματα δεν έχουν ξαναγίνει .
Τι έχουν να δουν άραγε ακόμα τα μάτια μας!
τελευταία επεξεργασία από AIAS σε Τετ Μάιος 28, 2014 12:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 3696
Δίνεται οξεία γωνία και δύο ομόκεντροι κύκλοι και με , που τέμνουν την στα σημεία ,
και την στα αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
α) . (Μονάδες 8)
β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές, όπου το σημείο τομής των και . (Μονάδες 8)
γ) Η διχοτομεί την γωνία (Μονάδες 9) Λύση
α)Συγκρίνω τα τρίγωνα και . Έχουν: (ΠΓΠ). Άρα, και (1)
β) Συγκρίνω τα τρίγωνα και . Έχουν: (ΓΠΓ)
ισχύει λόγω (1), (κατακορυφήν) και άθροισμα γωνιών τριγώνου
Άρα (2), δηλ. ισοσκελές.
γ)Συγκρίνω τα τρίγωνα και . Έχουν: (ΠΠΠ). Άρα, δηλ. ΟΡ διχοτόμος .
Δίνεται οξεία γωνία και δύο ομόκεντροι κύκλοι και με , που τέμνουν την στα σημεία ,
και την στα αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
α) . (Μονάδες 8)
β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές, όπου το σημείο τομής των και . (Μονάδες 8)
γ) Η διχοτομεί την γωνία (Μονάδες 9) Λύση
α)Συγκρίνω τα τρίγωνα και . Έχουν: (ΠΓΠ). Άρα, και (1)
β) Συγκρίνω τα τρίγωνα και . Έχουν: (ΓΠΓ)
ισχύει λόγω (1), (κατακορυφήν) και άθροισμα γωνιών τριγώνου
Άρα (2), δηλ. ισοσκελές.
γ)Συγκρίνω τα τρίγωνα και . Έχουν: (ΠΠΠ). Άρα, δηλ. ΟΡ διχοτόμος .
τελευταία επεξεργασία από VreAnt σε Τετ Μάιος 28, 2014 10:44 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Βρέντζος Αντώνης
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ Γεωμετριας
Εφαπτόμενα τμήματα είναι τα ΜΑ και ΜΒ.AIAS έγραψε:Δίνεις το σωστό : .Μαρία Σαμπάνη έγραψε:Η ασκηση 3731 εχει λάθος α ερωτημα. Τι γίνεται αν κληρωθει????
Δεν υπάρχει ούτε στα χίλια να σου ζητήσουν το λόγο, το γιατί, προφανές.
Τέτοια πράγματα δεν έχουν ξαναγίνει .
Τι έχουν να δουν άραγε ακόμα τα μάτια μας!
τελευταία επεξεργασία από m.bee σε Τετ Μάιος 28, 2014 12:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Έχεις δίκιο , έκανα μια διόρθωση στο δικό μου λάθος αλλά το πιο ενδεδειγμένο είναι αυτό που προτείνεις .ΒΑΣΙΚΟΣ έγραψε:ΜΑ=ΜΒ μόνο και ΜΟ=ΜΓ
-
- Δημοσιεύσεις: 277
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 14, 2011 11:44 pm
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Η γραφειοκρατία πράγματι είναι απαράδεκτη με τα πρακτικά κλπ (αλήθεια πότε θα "εξαφανιστεί" η έννοια "πρακτικό" από το Δημόσιο Σχολείο;)
Πιατεύω οτι ο εκπαιδευτικός που θα εντοπίσει λάθος σε θέμα δεν έχει δικαίωμα να το διορθώσει, παρά μόνον να ενημερώσει τον Διευθυντή του Σχολείου, ο οποίος με τη σειρά του θα ενημερώσει τη Δευτεροβάθμια κλπ. Ιεραρχία δηλαδή, όπως στο Στρατό. Μετά περιμένουμε να πάμε μπροστά με τέτοια γραφειοκρατία...
Πιατεύω οτι ο εκπαιδευτικός που θα εντοπίσει λάθος σε θέμα δεν έχει δικαίωμα να το διορθώσει, παρά μόνον να ενημερώσει τον Διευθυντή του Σχολείου, ο οποίος με τη σειρά του θα ενημερώσει τη Δευτεροβάθμια κλπ. Ιεραρχία δηλαδή, όπως στο Στρατό. Μετά περιμένουμε να πάμε μπροστά με τέτοια γραφειοκρατία...
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Πόσο απλό είναι θα ήταν να έρθει μια διευκρίνηση , η οποία να σημειώνει πάνω κάτω ότι :
'' Αν ο εισηγητής καθηγητής εντοπίσει αμέσως μετά την κλήρωση λάθος ερώτημα ή παράλλειψη ή σημαντική ασάφεια που καθιστά το ερώτημα ή το θέμα ακατάλληλο ,έχει το δικαίωμα να ζητήσει άλλο θέμα, αναγράφοντας στη σχετική φόρμα την αιτιολόγηση : '' Ακατάλληλο θέμα '', χωρίς πρακτικό ή άλλη διαδικασία. Ο εισηγητής μπορεί ακόμα να τροποποιήσει κάποιο υποερώτημα, αν κρίνει ότι αυτό δεν είναι κατανοητό από τους μαθητές, με την προϋπόθεση ότι δεν αλλοιώνει τη δυσκολία ή τη φύση του ερωτήματος. ''
Πρόκειται για αυτονόητα τελικά πράγματα που δίνουν κύρος στον Καθηγητή και σέβονται το μαθητή και την εκπαίδευση.Ταυτόχρονα απαλλάσσουν το σχολείο από ανόητες γραφειοκρατείες . Νομίζω όμως ότι όλα αυτά θα γίνουν σιγά-σιγά , αν ο θεσμός έχει μέλλον. Διαβλέπω μάλιστα ότι για την Α΄ Λυκείου η διαδικασία θα απλοποιηθεί πολύ και ο βαθμός προαγωγής δεν θα προσμετράται στην εισαγωγή στα ΑΕΙ. Η μη ισοδυναμία των θεμάτων θα γίνει στο τέλος αντιλληπτή και θα έχουμε βελτιώσεις.
Απλά, οι πολιτικοί σκέφτονται εγωιστικά και αργούν να δουν την αλήθεια κατάματα, διότι πρέπει εκτός των άλλων να δίνουν εξηγήσεις και στους δημοσιογράφους ή στην εκάστοτε αντιπολίτευση .
Μπάμπης
'' Αν ο εισηγητής καθηγητής εντοπίσει αμέσως μετά την κλήρωση λάθος ερώτημα ή παράλλειψη ή σημαντική ασάφεια που καθιστά το ερώτημα ή το θέμα ακατάλληλο ,έχει το δικαίωμα να ζητήσει άλλο θέμα, αναγράφοντας στη σχετική φόρμα την αιτιολόγηση : '' Ακατάλληλο θέμα '', χωρίς πρακτικό ή άλλη διαδικασία. Ο εισηγητής μπορεί ακόμα να τροποποιήσει κάποιο υποερώτημα, αν κρίνει ότι αυτό δεν είναι κατανοητό από τους μαθητές, με την προϋπόθεση ότι δεν αλλοιώνει τη δυσκολία ή τη φύση του ερωτήματος. ''
Πρόκειται για αυτονόητα τελικά πράγματα που δίνουν κύρος στον Καθηγητή και σέβονται το μαθητή και την εκπαίδευση.Ταυτόχρονα απαλλάσσουν το σχολείο από ανόητες γραφειοκρατείες . Νομίζω όμως ότι όλα αυτά θα γίνουν σιγά-σιγά , αν ο θεσμός έχει μέλλον. Διαβλέπω μάλιστα ότι για την Α΄ Λυκείου η διαδικασία θα απλοποιηθεί πολύ και ο βαθμός προαγωγής δεν θα προσμετράται στην εισαγωγή στα ΑΕΙ. Η μη ισοδυναμία των θεμάτων θα γίνει στο τέλος αντιλληπτή και θα έχουμε βελτιώσεις.
Απλά, οι πολιτικοί σκέφτονται εγωιστικά και αργούν να δουν την αλήθεια κατάματα, διότι πρέπει εκτός των άλλων να δίνουν εξηγήσεις και στους δημοσιογράφους ή στην εκάστοτε αντιπολίτευση .
Μπάμπης
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Kαλησπέρα σε όλους
Μετά από αρκετή σκέψη και προβληματισμό για τα πιθανά λάθη και τις ασάφειες της Τράπεζας θεμάτων και εφόσον κληρωθεί ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΟ ΘΕΜΑ ΘΑ ΤΟ ΔΙΟΡΘΩΣΩ ΑΜΕΣΩΣ ΚΑΙ ΘΑ ΔΟΘΕΙ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ.....Να περιμένουμε απαντήσεις με Πρακτικά κ.λ.π μου φαίνεται αστείο
ΚΑΛΗ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΟΛΟΥΣ
Γιάννης
Μετά από αρκετή σκέψη και προβληματισμό για τα πιθανά λάθη και τις ασάφειες της Τράπεζας θεμάτων και εφόσον κληρωθεί ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΟ ΘΕΜΑ ΘΑ ΤΟ ΔΙΟΡΘΩΣΩ ΑΜΕΣΩΣ ΚΑΙ ΘΑ ΔΟΘΕΙ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ.....Να περιμένουμε απαντήσεις με Πρακτικά κ.λ.π μου φαίνεται αστείο
ΚΑΛΗ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΟΛΟΥΣ
Γιάννης
α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Γιάννη, εσύ έχεις την καλή πρόθεση να το διορθώσεις, αλλά αν το θέμα είναι συνολικά λάθος, τι να διορθώσεις; Πρέπει να φτιάξεις άλλη άσκηση !STOPJOHN έγραψε:Kαλησπέρα σε όλους
Μετά από αρκετή σκέψη και προβληματισμό για τα πιθανά λάθη και τις ασάφειες της Τράπεζας θεμάτων και εφόσον κληρωθεί ΛΑΝΘΑΣΜΕΝΟ ΘΕΜΑ ΘΑ ΤΟ ΔΙΟΡΘΩΣΩ ΑΜΕΣΩΣ ΚΑΙ ΘΑ ΔΟΘΕΙ ΣΤΟΥΣ ΜΑΘΗΤΕΣ.....Να περιμένουμε απαντήσεις με Πρακτικά κ.λ.π μου φαίνεται αστείο
ΚΑΛΗ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΟΛΟΥΣ
Γιάννης
Όμως σε λίγες μέρες όλα θα έχουν διορθωθεί και δεν θα υπάρξει εύκολα πρόβλημα !
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Βάζω τις 4583 και 4599
στο παρακάτω link: http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=684
επειδή έχω πρόβλημα με το Latex (ή εγώ κάνω κάτι λάθος)
στο παρακάτω link: http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=684
επειδή έχω πρόβλημα με το Latex (ή εγώ κάνω κάτι λάθος)
τελευταία επεξεργασία από Peri2005 σε Τετ Μάιος 28, 2014 10:10 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
4603
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο , και τυχαίο σημείο της πλευράς .
Από το σημείο φέρουμε ευθεία κάθετη στην πλευρά που τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα.
Αν και τα ύψη των τριγώνων και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) (Μονάδες 8)
β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)
γ) (Μονάδες 9)
Λύση
β και α) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αφού έχει τρεις ορθές γωνίες.
Λόγω της παραλληλίας είναι κι αφού έχουμε ότι η είναι διχοτόμος της
Αυτό έχει σαν συνέπεια το τρίγωνο να είναι ισοσκελές αφού το είναι ταυτόχρονα διχοτόμος και ύψος .
Έτσι αφού οι πλευρές της είναι διχοτόμοι εφεξής παραπληρωματικών γωνιών .
γ) Το είναι και διάμεσος στο , οπότε .
Τότε :
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο , και τυχαίο σημείο της πλευράς .
Από το σημείο φέρουμε ευθεία κάθετη στην πλευρά που τέμνει τις ευθείες και στα σημεία και αντίστοιχα.
Αν και τα ύψη των τριγώνων και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) (Μονάδες 8)
β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)
γ) (Μονάδες 9)
Λύση
β και α) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο αφού έχει τρεις ορθές γωνίες.
Λόγω της παραλληλίας είναι κι αφού έχουμε ότι η είναι διχοτόμος της
Αυτό έχει σαν συνέπεια το τρίγωνο να είναι ισοσκελές αφού το είναι ταυτόχρονα διχοτόμος και ύψος .
Έτσι αφού οι πλευρές της είναι διχοτόμοι εφεξής παραπληρωματικών γωνιών .
γ) Το είναι και διάμεσος στο , οπότε .
Τότε :
- Συνημμένα
-
- 4603.png (10.47 KiB) Προβλήθηκε 2438 φορές
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Δευ Ιουν 16, 2014 8:07 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Kαλαθάκης Γιώργης
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4606
Δίνεται κύκλος κέντρου και δυο μη αντιδιαμετρικά σημεία του και .
Φέρουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία και οι οποίες τέμνονται στο σημείο .
Φέρουμε επίσης και τα ύψη και του τριγώνου τα οποία τέμνονται στο σημείο . Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
β) Το τετράπλευρο είναι ρόμβος.
γ) Τα σημεία είναι συνευθειακά.
Λύση
α) Είναι ως εφαπτόμενα τμήματα, δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Τα ορθ. τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν την πλευρά κοινή και ως προσκείμενες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου .
Άρα και , οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές αφού έχει δύο ίσες γωνίες.
β) Είναι και έτσι
Ομοίως είναι ως κάθετες στην .
Επίσης είναι ως ακτίνες του κύκλου.
Από τις τρείς παραπάνω σχέσεις συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο είναι ρόμβος.
γ) Είναι από το ισοσκελές τρίγωνο
από το ισοσκελές τρίγωνο και
Άρα τα σημεία ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος δηλαδή ανήκουν στη μεσοκάθετο του, δηλαδή στην ίδια ευθεία.
Δίνεται κύκλος κέντρου και δυο μη αντιδιαμετρικά σημεία του και .
Φέρουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία και οι οποίες τέμνονται στο σημείο .
Φέρουμε επίσης και τα ύψη και του τριγώνου τα οποία τέμνονται στο σημείο . Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
β) Το τετράπλευρο είναι ρόμβος.
γ) Τα σημεία είναι συνευθειακά.
Λύση
α) Είναι ως εφαπτόμενα τμήματα, δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
Τα ορθ. τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν την πλευρά κοινή και ως προσκείμενες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου .
Άρα και , οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές αφού έχει δύο ίσες γωνίες.
β) Είναι και έτσι
Ομοίως είναι ως κάθετες στην .
Επίσης είναι ως ακτίνες του κύκλου.
Από τις τρείς παραπάνω σχέσεις συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο είναι ρόμβος.
γ) Είναι από το ισοσκελές τρίγωνο
από το ισοσκελές τρίγωνο και
Άρα τα σημεία ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος δηλαδή ανήκουν στη μεσοκάθετο του, δηλαδή στην ίδια ευθεία.
- Συνημμένα
-
- 4606.png (24.82 KiB) Προβλήθηκε 2457 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Τετ Μάιος 28, 2014 9:44 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Ηλίας Καμπελής
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4611
Δίνεται τρίγωνο και στην προέκταση της (προς το ) θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε ενώ στην προέκταση της (προς το ) θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε .
Αν οι εξωτερικοί διχοτόμοι των γωνιών και τέμνουν τις και στα σημεία και αντίστοιχα, και η τέμνει τις και στα σημεία και αντίστοιχα να αποδείξετε ότι:
α) Τα σημεία και είναι μέσα των και αντίστοιχα. (Μονάδες )
β) Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή (Μονάδες )
γ) (Μονάδες )
Λύση:
α) Επειδή τα τρίγωνα είναι ισοσκελή οι διχοτόμοι των γωνιών αντίστοιχα, θα είναι και διάμεσοι.
β) Η ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου , άρα .
Οπότε θα είναι και (ως εντός εκτός και επί τα αυτά)
Αλλά από τα ισοσκελή τρίγωνα , έχουμε: και .
Άρα: και , δηλαδή τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή.
γ) Η ως παράλληλη στη θα διέρχεται από τα μέσα των πλευρών
του τριγώνου . Άρα τα σημεία είναι τα μέσα των αντίστοιχα, οπότε θα είναι:
.
Επομένως:
Δίνεται τρίγωνο και στην προέκταση της (προς το ) θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε ενώ στην προέκταση της (προς το ) θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε .
Αν οι εξωτερικοί διχοτόμοι των γωνιών και τέμνουν τις και στα σημεία και αντίστοιχα, και η τέμνει τις και στα σημεία και αντίστοιχα να αποδείξετε ότι:
α) Τα σημεία και είναι μέσα των και αντίστοιχα. (Μονάδες )
β) Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή (Μονάδες )
γ) (Μονάδες )
Λύση:
α) Επειδή τα τρίγωνα είναι ισοσκελή οι διχοτόμοι των γωνιών αντίστοιχα, θα είναι και διάμεσοι.
β) Η ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου , άρα .
Οπότε θα είναι και (ως εντός εκτός και επί τα αυτά)
Αλλά από τα ισοσκελή τρίγωνα , έχουμε: και .
Άρα: και , δηλαδή τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή.
γ) Η ως παράλληλη στη θα διέρχεται από τα μέσα των πλευρών
του τριγώνου . Άρα τα σημεία είναι τα μέσα των αντίστοιχα, οπότε θα είναι:
.
Επομένως:
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Μάιος 28, 2014 10:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4616
Δίνεται παραλληλόγραμμο και το μέσο της πλευράς . Φέρνουμε κάθετη στην στο σημείο της , η οποία τέμνει την ευθεία στο σημείο και την στο .
Να αποδείξετε ότι:
α)
β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
γ)
Λύση
α) Τα τρίγωνα και είναι ίσα γιατι η αφου το είναι το μέσο της και ώς εντός εναλλάξ και ώς κατακορυφήν. Άρα και
β) Η είναι ύψος και διάμεσος του τριγώνου άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
γ) Αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές τότε όμως
Δηλαδή το ζητούμενο.
Δίνεται παραλληλόγραμμο και το μέσο της πλευράς . Φέρνουμε κάθετη στην στο σημείο της , η οποία τέμνει την ευθεία στο σημείο και την στο .
Να αποδείξετε ότι:
α)
β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
γ)
Λύση
α) Τα τρίγωνα και είναι ίσα γιατι η αφου το είναι το μέσο της και ώς εντός εναλλάξ και ώς κατακορυφήν. Άρα και
β) Η είναι ύψος και διάμεσος του τριγώνου άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
γ) Αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές τότε όμως
Δηλαδή το ζητούμενο.
- Συνημμένα
-
- 4616.png (9.65 KiB) Προβλήθηκε 2963 φορές
Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες