ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1987
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#121

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Παρ Μάιος 30, 2014 10:36 am

4783
Δίνεται τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma. Στην προέκταση του ύψους του {\rm A}{\rm K}
θεωρούμε σημείο Δ ώστε {\rm A}{\rm K} = {\rm K}\Delta. Έστω \Lambda ,{\rm M},{\rm N}
τα μέσα των πλευρών {\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma και {\rm B}\Delta αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο ΑΒΔ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7)
β) Το τετράπλευρο ΒΛΚΝ είναι ρόμβος . (Μονάδες 9)
γ) \Lambda {\rm M} \bot \Lambda {\rm N}(Μονάδες 9)
Καταγραφή.PNG
Καταγραφή.PNG (13.23 KiB) Προβλήθηκε 2029 φορές
Απαντήσεις:
α)
Γνωρίζουμε ότι {\rm A}{\rm K} = {\rm K}\Deltaκαι {\rm B}\Gamma  \bot {\rm A}\Delta
,άρα το σημείο {\rm B} ανήκει στην μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος {\rm A}\Delta
, συνεπώς ισαπέχει από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος και το σχηματιζόμενο τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Delta είναι ισοσκελές.

β)
Τα σημεία \Lambda ,{\rm K} ενώνουν τα μέσα των πλευρών {\rm A}{\rm B},{\rm A}\Deltaάρα: \Lambda {\rm K} = \frac{{{\rm B}\Delta }}{2} = {\rm B}{\rm N}
Τα σημεία {\rm N},{\rm K} ενώνουν τα μέσα των πλευρών \Delta {\rm B},{\rm A}\Delta άρα: {\rm N}{\rm K} = \frac{{{\rm B}{\rm A}}}{2} = {\rm B}\Lambda

Γνωρίζουμε από το προηγούμενο ερώτημα ότι {\rm B}{\rm A} = {\rm B}\Delta  \Rightarrow \frac{{{\rm B}{\rm A}}}{2} = \frac{{{\rm B}\Delta }}{2} \Rightarrow {\rm B}\Lambda  = {\rm B}{\rm N}

Άρα το τετράπλευρο {\rm B}\Lambda {\rm K}{\rm N}έχει τέσσερις πλευρές ίσες άρα πρόκειται για ρόμβο.

γ)
Τα σημεία \Lambda ,{\rm N}ενώνουν τα μέσα των πλευρών {\rm A}{\rm B},{\rm B}\Deltaάρα: \Lambda {\rm N}//{\rm A}\Delta
Τα σημεία \Lambda ,{\rm M}ενώνουν τα μέσα των πλευρών {\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gammaάρα: \Lambda {\rm M}//{\rm B}\Gamma
Γνωρίζουμε ότι {\rm A}\Delta  \bot {\rm B}\Gamma, άρα λαμβάνοντας τα παραπάνω έχουμε: \Lambda {\rm N} \bot \Lambda {\rm M}
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Παρ Μάιος 30, 2014 11:10 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
ΒΑΣΙΚΟΣ
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τρί Ιαν 21, 2014 2:00 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#122

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΒΑΣΙΚΟΣ » Παρ Μάιος 30, 2014 11:00 am

exdx έγραψε:Προσοχή

Πριν λύσετε άλλες ασκήσεις να κατεβάσετε το νέο κατάλογο

Από τα 4α θέματα έχουν αφαιρεθεί οι παρακάτω


2789 2809 3703 3719
3731 3767 3803 3813
4574 4614 4741 4778
4794 4800 4808 6876
Καλημέρα δηλαδή αυτές δεν πρόκειται να κληρωθούν?


ΒΑΣΙΚΟΣ
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τρί Ιαν 21, 2014 2:00 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#123

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΒΑΣΙΚΟΣ » Παρ Μάιος 30, 2014 11:16 am

VreAnt έγραψε:Άσκηση 5886

Δίνεται τρίγωνο \bigtriangleup AB\Gamma με AB<A\Gamma και το ύψος του AH. Αν \Delta, E και Z είναι τα μέσα των AB,A\Gamma και B\Gamma αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι :
α) το τετράπλευρο \Delta EZH είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 8)
β) οι γωνίες H\hat{\Delta}Z και H\hat{E}Z είναι ίσες . (Μονάδες 8)
γ) οι γωνίες E\hat{\Delta}Z και E\hat{H}Z είναι ίσες. (Μονάδες 9)

Λύση
α) Τα \Delta, E είναι μέσα των AB και A\Gamma αντίστοιχα. Από θεώρημα, \displaystyle{\Delta E \parallel=\frac{B\Gamma}{2}}. Άρα \Delta E \parallel HZ. Συνεπώς \Delta EZH τραπέζιο.
Αρκεί να δείξω ότι ZE=H\Delta. Πράγματι, H\Delta διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΗ, άρα \displaystyle{H\Delta=\frac{AB}{2}} και όμοια με πριν \displaystyle{ZE=\frac{AB}{2}}. Επομένως \Delta EZH ισοσκελές τραπέζιο.
β), γ) Λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου, οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες, \widehat {\Delta {\rm H}{\rm Z}}=\widehat {H {\rm Z}{\rm E}}.
Αφού \Delta E \parallel HZ, \displaystyle{\widehat {\Delta {\rm E}{\rm Z}}+\widehat {E{\rm Z}{\rm H}}=180^{0}} ως εντός και επι τα αυτά (...).
Επομένως οι απέναντι γωνίες του τραπεζίου είναι παραπληρωματικές, συνεπώς το τραπέζιο είναι εγγράψιμο. Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες (θεώρημα). Έτσι, {{\hat{E}}_{1}}={{\hat{\Delta}}_{1}} και {{\hat{H}}_{2}}={{\hat{\Delta}}_{2}}.
Στο α ερώτημα δεν πρέπει να αποδείξουμε ότι ΖΕ δεν είναι παράλληλη με το ΔΗ? (ΖΕ//ΑΒ, αλλά ΔΗ δεν είναι παραλληλο με το ΑΒ)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8155
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#124

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 30, 2014 3:06 pm

george visvikis έγραψε:Άσκηση 4762

Στο παρακάτω σχήμα το ορθογώνιο EZH\Theta είναι ένα τραπέζι μπιλιάρδου. Ένας παίκτης τοποθετεί μία μπάλα στο σημείο A το οποίο ανήκει στη μεσοκάθετο του \Theta H και απέχει από αυτή απόσταση ίση με \Theta H. Όταν ο παίκτης χτυπήσει τη μπάλα, αυτή ακολουθεί τη διαδρομή \displaystyle{{\rm A} \to {\rm B} \to \Gamma  \to \Delta  \to {\rm A}} χτυπώντας στους τοίχους του μπιλιάρδου E\Theta, \Theta H, ZH διαδοχικά. Για τη διαδρομή αυτή ισχύει ότι κάθε γωνία πρόσπτωσης (π.χ η γωνία ABE) είναι ίση με κάθε γωνία ανάκλασης (π.χ η γωνία \ThetaB\Gamma) και κάθε μία από αυτές είναι 45^0.

α)
Να αποδείξετε ότι:

i) Η διαδρομή AB\Gamma\Delta της μπάλας είναι τετράγωνο. (Μονάδες 9)

ii) Το σημείο A ισαπέχει από τις κορυφές E,Z του μπιλιάρδου. (Μονάδες 8)

β) Αν η AZ είναι διπλάσια από την απόσταση του A από τον τοίχο EZ, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου AEZ. (Μονάδες 8)

Λύση:

Θα απαντήσω πρώτα στο ερώτημα (α. ii)

Οι πλευρές EZ, \Theta H του μπιλιάρδου έχουν την ίδια μεσοκάθετο, άρα το A ανήκει και στη μεσοκάθετο του EZ, οπότε \boxed{AE=AZ}

α. i) Από το ισοσκελές τρίγωνο AEZ είναι \displaystyle{{\rm E}\widehat {\rm Z}{\rm A} = {\rm Z}\widehat {\rm E}{\rm A} = \varphi  \Leftrightarrow {\rm B}\widehat {\rm E}{\rm A} = \Delta \widehat {\rm Z}{\rm A} = {90^0} - \varphi }

Εξάλλου είναι \displaystyle{{\rm E}\widehat {\rm B}{\rm A} = {\rm Z}\widehat \Delta {\rm A} = {45^0}}, οπότε θα είναι και \displaystyle{{\widehat {\rm A}_1} = {\widehat {\rm A}_2}} (άθροισμα γωνιών τριγώνου). Επειδή όμως AE=AZ, τα τρίγωνα AEB, AZ\Delta θα είναι ίσα. Άρα AB=A\Delta (1).

Επειδή τώρα κάθε γωνία πρόσπτωσης και κάθε γωνία ανάκλασης είναι ίση με 45^0, προκύπτει άμεσα ότι το AB\Gamma\Delta είναι ορθογώνιο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες (από την (1)). Άρα είναι τετράγωνο.
4_4762.png
β) Έστω M η ορθή προβολή του A πάνω στην EZ. Από την υπόθεση έχουμε \displaystyle{{\rm A}{\rm M} = \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{2}}. Αλλά το

τρίγωνο AMZ είναι ορθογώνιο. Οπότε \boxed{{\rm A}\widehat {\rm E}{\rm Z} = {\rm A}\widehat {\rm Z}{\rm E} = {30^0}} και κατά συνέπεια \boxed{{\rm E}\widehat {\rm A}{\rm Z} = {120^0}}


Παρατήρηση: Το στοιχείο ότι το σημείο A απέχει από τη \Theta H απόσταση ίση με \Theta H δεν χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη. Ωστόσο, είναι υποχρεωτικό στην κατασκευή του σχήματος.
Θα μπορούσε όμως κάλλιστα, να δοθεί σαν αποδεικτικό ερώτημα.
Για σιγουριά, ας το δει και κάποιος άλλος
Γεια σου Γιώργο.
Γι αυτό έχω γράψει κάποια σχόλια από προχθές εδώ
Επίσης δίδω μια λύση εδώ
Πάντως η άσκηση είναι ιδιάζουσα.
Φιλικά Νίκος


gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1035
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#125

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Παρ Μάιος 30, 2014 3:41 pm

Θέμα 4786

Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma}.Οι μεσοκάθετοι \displaystyle{\mu_{1},\mu_{2}} των πλευρών \displaystyle{AB,A\Gamma} αντίστοιχα τέμνονται στο μέσο \displaystyle{M} της \displaystyle{B\Gamma}.

α)Να αποδειχθεί ότι:
i)Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με \displaystyle{\angle{A}=90^{\circ}}.
ii)Το τετράπλευρο \displaystyle{A\Lambda KM} είναι παραλληλόγραμμο

(σημεία \displaystyle{K,\Lambda } δεν αναφέρονται πουθενά στην εκφώνηση-στο σχήμα ωστόσο που δίνεται φαίνονται σαν τα σημεία τομής των \displaystyle{\mu_{1},\mu_{2}} με τις \displaystyle{AB,A\Gamma} αντίστοιχα).

iii) \displaystyle{\Lambda \Theta =\frac{B\Gamma}{4}} όπου \displaystyle{\Theta} το σημείο τομής των \displaystyle{AM,K\Lambda}.

β) Αν \displaystyle{I} σημείο της \displaystyle{B\Gamma} τέτοιο ώστε \displaystyle{BI=\frac{B\Gamma}{4}} να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο \displaystyle{K\Theta IB} είναι παραλληλόγραμμο.

Γεωμετρια mathematica_58.PNG
Γεωμετρια mathematica_58.PNG (7.54 KiB) Προβλήθηκε 1901 φορές
α) i) Η \displaystyle{AM} είναι διάμεσος.Βλέπουμε ότι \displaystyle{AM=BM} αφού το \displaystyle{M} ανήκει στη διάμεσο της \displaystyle{AB}.Επομένως η διάμεσος είναι ίση με το μισό της πλευράς στην οποία βαίνει.Έτσι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την \displaystyle{B\Gamma} άρα \displaystyle{\angle{A}=90^{\circ}}.

ii)Αφού η \displaystyle{\mu_{1}} είναι μεσοκάθετος της \displaystyle{AB} θα είναι κάθετη σ' αυτήν.Αφού το τρίγωνο είναι ορθογώνιο \displaystyle{A\Gamma \perp AB} άρα \displaystyle{MK \parallel A\Gamma}.Ομοίως \displaystyle{M\Lambda\parallel AB} επομένως οι απέναντι πλευρές του τετραπλεύρου \displaystyle{AKM\Lambda} είναι ίσες ανά δύο κι έτσι αυτό είναι παραλληλόγραμμο.

iii)Οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται άρα \displaystyle{\Lambda \Theta =\frac{K\Lambda}{2}}.Όμως τα τρίγωνα \displaystyle{\triangle{ABM}} \displaystyle{A\Gamma M} είναι ισοσκελή αφού η κορυφή τους \displaystyle{M} ανήκει στη μεσοκάθετο της απέναντι πλευράς τους.Η κάθε μεσοκάθετος διχοτομεί το αντίστοιχο τμήμα της άρα \displaystyle{K,\Lambda} είναι τα μέσα των \displaystyle{AB,A\Gamma}.Έτσι \displaystyle{K\Lambda =\frac{B\Gamma}{2}} και τελικά \displaystyle{\Lambda \Theta =\frac{\frac{B\Gamma}{2}}{2}=\frac{B\Gamma}{4}}.

β)Είδαμε παραπάνω ότι \displaystyle{K\Lambda \parallel B\Gamma} κι αφού το \displaystyle{I} ανήκει στην \displaystyle{B\Gamma} και το \displaystyle{\Theta } στην \displaystyle{K\Lambda} θα είναι \displaystyle{K\Theta \parallel BI}.Ακόμη \displaystyle{K\Theta =\Lambda \Theta=\frac{B\Gamma}{4}=BI} άρα το \displaystyle{K\Theta IB} έχει δύο απέναντι πλευρές παράλληλες και ίσες συνεπώς είναι παραλληλόγραμμο.

Υ.Γ. Αν εντοπιστούν λάθη να ενημερωθώ για να τα διορθώσω.
Υ.Γ.2 Συγνώμη για την εκνευριστική αναλυτικότητα αλλά προσπαθώ να παρουσιάσω τη λύση όπως θα την έγραφα στις εξετάσεις (όπως θα τη γράψω δηλαδή :D )
τελευταία επεξεργασία από gavrilos σε Παρ Μάιος 30, 2014 4:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος Γαβριλόπουλος
VreAnt
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 20, 2009 9:40 pm
Τοποθεσία: Ρέθυμνο, Κρήτη

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#126

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από VreAnt » Παρ Μάιος 30, 2014 3:53 pm

ΒΑΣΙΚΟΣ έγραψε:
VreAnt έγραψε:Άσκηση 5886

Δίνεται τρίγωνο \bigtriangleup AB\Gamma με AB<A\Gamma και το ύψος του AH. Αν \Delta, E και Z είναι τα μέσα των AB,A\Gamma και B\Gamma αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι :
α) το τετράπλευρο \Delta EZH είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 8)
β) οι γωνίες H\hat{\Delta}Z και H\hat{E}Z είναι ίσες . (Μονάδες 8)
γ) οι γωνίες E\hat{\Delta}Z και E\hat{H}Z είναι ίσες. (Μονάδες 9)

Λύση
α) Τα \Delta, E είναι μέσα των AB και A\Gamma αντίστοιχα. Από θεώρημα, \displaystyle{\Delta E \parallel=\frac{B\Gamma}{2}}. Άρα \Delta E \parallel HZ. Συνεπώς \Delta EZH τραπέζιο.
Αρκεί να δείξω ότι ZE=H\Delta. Πράγματι, H\Delta διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΗ, άρα \displaystyle{H\Delta=\frac{AB}{2}} και όμοια με πριν \displaystyle{ZE=\frac{AB}{2}}. Επομένως \Delta EZH ισοσκελές τραπέζιο.
β), γ) Λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου, οι προσκείμενες στη βάση γωνίες είναι ίσες, \widehat {\Delta {\rm H}{\rm Z}}=\widehat {H {\rm Z}{\rm E}}.
Αφού \Delta E \parallel HZ, \displaystyle{\widehat {\Delta {\rm E}{\rm Z}}+\widehat {E{\rm Z}{\rm H}}=180^{0}} ως εντός και επι τα αυτά (...).
Επομένως οι απέναντι γωνίες του τραπεζίου είναι παραπληρωματικές, συνεπώς το τραπέζιο είναι εγγράψιμο. Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες (θεώρημα). Έτσι, {{\hat{E}}_{1}}={{\hat{\Delta}}_{1}} και {{\hat{H}}_{2}}={{\hat{\Delta}}_{2}}.
Στο α ερώτημα δεν πρέπει να αποδείξουμε ότι ΖΕ δεν είναι παράλληλη με το ΔΗ? (ΖΕ//ΑΒ, αλλά ΔΗ δεν είναι παραλληλο με το ΑΒ)
Προφανώς! Ευχαριστώ. Κάνω άμεσα τη διόρθωση.


Βρέντζος Αντώνης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#127

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 30, 2014 4:52 pm

Doloros έγραψε:Άσκηση 4762

Γεια σου Γιώργο.
Γι αυτό έχω γράψει κάποια σχόλια από προχθές εδώ
Επίσης δίδω μια λύση εδώ
Πάντως η άσκηση είναι ιδιάζουσα.
Φιλικά Νίκος
Γεια σου Νίκο.

Με τέτοιο καταιγισμό ασκήσεων δεν είχα προσέξει ότι είχες γράψει γι αυτό το θέμα.
Είναι όντως περίεργη άσκηση. Δίνουν ένα στοιχείο το οποίο είναι περιττό, εφόσον ισχύουν τα άλλα δεδομένα με τις γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης των 45^0.
Τέλος πάντων, πιστεύω ότι πρέπει να αποσυρθεί αυτή η άσκηση, γιατί μπορεί να προκαλέσει σύγχυση στους καλούς μαθητές.


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#128

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Παρ Μάιος 30, 2014 9:49 pm

Άσκηση 4788

Δίνεται τραπέζιο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta με {\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta , \Delta \Gamma  = 4{\rm A}{\rm B} και {\rm B}\Gamma  = 2{\rm A}{\rm B}.
Θεωρούμε σημείο {\rm Z} της \Gamma \Delta, ώστε \Delta {\rm Z} = {\rm A}{\rm B}.
Αν η γωνία \Gamma είναι 60^\circ και {\rm B}{\rm E} το ύψος του τραπεζίου, να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο {\rm A}{\rm B}\Gamma {\rm E} είναι παραλληλόγραμμο.
β) Το τρίγωνο {\rm Z}{\rm A}{\rm E} είναι ισόπλευρο.
γ) Τα τρίγωνα \Delta {\rm A}{\rm Z} και \Gamma {\rm A}{\rm E} είναι ίσα.

Λύση

α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο {\rm B}{\rm E}\Gamma είναι \widehat \Gamma  = 60^\circοπότε \widehat {\Gamma {\rm B}{\rm E}} = 30^\circ , έτσι \Gamma {\rm E} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2} \Rightarrow \Gamma {\rm E} = {\rm A}{\rm B}

Όμως \Gamma {\rm E}//{\rm A}{\rm B} έτσι το {\rm A}{\rm B}\Gamma {\rm E} είναι παραλληλόγραμμο.

β) Από το {\rm A}{\rm B}\Gamma {\rm E} είναι {\rm A}{\rm E} = {\rm B}\Gamma  = 2{\rm A}{\rm B}

Είναι {\rm Z}{\rm E} = \Gamma \Delta  - \Delta {\rm Z} - {\rm E}\Gamma  \Leftrightarrow {\rm Z}{\rm E} = 4{\rm A}{\rm B} - {\rm A}{\rm B} - {\rm A}{\rm B} \Leftrightarrow {\rm Z}{\rm E} = 2{\rm A}{\rm B}

\widehat {{\rm A}{\rm E}{\rm Z}} = \widehat \Gamma  = 60^\circ ως εντός εκτός και επί τα αυτά.

Έτσι το τρίγωνο {\rm Z}{\rm A}{\rm E} είναι ισοσκελές αφού {\rm A}{\rm E} = {\rm Z}{\rm E} και επειδή\widehat {{\rm A}{\rm E}{\rm Z}} = 60^\circ θα είναι ισόπλευρο.

γ) Τα τρίγωνα \Delta {\rm A}{\rm Z} και \Gamma {\rm A}{\rm E}είναι ίσα από \Pi  - \Gamma  - \Pi αφού έχουν:
\Delta {\rm Z} = {\rm E}\Gamma  = {\rm A}{\rm B} ,
{\rm A}{\rm Z} = {\rm A}{\rm E} από το ισόπλευρο τρίγωνο {\rm Z}{\rm A}{\rm E} και

\widehat {\Delta {\rm Z}{\rm A}} = \widehat {{\rm A}{\rm E}\Gamma } = 120^\circ ως παραπληρωματικές των γωνιών {\rm Z},{\rm E} του ισοπλεύρου τριγώνου.
Συνημμένα
4788.png
4788.png (27.82 KiB) Προβλήθηκε 1821 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4365
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#129

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nsmavrogiannis » Παρ Μάιος 30, 2014 10:22 pm

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Αυτή ιστορία με το mathtype που δεν μεταφράζει σε TEX τα κοινά γράμματα της Ελληνικής και Λατινικής, θα με κάνει να μην ξαναγράψω γεωμετρία. Εϊναι απίστευτη ταλαιπωρία να γυρίζεις συνέχεια τη γλώσσα στο πληκτρολόγιο. :( )
Μπάμπη δεν ξέρω ποια έκδοση χρησιμοποιείς.
Πάντως η παλαιότερη δωρεάν έκδοση για \LaTeX του MathType το TeXaide λειτουργεί στο :logo: μιά χαρά:
{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta {\rm I}{\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}\Xi {\rm O}\Pi {\rm P}\Sigma {\rm T}\Upsilon \Phi {\rm X}\Psi \Omega
Βρίσκεται εδώ:
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=203
TeXaide.png
TeXaide.png (10.9 KiB) Προβλήθηκε 1798 φορές


Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#130

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Παρ Μάιος 30, 2014 10:43 pm

Άσκηση 4790

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta με {\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta και {\rm A}\Delta  = {\rm B}\Gamma  = {\rm A}{\rm B} .
Φέρουμε τμήματα {\rm A}{\rm E} και {\rm B}{\rm Z} κάθετα στις διαγώνιες {\rm B}\Delta και {\rm A}\Gamma αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Τα σημεία {\rm Z} και {\rm E} είναι μέσα των διαγωνίων {\rm A}\Gamma και {\rm B}\Delta αντίστοιχα.
β) {\rm A}{\rm E} = {\rm B}{\rm Z} .
γ) Το τετράπλευρο {\rm A}{\rm E}{\rm Z}{\rm B} είναι ισοσκελές τραπέζιο.
δ) Η {\rm B}\Delta είναι διχοτόμος της γωνίας \Delta.

Λύση

α) Τα τρίγωνα {\rm A}{\rm B}\Gamma και {\rm A}{\rm B}\Delta είναι ισοσκελή αφού {\rm A}\Delta  = {\rm B}\Gamma  = {\rm A}{\rm B} και τα τμήματα {\rm B}{\rm Z} και {\rm A}{\rm E} είναι ύψη στις βάσεις τους,
άρα θα είναι και διάμεσοι των τριγώνων, οπότε τα {\rm Z} και {\rm E} είναι μέσα των διαγωνίων {\rm A}\Gamma και {\rm B}\Delta αντίστοιχα.

β) Τα ορθογώνια τρίγωνα {\rm A}{\rm E}\Delta και {\rm B}{\rm Z}\Gamma είναι ίσα επειδή έχουν:

{\rm A}\Delta  = {\rm B}\Gamma από την υπόθεση και \Delta {\rm E} = \Gamma {\rm Z} ως μισά των ίσων διαγωνίων {\rm A}\Gamma και {\rm B}\Delta ({\rm A}{\rm B}\Gamma \Deltaισοσκελές τραπέζιο)

γ) {\rm E}{\rm Z}//{\rm A}{\rm B} αφού το {\rm E}{\rm Z} ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta.

{\rm A}{\rm E} = {\rm B}{\rm Z} από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων

Οι {\rm B}{\rm Z} ,{\rm A}{\rm E} δεν είναι παράλληλες ως κάθετες στις τεμνόμενες {\rm A}\Gamma και {\rm B}\Delta

Άρα το {\rm A}{\rm E}{\rm Z}{\rm B} είναι ισοσκελές τραπέζιο.

δ) Αν {\rm H} είναι το σημείο τομής της {\rm A}{\rm E} με τη \Delta \Gamma τότε στο τρίγωνο {\rm A}{\rm H}\Gamma είναι {\rm Z} μέσο της {\rm A}\Gamma και {\rm Z}{\rm E}//{\rm A}{\rm B}//\Gamma {\rm H} , δηλαδή το {\rm E} είναι μέσο της {\rm A}{\rm H}.
Στο τρίγωνο {\rm A}\Delta {\rm H} το \Delta {\rm E} είναι ύψος και διάμεσος, οπότε αυτό είναι ισοσκελές, έτσι το \Delta {\rm E} ή η {\rm B}\Delta είναι διχοτόμος της γωνίας \Delta.
Συνημμένα
4790.png
4790.png (18.36 KiB) Προβλήθηκε 1768 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#131

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 30, 2014 11:09 pm

Άσκηση 4791

Δίνεται παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta τέτοιο ώστε αν φέρουμε την κάθετη στην A\Gamma στο κέντρο του O, αυτή τέμνει την A\Delta σε σημείο E τέτοιο ώστε \Delta E=A\Delta. Να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο AE\Gamma είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7)

β) Το τετράπλευρο B\Gamma E\Delta είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 9)

γ) Το τρίγωνο BO\Gamma είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9)

Λύση:

α) Η EO είναι μεσοκάθετος της A\Gamma, άρα το τρίγωνο AE\Gamma είναι ισοσκελές.

β) B\Gamma=A\Delta=\Delta E, οπότε B\Gamma||=\Delta E, δηλαδή το
τετράπλευρο B\Gamma E\Delta είναι παραλληλόγραμμο.
4791.png
4791.png (12.35 KiB) Προβλήθηκε 1706 φορές
γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο OAE η O\Delta είναι διάμεσος, άρα O\Delta=\Delta A=\Delta E. Αλλά \Delta O=OB,

οπότε \boxed{BO=B\Gamma}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#132

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 30, 2014 11:48 pm

Άσκηση 4792

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο AB\Gamma. Στην προέκταση της B\Gamma (προς το \Gamma) θεωρούμε τμήμα \Gamma\Delta=B\Gamma. Αν M,K, \Lambda είναι τα μέσα των πλευρών B\Gamma, AB, A\Delta αντίστοιχα, τότε:

α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου BA\Delta (Μονάδες 7)

β) Να αποδείξετε ότι:

i) Το τετράπλευρο K\Lambda\Gamma M είναι ισοσκελές τραπέζιο με μεγάλη βάση
διπλάσια από τη μικρή. (Μονάδες 8)

ii) Το τρίγωνο KM\Lambda είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 10)

Λύση:

α) Οι γωνίες του ισοπλεύρου είναι 60^0 η καθεμία. Η γωνία \Gamma=60^0 είναι εξωτερική στο ισοσκελές τρίγωνο A\Gamma\Delta, οπότε θα είναι \displaystyle{{\rm A}\widehat \Delta \Gamma  = \Delta \widehat {\rm A}\Gamma  = {30^0}}.

Έχουμε λοιπόν, \boxed{A=90^0, B=60^0, \Delta=30^0}

β.i) K\Lambda||M\Gamma (ενώνει τα μέσα των πλευρών AB, A\Delta του τριγώνου AB\Delta).
\displaystyle{{\rm K}{\rm M} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{2}} ((ενώνει τα μέσα των πλευρών AB, B\Gamma του τριγώνου AB\Gamma).

Η \Gamma\Lambda είναι κάθετη στην A\Delta, ως διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου A\Gamma\Delta, κι επειδή

\displaystyle{\widehat \Gamma  = {30^0} \Leftrightarrow \Gamma \Lambda  = \frac{{\Gamma \Delta }}{2} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{2}}.
4792.png
4792.png (14.13 KiB) Προβλήθηκε 1654 φορές
Άρα KM=\Gamma\Lambda, οπότε το τετράπλευρο K\Lambda\Gamma M είναι ισοσκελές τραπέζιο (δεν μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο, γιατί όπως θα δείξουμε είναι K\Lambda=2M\Gamma).

Πράγματι: \displaystyle{{\rm K}\Lambda  = \frac{{{\rm B}\Delta }}{2} = \frac{{2{\rm B}\Gamma }}{2} = {\rm B}\Gamma  = 2{\rm M}\Gamma }

ii) \displaystyle{{\widehat {\rm K}_1} = {60^0}} (εντός εκτός και επί τα αυτά με τη γωνία B)

\displaystyle{{\rm A}{\rm M} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{2}} (απέναντι από γωνία 30^0 σε ορθογώνιο τρίγωνο)

\displaystyle{{\rm M}\Lambda  = \frac{{{\rm A}\Delta }}{2}} (διάμεσος ορθογωνίου τριγώνου).

Άρα το τρίγωνο AM\Lambda είναι ισόπλευρο, οπότε \displaystyle{{\widehat {\rm M}_1} = {60^0}}.

Αφού \displaystyle{{\widehat {\rm M}_1} = {\widehat {\rm K}_1}}, το τετράπλευρο AKM\Lambda είναι εγγράψιμο κι επειδή \displaystyle{\widehat {\rm A} = {90^0}},

θα είναι και \displaystyle{{\rm K}\widehat {\rm M}\Lambda  = {90^0}}.

Σημείωση: Το σημείο N που δινόταν στο σχήμα δεν χρησιμοποιήθηκε.


VreAnt
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 20, 2009 9:40 pm
Τοποθεσία: Ρέθυμνο, Κρήτη

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#133

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από VreAnt » Σάβ Μάιος 31, 2014 8:12 am

Άσκηση 4793
Δίνεται τετράπλευρο AB\Gamma\Delta και ο περιγεγραμμένος του κύκλος (O,\rho) ώστε η
διαγώνιος του \Delta B να είναι διάμετροw του κύκλου. Η γωνία \hat{B} είναι διπλάσια της
γωνίας \hat{\Delta} και οι πλευρές AB και B\Gamma είναι ίσες. Φέρουμε κάθετη στη B\Delta στο O, η
οποία τέμνει τις πλευρές A\Delta και \Gamma\Delta στα E και Z αντίστοιχα.
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου AB\Gamma\Delta. (Μονάδες 6)
β) Να συγκρίνετε τα τρίγωνα \Delta AB και \Delta \Gamma B. (Μονάδες 6)
γ) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AB\Gamma O είναι ρόμβος. (Μονάδες 7)
γ) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ABOE είναι εγγράψιμο σε κύκλο. (Μονάδες 6)
Λύση
4-4793.png
4-4793.png (17.54 KiB) Προβλήθηκε 1467 φορές
α) Αφού \Delta B είναι διάμετρος τότε \overset\frown{\Delta AB},\overset\frown{\Delta \Gamma B} είναι ημικύκλια. Άρα \hat{A}=90^{o}=\hat{\Gamma} (1) ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στα προηγούμενα ημικύκλια.
Αλλά \hat{A}+\hat{B}+\hat{\Gamma}+\hat{\Delta}=360^{o} (2) και από υπόθεση \hat{B}=2\hat{\Delta} (3).

\displaystyle{ 
(2)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1),(3)} 3 \hat{\Delta}=180^{o}\Leftrightarrow \hat{\Delta}=60^{o}  
 (4)}. Έτσι λόγω (3), \hat{B}=120^{o} (5).

β) Όμως οι χορδές AB=B\Gamma από υπόθεση. Άρα \overset\frown{ AB}=\overset\frown{B\Gamma}=2\varphi. Τότε \displaystyle{\hat \phi _{\rm 1}  = \hat \phi _2  = \phi } ως εγγεγραμμένες σε ίσα τόξα.
Αλλά \hat{\Delta}=\displaystyle{\hat \phi _{\rm 1}  + \hat \phi _2. Λόγω (4), \phi=30^o.

Τα τρίγωνα \Delta AB και \Delta \Gamma B είναι ορθογώνια \hat{A}=90^{o}=\hat{\Gamma}, AB=B\Gamma, {\hat \phi _{\rm 1}  = \hat \phi _2 }. Από κριτήριο είναι ίσα.

γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο \Delta AB, AO είναι διάμεσος (υπόθεση: \Delta B διάμετρος) και \hat{\varphi}_{2}=30^{o}. Άρα AB=AO=OB=\dfrac{\Delta B}{2}=\rho.
Όμοια στο τρίγωνο \Delta \Gamma B, O\Gamma=B\Gamma=OB=\rho. Άρα το τετράπλευρο AB\Gamma O είναι ρόμβος, αφού έχει τις πλευρές του ίσες.

δ) Το τετράπλευρο ABOE είναι εγγράψιμο σε κύκλο, αφού οι απέναντι γωνίες του, \hat{A}+E \hat{O} B=90^o+90^o=180^o, παραπληρωματικές (EZ\perp \Delta B από υπόθεση).
τελευταία επεξεργασία από VreAnt σε Σάβ Μάιος 31, 2014 1:27 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Βρέντζος Αντώνης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#134

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 31, 2014 10:30 am

Άσκηση 4795

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο AB\Gamma. Με βάση την AB κατασκευάζουμε ισοσκελές τρίγωνο A\Delta B με γωνία \displaystyle{\widehat \Delta  = {120^0}}. Θεωρούμε τα μέσα Z και H των πλευρών A\Delta και A\Gamma αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι η \Delta\Gamma είναι μεσοκάθετος του AB. (Μονάδες 8)

β) Αν η \Delta\Gamma τέμνει την AB στο \Theta, να αποδείξετε ότι η γωνία \displaystyle{{\rm Z}\widehat \Theta {\rm M}} είναι ορθή. (Μονάδες 9)


γ) Αν η ZK είναι κάθετη στην AB από το σημείο Z, να αποδείξετε ότι \displaystyle{{\rm Z}{\rm K} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{4}} (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Επειδή το τρίγωνο A\Delta B είναι ισοσκελές, το AB\Gamma είναι ισόπλευρο και έχουν κοινή βάση την AB, η \Delta\Gamma είναι μεσοκάθετος του AB.

β) Από το ισοσκελές A\Delta B έχουμε:
\displaystyle{{\rm B}\widehat {\rm A}\Delta  = {\rm A}\widehat {\rm B}\Delta \mathop  = \limits^{{\rm A}\widehat \Delta {\rm B} = {{120}^0}} {30^0}}. Άρα \displaystyle{\Delta \widehat {\rm B}\Gamma  = {90^0}}

Είναι ακόμα Z\Theta ||\Delta B (ενώνει τα μέσα Z και \Theta των πλευρών A\Delta και AB)

\Theta H||B\Gamma (ενώνει τα μέσα \Theta και H των πλευρών AB και A\Gamma )

4795.png
4795.png (10.02 KiB) Προβλήθηκε 1535 φορές
Άρα \boxed{{\rm Z}\widehat \Theta {\rm H} = {90^0}} (έχει πλευρές παράλληλες με τη γωνία \displeystyle{\Delta \widehat {\rm B}\Gamma  = {90^0}})

γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ZKA, είναι \displaystyle{{\rm Z}\widehat {\rm A}{\rm K} = {30^0} \Leftrightarrow {\rm Z}{\rm K} = \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{2} \Leftrightarrow } \boxed{{\rm Z}{\rm K} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{4}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#135

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 31, 2014 11:34 am

Άσκηση 4796

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο AB\Gamma\Delta (AB||\Gamma\Delta) και O το σημείο τομής των διαγωνίων του. Η A\Gamma είναι κάθετη στην A\Delta και η B\Delta είναι κάθετη στηB\Gamma. Θεωρούμε τα μέσα M,E,Z των \Gamma\Delta, B\Delta, A\Gamma αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) ME=MZ (Μονάδες 6)

β) Η MZ είναι κάθετη στην A\Gamma (Μονάδες 6)

γ) Τα τρίγωνα M\Delta E και MZ\Gamma είναι ίσα (Μονάδες 7)

δ) Η OM είναι μεσοκάθετος του EZ (Μονάδες 6)

Λύση:

α) Επειδή M,E,Z είναι μέσα των \Gamma\Delta, B\Delta, A\Gamma αντίστοιχα, θα είναι \displaystyle{{\rm M}{\rm E} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2}} και \displaystyle{{\rm M}{\rm Z} = \frac{{{\rm A}\Delta }}{2}}

Αλλά λόγω του ισοσκελούς τραπεζίου AB\Gamma\Delta, είναι B\Gamma=A\Delta. Οπότε: \boxed{ME=MZ}

β) MZ||A\Delta κι επειδή \displaystyle{{\rm A}\Delta  \bot {\rm A}\Gamma  \Leftrightarrow } \boxed{{\rm M}{\rm Z} \bot {\rm A}\Gamma }
4796.png
4796.png (20.5 KiB) Προβλήθηκε 1426 φορές
γ) Ομοίως είναι \displaystyle{{\rm M}{\rm E} \bot {\rm B}\Delta }.

Τα ορθογώνια τρίγωνα M\Delta E και MZ\Gamma, έχουν ME=MZ και \Delta M=M\Gamma, οπότε είναι ίσα.

δ) Η OM είναι μεσοκάθετος του \Delta\Gamma.

Αλλά, EZ||\Delta\Gamma (ενώνει τα μέσα των διαγωνίων του τραπεζίου). Άρα η OM είναι κάθετη στην EZ. Επειδή όμως το τρίγωνο MEZ είναι ισοσκελές θα είναι μεσοκάθετος.



Σημείωση:Το σχήμα που έχουν δώσει είναι απαράδεκτο. Δείχνει (οξείες ή αμβλείες) γωνίες που υποτίθεται ότι είναι ορθές.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Μάιος 31, 2014 2:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Peri2005
Δημοσιεύσεις: 26
Εγγραφή: Δευ Μάιος 26, 2014 6:23 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#136

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Peri2005 » Σάβ Μάιος 31, 2014 12:18 pm

4797

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε και Μ των ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντίστοιχα. Στην προέκταση του ΜΔ (προς το Δ) θεωρούμε τμήμα ΔΖ=ΔΜ.
Να αποδείξετε ότι:
α) Τα τρίγωνα ΑΖΔ και ΒΜΔ είναι ίσα.
β) Το τετράπλευρο ΖΑΓΜ είναι παραλληλόγραμμο
γ) Τα τμήματα ΖΕ και ΑΔ τέμνονται κάθετα και διχοτομούνται
δ) Η ΒΖ είναι κάθετη στη ΖΑ.

Λύση:
SXHMA.JPG
SXHMA.JPG (6.86 KiB) Προβλήθηκε 1464 φορές
α) Τα τρίγωνα ΑΖΔ και ΒΜΔ έχουν:
\displaystyle{{\rm A}\Delta  = \Delta {\rm B}} (Δ μέσο ΑΒ)
\displaystyle{\Delta {\rm M} = \Delta {\rm Z}} (υπόθεση)
\displaystyle{\widehat{{\rm Z}\Delta {\rm A}} = \widehat{{\rm B}\Delta {\rm M}}} ((κατακορυφήν)
επομένως είναι ίσα (Π-Γ-Π).


β) Από την ισότητα των τριγώνων ΑΖΔ και ΒΜΔ έχουμε: \displaystyle{{\rm B}{\rm M} = {\rm Z}{\rm A}}και \displaystyle{\widehat{{\rm Z}{\rm A}\Delta } = \widehat{\Delta {\rm B}{\rm M}}\, = {60^0}}

Οι γωνίες \displaystyle{\widehat{{\rm Z}{\rm A}{\rm E}}\,,\,\,\widehat{{\rm A}\Gamma {\rm B}}\,} είναι παραπληρωματικές και εντός και επί τα αυτά των ευθειών \displaystyle{{\rm Z}{\rm A}} και \displaystyle{{\rm M}\Gamma } που τέμνονται από την \displaystyle{{\rm A}\Gamma }
Άρα: \displaystyle{{\rm Z}{\rm A}//{\rm M}\Gamma \,\,\left( 1 \right)}

Επίσης είναι \displaystyle{{\rm B}{\rm M} = {\rm M}\Gamma } και επομένως \displaystyle{{\rm Z}{\rm A} = {\rm M}\Gamma \,\,\left( 2 \right)}
Από τις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι το \displaystyle{{\rm Z}{\rm A}\Gamma {\rm M}} είναι παραλληλόγραμμο.


γ) Αφού το \displaystyle{{\rm Z}{\rm A}\Gamma {\rm M}} είναι παραλληλόγραμμο θα είναι : \displaystyle{{\rm Z}\Delta //{\rm A}{\rm E}\,} και \displaystyle{{\rm Z}\Delta  = {\rm A}{\rm E}\,} (μισά των ίσων τμημάτων \displaystyle{{\rm Z}{\rm M}\,,\,{\rm A}\Gamma } )
Άρα το \displaystyle{{\rm Z}{\rm A}{\rm E}\Delta } είναι παραλληλόγραμμο κι επειδή έχει δύο συνεχόμενες πλευρές ίσες \displaystyle{\left( {{\rm Z}{\rm A} = {\rm A}{\rm E}\,} \right)} το \displaystyle{{\rm Z}{\rm A}{\rm E}\Delta } θα είναι ρόμβος , οπότε οι διαγώνιοί του \displaystyle{{\rm Z}{\rm E}\,,\,{\rm A}\Delta } θα τέμνονται κάθετα και θα διχοτομούνται.

δ) Στο τρίγωνο \displaystyle{{\rm Z}{\rm A}{\rm B}} η διάμεσος \displaystyle{{\rm Z}\Delta  = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2}} επόμένως \displaystyle{\widehat{{\rm B}{\rm Z}{\rm A}}\, = {90^0}}


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1564
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#137

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Μάιος 31, 2014 2:36 pm

4798

Δίνεται τρίγωνο με \displaystyle{\,\,\,{\rm{{\rm A}{\rm B} < {\rm A}\Gamma }}\,\,\,} . Φέρνουμε τμήμα \displaystyle{\,\,\,{\rm{{\rm B}\Delta }}\,\,\,\,} κάθετο στην \displaystyle{\,\,{\rm{{\rm A}{\rm B}}}\,\,} και με \displaystyle{\,\,\,{\rm B}\Delta  = {\rm A}\Gamma \,\,\,} και τμήμα \displaystyle{\,\,\Gamma {\rm E}\,\,} κάθετο στην \displaystyle{\,\,\,{\rm A}\Gamma \,\,\,} με \displaystyle{\,\,\,\Gamma {\rm E} = {\rm A}{\rm B}\,\,\,} .
Θεωρούμε τα μέσα \displaystyle{\,\,\,\,{\rm Z},\Theta \,\,\,} των \displaystyle{\,\,{\rm A}\Delta ,{\rm A}{\rm E}\,\,}, αντίστοιχα καθώς και τη διχοτόμο \displaystyle{\,{\rm A}\delta \,\,\,\,\,} της γωνίας \displaystyle{\,\,\,\,\widehat{\Delta {\rm A}{\rm E}}\,\,\,\,} .
α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\,\,{\rm A}\Delta  = {\rm A}{\rm E}\,\,\,\,} . (Μονάδες 9)
β) Αν \displaystyle{\,\,\,\,{\rm K}\,\,\,\,} τυχαίο σημείο της διχοτόμου \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}\delta \,\,\,\,\,} , να αποδείξετε ότι το Κ ισαπέχει από τα μέσα \displaystyle{\,{\rm Z}\,} και \displaystyle{\,\,\,\,\,\Theta \,\,\,\,}. (Μονάδες 9)
γ) Αν το Κ είναι σημείο της διχοτόμου \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}\delta \,\,\,\,\,} τέτοιο ώστε \displaystyle{\,\,\,{\rm K}{\rm Z} = {\rm A}{\rm Z}\,\,\,} , να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο \displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm A}{\rm Z}{\rm K}\Theta \,\,\,} είναι ρόμβος. (Μονάδες 7)

Λύση
α) Τα ορθογώνια τρίγωνα \displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm B}\Delta ,{\rm A}\Gamma {\rm E}\,\,\,\,\,} έχουν δύο ζεύγη πλευρών ίσες μία προς μία , οπότε είναι ίσα . Έπεται ότι \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}\Delta  = {\rm A}{\rm E}\,\,\,\,\,\,}

β) Τα τρίγωνα \displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm Z}{\rm K},{\rm A}\Theta {\rm K}\,\,\,\,\,} είναι ίσα αφού έχουν την \displaystyle{\,{\rm A}{\rm K}\,\,} κοινή , \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}{\rm Z} = {\rm A}\Theta \,\,\,\,}
ως μισά ίσων τμημάτων , \displaystyle{\,\,\,\,\widehat{{\rm Z}{\rm A}{\rm H}} = \widehat{\Theta {\rm A}{\rm H}}\,\,\,} .έπεται ότι \displaystyle{\,\,\,{\rm Z}{\rm K} = {\rm K}\Theta \,\,\,\,\,\,\,}

γ) Αφού \displaystyle{\,\,\,\,\,\,{\rm A}{\rm Z} = {\rm Z}{\rm K}\,\,} , το \displaystyle{\,\,\,{\rm Z}\,} ανήκει στη μεσοκάθετο \displaystyle{\,\,\,\,{\rm Z}{\rm H}\,\,\,} του \displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm A}{\rm K}\,\,\,\,\,\,\,} .
Από την ισότητα των τριγώνων \displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm Z}{\rm K},{\rm A}\Theta {\rm K}\,\,\,\,\,} , έπεται ότι \displaystyle{\,\,{\rm A}\Theta  = \Theta {\rm K}\,\,\,\,} , οπότε το \displaystyle{\,\,\Theta \,\,\,} ανήκει στη μεσοκάθετο \displaystyle{\,\,\,\,{\rm Z}{\rm H}\,\,\,} .
Άρα το τετράπλευρο \displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm A}{\rm Z}{\rm K}\Theta \,\,\,} έχει όλες τις πλευρές ίσες και επομένως είναι ρόμβος .
Συνημμένα
4798.png
4798.png (15.32 KiB) Προβλήθηκε 1409 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#138

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Σάβ Μάιος 31, 2014 9:47 pm

Άσκηση 4799
Δίνεται οξυγώνιο ισοσκελές τρίγωνο{\rm A}{\rm B}\Gamma με {\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma. Φέρνουμε τμήμα {\rm A}\Delta κάθετο στην {\rm A}{\rm B} και τμήμα {\rm A}{\rm E} κάθετο στην {\rm A}\Gamma με \displaystyle{{\rm A}\Delta  = {\rm A}{\rm E}} .
Θεωρούμε τα μέσα {\rm Z},{\rm H} και {\rm M} τα μέσα των \Delta {\rm B},{\rm E}\Gamma και {\rm B}\Gamma αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι:
i. Τα τρίγωνα {\rm A}\Delta {\rm B} και {\rm A}{\rm E}\Gamma είναι ίσα.
ii. Το τρίγωνο {\rm Z}{\rm A}{\rm H} είναι ισοσκελές.
iii. Η {\rm A}{\rm M} είναι μεσοκάθετος του {\rm H}{\rm Z}.

β) Ένας μαθητής συγκρίνοντας τα τρίγωνα {\rm A}\Delta {\rm B} και {\rm A}{\rm E}\Gamma έγραψε τα εξής:
« 1. \displaystyle{{\rm A}\Delta  = {\rm A}{\rm E}} από υπόθεση
2. {\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gammaπλευρές ισοσκελούς τριγώνου
3. \widehat {\Delta {\rm A}{\rm B}} = \widehat {{\rm E}{\rm A}\Gamma } ως κατακορυφήν
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα έχοντας δύο πλευρές ίσες μια προς μια και την περιεχόμενη γωνία ίση».
Ο καθηγητής είπε ότι αυτή η λύση περιέχει λάθος μπορείς να το εντοπίσεις;

Λύση

α) i) Τα ορθογώνια τρίγωνα {\rm A}\Delta {\rm B} και {\rm A}{\rm E}\Gamma είναι ίσα διότι έχουν {\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gammaκαι \displaystyle{{\rm A}\Delta  = {\rm A}{\rm E}}.
Από την ισότητα αυτή προκύπτει ότι \Delta {\rm B} = {\rm E}\Gamma \;\left( 1 \right) και \widehat {\Delta {\rm B}{\rm A}} = \widehat {{\rm A}\Gamma {\rm E}}\;\left( 2 \right)
ii) Τα τμήματα {\rm A}{\rm Z} και {\rm A}{\rm H} είναι διάμεσοι στις υποτείνουσες των ορθογωνίων τριγώνων {\rm A}\Delta {\rm B} και {\rm A}{\rm E}\Gamma, έτσι {\rm A}{\rm Z} = \dfrac{{\Delta {\rm B}}}{2} και {\rm A}{\rm H} = \dfrac{{{\rm E}\Gamma }}{2}
Άρα {\rm A}{\rm Z} = {\rm A}{\rm H} αφού \Delta {\rm B} = {\rm E}\Gamma, οπότε το τρίγωνο {\rm Z}{\rm A}{\rm H} είναι ισοσκελές.
iii) Τα τρίγωνα {\rm Z}{\rm M}{\rm B} και {\rm M}\Gamma {\rm H} είναι ίσα αφού έχουν:
{\rm M}{\rm B} = {\rm M}\Gamma ως μισά της {\rm B}\Gamma.
{\rm Z}{\rm B} = {\rm H}\Gamma ως μισά των ίσων τμημάτων \Delta {\rm B} και {\rm E}\Gamma
\widehat {{\rm M}{\rm B}{\rm H}} = \widehat {{\rm M}\Gamma {\rm E}} ως αθροίσματα των ίσων γωνιών {\rm B} και \Gamma με τις \widehat {\Delta {\rm B}{\rm A}} και \widehat {{\rm A}\Gamma {\rm E}}\;

Έτσι είναι και {\rm M}{\rm Z} = {\rm M}{\rm H} . Όμως {\rm A}{\rm Z} = {\rm A}{\rm H}, δηλαδή τα σημεία {\rm A} και {\rm M} ισαπέχουν από τα άκρα του {\rm H}{\rm Z}, οπότε η {\rm A}{\rm M} είναι μεσοκάθετος του {\rm H}{\rm Z}.

β) Το λάθος βρίσκεται στο σημείο «\widehat {\Delta {\rm A}{\rm B}} = \widehat {{\rm E}{\rm A}\Gamma } ως κατακορυφήν» γιατί δεν γνωρίζουμε αν τα σημεία {\rm Z},{\rm A},{\rm E} και \Delta ,{\rm A},{\rm H} είναι συνευθειακά,

Σημείωση: Η λύση βασίζεται στο παρακάτω σχήμα που δίνει η τράπεζα.
Αν τα κάθετα τμήματα {\rm A}\Deltaκαι {\rm A}{\rm E} τα φέρναμε σε διαφορετικά ημιεπίπεδα από αυτά που βρίσκονται δεν αλλάζουν και πολλά πράγματα,
αν όμως τα κάθετα τμήματα τα φέρναμε στο ίδιο ημιεπίπεδο της {\rm A}{\rm M} το ερώτημα \left( {\alpha iii} \right) δεν ισχύει.
Συνημμένα
4799.png
4799.png (32.31 KiB) Προβλήθηκε 1354 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#139

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Ιουν 01, 2014 10:56 am

Άσκηση 4802
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma με \widehat {\rm A} = 90^\circ και \widehat {\rm B} = 60^\circ. Η διχοτόμος της γωνίας {\rm B} τέμνει την {\rm A}\Gamma στο {\rm Z} . Τα σημεία {\rm M} και {\rm K} είναι τα μέσα των {\rm B}{\rm Z} και {\rm B}\Gamma αντίστοιχα. Αν το τμήμα \Gamma \Lambda είναι κάθετο στη διχοτόμο {\rm B}\delta να αποδείξετε:
α) Το τρίγωνο {\rm B}{\rm Z}\Gamma είναι ισοσκελές.
β) Το τετράπλευρο {\rm A}{\rm M}{\rm K}{\rm Z} είναι ρόμβος.
γ) \Gamma {\rm Z} = 2{\rm Z}{\rm A}
δ) {\rm B}\Lambda  = {\rm A}\Gamma

Λύση

α) Στο ορθ. τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma είναι \widehat {\rm A} = 90^\circ και \widehat {\rm B} = 60^\circ οπότε \displaystyle{\widehat \Gamma  = 30^\circ }

Αφού η {\rm B}\delta είναι διχοτόμος της \widehat {\rm B} τότε \widehat {{\rm Z}{\rm B}\Gamma } = 30^\circ Έτσι \widehat {{\rm Z}{\rm B}\Gamma } = \widehat \Gamma  = 30^\circ δηλαδή το τρίγωνο {\rm B}{\rm Z}\Gamma είναι ισοσκελές.

β) Στο ορθ. τρίγωνο {\rm A}{\rm B}{\rm Z} είναι \widehat {{\rm Z}{\rm B}{\rm A}} = 30^\circ και {\rm A}{\rm M} διάμεσος στην υποτείνουσα {\rm B}{\rm Z}, έτσι {\rm A}{\rm M} = \dfrac{{{\rm B}{\rm Z}}}{2} \Rightarrow {\rm A}{\rm M} = {\rm A}{\rm Z}\;\left( 1 \right)

Το {\rm M}{\rm K} ενώνει τα μέσα δυο πλευρών του τριγώνου \Gamma {\rm B}{\rm Z} έτσι {\rm M}{\rm K}//\Gamma {\rm Z} και {\rm M}{\rm K} = \dfrac{{\Gamma {\rm Z}}}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{\Gamma {\rm Z} = {\rm B}{\rm Z}} {\rm M}{\rm K} = \dfrac{{{\rm B}{\rm Z}}}{2} = {\rm A}{\rm M} = {\rm A}{\rm Z}

Οπότε {\rm M}{\rm K}// = {\rm A}{\rm Z} και {\rm M}{\rm K} = {\rm A}{\rm Z}

Έτσι το {\rm A}{\rm M}{\rm K}{\rm Z} είναι ρόμβος αφού είναι παραλληλόγραμμο με δύο ίσες διαδοχικές πλευρές.

γ) Από το ισοσκελές τρίγωνο {\rm B}{\rm Z}\Gamma είναι {\rm B}{\rm Z} = \Gamma {\rm Z}\;\left( 2 \right)

Από την \left( 1 \right) είναι \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{2} = {\rm A}{\rm Z}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} \dfrac{{\Gamma {\rm Z}}}{2} = {\rm A}{\rm Z} \Rightarrow \Gamma {\rm Z} = 2{\rm A}{\rm Z}

δ) Επειδή στο ορθ. τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma είναι \displaystyle{\widehat \Gamma  = 30^\circ } τότε {\rm A}{\rm B} = \dfrac{{{\rm B}\Gamma }}{2}\;\left( 3 \right)

Ομοίως, από ορθ. τρίγωνο \Gamma \Lambda {\rm B} είναι \widehat {{\rm Z}{\rm B}\Gamma } = 30^\circ οπότε \Gamma \Lambda  = \dfrac{{{\rm B}\Gamma }}{2}\;\left( 4 \right)

Τα ορθ. τρίγωνα {\rm A}{\rm B}\Gamma και \Gamma \Lambda {\rm B} είναι ίσα αφού έχουν:

{\rm A}{\rm B} = \Gamma \Lambda από τις σχέσεις \left( 3 \right),\left( 4 \right) και \displaystyle{\widehat \Gamma  = \widehat {{\rm Z}{\rm B}\Gamma } = 30^\circ }

Άρα και {\rm B}\Lambda  = {\rm A}\Gamma
Συνημμένα
4802.png
4802.png (52.5 KiB) Προβλήθηκε 1610 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Κυρ Ιουν 01, 2014 11:33 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1987
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#140

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Ιουν 01, 2014 11:09 am

6878
Σε ορθογώνιο τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \,\,\left( {\hat {\rm A} = 90^o } \right)
έχουμε ότι \hat {\rm B} = 30^o. Φέρουμε το ύψος {\rm A}{\rm H} και τη διάμεσο {\rm A}{\rm M} του τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma \, . Από την κορυφή {\rm B} φέρνουμε κάθετη στη διάμεσο {\rm A}{\rm M} , η οποία την τέμνει στο σημείο {\rm E} όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Να αποδείξετε ότι:
α) {\rm B}{\rm E} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} , (Μονάδες 7)
β) {\rm A}{\rm H} = {\rm B}{\rm E} , (Μονάδες 7)
γ) το τετράπλευρο {\rm A}{\rm H}{\rm E}{\rm B} είναι εγγράψιμο, (Μονάδες 6)
δ) {\rm E}{\rm H}//{\rm A}{\rm B} . (Μονάδες 5)
Καταγραφή.PNG
Καταγραφή.PNG (12.66 KiB) Προβλήθηκε 1896 φορές
Απαντήσεις:
α)
Στο ορθογώνιο τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \, γνωρίζουμε για τη διάμεσο {\rm A}{\rm M} ότι {\rm A}{\rm M} = \frac{{{\rm B}\Gamma }} {2} ,άρα το τρίγωνο {\rm B}{\rm M}{\rm A} είναι ισοσκελές με \angle {\rm M}{\rm A}{\rm B} = \hat {\rm B} = 30^o .
Στο ορθογώνιο τρίγωνο {\rm B}{\rm E}{\rm A} η κάθετη πλευρά του {\rm E}{\rm B} βρίσκεται απέναντι από την γωνία \angle {\rm M}{\rm A}{\rm B} άρα: {\rm E}{\rm B} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}} {2} .
β)
Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα {\rm B}{\rm E}{\rm A},{\rm A}{\rm H}{\rm B} .
Είναι ορθογώνια , έχουν κοινή υποτείνουσα {\rm A}{\rm B} και μια γωνία ίση \angle {\rm E}{\rm A}{\rm B} = \angle {\rm M}{\rm A}{\rm B} = \hat {\rm B} = 30^o ,συνεπώς είναι ίσα άρα {\rm A}{\rm H} = {\rm B}{\rm E}

γ)
Στο τετράπλευρο{\rm A}{\rm H}{\rm E}{\rm B} η πλευρά {\rm A}{\rm B} φαίνεται υπό ίσες γωνίες \angle {\rm B}{\rm E}{\rm A} = \angle {\rm B}{\rm H}{\rm A} = 90^o συνεπώς είναι εγγράψιμο.
δ)
Θα συγκρίνουμε τα τρίγωνα {\rm B}{\rm E}{\rm H},{\rm A}{\rm H}{\rm E} .Έχουν τρεις πλευρές ίσες, {\rm A}{\rm H} = {\rm B}{\rm E} , {\rm B}{\rm H} = {\rm A}{\rm E} ( τα τρίγωνα {\rm B}{\rm E}{\rm A},{\rm A}{\rm H}{\rm B} είναι ίσα μεταξύ τους) και {\rm E}{\rm H} κοινή. Συνεπώς οι γωνίες \displaystyle{ {\rm H}{\rm E}{\rm M},{\rm E}{\rm H}{\rm M} } είναι ίσες μεταξύ τους συνάγεται ότι το τρίγωνο {\rm E}{\rm M}{\rm H} είναι ισοσκελές. Έχουμε δείξει στο ερώτημα α) ότι το τρίγωνο {\rm B}{\rm M}{\rm A} είναι ισοσκελές, άρα για τα δύο ισοσκελή τρίγωνα οι γωνίες των βάσεων τους είναι ίσες καθώς οι γωνίες που βρίσκονται απέναντι από τις βάσεις τους {\rm E}{\rm M}{\rm H},{\rm B}{\rm M}{\rm A} είναι ίσες ως κατακορυφήν. Άρα οι εντός εναλλάξ γωνίες {\rm H}{\rm E}{\rm A},{\rm E}{\rm A}{\rm B} είναι ίσες συνεπώς {\rm E}{\rm H}//{\rm A}{\rm B}.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Απάντηση

Επιστροφή σε “Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία A”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης