ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4934
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#101

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Μάιος 29, 2014 8:44 pm

Φαινομενικά το θέμα GI_A_GEO_4_3702 είναι πανομοιότυπο με το προηγούμενό του GI_A_GEO_4_3701.

Κο όμως! Κρύβει παγίδα. Δεν τολμώ να πιστέψω ότι είναι συνειδητή επιλογή της επιτροπής.

ΘΕΜΑ 4
Έστω ότι E και H είναι τα μέσα των πλευρών AB και \displaystyle \Gamma \Delta παραλληλογράμμου \displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta αντίστοιχα. Αν για το παραλληλόγραμμο \displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta επιπλέον ισχύει \displaystyle {\rm A}{\rm B} > {\rm A}\Delta , να εξετάσετε αν είναι αληθείς οι ακόλουθοι ισχυρισμοί:
Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο \displaystyle \Delta {\rm E}{\rm B}{\rm H} είναι παραλληλόγραμμο.
Ισχυρισμός 2: Τα τρίγωνα \displaystyle {\rm A}\Delta {\rm E} και \displaystyle {\rm B}\Gamma {\rm H} είναι ίσα.
Ισχυρισμός 3: Τα τρίγωνα \displaystyle {\rm A}\Delta {\rm E} και \displaystyle {\rm B}\Gamma {\rm H} είναι ισοσκελή.
α) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής να τον αποδείξετε. (Μονάδες 16)
β) Στην περίπτωση που κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να βρείτε τη σχέση των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι αληθής. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 9)
29-5-2014 Τράπεζα Γεωμετρίας β.jpg
29-5-2014 Τράπεζα Γεωμετρίας β.jpg (17.6 KiB) Προβλήθηκε 2522 φορές
α) Είναι \displaystyle \Delta {\rm H}//{\rm B}{\rm E} και \displaystyle \Delta {\rm H} = {\rm B}{\rm E} ως μισά τμήματα των ίσων και παραλλήλων \displaystyle {\rm A}{\rm B},\;\Gamma \Delta , οπότε ο ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο \displaystyle \Delta {\rm E}{\rm B}{\rm H} είναι παραλληλόγραμμο είναι σωστός.

Τα \displaystyle {\rm A}\Delta {\rm E} και \displaystyle {\rm B}\Gamma {\rm H} έχουν \displaystyle {\rm A}\Delta  = {\rm B}\Gamma ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου, \displaystyle {\rm A}{\rm E} = \Gamma {\rm H} ως μισά τμήματα των ίσων \displaystyle {\rm A}{\rm B},\;\Gamma \Delta και τις περιεχόμενες τους γωνίες \displaystyle \widehat {\rm A},\;\;\widehat \Gamma ίσες, αφού είναι απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου, οπότε είναι ίσα, άρα είναι σωστός και ο ισχυρισμός 2.


β) Αν είναι \displaystyle {\rm A}{\rm E} = {\rm A}\Delta  \Leftrightarrow {\rm A}\Delta  = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} , το \displaystyle {\rm A}\Delta {\rm E} είναι ισοσκελές. Το ίδιο για το \displaystyle {\rm B}{\rm H}\Gamma .

Εδώ όμως είναι η παγίδα. Αυτή είναι μόνο μία από τις δυνατές περιπτώσεις.
Πώς ο μαθητής θα ελέγξει τη σχέση των πλευρών του παραλληλογράμμου για να είναι \displaystyle {\rm A}\Delta  = \Delta {\rm E} ή \displaystyle \Delta {\rm E} = {\rm A}{\rm E} , που επίσης δίνουν ισοσκελές τρίγωνο;
29-5-2014 Τράπεζα Γεωμετρίας α.jpg
29-5-2014 Τράπεζα Γεωμετρίας α.jpg (11.3 KiB) Προβλήθηκε 2522 φορές
Π.χ. φτιάξτε το τρίγωνο με \displaystyle {\rm A}{\rm B} = 4,\;\;{\rm A}\Delta  = \sqrt 2 ,\;\;\widehat {\rm A} = 45^\circ και θα δείτε ότι το \displaystyle {\rm A}\Delta {\rm E} είναι ισοσκελές.


Προτείνω την απόσυρση της άσκησης αυτής από την Τράπεζα Θεμάτων, ως ακατάλληλης για αξιολόγηση των μαθητών.
Θέλω τονίσω ότι την βρίσκω πανέμορφη για εξάσκηση σε βάθος στη διερεύνηση περιπτώσεων. Είναι κατάλληλη μόνο για λάτρεις της Γεωμετρίας.

Την εξήγηση και τη διερεύνηση τη δίνω στο φάκελο του Καθηγητή, γιατί δεν αφορά τους μαθητές της Α΄ Λυκείου.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Πέμ Μάιος 29, 2014 9:06 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5520
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#102

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Πέμ Μάιος 29, 2014 8:45 pm

ΘΕΜΑ 6879

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R). Έστω σημείο Δ του τόξου ΑΒ τέτοιο, ώστε \Delta B\bot B\Gamma.
α) Να αποδείξετε ότι A\Delta \bot A\Gamma
(Μονάδες 8)
β) Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΔΒΗ είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 9)
γ) ) Αν Μ είναι το μέσον της ΒΓ, να αποδείξετε ότι {OM =\frac{AH}{2}
(Μονάδες 8)

Λύση

α) Επειδή η εγγεγραμμένη γωνία ΔΒΓ είναι ορθή , η ΓΔ είναι διάμετρος του κύκλου. Επομένως και η γωνία ΔΑΓ είναι ορθή, αφού βαίνει σε ημικύκλιο. Επομένως
\Delta A\bot A\Gamma .
2014-5-29-6879.PNG
2014-5-29-6879.PNG (21.95 KiB) Προβλήθηκε 2522 φορές
β) Επειδή το Η είναι ορθόκεντρο του τριγώνου AB\Gamma , είναι BH\bot A\Gamma .Είναι όμως και \Delta A\bot A\Gamma, οπότε BH//\Delta A .

Όμοια, είναι \Delta B\bot B\Gamma και AH//B\Gamma, οπότε AH//\Delta B.

Επομένως το τετράπλευρο A\Delta BH είναι παραλληλόγραμμο.

γ) Επειδή το τετράπλευρο A\Delta BH είναι παραλληλόγραμμο, είναι ΔΒ=ΑΗ.Στο τρίγωνο λοιπόν ΓΒΔ το τμήμα ΟΜ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών , οπότε :

OM =\frac{\Delta B}{2}=\frac{AH}{2}

Αφήνω για το Χρήστο και το Αρχείο Word για κάθε άλλη χρήση !

Μπάμπης

( Αυτή ιστορία με το mathtype που δεν μεταφράζει σε TEX τα κοινά γράμματα της Ελληνικής και Λατινικής, θα με κάνει να μην ξαναγράψω γεωμετρία. Εϊναι απίστευτη ταλαιπωρία να γυρίζεις συνέχεια τη γλώσσα στο πληκτρολόγιο. :( )
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 6879.doc
(104 KiB) Μεταφορτώθηκε 134 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Πέμ Μάιος 29, 2014 9:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#103

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Πέμ Μάιος 29, 2014 9:01 pm

Άσκηση 4756

Δίνεται κύκλος\left( {{\rm O},\rho } \right) και {\rm A}\Gamma μια διάμετρός του.
Θεωρούμε τις χορδές {\rm A}\Delta  = {\rm B}\Gamma. Έστω {\rm K} και \Lambda τα μέσα των χορδών \Delta \Gamma και {\rm B}\Gamma αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Οι χορδές {\rm A}{\rm B} και \Delta \Gamma είναι παράλληλες.
β) Το τετράπλευρο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
γ) Η {\rm B}\Delta είναι διάμετρος του κύκλου.
δ) Το τετράπλευρο {\rm O}\Lambda \Gamma {\rm K} είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Λύση

α) Είναι \widehat {\Gamma {\rm A}{\rm B}} = \widehat {{\rm A}\Gamma \Delta } ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στα ίσα τόξα {\rm B}\Gamma και {\rm A}\Delta (αφού οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες)

Έτσι {\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta αφού σχηματίζονται εντός εναλλάξ γωνίες ίσες από την τέμνουσα τους {\rm A}\Gamma.

β) Τα τρίγωνα {\rm A}{\rm B}\Gamma και {\rm A}\Delta \Gamma είναι ίσα αφού έχουν:

{\rm A}\Gamma κοινή πλευρά, {\rm A}\Delta  = {\rm B}\Gammaαπό την υπόθεση και \widehat {{\rm A}{\rm B}\Gamma } = \widehat {{\rm A}\Delta \Gamma } = 90^\circ ως εγγεγραμμένες σε ημικύκλια.

Οπότε και {\rm A}{\rm B} = \Gamma \Delta.

Έτσι το {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο αφού {\rm A}{\rm B}// = \Gamma \Delta και \widehat {{\rm A}\Delta \Gamma } = 90^\circ

γ) Αφού το {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta είναι ορθογώνιο τότε \widehat {\Delta \Gamma {\rm B}} = 90^\circ και αφού είναι εγγεγραμμένη θα βαίνει σε ημικύκλιο, δηλαδή η {\rm B}\Delta είναι διάμετρος του κύκλου.

δ) Τα τμήματα {\rm O}{\rm K},{\rm O}\Lambda είναι αποστήματα των χορδών \Delta \Gamma και {\rm B}\Gamma αντίστοιχα επειδή τα {\rm K} , \Lambda είναι μέσα των χορδών.

Έτσι {\rm O}{\rm K} \bot \Delta \Gamma και {\rm O}\Lambda  \bot {\rm B}\Gamma δηλαδή το {\rm O}\Lambda \Gamma {\rm K} είναι ορθογώνιο αφού έχει τρείς ορθές γωνίες.
Συνημμένα
4756.png
4756.png (25.49 KiB) Προβλήθηκε 2414 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Πέμ Μάιος 29, 2014 9:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1987
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#104

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Πέμ Μάιος 29, 2014 9:08 pm

Γράφω ποιες έχουν γίνει:

3693-3694-3696-
3701-02-08-3709-3762-
3817-3820-22-24-25-
3903-04-06-08-11-15-19-26-32-38-45-48-54-61-66
4307
4555-62-65-67-69-71-74-79-83-99
4603-06-11-14-16-19-22-26-30-35-40-43-45-46-48-49-50-51-52-53-55
4731-35-37-41-53-56-99
5886
5902-10
6875-79


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#105

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Πέμ Μάιος 29, 2014 9:46 pm

Άσκηση 4757

Στις πλευρές Ax' και Ax γωνίας x'Ax θεωρούμε σημεία {\rm B} και Γ ώστε {\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma.
Οι κάθετες στις Ax' και Ax στα σημεία {\rm B} και Γ αντίστοιχα, τέμνονται στο \Delta.
Αν οι ημιευθείες Ay και Az χωρίζουν τη γωνία x'Ax σε τρεις ίσες γωνίες και τέμνουν τις {\rm B}\Delta και \Delta \Gammaστα σημεία {\rm E} και {\rm Z} αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο {\rm E}{\rm A}{\rm Z} είναι ισοσκελές.
β) Το \Delta ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας x'Ax.
γ) Οι γωνίες \Gamma {\rm B}\Delta και \Gamma {\rm A}\Delta είναι ίσες.

Λύση

α) Έστω xAy = yAz = zAx' = \varphi

Τα ορθογώνια τρίγωνα {\rm A}{\rm B}{\rm E} και {\rm A}\Gamma {\rm Z} είναι ίσα επειδή έχουν:

{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma από την υπόθεση και xAy = zAx' = \varphi

άρα και {\rm A}{\rm E} = {\rm A}{\rm Z} δηλαδή το τρίγωνο {\rm E}{\rm A}{\rm Z} είναι ισοσκελές.

β) Τα ορθογώνια τρίγωνα {\rm A}\Delta {\rm B} και {\rm A}\Delta \Gamma είναι ίσα αφού έχουν:

{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma(κάθετες) και {\rm A}\Delta κοινή πλευρά (υποτείνουσα)

Έτσι \Delta {\rm B} = \Delta \Gamma , οπότε το \Delta ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας x'Ax επειδή ισαπέχει από τις πλευρές της.

γ) Το τετράπλευρο {\rm A}{\rm B}\Delta \Gamma είναι εγγράψιμο επειδή \widehat {\rm B} + \widehat \Gamma  = 90^\circ οπότε \widehat {\Gamma {\rm B}\Delta } = \widehat {\Gamma {\rm A}\Delta }

Παρατήρηση: Νομίζω η άσκηση έχει πρόβλημα κατασκευής (τριχοτόμηση γωνίας). Μπορούσαν να δώσουν "Δίνονται τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες ... "
Συνημμένα
4757.png
4757.png (25.56 KiB) Προβλήθηκε 2306 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Πέμ Μάιος 29, 2014 10:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#106

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Μάιος 29, 2014 9:55 pm

Άσκηση 4762

Στο παρακάτω σχήμα το ορθογώνιο EZH\Theta είναι ένα τραπέζι μπιλιάρδου. Ένας παίκτης τοποθετεί μία μπάλα στο σημείο A το οποίο ανήκει στη μεσοκάθετο του \Theta H και απέχει από αυτή απόσταση ίση με \Theta H. Όταν ο παίκτης χτυπήσει τη μπάλα, αυτή ακολουθεί τη διαδρομή \displaystyle{{\rm A} \to {\rm B} \to \Gamma  \to \Delta  \to {\rm A}} χτυπώντας στους τοίχους του μπιλιάρδου E\Theta, \Theta H, ZH διαδοχικά. Για τη διαδρομή αυτή ισχύει ότι κάθε γωνία πρόσπτωσης (π.χ η γωνία ABE) είναι ίση με κάθε γωνία ανάκλασης (π.χ η γωνία \ThetaB\Gamma) και κάθε μία από αυτές είναι 45^0.

α)
Να αποδείξετε ότι:

i) Η διαδρομή AB\Gamma\Delta της μπάλας είναι τετράγωνο. (Μονάδες 9)

ii) Το σημείο A ισαπέχει από τις κορυφές E,Z του μπιλιάρδου. (Μονάδες 8)

β) Αν η AZ είναι διπλάσια από την απόσταση του A από τον τοίχο EZ, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου AEZ. (Μονάδες 8)

Λύση:

Θα απαντήσω πρώτα στο ερώτημα (α. ii)

Οι πλευρές EZ, \Theta H του μπιλιάρδου έχουν την ίδια μεσοκάθετο, άρα το A ανήκει και στη μεσοκάθετο του EZ, οπότε \boxed{AE=AZ}

α. i) Από το ισοσκελές τρίγωνο AEZ είναι \displaystyle{{\rm E}\widehat {\rm Z}{\rm A} = {\rm Z}\widehat {\rm E}{\rm A} = \varphi  \Leftrightarrow {\rm B}\widehat {\rm E}{\rm A} = \Delta \widehat {\rm Z}{\rm A} = {90^0} - \varphi }

Εξάλλου είναι \displaystyle{{\rm E}\widehat {\rm B}{\rm A} = {\rm Z}\widehat \Delta {\rm A} = {45^0}}, οπότε θα είναι και \displaystyle{{\widehat {\rm A}_1} = {\widehat {\rm A}_2}} (άθροισμα γωνιών τριγώνου). Επειδή όμως AE=AZ, τα τρίγωνα AEB, AZ\Delta θα είναι ίσα. Άρα AB=A\Delta (1).

Επειδή τώρα κάθε γωνία πρόσπτωσης και κάθε γωνία ανάκλασης είναι ίση με 45^0, προκύπτει άμεσα ότι το AB\Gamma\Delta είναι ορθογώνιο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες (από την (1)). Άρα είναι τετράγωνο.
4_4762.png
4_4762.png (10.53 KiB) Προβλήθηκε 1831 φορές
β) Έστω M η ορθή προβολή του A πάνω στην EZ. Από την υπόθεση έχουμε \displaystyle{{\rm A}{\rm M} = \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{2}}. Αλλά το

τρίγωνο AMZ είναι ορθογώνιο. Οπότε \boxed{{\rm A}\widehat {\rm E}{\rm Z} = {\rm A}\widehat {\rm Z}{\rm E} = {30^0}} και κατά συνέπεια \boxed{{\rm E}\widehat {\rm A}{\rm Z} = {120^0}}


Παρατήρηση: Το στοιχείο ότι το σημείο A απέχει από τη \Theta H απόσταση ίση με \Theta H δεν χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη. Ωστόσο, είναι υποχρεωτικό στην κατασκευή του σχήματος.
Θα μπορούσε όμως κάλλιστα, να δοθεί σαν αποδεικτικό ερώτημα.
Για σιγουριά, ας το δει και κάποιος άλλος
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Μάιος 30, 2014 11:32 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1035
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#107

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Πέμ Μάιος 29, 2014 10:10 pm

Θέμα 4765 (το χρωστάω δύο μέρες τώρα).

Σε τρίγωνο \displaystyle{\triangle{AB\Gamma}} οι διχοτόμοι των γωνιών \displaystyle{\angle{B}} και \displaystyle{\angle{\Gamma}} τέμνονται στο \displaystyle{\Delta}.Η εξωτερική διχοτόμος της \displaystyle{\angle{B}}[/rex] τέμνει την προέκταση της \displaystyle{\Gamma \Delta } στο \displaystyle{E}.Δίνεται ότι \displaystyle{\angle{ABE}=70^{\circ}=2\angle{\Gamma EB}}.
i)Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου \displaystyle{\triangle{AB\Gamma}}.
ii)Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο \displaystyle{A\Gamma BE} είναι τραπέζιο.
iii)Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο \displaystyle{\triangle{\Gamma BE}} είναι ισοσκελές.

Γεωμετρια mathematica_59.PNG
Γεωμετρια mathematica_59.PNG (9.6 KiB) Προβλήθηκε 1775 φορές
i)Εφόσον η \displaystyle{BE} είναι διχοτόμος της \displaystyle{\angle{B_{\epsilon \xi}}} θα είναι

\displaystyle{\angle{ABE}=\frac{\angle{B_{\epsilon \xi}}}{2}\Leftrightarrow \frac{\angle{B_{\epsilon \xi}}}{2}=70^{\circ}\Leftrightarrow \angle{B_{\epsilon \xi}}=140^{\circ}}\Leftrightarrow \angle{B}=40^{\circ}}.

Άρα \displaystyle{\frac{\angle{B}}{2}=20^{\circ}\Leftrightarrow \angle{\Delta BE}=\frac{\angle{B}}{2}+\angle{ABE}=90^{\circ}}.

Αφού \displaystyle{\angle{\Gamma EB}=\frac{70^{\circ}}{2}=35^{\circ}}\displaystyle{\angle{\Gamma \Delta B}},ως εξωτερική στο \displaystyle{\triangle{B\Delta E}} ισούται με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών δηλαδή με \displaystyle{35^{\circ}+90^{\circ}=125^{\circ}}.

Επομένως \displaystyle{\frac{\angle{\Gamma}}{2}=180^{\circ}-\frac{\angle{B}}{2}-\angle{\Gamma \Delta B}=180^{\circ}-20^{\circ}-125^{\circ}=35^{\circ}} επομένως \displaystyle{\angle{\Gamma}=70^{\circ}} κι έτσι \displaystyle{\angle{A}=180-\angle{B}-\angle{\Gamma}=70^{\circ}}.

ii) \displaystyle{\angle{ABE}=\angle{BA\Gamma}} κι επειδή αυτές οι δύο είναι εντός εναλλάξ των ευθειών \displaystyle{A\Gamma,BE} θα είναι \displaystyle{A\Gamma \parallel BE}.

Γνωρίζουμε ότι το σημείο τομής μιας εσωτερικής διχοτόμου ενός τριγώνου με διχοτόμο μια άλλης γωνίας βρίσκεται πάνω στην εξωτερική διχοτόμο της τρίτης γωνίας και είναι το παράκεντρο του τριγώνου.

Επομένως η \displaystyle{AE} είναι εξωτερική διχοτόμος της \displaystyle{\angle{A}} κι έτσι \displaystyle{\angle{BAE}=\frac{\angle{A_{\epsilon \xi}}}{2}=55^{\circ}}.Για να είναι \displaystyle{AE\parallel \Gamma B} θα έπρεπε η \displaystyle{\angle{B}} που είναι εντός εναλλάξ της \displaystyle{\angle{BAE}} να είναι ίση με αυτή κάτι που δεν ισχύει αφού \displaystyle{\angle{B}=40^{\circ}} άρα η παραλληλία δεν υφίσταται κι έτσι το τετράπλευρο \displaystyle{A\Gamma BE} είναι τραπέζιο.

iii) Όπως είδαμε \displaystyle{\frac{\angle{\Gamma}}}{2}=35^{\circ}\Leftrightarrow \angle{EB\Gamma}=35^{\circ}}.

Η \displaystyle{\angle{\Gamma EB}} εξ υποθέσεως ισούται με \displaystyle{35^{\circ}} κι έτσι οι δύο γωνίες είναι ίσες και το ζητούμενο έπεται.

Υ.Γ Αν εντοπιστούν λάθη να ενημερωθώ για να τα διορθώσω.

Υ.Γ.2 Την πρόταση με το παράκεντρο έχω την εντύπωση πως μπορώ να την χρησιμοποιήσω αφού βρίσκεται σε εφαρμογή του σχολικού βιβλίου.Αν όχι,σίγουρα υπάρχει κάποια εύκολη,ακόμη πιο "στοιχειώδης" απόδειξη για το ii)

Edit:Έβαλα σχήμα.
τελευταία επεξεργασία από gavrilos σε Σάβ Μάιος 31, 2014 8:37 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Γιώργος Γαβριλόπουλος
tdsotm111
Δημοσιεύσεις: 123
Εγγραφή: Τετ Ιαν 13, 2010 12:54 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#108

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από tdsotm111 » Πέμ Μάιος 29, 2014 10:38 pm

Να ρωτήσω αν έχει προσπαθήσει κάποιος την 4800? Φτιάχνω το σχήμα στο geogebra και το ισοσκελές τραπέζιο που ζητάει η άσκηση να αποδειχθεί, μόνο τραπέζιο δεν είναι...
Ανδρέας


PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#109

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από PanosG » Πέμ Μάιος 29, 2014 11:11 pm

Άσκηση 4767
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma με \hat{A}=90^o. Στην πλευρά B\Gamma θεωρούμε τα σημεία K,M,\Lambda ώστε BK=KM=M\Lambda=\Lambda \Gamma. Αν τα σημεία \Delta και E είναι τα μέσα των πλευρών AB και A\Gamma αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο \Delta E \Lambda K είναι παραλληλόγραμμο (Μονάδες 13)
β) Η διάμεσος του τραπεζίου K\Delta A M ισούται με \frac{3}{8} B\Gamma (Μονάδεq 12)

Λύση

α) To \Delta E ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου AB\Gamma άρα \Delta E \parallel B\Gamma και \Delta E=\frac{B\Gamma}{2}=K\Lambda ,άρα το τετράπλευρο \Delta E \Lambda K είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει δυο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες.

β) Έτσι όπως είναι διατυπωμένο το ερώτημα πρέπει να αποδείξουμε ότι το K\Delta E M είναι παραλλήλόγραμμο ή εννοείται άραγε;Τέλος πάντων.
Το K\Delta ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ABM άρα K\Delta \parallel AM και K\Delta=\frac{AM}{2}.Προφανώς ηA\Deltaδεν είναι παράλληλη στηνKMάρα το K\Delta E M είναι τραπέζιο. Έστω \delta η διάμεσος του τραπεζίου, τότε:

\displaystyle{\delta=\frac{\Delta K +AM}{2}=\frac{\frac{AM}{2}+AM}{2}=\frac{3AM}{4} \overset{*}= \frac{3B\Gamma}{8}}
* αφού AM διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου AB\Gamma άρα \displaystyle{AM=\frac{B\Gamma}{2}}
τελευταία επεξεργασία από PanosG σε Πέμ Μάιος 29, 2014 11:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4934
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#110

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Πέμ Μάιος 29, 2014 11:24 pm

tdsotm111 έγραψε:Να ρωτήσω αν έχει προσπαθήσει κάποιος την 4800? Φτιάχνω το σχήμα στο geogebra και το ισοσκελές τραπέζιο που ζητάει η άσκηση να αποδειχθεί, μόνο τραπέζιο δεν είναι...
Ανδρέας
Νομίζω έχει δίκιο ο Ανδρέας.
Δεν βλέπω από που μπορεί να προκύψει η παραλληλία των BZ,  \Gamma E, εκτός βέβαια κάποιας κατάλληλης θέσης...
29-5-2014 Τράπεζα Γεωμετρίας e.jpg
29-5-2014 Τράπεζα Γεωμετρίας e.jpg (43.93 KiB) Προβλήθηκε 2208 φορές
Είναι το σχήμα από το Θεώρημα του Νότιου Πόλου.
Δεν έχω άλλη αντοχή! Αν μπορεί κάποιος ας το διερευνήσει.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8155
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#111

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Μάιος 29, 2014 11:45 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
tdsotm111 έγραψε:Να ρωτήσω αν έχει προσπαθήσει κάποιος την 4800? Φτιάχνω το σχήμα στο geogebra και το ισοσκελές τραπέζιο που ζητάει η άσκηση να αποδειχθεί, μόνο τραπέζιο δεν είναι...
Ανδρέας
Νομίζω έχει δίκιο ο Ανδρέας.
Δεν βλέπω από που μπορεί να προκύψει η παραλληλία των BZ,  \Gamma E, εκτός βέβαια κάποιας κατάλληλης θέσης...
Το συνημμένο 29-5-2014 Τράπεζα Γεωμετρίας e.jpg δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Είναι το σχήμα από το Θεώρημα του Νότιου Πόλου.
Δεν έχω άλλη αντοχή! Αν μπορεί κάποιος ας το διερευνήσει.

Γιώργο καλησπέρα.
Εικάζω ότι δεν υπάρχει περίπτωση να γίνει τραπέζιο , εκτός αν εκφυλιστεί σε ευθύγραμμο τμήμα!!
4_4800.png
4_4800.png (26.58 KiB) Προβλήθηκε 2159 φορές
Νίκος


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1564
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#112

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Μάιος 30, 2014 12:42 am

Προσοχή

Πριν λύσετε άλλες ασκήσεις να κατεβάσετε το νέο κατάλογο

Από τα 4α θέματα έχουν αφαιρεθεί οι παρακάτω


2789 2809 3703 3719
3731 3767 3803 3813
4574 4614 4741 4778
4794 4800 4808 6876


Kαλαθάκης Γιώργης
Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5520
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#113

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Μάιος 30, 2014 12:45 am

tdsotm111 έγραψε:Να ρωτήσω αν έχει προσπαθήσει κάποιος την 4800? Φτιάχνω το σχήμα στο geogebra και το ισοσκελές τραπέζιο που ζητάει η άσκηση να αποδειχθεί, μόνο τραπέζιο δεν είναι...
Ανδρέας
Κρίμα, γιατί αυτή η άσκηση έχει ένα σωρό άλλα ωραία στοιχεία :

α) Τα τετράπλευρα DMBE,DMZC είναι εγγράψιμα.

β) Τα σημεία E,M,Z είναι στην ίδια ευθεία

γ) Το D βρίσκεται στον περίκυκλο του τριγώνου ABC κλπ

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1564
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#114

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Μάιος 30, 2014 12:56 am

Όντως ήταν καλή ....αν αλλάζαμε τα ερωτήματα

Δίνω ένα σχήμα
Συνημμένα
4800.png
4800.png (38.52 KiB) Προβλήθηκε 2005 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#115

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Παρ Μάιος 30, 2014 8:22 am

Άσκηση 4769

Έστω ισοσκελές τραπέζιο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta \left( {{\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta } \right) με \widehat {\rm B} = 2\widehat \Gamma και {\rm A}{\rm B} = {\rm B}\Gamma  = {\rm A}\Delta  = \dfrac{{\Gamma \Delta }}{2}.
Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας \widehat {\rm B} , η οποία τέμνει το \Delta \Gamma στο {\rm K} και η κάθετη από το {\rm K} προς το {\rm B}\Gamma το τέμνει στο {\rm M} .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta.
β) Να αποδείξετε ότι:
i. Το τετράπλευρο {\rm A}{\rm B}{\rm K}\Delta είναι ρόμβος.
ii. Το σημείο {\rm M} είναι το μέσο του {\rm B}\Gamma.

Λύση

α) Είναι \widehat {\rm B} = 2\widehat \Gamma και \widehat {\rm B} + \widehat \Gamma  = 180^\circ ως εντός και επί τα αυτά

Έτσι 2\widehat \Gamma  + \widehat \Gamma  = 180^\circ  \Rightarrow \widehat \Gamma  = 60^\circ και \widehat {\rm B} = 2\widehat \Gamma  \Rightarrow \widehat {\rm B} = 120^\circ

Οπότε \widehat {\rm A} = \widehat {\rm B} = 120^\circ και \widehat \Gamma  = \widehat \Delta  = 60^\circ αφού το τραπέζιο είναι ισοσκελές και οι γωνίες των βάσεων του είναι ίσες.

β) i. Η {\rm B}{\rm K} είναι η διχοτόμος της \widehat {\rm B} έτσι \widehat {{\rm K}{\rm B}\Gamma } = \dfrac{{\widehat {\rm B}}}{2} = 60^\circ .

Το τρίγωνο {\rm B}{\rm K}\Gamma είναι ισόπλευρο αφού έχει \widehat {{\rm K}{\rm B}\Gamma } = \widehat \Gamma  = 60^\circ , άρα {\rm B}{\rm K} = {\rm K}\Gamma  = {\rm B}\Gamma  = \dfrac{{\Gamma \Delta }}{2} (από την υπόθεση)

Αφού ισχύει {\rm K}\Gamma  = \dfrac{{\Gamma \Delta }}{2} το {\rm K} είναι μέσο του \Delta \Gamma, έτσι:

{\rm B}{\rm K} = {\rm K}\Delta  = {\rm A}\Delta  = {\rm A}{\rm B} = \dfrac{{\Gamma \Delta }}{2} οπότε το {\rm A}{\rm B}{\rm K}\Delta είναι ρόμβος διότι έχει και τις τέσσερεις πλευρές του ίσες.

ii. Επειδή το τρίγωνο {\rm B}{\rm K}\Gamma είναι ισόπλευρο το ύψος {\rm K}{\rm M} είναι και διάμεσος, έτσι το {\rm M} είναι το μέσο του{\rm B}\Gamma.
Συνημμένα
4769.png
4769.png (27.81 KiB) Προβλήθηκε 1986 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#116

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Παρ Μάιος 30, 2014 8:49 am

Άσκηση 4771

Έστω τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta και {\rm M} το μέσο της πλευράς \Delta {\rm A}. Προεκτείνουμε το τμήμα \Delta {\rm A} (προς την πλευρά του {\rm A})κατά τμήμα {\rm A}{\rm N} = \dfrac{{{\rm A}\Delta }}{2} .
Φέρουμε τα τμήματα \Gamma {\rm M} και {\rm B}{\rm N} και θεωρούμε τα μέσα τους {\rm K} και \Lambda αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο {\rm M}{\rm N}{\rm B}\Gamma είναι παραλληλόγραμμο.
β) Το τετράπλευρο {\rm A}\Delta {\rm K}\Lambda είναι παραλληλόγραμμο.
γ) Το τετράπλευρο {\rm A}{\rm M}{\rm K}\Lambda είναι ισοσκελές τραπέζιο.

Λύση

α) Αν \alpha είναι η πλευρά του τετραγώνου τότε:

{\rm M}{\rm N} = {\rm M}{\rm A} + {\rm A}{\rm N} \Leftrightarrow {\rm M}{\rm N} = \dfrac{\alpha }{2} + \dfrac{\alpha }{2} \Leftrightarrow {\rm M}{\rm N} = \alpha

Άρα το {\rm M}{\rm N}{\rm B}\Gamma είναι παραλληλόγραμμο αφού {\rm M}{\rm N}// = {\rm B}\Gamma \left( { = \alpha } \right) .

β) Το {\rm M}{\rm N}\Lambda {\rm K} είναι παραλληλόγραμμο επειδή {\rm M}{\rm K}// = {\rm N}\Lambda ως μισά των ίσων και παραλλήλων τμημάτων {\rm M}\Gamma ,{\rm N}{\rm B} ,

έτσι {\rm K}\Lambda // = {\rm M}{\rm N}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{\rm M}{\rm N} = {\rm A}\Delta } {\rm K}\Lambda // = {\rm A}\Delta οπότε το {\rm A}\Delta {\rm K}\Lambdaείναι παραλληλόγραμμο.

γ) {\rm A}\Lambda  = \dfrac{{{\rm B}{\rm N}}}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{{\rm B}{\rm N} = {\rm M}\Gamma } {\rm A}\Lambda  = \dfrac{{{\rm M}\Gamma }}{2} \Rightarrow {\rm A}\Lambda  = {\rm M}{\rm K} ως διάμεσος στην υποτείνουσα {\rm B}{\rm N} του ορθ. τριγώνου {\rm B}{\rm A}{\rm N} .

Το τετράπλευρο {\rm A}{\rm M}{\rm K}\Lambda έχει {\rm K}\Lambda //{\rm M}{\rm N} \Rightarrow {\rm K}\Lambda //{\rm A}{\rm M} και {\rm M}{\rm K} = {\rm A}\Lambda οπότε είναι ισοσκελές τραπέζιο.

{\rm A}\Lambda τέμνει τη {\rm B}{\rm N} άρα τέμνει και την παράλληλη της {\rm M}\Gamma , δηλαδή οι ευθείες {\rm A}\Lambdaκαι {\rm M}{\rm K} τέμνονται)
Συνημμένα
4771.png
4771.png (42.92 KiB) Προβλήθηκε 1962 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8155
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#117

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 30, 2014 9:34 am

Μια άποψη ( υπάρχουν και άλλες το ίδιο περίπου «επώδυνες» για τους μαθητές λόγω βοηθητικών γραμμών )
4_4762_λύση.png
4_4762_λύση.png (16.72 KiB) Προβλήθηκε 1893 φορές
α)Πριν χτυπήσουμε την μπάλα φέρνουμε την απόσταση {\rm A}\Gamma του {\rm A} από τη \Theta {\rm H} και τη μεσοκάθετο του {\rm A}\Gamma η οποία τέμνει την {\rm E}\Theta σε σημείο {\rm B} και τη {\rm H}{\rm Z} σε σημείο \Delta.

Έστω δε {\rm O}, το σημείο τομής των {\rm A}\Gamma ,{\rm B}\Delta. Στο τετράπλευρο που προέκυψε {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα , είναι ίσες (αφού το τετράπλευρο {\rm B}\Theta {\rm H}\Delta είναι ορθογώνιο και έτσι {\rm B}\Delta  = \Theta {\rm H} = {\rm A}\Gamma). Τώρα

στο ορθογώνιο {\rm B}\Theta {\rm H}\Delta η {\rm A}\Gamma είναι μεσοκάθετος στο \Theta {\rm H}, άρα η μεσοπαράλληλος των {\rm E}\Theta \,\,\kappa \alpha \iota \,\,{\rm H}{\rm Z},δηλαδή είναι μεσοκάθετος και στο {\rm B}\Delta .Δηλαδή στο τετράπλευρο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta οι διαγώνιοι διχοτομούνται

και είναι ίσες και κάθετοι.

Το τετράπλευρο λοιπόν {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta είναι ταυτόχρονα ρόμβος και ορθογώνιο άρα και τετράγωνο. Τώρα στο τετράγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta οι διαγώνιοι του θα χωρίζουν τις ορθές γωνίες του σε δύο ίσες γωνίες και κάθε μια ίση

με {45^0}.

Τότε όμως προφανές οι πλευρές του θα σχηματίζουν με τις {\rm E}\Theta ,\Theta {\rm H},{\rm H}{\rm Z} γωνίες από {45^0}. Συνεπώς αν χτυπήσουμε την μπάλα, αυτή με την προϋπόθεση ότι η γωνία προσπτώσεως ισούται με τη γωνία

ανακλάσεως και ίση με {45^0} θα ακολουθήση την πορεία {\rm A} \to {\rm B} \to \Gamma  \to \Delta  \to {\rm A}

β) Έστω {\rm M}το σημείο τομής των {\rm A}\Gamma \,,\,\,{\rm E}{\rm Z}. Αφού η {\rm A}\Gammaείναι μεσοκάθετος στο \Theta {\rm H} θα είναι μεσοκάθετος και στο {\rm E}{\rm Z} και άρα, το {\rm A} θα ισαπέχει από τα {\rm E},{\rm Z}.

γ) Αφού {\rm A}{\rm Z} = 2{\rm A}{\rm M} , στο ορθογώνιο τρίγωνο {\rm M}{\rm A}{\rm Z} η γωνία \widehat \phi  = {30^0} και αφού το {\rm A}{\rm E}{\rm Z} είναι ισοσκελές τρίγωνο θα είναι και {\rm A}\widehat {\rm E}{\rm Z} = {30^0}. Προφανώς δε {\rm A}\widehat {\rm E}{\rm Z} = {120^0}

Νίκος
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Παρ Μάιος 30, 2014 10:17 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


VreAnt
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 20, 2009 9:40 pm
Τοποθεσία: Ρέθυμνο, Κρήτη

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#118

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από VreAnt » Παρ Μάιος 30, 2014 9:45 am

Άσκηση 4774
Έστω κύκλος με κέντρο O και δύο κάθετες ακτίνες του OB και O\Gamma. Έσττω A το μέσον
του τόξου \overset\frown{B\Gamma}. Από το Α φέρω κάθετες στις ακτίνες OB και O\Gamma που τις τέμνουν στα \Delta
και E αντίστοιχα. Οι προεκτάσεις των A\Delta και AE τέμνουν τον κύκλο στα σημεία H και \Theta αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) AH=A\Theta. (Μονάδες 4)
α) Το A \Delta OE είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 7)
β) Τα σημεία H και \Theta είναι αντιδιαμετρικά. (Μονάδες 7)
γ) Το τετράπλευρο B\Gamma\Theta H είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 7)
4-4774.png
4-4774.png (17.54 KiB) Προβλήθηκε 1834 φορές
Λύση

α) Αφού A\Theta \perp OB, O\Delta απόστημα της χορδής AB. Άρα B μέσο του τόξου \overset\frown{A\Theta}. Άρα \overset\frown{B\Theta}=\overset\frown{AB}=\mu.
Όμοια, \overset\frown{A\Gamma}=\overset\frown{\Gamma H}=\mu δεδομένου ότι A μέσο \overset\frown{B\Gamma}.
Τότε όμως A\Theta = AH ως χορδές ίσων τόξων (2\mu).

β) Από υπόθεση A\Theta \perp OB, AH \perp O\Gamma και OA \perp OB. Τότε το τετράπλευρο B\Gamma\Theta H έχει 3 ορθές γωνίες, άρα είναι ορθογώνιο.

γ)Από το β), έχω H\hat{A}\Theta=90^{0}. Άρα το τόξο \overset\frown{\Theta H} είναι ημικύκλιο, επομένως \Theta H διάμετρος δηλ. \Theta, H αντιδιαμετρικά.

δ) Αφού τα τόξα \overset\frown{\Theta B}=\overset\frown{\Gamma H}=\mu, τότε B\Gamma \parallel H\Theta και \Theta B=\Gamma H.
Αφού B\hat{\Theta} H+\Theta\hat{H}\Gamma=\frac{3\mu}{2}+\frac{3\mu}{2}=3\mu< 4\mu=180^{o}, \Theta B τέμνει \Gamma H.
Συνεπώς B\Gamma\Theta H είναι ισοσκελές τραπέζιο.
τελευταία επεξεργασία από VreAnt σε Παρ Μάιος 30, 2014 4:25 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Βρέντζος Αντώνης
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#119

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Παρ Μάιος 30, 2014 9:55 am

Άσκηση 4781

Δίνεται τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma , με {\rm A}{\rm K} διχοτόμο της γωνίας {\rm A} . Στην προέκταση της {\rm A}{\rm K} θεωρούμε σημείο \Delta ώστε {\rm A}{\rm K} = {\rm K}\Delta . Η παράλληλη από το \Delta προς την {\rm A}{\rm B} τέμνει τις {\rm A}\Gamma και {\rm B}\Gamma στα {\rm E} και{\rm Z}αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο {\rm A}{\rm E}\Delta είναι ισοσκελές.
β) Η {\rm E}{\rm K} είναι μεσοκάθετος της {\rm A}\Delta .
γ) Τα τρίγωνα {\rm A}{\rm K}{\rm B} και {\rm K}\Delta {\rm Z} είναι ίσα.
δ) Το τετράπλευρο {\rm A}{\rm Z}\Delta {\rm B} είναι παραλληλόγραμμο.

Λύση

α) Είναι \widehat {{\rm E}\Delta {\rm A}} = \widehat {{\rm B}{\rm A}\Delta } = \dfrac{{\widehat {\rm A}}}{2} ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων \Delta {\rm E} και {\rm A}{\rm B} που τέμνονται από την {\rm A}\Delta .

Όμως και \widehat {{\rm E}{\rm A}\Delta } = \dfrac{{\widehat {\rm A}}}{2}οπότε \widehat {{\rm E}\Delta {\rm A}} = \widehat {{\rm E}{\rm A}\Delta } δηλαδή το τρίγωνο {\rm A}{\rm E}\Delta είναι ισοσκελές αφού έχει δύο ίσες γωνίες.

β) Η {\rm E}{\rm K} είναι διάμεσος στη βάση {\rm A}\Delta του ισοσκελούς τριγώνου {\rm A}{\rm E}\Delta οπότε είναι μεσοκάθετος της.

γ) Τα τρίγωνα {\rm A}{\rm K}{\rm B} και {\rm K}\Delta {\rm Z} είναι ίσα από \Gamma  - \Pi  - \Gamma αφού έχουν:

{\rm A}{\rm K} = {\rm K}\Delta από την υπόθεση
\widehat {{\rm E}\Delta {\rm A}} = \widehat {{\rm B}{\rm A}\Delta } = \dfrac{{\widehat {\rm A}}}{2} και \widehat {{\rm A}{\rm K}{\rm B}} = \widehat {\Delta {\rm K}{\rm Z}} ως κατακορυφήν.

δ) Από την παραπάνω ισότητα συμπεραίνουμε ότι {\rm B}{\rm K} = {\rm K}{\rm Z}.

Όμως είναι και {\rm A}{\rm K} = {\rm K}\Delta

Άρα το {\rm A}{\rm Z}\Delta {\rm B} είναι παραλληλόγραμμο αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται
Συνημμένα
4781.png
4781.png (39.53 KiB) Προβλήθηκε 2655 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Παρ Μάιος 30, 2014 10:14 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1987
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#120

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Μάιος 30, 2014 9:59 am

Γράφω ποιες έχουν γίνει σε αυτήν την σελίδα ως ευρετήριο για τις επόμενες:

3693-3694-3696-
3701-02-08-3709-3762-
3817-3820-22-24-25-
3903-04-06-08-11-15-19-26-32-38-45-48-54-61-66
4307
4555-62-65-67-69-71-74-79-83-99
4603-06-11-14-16-19-22-26-30-35-40-43-45-46-48-49-50-51-52-53-55
4731-35-37-41-53-56-57-62-65-67-69-71-74-81-99
5886
5902-10
6875-79


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία A”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης