ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

hlkampel · #61

Η άσκηση 4614 νομίζω έχει πρόβλημα στο ερώτημα (γ).

Αν μπορεί ας το κοιτάξει και κάποιος άλλος μήπως μου ξεφεύγει κάτι.

hlkampel · #62

Άσκηση 4619

Δίνεται τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και ${\rm E}$ το μέσο της διαμέσου ${\rm B}\Delta$ .

Στην προέκταση της ${\rm A}{\rm E}$ θεωρούμε σημείο ${\rm Z}$ τέτοιο ώστε ${\rm E}{\rm Z} = {\rm A}{\rm E}$ .

Να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm B}{\rm Z}\Delta$ είναι παραλληλόγραμμο.

β) Το τετράπλευρο ${\rm B}\Delta \Gamma {\rm Z}$ είναι παραλληλόγραμμο.

γ) Το σημείο $\Theta$ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ${\rm B}\Delta {\rm Z}$ .

Λύση

α) Το σημείο ${\rm E}$ είναι μέσο των ${\rm B}\Delta$ και ${\rm A}{\rm Z}$ . Άρα το τετράπλευρο ${\rm A}{\rm B}{\rm Z}\Delta$ είναι παραλληλόγραμμο αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται.

β) Από το παρ/μο ${\rm A}{\rm B}{\rm Z}\Delta$ ισχύει ${\rm B}{\rm Z}// = {\rm A}\Delta \Leftrightarrow {\rm B}{\rm Z}// = \Delta \Gamma$ αφού ${\rm A}\Delta = \Delta \Gamma$ .

Έτσι το ${\rm B}\Delta \Gamma {\rm Z}$ είναι παραλληλόγραμμο.

γ) Έστω το σημείο ${\rm H}$ είναι το κέντρο του ${\rm B}\Delta \Gamma {\rm Z}$ , τότε το ${\rm H}$ είναι μέσο της ${\rm B}\Gamma$ .

Στο τρίγωνο ${\rm B}\Delta {\rm Z}$ οι ${\rm B}{\rm H},{\rm Z}{\rm E}$ είναι διάμεσοι που τέμνονται στο $\Theta$ , οπότε το $\Theta$ είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ${\rm B}\Delta {\rm Z}$ .

Σημείωση: Η εκφώνηση δεν αναφέρει ποιο σημείο είναι το $\Theta$ , ευτυχώς υπήρχε το σχήμα.

#63

hlkampel έγραψε:Η άσκηση 4614 νομίζω έχει πρόβλημα στο ερώτημα (γ).

Αν μπορεί ας το κοιτάξει και κάποιος άλλος μήπως μου ξεφεύγει κάτι.

Έχεις δίκιο. Υπάρχει τυπογραφικό. Το σωστό είναι: $AE=\Delta E+BZ$

#64

hlkampel έγραψε:Η άσκηση 4614 νομίζω έχει πρόβλημα στο ερώτημα (γ).

Αν μπορεί ας το κοιτάξει και κάποιος άλλος μήπως μου ξεφεύγει κάτι.

Είναι λάθος .

#65

ΜΕΤΑΤΡΕΠΩ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ word ΜΑΖΙ ΜΕ ΤΙΣ ΛΥΣΕΙΣ

#66

Άσκηση 4622

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $AB\Gamma$ και το ύψος του $\Gamma E$ . Στην προέκταση της $\Gamma B$ (προς το

) θεωρούμε

σημείο $\Delta$ τέτοιο ώστε $\displaystyle{{\rm B}\Delta = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2}}$ . Αν η ευθεία $\Delta E$ τέμνει την $A\Gamma$ στο

και $\displaystyle{{\rm Z}\Theta ||{\rm B}\Gamma }$ :

α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο $B\Delta E$ είναι ισοσκελές και το τρίγωνο $A\Theta Z$ είναι ισόπλευρο. (Μονάδες

)

β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου $\Theta EZ$ (Μονάδες

)

γ) Να αποδείξετε ότι $AE=2\Theta Z$ (Μονάδες

)

δ) Να αποδείξετε ότι $3AB=4\Theta B$ (Μονάδες

)

Λύση:

α) Το ύψος $\Gamma E$ είναι και διάμεσος κι επειδή το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισόπλευρο θα είναι: $\displaystyle{{\rm B}{\rm E} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2} = {\rm B}\Delta }$ , οπότε το τρίγωνο $B\Delta E$ είναι ισοσκελές.

Επειδή $\displaystyle{{\rm Z}\Theta ||{\rm B}\Gamma }$ , το τρίγωνο $A\Theta Z$ θα είναι ισογώνιο με το $AB\Gamma$ , δηλαδή και το $A\Theta Z$ είναι ισόπλευρο.

β) $\boxed{{\rm E}\widehat \Theta {\rm Z} = {120^0}}$ (παραπληρωματική της γωνίας $\displaystyle{{\rm A}\widehat \Theta {\rm Z} = {60^0}}$ )

$\displaystyle{\Theta \widehat {\rm Z}{\rm E} = {\rm B}\widehat \Delta {\rm E}}$ (
ως εντός εναλλάξ). Αλλά $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma = 2{\rm B}\widehat \Delta {\rm E}}$ (ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο $BE\Delta$ )

Οπότε $\boxed{\Theta \widehat {\rm Z}{\rm E} = {30^0}}$ και κατά συνέπεια $\boxed{\Theta \widehat {\rm E}{\rm Z} = {30^0}}$

: 4_4622.png (11.37 KiB) Προβλήθηκε 2487 φορές

γ) $\displaystyle{\Theta \widehat {\rm E}{\rm Z} = \Theta \widehat {\rm Z}{\rm E} \Leftrightarrow \Theta {\rm E} = \Theta {\rm Z}}$ . Οπότε:

$\displaystyle{{\rm A}{\rm E} = {\rm A}\Theta + \Theta {\rm E} \Leftrightarrow }$ $\boxed{{\rm A}{\rm E} = 2\Theta {\rm Z}}$

δ) $\displaystyle{\Theta {\rm B} = \Theta {\rm E} + {\rm E}{\rm B} = \frac{{{\rm A}{\rm E}}}{2} + {\rm A}{\rm E} = \frac{3}{2}{\rm A}{\rm E} = \frac{3}{4}{\rm A}{\rm B} \Leftrightarrow }$ $\boxed{3AB=4\Theta B}$

#67

hlkampel έγραψε:Η άσκηση 4614 νομίζω έχει πρόβλημα στο ερώτημα (γ).

Αν μπορεί ας το κοιτάξει και κάποιος άλλος μήπως μου ξεφεύγει κάτι.

Καλησπέρα

Πρόκειται μάλλον για λάθος πληκτρολόγησης .

Το σωστό είναι : $\boxed{{\rm A}{\rm E} = \Delta {\rm E} + {\rm B}{\rm Z}}$

Φιλικά Νίκος

hlkampel · #68

Άσκηση 4614

Δίνεται τετράγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ και τυχαίο σημείο ${\rm E}$ στην πλευρά $\Delta \Gamma$ .

Φέρουμε τη διχοτόμο ${\rm A}{\rm Z}$ της γωνίας ${\rm E}{\rm A}{\rm B}$ και την $\Delta {\rm H}$ κάθετη από το $\Delta$ προς την ${\rm A}{\rm Z}$ , η οποία τέμνει την ${\rm A}{\rm E}$ στο ${\rm M}$ και την ${\rm A}{\rm B}$ στο ${\rm N}$ .

Να αποδείξετε ότι:

α) Τα τρίγωνα ${\rm A}\Delta {\rm N}$ και ${\rm A}{\rm B}{\rm Z}$ είναι ίσα.

β) ${\rm A}{\rm M} = {\rm A}{\rm N}$ και $\Delta {\rm E} = {\rm E}{\rm M}$ .

γ) ${\rm A}{\rm E} = \Delta {\rm E} + {\rm B}{\rm Z}$ (Η εκφώνηση της τράπεζας ήταν ${\rm A}{\rm Z} = \Delta {\rm E} + {\rm B}{\rm Z}$ )

Λύση

α) Τα ορθογώνια τρίγωνα ${\rm A}\Delta {\rm N}$ και ${\rm A}{\rm B}{\rm Z}$ είναι ίσα αφού έχουν:

${\rm A}\Delta = {\rm A}{\rm B}$ ως πλευρές του τετραγώνου και $\widehat {{\rm A}\Delta {\rm N}} = \widehat {{\rm Z}{\rm A}{\rm B}}$ ως οξείες γωνίες με κάθετες πλευρές.

Άρα θα είναι και ${\rm A}{\rm N} = {\rm B}{\rm Z}\;\left( 1 \right)$

β) Στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm M}{\rm N}$ το ${\rm A}{\rm H}$ είναι διχοτόμος και ύψος οπότε είναι ισοσκελές. Έτσι ${\rm A}{\rm M} = {\rm A}{\rm N}\;\left( 2 \right)$

$\widehat {{\rm E}\Delta {\rm M}} = \widehat {{\rm A}{\rm N}\Delta }\;\left( 3 \right)$ ως εντός εναλλάξ.

$\widehat {\Delta {\rm M}{\rm E}} = \widehat {{\rm A}{\rm M}{\rm N}} = \widehat {{\rm A}{\rm N}\Delta }\;\left( 4 \right)$ από το ισοσκελές τρίγωνο ${\rm A}{\rm M}{\rm N}$

$\left( 3 \right),\left( 4 \right) \Rightarrow \widehat {{\rm E}\Delta {\rm M}} = \widehat {\Delta {\rm M}{\rm E}}$ δηλαδή το τρίγωνο $\Delta {\rm M}{\rm E}$ είναι ισοσκελές, έτσι $\Delta {\rm E} = {\rm E}{\rm M}\;\left( 5 \right)$

γ) Είναι $\Delta {\rm E} + {\rm B}{\rm Z}\mathop = \limits^{\left( 2 \right),\left( 4 \right)} {\rm E}{\rm M} + {\rm A}{\rm N}\mathop = \limits^{\left( 5 \right)} {\rm E}{\rm M} + {\rm A}{\rm M} \Rightarrow \Delta {\rm E} + {\rm B}{\rm Z} = {\rm A}{\rm E}$

Ευχαριστώ τους συναδέλφους που την έλεγξαν.

#69

6875

Σε ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle{\,\,\,{\rm{{\rm A}{\rm B}\Gamma }}\,\,\,\,}$ $\displaystyle{\,\,(A = {90^0})\,\,}$ φέρουμε τη διχοτόμο του $\displaystyle{\,\,{\rm A}\Delta \,\,}$ .
‘Eστω $\displaystyle{\,\,\Delta {\rm K}\,}$ και $\displaystyle{\,\Delta {\rm P}\,\,}$ οι προβολές του $\displaystyle{\,\,\Delta \,\,\,}$ στις $\displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm B}\,}$ και $\displaystyle{\,\,{\rm A}\Gamma \,\,}$ αντίστοιχα.
Η κάθετη της $\displaystyle{\,{\rm B}\Gamma \;}$ στο σημείο $\displaystyle{\;\;\Delta \,\,}$ τέμνει την πλευρά $\displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}\Gamma \,\,}$ στο $\displaystyle{\,{\rm E}\,\,}$ και την προέκταση της πλευράς $\displaystyle{\,{\rm A}{\rm B}\,\,}$ (προς το $\displaystyle{\,{\rm B}\,\,}$ ) στο σημείο $\displaystyle{\,\,{\rm Z}\,\,}$ .
α) Να αποδείξετε ότι:
i. $\displaystyle{\,\,\widehat{\rm B} = \widehat{\Delta {\rm E}\Gamma }\,\,}$ (Μονάδες 8)
ii. $\displaystyle{\,\,\,\,\Delta {\rm E} = \Delta {\rm B}\,\,}$ (Μονάδες 8)

β) Να υπολογίσετε τη γωνία $\displaystyle{\,\,\Delta \Gamma {\rm Z}\;\;\;\;}$ (Μονάδες 9)

Λύση
α) Το τετράπλευρο $\displaystyle{\,\,{\rm B}{\rm A}{\rm E}\Delta \,\,\,\,}$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο αφού $\displaystyle{\,\,\,\widehat{\rm A} + \widehat\Delta = {180^0}\,\,\,}$ οπότε $\displaystyle{{\mkern 1mu} \widehat{\rm{B}} = \widehat{\Delta {\rm{E}}\Gamma }{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }$ , ως εξωτερική γωνία .

β) Πάλι από το εγγράψιμο τετράπλευρο $\displaystyle{\,\,{\rm B}{\rm A}{\rm E}\Delta \,\,\,\,}$ έχουμε $\displaystyle{\,\,\,\widehat{{\rm E}{\rm B}\Delta }\, = \widehat{{\rm E}{\rm A}\Delta } = {45^0}\,\,}$ και $\displaystyle{\,\,\,\widehat{{\rm B}{\rm E}\Delta }\, = \widehat{{\rm B}{\rm A}\Delta } = {45^0}\,\,}$ ,
αφού μια πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές κάτω από ίσες γωνίες .
Επομένως $\displaystyle{\,\,\,\widehat{{\rm B}{\rm E}\Delta }\, = \widehat{\Delta {\rm B}{\rm E}} = {45^0}\,\,}$ , οπότε το τρίγωνο $\displaystyle{\,\,\,\,{\rm B}\Delta {\rm E}\,\,}$ είναι ισοσκελές και κατά συνέπεια : $\displaystyle{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Delta {\rm{E}} = \Delta {\rm{B}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} }$

γ) Το τετράπλευρο $\displaystyle{\,\,\Delta {\rm A}{\rm Z}\Gamma \,\,\,\,}$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο αφού $\displaystyle{\,\,\,\widehat{{\rm Z}{\rm A}\Gamma } + \widehat{{\rm Z}\Delta \Gamma } = {90^0}\,\,\,}$ ,
οπότε η πλευρά $\displaystyle{\,\,\,{\rm Z}\Gamma \,\,\,}$ φαίνεται από τις απέναντι κορυφές κάτω από ίσες γωνίες .
Επομένως $\displaystyle{\,\,\widehat{\Delta \Gamma {\rm Z}} = \widehat{\Delta {\rm A}{\rm B}}\, = {45^0}\,\,}$ ως εξωτερική γωνία που ισούται με την απέναντι εσωτερική στο $\displaystyle{\,\,\Delta {\rm A}{\rm Z}\Gamma \,\,\,\,}$ .

Σχόλιο : Σύμφωνα με αυτό τον τρόπο λύσης το σημείο $\displaystyle{\,{\rm P}\,\,}$ δεν χρειάζεται . .

#70

Άσκηση

: 4_4799.png (22.63 KiB) Προβλήθηκε 2541 φορές

a) Πρώτα-πρώτα $\boxed{{{\widehat \theta }_1} = {{\widehat \theta }_2}}\,\,(*)$ ως προσκείμενες στην βάση του ισοσκελούς τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$

i) Τα ορθογώνια (από την υπόθεση) τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}\Delta \,\,\kappa \alpha \iota \,\,{\rm A}\Gamma {\rm E}$ έχουν : ${\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma$ (υπόθεση) και ${\rm A}\Delta = {\rm A}{\rm E}$ ( υπόθεση) δηλαδή κάθετες πλευρές ίσες , άρα είναι ίσα.

ii)Αφού τώρα $\mathop {{\rm A}{\rm B}\Delta }\limits^\vartriangle = \mathop {{\rm A}\Gamma {\rm E}}\limits^\vartriangle$ θα έχουν και όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ίσα , δηλαδή $\boxed{\widehat \Delta = \widehat {\rm E}}\,\,\,(1)$ και $\boxed{\Delta {\rm B} = {\rm E}\Gamma \,}\,\,\,\,(2)$ , και $\boxed{\widehat {{\phi _1}} = \widehat {{\phi _2}}}\,\,\,(3)$ .

Τα τρίγωνα $\mathop {{\rm A}\Delta {\rm Z}\,}\limits^\vartriangle \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\mathop {{\rm A}{\rm E}{\rm H}\,}\limits^\vartriangle$ έχουν :

${\rm A}\Delta = {\rm A}{\rm E}$ (υπόθεση) , $\Delta \widehat {\rm A}{\rm Z} = {\rm E}\widehat {\rm A}{\rm H}$ ως κατακορυφήν άρα και λόγω της (1)

σύμφωνα με το κριτήριο ( $\Gamma - \Pi - \Gamma$ ) είναι ίσα με άμεση συνέπεια: $\boxed{{\rm A}{\rm Z} = {\rm A}{\rm H}\,}\,\,\,(4\,)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\boxed{\Delta {\rm Z} = {\rm E}{\rm H}}\,\,\,(5)$ , δηλαδή το

$\mathop {{\rm A}{\rm Z}{\rm H}\,}\limits^\vartriangle$ ισοσκελές με κορυφή το ${\rm A}$ .

ii) Αφού το τρίγωνο $\mathop {{\rm A}{\rm B}\Gamma \,}\limits^\vartriangle \,\,$ είναι ισοσκελές με κορυφή το ${\rm A}$ και το ${\rm M}$ είναι μέσο της βάσης του ${\rm B}\Gamma$ , η

είναι μεσοκάθετος στο ${\rm B}\Gamma$

Εξ άλλου αν συγκρίνουμε τα τρίγωνα ${\rm M}\,\mathop \Gamma \limits^\vartriangle {\rm H}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,{\rm M}\,\mathop {\rm B}\limits^\vartriangle {\rm Z}$ θα έχουν ${\rm M}\Gamma = {\rm M}{\rm B}\,$ (υπόθεση ) και $\Gamma {\rm H} = {\rm B}{\rm Z}$ ( προκύπτει αν αφαιρέσουμε τις $(2)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(5)$ κατά μέλη) και ${\rm H}\widehat \Gamma {\rm M} = {\rm Z}\widehat {\rm B}{\rm M}$ ( προκύπτει αν

προσθέσουμε τις $(*)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(3)\,$ κατά μέλη). Τα τρίγωνα λοιπόν ${\rm M}\,\mathop \Gamma \limits^\vartriangle {\rm H}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,{\rm M}\,\mathop {\rm B}\limits^\vartriangle {\rm Z}$ θα είναι ίσα σύμφωνα με το κριτήριο ( $\Pi - \Gamma - \Pi$ ) και συνεπώς θα έχουν $\boxed{{\rm M}{\rm H} = {\rm M}{\rm Z}}$ . Αλλά λόγω της (4)

$\,\,{\rm A}{\rm H} = {\rm A}{\rm Z}$ ,

συνεπώς τα ${\rm A},{\rm M}$ ανήκουν στηυ μοναδική μεσοκάθετο του ${\rm Z}{\rm H}$ .

Τέλος για το
β) το λάθος εντοπίζεται στην έκφραση : « 3 . $\Delta \widehat {\rm A}{\rm B} = {\rm E}\widehat {\rm A}\Gamma$ ως κατακορυφήν» αφού σε τέτοια περίπτωση οι ημιευθείες ${\rm A}{\rm E},{\rm A}{\rm B}$ , θα ήταν αντικείμενες και η γωνία ${\rm B}\widehat {\rm A}{\rm E} = {180^0} \Rightarrow {\rm B}\widehat {\rm A}\Gamma + \Gamma \widehat {\rm A}{\rm E} = {180^0}$

δηλαδή ${\rm B}\widehat {\rm A}\Gamma + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \boxed{{\rm B}\widehat {\rm A}\Gamma = {{90}^0}}$ άτοπο αφού το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι οξυγώνιο.

Νίκος

PanosG · #71

Άσκηση 4626
Σε μια ευθεία $(\epsilon)$ θεωροφμε διαδοχικά τα σημεία $A,B,\Gamma$ έτσι ώστε $AB=2B\Gamma$ και στο ίδιο ημιεπίπεδο θεωρούμε ισόπλευρα τρίγωνα $AB\Delta$ και $B\Gamma E$ . Αν

είναι το μέσο του $A\Delta$ και η ευθεία $\Delta E$ τέμνει την ευθεία $(\epsilon)$ στο σημείο

να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο $BH\Delta E$ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 8)
β) Το τρίγωνο $\Gamma Z E$ είναι ισοσκελές. (Μονάδεσ 8)
γ) Το τετράπλευρο $HE\Gamma A$ είναι ισοσκελες τραπέζιο. (Μονάδες 9)
Λύση

α) Έστω AB=2x

τότε και $A\Delta=B\Delta=2x$ και $B\Gamma=BE=\Gamma E=AH=H\Delta=x$
Το τρίγωνο $AB\Delta$ είναι ισόπλευρο άρα $\hat{A\Delta B}=60^o$ και $\hat {\Delta B E}=180^o -\hat{AB\Delta}-\hat{EB\Gamma}=180^o -60^o-60^o=60^o$
άρα $H\Delta \parallel BE$ αφου σχηματίζουν τις εντός εναλλάξ ίσες. Οπότε το $H\Delta B E$ είναι παραλληλόγραμμο.
To

είναι διάμεσος στο ισόπλευρο τρίγωνο $AB\Delta$ άρα και ύψος όποτε το $H\Delta B E$ είναι ορθογώνιο.

β) $\hat{\Gamma E Z}=90^o-\hat{BE \Gamma}=90^o-60^o=30^o$ και $\hat{Z}=90^o-\hat{A}=90^o-60^o=30^o$
Άρα το τρίγωνο $\Gamma Z E$ είναι ισοσκελές

γ) Το τρίγωνο $\Delta B Z$ είναι ισοσκελές και

είναι ύψος άρα και διάμεσος. Άρα το

ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου $A\Delta Z$ άρα είναι παράλληλο στην

δηλαδή το

είναι τραπέζιο και επειδή $HA=E\Gamma=x$ είναι και ισοσκελές.

kostas.zig · #72

Άσκηση 4635
α) Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και αφού $\hat{B}=2\cdot \hat{\Gamma }$ άρα $\hat{B}=60^{0}$ και $\hat{\Gamma}=30^{0}$ . Η γωνία ${\rm E}\widehat{\rm B}{\rm \Delta}$ είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΑΒΓ της $\hat{B}$ οπότε είναι ${\rm E}\widehat{\rm B}{\rm \Delta}=120^{0}$ . Το τρίγωνο ΕΒΔ είναι ισοσκελές (ΒΕ=ΒΔ) οπότε ${\rm E}\widehat{\rm \Delta}{\rm B} =\hat{E}=30^{0}$

β) i)Είναι ΒΕ=ΒΔ= $\frac{{{\rm B}\rm A}}{2}$ αφού ΑΒΔ τρίγωνο ορθογώνιο και ${\rm B}\widehat{\rm A}{\rm \Delta}= 30^{0}$

ii) Είναι ΑΕ=ΑΒ+ΒΕ=ΑΒ+ $\frac{{{\rm B}\rm A}}{2}$ = $\frac{{{\rm 3B}\rm A}}{2}$ και ΓΔ=ΒΓ-ΒΔ=2ΑΒ-ΒΕ=2ΑΒ- $\frac{{{\rm B}\rm A}}{2}$ = $\frac{{{\rm 3B}\rm A}}{2}$ (αφού $\hat{\Gamma}=30^{0}$ )

thanasis.a · #73

καλημερα..

σε ποιό σημείο της ιστοσελίδαςβρίσκεται το αρχείο « Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας 4ο θέμα»??

#74

thanasis.a έγραψε:καλημερα..

σε ποιό σημείο της ιστοσελίδαςβρίσκεται το αρχείο « Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας 4ο θέμα»??

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

thanasis.a · #75

Φωτεινή έγραψε:
thanasis.a έγραψε:καλημερα..

σε ποιό σημείο της ιστοσελίδαςβρίσκεται το αρχείο « Τράπεζα θεμάτων Γεωμετρίας 4ο θέμα»??
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Φωτεινή καλημέρα και πάλι,

εδώ φαίνονται κάποιες ασκήσεις λυμένες με κάποια αρίθμηση. Υπάρχει κάποιο σημείο που είναι αρχειοθετημένες συγκεντρωτικά (με την αριθμηση που φαίνεται στις λύσεις τους) από όπου παίρνεις κάποια και υποβάλλεις στο παρόν την λύση της?

θανάσης

#76

εδώ αλλά χωρίς αρίθμηση , οπότε καλύτερα από το ΙΕΠ

#77

Άσκηση 4630

Δίνεται παραλληλόγραμμο $AB\Gamma\Delta$ και

το σημείο τομής των διαγωνίων του. Φέρνουμε την

κάθετη στη $B\Delta$ και στην προέκταση της

(προς το

) θεωρούμε σημείο

τέτοιο ώστε AH=HE

. Να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο AKE

είναι ισοσκελές. (Μονάδες

)

β) Το τρίγωνο $AE\Gamma$ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες

)

γ) Το τετράπλευρο $\Delta B\Gamma E$ είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες

)

Λύση:

α) Το τρίγωνο AKE

είναι ισοσκελές αφού η

είναι μεσοκάθετος της

β) Επειδή το

διχοτομεί τις διαγώνιες του παραλληλογράμμου και, λόγω του προηγούμενου ερωτήματος, θα είναι $\displaystyle{{\rm K}\Gamma = {\rm K}{\rm A} = {\rm K}{\rm E}}$ . Στο τρίγωνο $AE\Gamma$ λοιπόν, η διάμεσος είναι το μισό της πλευράς που αντιστοιχεί, άρα θα είναι ορθογώνιο.

: 4_4630.png (14.2 KiB) Προβλήθηκε 2114 φορές

γ) Φέρνουμε τις $E\Delta, BE$ . $E\Gamma||B\Delta$ (είναι κάθετες στην ίδια ευθεία

).

Η $\Delta E$ δεν μπορεί να είναι παράλληλη στη $B\Gamma$ , αφού $\Delta A||B\Gamma$ , άρα το τετράπλευρο $\Delta B\Gamma E$ είναι τραπέζιο.

Επειδή το

είναι σημείο της μεσοκαθέτου του

θα είναι

, οπότε $BE=\Delta\Gamma$ . Δηλαδή οι διαγώνιοι του τραπεζίου είναι ίσες που σημαίνει ότι το $\Delta B\Gamma E$ είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Christos.N · #78

4640

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γωνίες Β και Γ οξείες και Δ, Μ και Ε τα μέσα των πλευρών του ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Στις μεσοκάθετες των ΑΒ και ΒΓ και εκτός του τριγώνου ΑΒΓ θεωρούμε σημεία Ζ και Η αντίστοιχα, τέτοια ώστε $\Delta {\rm Z} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2}$ και ${\rm E}{\rm H} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2}$

α) Να αποδείξετε ότι:
i. Το τετράπλευρο ΒΔΜΕ είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 5)
ii. Τα τρίγωνα ΖΔΜ και ΕΜΗ είναι ίσα. (Μονάδες 10)

β) Αν τα σημεία Ζ, Δ, Ε είναι συνευθειακά, να αποδείξετε ότι η γωνία ${\rm A} = 90^o$ . (Μονάδες 10)

: Καταγραφή.PNG (13.16 KiB) Προβλήθηκε 2075 φορές

Απαντήσεις:

α)
i.)
Γνωρίζουμε ότι $\Delta ,{\rm M}$ είναι μέσα των πλευρών ${\rm A}{\rm B}$ και ${\rm A}\Gamma$ αντίστοιχα άρα: $\Delta {\rm M} = \frac{{{\rm B}\Gamma }} {2} = {\rm B}{\rm E}$ . Ομοίως ${\rm M}{\rm E} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} = \Delta {\rm B}$ , συνεπώς δείξαμε ότι το τετράπλευρο $\Delta {\rm M}{\rm E}{\rm B}$ έχει τις απέναντι πλευρές ίσες άρα είναι παραλληλόγραμμο.

ii.)
Στο παραλληλόγραμμο $\Delta {\rm M}{\rm E}{\rm B}$ οι γωνίες ${\rm A}\Delta {\rm M},\Delta {\rm B}{\rm E},{\rm M}{\rm E}\Gamma$ ίναι ίσες καθώς είναι εντός εκτός και επί τα αυτά διαδοχικά με την σειρά που δίνονται.

Άρα :

$\angle {\rm Z}\Delta {\rm M} = \angle {\rm Z}\Delta {\rm A} + \angle {\rm A}\Delta {\rm M} = \angle \Gamma {\rm E}{\rm H} + \angle {\rm M}{\rm E}\Gamma = \angle {\rm M}{\rm E}{\rm H}$ (1)

Γνωρίζουμε ότι:

$\Delta {\rm Z} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}} {2} = \Delta {\rm B} = {\rm M}{\rm E}$ (2)
${\rm E}{\rm H} = \frac{{{\rm B}\Gamma }} {2} = {\rm B}{\rm E} = \Delta {\rm M}$ (3)

Από τις παραπάνω σχέσεις (1), (2), (3) συμπεραίνουμε ότι ισχύει το κριτήριο ισότητας τριγώνων εκείνο των δύο πλευρών και περιεχόμενων αυτών γωνιών, άρα είναι ίσα.

β)

Αν τα σημεία $\displaystyle{ {\text{{\rm Z}}}{\text{,\Delta }}{\text{,{\rm E}}}}$ είναι συνευθειακά τότε το ευθύγραμμο τμήμα $\Delta {\rm E}$ που ενώνει τα μέσα των πλευρών είναι παράλληλο προς την πλευρά ${\rm A}\Gamma$ , άρα η γωνία ${\rm B}{\rm A}\Gamma$ είναι εντός εναλλάξ της γωνίας ${\rm Z}\Delta {\rm }$ και ορθή αφού το ευθύγραμμο τμήμα ${\rm Z}\Delta$ ανήκει στην μεσοκάθετο.

#79

Άσκηση 4643

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $AB\Gamma$ ( A=90^0)

. Φέρουμε τη διάμεσό του

την οποία προεκτείνουμε (προς το μέρος του

) κατά τμήμα $M\Delta=AM$ . Θεωρούμε ευθεία $\Delta K$ κάθετη στη $B\Gamma$ , η οποία τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας

στο

. Να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο $AB\Delta\Gamma$ είναι ορθογώνιο. (Μονάδες

)

β) $\displaystyle{{\rm K}\widehat {\rm E}{\rm B} = {90^0} - \frac{{\widehat {\rm B}}}{2}}$ (Μονάδες

)

γ) $\Delta E=B\Delta$ (Μονάδες

)

Λύση:

α) Οι διαγώνιες του τετραπλεύρου $AB\Delta\Gamma$ διχοτομούνται, οπότε είναι παραλληλόγραμμο κι επειδή έχει μία γωνία ορθή, θα είναι ορθογώνιο.

β) Είναι $\displaystyle{\omega = \frac{{\widehat {\rm B}}}{2}}$ . Στο ορθογώνιο τρίγωνο KEB

:

$\displaystyle{{\rm K}\widehat {\rm E}{\rm B} = {90^0} - \omega \Leftrightarrow }$ $\boxed{{\rm K}\widehat {\rm E}{\rm B} = {90^0} - \frac{{\widehat {\rm B}}}{2}}$

: 4_4643.png (8.35 KiB) Προβλήθηκε 2640 φορές

γ) $\displaystyle{\Delta \widehat {\rm B}{\rm E} = {90^0} - {\rm E}\widehat {\rm B}{\rm A} = {90^0} - \omega \Leftrightarrow \Delta \widehat {\rm B}{\rm E} = {90^0} - \frac{{\widehat {\rm B}}}{2}}$

Άρα: $\displaystyle{{\Delta}\widehat {\rm E}{\rm B} = \Delta \widehat {\rm B}{\rm E} \Leftrightarrow }$ $\boxed{\Delta {\rm E} = {\rm B}\Delta }$

ΧΡΗΣΤΟΣ ΡΑΠΤΗΣ · #80

Γεια σας και απο εμενα. Παρακολουθω μερες τωρα την προσπαθεια σας αλλα δεν μπορουσα να συμμετεχω λογω υποχρεωσεων. Θα ηθελα κι εγω να στειλω καποιες λυσεις ομως δεν το εχω με την LaTex. Θα μπορουσα να στειλω σε καποιον αρχειο .docx ή (περισσοτερο ευκολο για μενα) σκαναρισμενο χειρογραφο.

Και μια βοηθεια για οποιον εχει λιγο χρονο : Εχω κολλησει στην 3708 στο (β) ερωτημα. Οποιος μπορει ας στειλει μια υποδειξη (ή και λυση...)

Υ.Γ. : Οι 3708 και 3709 ειναι ιδιες. Επισης στην 3711 το ερωτημα α.iii. θα επρεπε να προηγειται του α.ii.

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Μέλη σε σύνδεση