ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#161

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Ιουν 01, 2014 10:38 pm

Άσκηση 4822
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο \Gamma {\rm A}{\rm B} \left( {\widehat {\rm A} = 90^\circ } \right). Με διάμετρο την πλευρά του {\rm A}\Gamma φέρουμε κύκλο που τέμνει την υποτείνουσα {\rm B}\Gamma στο \Delta.
Από το \Delta φέρουμε εφαπτόμενο τμήμα το οποίο τέμνει την {\rm A}{\rm B} στο {\rm M}.
Να αποδείξετε ότι:

α) \widehat {\Gamma {\rm A}\Delta } = \widehat {\rm B}

β) Το τρίγωνο \Delta {\rm M}{\rm B} είναι ισοσκελές.

γ) Το {\rm M} είναι το μέσο του {\rm A}{\rm B}.

Λύση

α) Είναι \widehat {{\rm A}\Delta \Gamma } = 90^\circ ως εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο, έτσι {\rm A}\Delta  \bot {\rm B}\Gamma .

Άρα \widehat {\Gamma {\rm A}\Delta } = \widehat {\rm B} ως συμπληρωματικές της \Gamma από τα ορθογώνια τρίγωνα \Gamma {\rm A}\Delta και {\rm A}{\rm B}\Gamma (ή ως οξείες με κάθετες πλευρές)

β) Είναι \displaystyle{\widehat {{\rm A}\Delta {\rm M}} = \widehat \Gamma \;\left( 1 \right)} γιατί η \displaystyle{\widehat {{\rm A}\Delta {\rm M}}} είναι γωνία χορδής \left( {{\rm A}\Delta } \right) και εφαπτομένης \left( {\Delta {\rm M}} \right) και η \widehat \Gamma είναι εγγεγραμμένη στη χορδή.

Άρα \widehat {{\rm M}\Delta {\rm B}} = \widehat {\rm B} ως συμπληρωματικές των ίσων γωνιών \widehat {{\rm M}\Delta {\rm B}} και \widehat {\rm B} οπότε το τρίγωνο \Delta {\rm M}{\rm B} είναι ισοσκελές αφού έχει δύο ίσες γωνίες.

Έτσι θα είναι \Delta {\rm M} = {\rm M}{\rm B}\;\left( 2 \right)

γ) \widehat {{\rm M}{\rm A}\Delta } = \widehat \Gamma \;\left( 3 \right) διότι η \widehat {{\rm M}{\rm A}\Delta } είναι γωνία χορδής \left( {{\rm A}\Delta } \right) και εφαπτομένης \left( {{\rm A}{\rm M}} \right) και η \widehat \Gamma είναι εγγεγραμμένη στη χορδή.

Από \left( 1 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \widehat {{\rm A}\Delta {\rm M}} = \widehat {{\rm M}{\rm A}\Delta } δηλαδή το τρίγωνο {\rm M}{\rm A}\Delta είναι ισοσκελές και θα είναι {\rm M}{\rm A} = {\rm M}{\rm B}\;\left( 4 \right)

\left( 2 \right),\left( 4 \right) \Rightarrow {\rm A}{\rm M} = \Delta {\rm M} δηλαδή το {\rm M} είναι το μέσο του {\rm A}{\rm B}.
Συνημμένα
4822.png
4822.png (14.84 KiB) Προβλήθηκε 3867 φορές


Ηλίας Καμπελής
ΒΑΣΙΚΟΣ
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τρί Ιαν 21, 2014 2:00 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#162

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΒΑΣΙΚΟΣ » Κυρ Ιουν 01, 2014 11:16 pm

Υπάρχει πουθενα η λύση του θεματος 2 αρχειο 4972?


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#163

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Ιουν 01, 2014 11:48 pm

Άσκηση 4832

Έστω ισοσκελές τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \;\left( {{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma } \right) και {\rm A}\Delta διάμεσος.
Στο τμήμα {\rm A}\Delta θεωρούμε τυχαίο σημείο {\rm K} από το οποίο φέρνουμε τα τμήματα {\rm K}{\rm Z} και {\rm K}{\rm E} κάθετα στις {\rm A}{\rm B} και {\rm A}\Gamma αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι:
i. \mathop {{\rm A}{\rm B}{\rm K}}\limits^\Delta   = \mathop {{\rm A}\Gamma {\rm K}}\limits^\Delta
ii. Το τρίγωνο {\rm Z}{\rm K}{\rm E} είναι ισοσκελές.
iii. Το τετράπλευρο {\rm Z}{\rm E}\Gamma {\rm B} είναι ισοσκελές τραπέζιο.

β) Ένας μαθητής το (αi.) ερώτημα έδωσε την εξής απάντηση:
«Το τμήμα {\rm A}\Delta είναι διάμεσος στη βάση ισοσκελούς άρα ύψος και διχοτόμος
του τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma και μεσοκάθετος του {\rm B}\Gamma . Οπότε και το τρίγωνο {\rm B}{\rm K}\Gamma είναι ισοσκελές.
Τα τρίγωνα {\rm A}{\rm B}{\rm K},{\rm A}\Gamma {\rm K} έχουν
1. {\rm B}{\rm K} = {\rm K}\Gamma
2. \widehat {{\rm B}{\rm A}{\rm K}} = \widehat {\Gamma {\rm A}{\rm K}} επειδή {\rm A}{\rm K} διχοτόμος της \widehat {\rm A}
3. \widehat {{\rm A}{\rm B}{\rm K}} = \widehat {{\rm A}\Gamma {\rm K}} ως διαφορές ίσων γωνιών ισοσκελών τριγώνων.
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα βάση του κριτηρίου Γωνία Πλευρά Γωνία.»
Ο καθηγητής είπε ότι η απάντηση του είναι ελλιπής. Να συμπληρώσετε την απάντηση του μαθητή ώστε να ικανοποιεί το κριτήριο Γωνία –Πλευρά- Γωνία
διατηρώντας τις πλευρές {\rm B}{\rm K} και {\rm K}\Gamma.

Λύση

α) i. Η είναι διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma οπότε θα είναι διχοτόμος και ύψος.

Τα τρίγωνα {\rm A}{\rm B}{\rm K},{\rm A}\Gamma {\rm K}είναι ίσα από \Pi  - \Gamma  - \Pi αφού έχουν:

{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma από υπόθεση, {\rm A}{\rm K} κοινή πλευρά και \widehat {{\rm B}{\rm A}{\rm K}} = \widehat {\Gamma {\rm A}{\rm K}} αφού η {\rm A}\Delta είναι διχοτόμος της \widehat {\rm A}

ii. Είναι {\rm K}{\rm Z} = {\rm K}{\rm E} αφού το {\rm K}είναι σημείο της διχοτόμου της \widehat {\rm A} και θα ισαπέχει από τις πλευρές της.

Άρα το τρίγωνο {\rm Z}{\rm K}{\rm E} είναι ισοσκελές.

iii. Από την παραπάνω ισότητα είναι {\rm A}{\rm Z} = {\rm A}{\rm E}\;\left( 1 \right) οπότε και {\rm B}{\rm Z} = \Gamma {\rm E}\;\left( 2 \right) ως διαφορές ίσων τμημάτων.

Τα ισοσκελή τρίγωνα {\rm A}{\rm Z}{\rm E} (από την \left( 1 \right)) και {\rm A}{\rm B}\Gamma έχουν την \widehat {\rm A} κοινή γωνία κορυφής,

έτσι και οι γωνίες των βάσεων τους θα είναι ίσες, δηλαδή \widehat {{\rm A}{\rm Z}{\rm E}} = \widehat {\rm B} \Rightarrow {\rm Z}{\rm E}//{\rm B}\Gamma \;\left( 3 \right)

Από την \left( 1 \right),\left( 3 \right) συμπεραίνουμε ότι το {\rm Z}{\rm E}\Gamma {\rm B} είναι ισοσκελές τραπέζιο αφού και οι {\rm B}{\rm Z},\Gamma {\rm E} τέμνονται στο {\rm A}.

β) Το επιπλέον στοιχείο που πρέπει να προσθέσουμε για να ικανοποιείται το κριτήριο \Gamma  - \Pi  - \Gamma είναι:

\widehat {{\rm A}{\rm K}{\rm B}} = \widehat {{\rm A}{\rm K}{\rm E}} ως οι τρίτες γωνίες των τριγώνων {\rm A}{\rm B}{\rm K},{\rm A}\Gamma {\rm K} αφού οι άλλες δύο είναι ανά δύο ίσες.
Συνημμένα
4832.png
4832.png (45.32 KiB) Προβλήθηκε 3791 φορές


Ηλίας Καμπελής
VreAnt
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 20, 2009 9:40 pm
Τοποθεσία: Ρέθυμνο, Κρήτη

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#164

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από VreAnt » Κυρ Ιουν 01, 2014 11:56 pm

ΒΑΣΙΚΟΣ έγραψε:Υπάρχει πουθενα η λύση του θεματος 2 αρχειο 4972?
2-4972.png
2-4972.png (9.73 KiB) Προβλήθηκε 3776 φορές
(...) 3\hat{x}=45^{o}\leftrightarrow\hat{x}=15^{o}


Βρέντζος Αντώνης
ΒΑΣΙΚΟΣ
Δημοσιεύσεις: 11
Εγγραφή: Τρί Ιαν 21, 2014 2:00 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#165

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΒΑΣΙΚΟΣ » Δευ Ιουν 02, 2014 12:07 am

Ευχαριστώ


VreAnt
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 20, 2009 9:40 pm
Τοποθεσία: Ρέθυμνο, Κρήτη

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#166

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από VreAnt » Δευ Ιουν 02, 2014 1:38 am

Άσκηση 5895
Δίνονται τα ορθογώνια τρίγωνα AB\Gamma (\hat{A}=90^{o}) και \Delta B \Gamma (\hat{\Delta}=90^{o}) (όπου A και \Delta εκατέρωθεν της B \Gamma) και το μέσο M της B\Gamma.
Να αποδείξετε ότι:
α) το τρίγωνο AM\Delta είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9)
β) A\hat{M}\Delta =2\cdot A \hat{\Gamma} \Delta (Μονάδες 9)
γ) \Gamma \hat{B}\Delta =\Gamma \hat{A} \Delta(Μονάδες 7)
Λύση
4-5895.png
4-5895.png (16.83 KiB) Προβλήθηκε 3679 φορές
α)Το τρίγωνο \Delta B \Gamma είναι ορθογώνιο και \Delta M διάμεσος του αφού M μέσο B \Gamma. Άρα \Delta M=\dfrac{B \Gamma}{2}  (1). Όμοια AM=\dfrac{B \Gamma}{2}  (2).
Από (1), (2) , \Delta M=AM. Έτσι το τρίγωνο AM\Delta είναι ισοσκελές.

β) Λόγω (1) και M μέσο της B\Gamma, AM=M\Gamma. Άρα τρίγωνο AM\Gamma ισοσκελές. Έτσι \hat \phi _1  = \hat \phi _2  = \phi.
Τότε A\hat{M} B=2\phi ως εξωτερική του τριγώνου AM\Gamma . Όμοια B\hat{M}\Delta=2\omega.
Επομένως A\hat{M}\Delta=A\hat{M} B+B\hat{M}\Delta=2\phi+2\omega=2( \hat{\phi} _1+\hat{\omega}_1)=2\cdot A \hat{\Gamma} \Delta.

γ) Αφού οι απέναντι γωνίες \hat{A}+\hat{\Delta}=90^{o}+90^{o}=180^{o} (παραπληρωματικές), το τετράπλευρο AB\Gamma\Delta είναι εγγράψιμο.
Άρα πλευρά \Delta\Gamma φαίνεται από τις απέναντι κορυφές υπό ίσες γωνίες, \hat{\theta}=\hat{ \sigma} δηλαδή το ζητούμενο.

==========================
edit
προστέθηκαν στο Ευρετήριο

Φωτεινή


Βρέντζος Αντώνης
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#167

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Δευ Ιουν 02, 2014 8:49 am

Άσκηση 5898
Δίνεται τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma με {\rm A}{\rm B} < {\rm A}\Gammaκαι η διχοτόμος του {\rm A}\Delta. Στην πλευρά {\rm A}\Gamma θεωρούμε σημείο {\rm E} τέτοιο ώστε {\rm A}{\rm E} = {\rm A}{\rm B}.
Να αποδείξετε ότι :
α) τα τρίγωνα {\rm A}{\rm B}\Delta και {\rm A}\Delta {\rm E}είναι ίσα.
β) η ευθεία {\rm A}\Delta είναι μεσοκάθετος του τμήματος {\rm B}{\rm E} .
γ) αν το ύψος από την κορυφή {\rm B} του τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma τέμνει την {\rm A}\Delta στο {\rm H} τότε η ευθεία {\rm E}{\rm H} είναι κάθετη στην {\rm A}{\rm B} .

Λύση
α) Τα τρίγωνα {\rm A}{\rm B}\Delta και {\rm A}\Delta {\rm E}είναι ίσα από \Pi  - \Gamma  - \Pi επειδή έχουν:
{\rm A}\Delta κοινή πλευρά, {\rm A}{\rm E} = {\rm A}{\rm B} από υπόθεση και \widehat {{\rm B}{\rm A}\Delta } = \widehat {\Delta {\rm A}{\rm E}} = \dfrac{{\widehat {\rm A}}}{2}

Οπότε είναι και {\rm B}\Delta  = \Delta {\rm E}\;\left( 1 \right)

β) Αφού ισχύουν {\rm A}{\rm E} = {\rm A}{\rm B} και {\rm B}\Delta  = \Delta {\rm E} η {\rm A}\Delta είναι μεσοκάθετος του {\rm B}{\rm E} επειδή τα σημεία {\rm A},\Delta ισαπέχουν από τα άκρα του.

γ) Το τρίγωνο {\rm A}{\rm B}{\rm E} είναι ισοσκελές με {\rm A}{\rm E} = {\rm A}{\rm B} και η διχοτόμός του {\rm A}\Delta είναι και ύψος,
Το σημείο {\rm H} είναι ορθόκεντρο του τριγώνου {\rm A}{\rm B}{\rm E} αφού διέρχονται τα δύο ύψη του {\rm A}\Delta και {\rm B}{\rm Z} ,
έτσι και το {\rm E}{\rm H} είναι ύψος δηλαδή η {\rm E}{\rm H} είναι κάθετη στην {\rm A}{\rm B}.
Συνημμένα
5898.png
5898.png (20.04 KiB) Προβλήθηκε 3614 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#168

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Δευ Ιουν 02, 2014 9:18 am

Άσκηση 5900

Έστω ισοσκελές τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \;\left( {{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma } \right) και {\rm M} το μέσο της {\rm B}\Gamma.
Φέρουμε \Gamma \Delta  \bot {\rm B}\Gamma με \Gamma \Delta  = {\rm A}{\rm B} ( {\rm A},\Delta εκατέρωθεν της {\rm B}\Gamma ).
Να αποδείξετε ότι:
α) {\rm A}{\rm M}//\Gamma \Delta
β) η {\rm A}\Delta είναι διχοτόμος της γωνίας {\rm M}{\rm A}\Gamma.
γ) \widehat {\Delta {\rm A}\Gamma } = 45^\circ  - \dfrac{{\widehat {\rm B}}}{2}
δ) {\rm A}\Delta  < 2{\rm A}{\rm B}

Λύση

α) Αφού το τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma είναι ισοσκελές η διάμεσος {\rm A}{\rm M} είναι και μεσοκάθετος της {\rm B}\Gamma, οπότε {\rm A}{\rm M}//\Gamma \Delta ως κάθετες στην {\rm B}\Gamma.

β) Είναι \widehat {{\rm M}{\rm A}\Delta } = \widehat {\Gamma \Delta {\rm A}}\;\left( 1 \right) ως εντός και εναλλάξ των {\rm A}{\rm M}//\Gamma \Deltaπου τέμνονται από την {\rm A}\Delta.

\widehat {\Gamma {\rm A}\Delta } = \widehat {\Gamma \Delta {\rm A}}\;\left( 2 \right)ως γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου {\rm A}\Gamma \Delta \left( {{\rm A}\Gamma  = \Gamma \Delta  = {\rm A}{\rm B}} \right)

\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {{\rm M}{\rm A}\Delta } = \widehat {\Gamma {\rm A}\Delta }\; δηλαδή η {\rm A}\Delta είναι διχοτόμος της γωνίας {\rm M}{\rm A}\Gamma.

γ) Από το ισοσκελές τρίγωνο {\rm A}\Gamma \Delta έχουμε:

\widehat {\Delta {\rm A}\Gamma } + \widehat {\Gamma \Delta {\rm A}} + \widehat {{\rm A}\Gamma \Delta } = 180^\circ  \Rightarrow

\widehat {2\Delta {\rm A}\Gamma } + 90^\circ  + \widehat \Gamma  = 180^\circ \mathop  \Rightarrow \limits^{\widehat \Gamma  = \widehat {\rm B}} (επειδή \widehat {\Gamma \Delta {\rm A}} = \widehat {\Delta {\rm A}\Gamma } και \widehat {{\rm A}\Gamma \Delta } = 90^\circ  + \widehat \Gamma )

\widehat {\Delta {\rm A}\Gamma } = 45^\circ  - \dfrac{{\widehat {\rm B}}}{2}

δ) Από την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο {\rm A}\Gamma \Delta είναι:

{\rm A}\Delta  < {\rm A}\Gamma  + {\rm A}\Delta \mathop  \Rightarrow \limits^{{\rm A}\Delta  = {\rm A}\Gamma  = {\rm A}{\rm B}} {\rm A}\Delta  < 2{\rm A}{\rm B}
Συνημμένα
5900.png
5900.png (13.61 KiB) Προβλήθηκε 3578 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#169

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Δευ Ιουν 02, 2014 9:59 am

Άσκηση 5904

Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι θέσεις στο χάρτη πέντε χωριών {\rm A},{\rm B},\Gamma ,\Delta και {\rm E} και οι δρόμοι που τα συνδέουν.
Το χωριό {\rm E} ισαπέχει από τα χωριά {\rm B},\Gamma και επίσης από τα χωριά {\rm A} και \Delta.
α) Να αποδείξετε ότι:
i. η απόσταση των χωριών {\rm A} και {\rm B} είναι ίση με την απόσταση των χωριών \Gamma και \Delta
ii. αν οι δρόμοι {\rm A}{\rm B} και \Gamma \Delta έχουν δυνατότητα να προεκταθούν, να αποδείξετε ότι αποκλείεται να συναντηθούν.
iii. τα χωριά {\rm B} και \Gamma ισαπέχουν από τον δρόμο {\rm A}\Delta .
β) Να προσδιορίσετε γεωμετρικά το σημείο του δρόμου {\rm A}\Gamma που ισαπέχει από τα
χωριά {\rm A} και \Delta.

Λύση

α) i. Το τετράπλευρο {\rm A}{\rm B}\Delta \Gamma είναι παραλληλόγραμμο αφού οι διαγώνιοί του διχοτομούντα στο {\rm E}, έτσι {\rm A}{\rm B} = \Gamma \Delta .

ii. Από το παραλληλόγραμμο {\rm A}{\rm B}\Delta \Gamma είναι και{\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta, δηλαδή οι δρόμοι {\rm A}{\rm B} και \Gamma \Delta αποκλείεται να συναντηθούν.

iii. Τα ορθογώνια τρίγωνα {\rm A}{\rm B}{\rm H} και \Gamma \Theta \Delta είναι ίσα αφού έχουν:

{\rm A}{\rm B} = \Gamma \Delta από αi ερώτημα και \widehat {{\rm B}{\rm A}\Delta } = \widehat {{\rm A}\Delta \Gamma } ως εντός εναλλάξ των {\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta που τέμνονται από τη {\rm A}\Delta .

Έτσι και {\rm B}{\rm H} = \Gamma \Theta δηλαδή τα χωριά {\rm B} και \Gamma ισαπέχουν από τον δρόμο {\rm A}\Delta.

β) Αφού το ζητούμενο σημείο ισαπέχει από τα {\rm A} και \Delta θα ανήκει στη μεσοκάθετο του {\rm A}\Delta.

Άρα είναι το σημείο τομής {\rm Z} της μεσοκαθέτου του {\rm A}\Delta με την {\rm A}\Gamma.
Συνημμένα
5904.png
5904.png (18.04 KiB) Προβλήθηκε 3511 φορές


Ηλίας Καμπελής
blondy
Δημοσιεύσεις: 82
Εγγραφή: Τετ Οκτ 07, 2009 11:35 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#170

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από blondy » Δευ Ιουν 02, 2014 1:14 pm

άκυρο , τις βρήκα
τελευταία επεξεργασία από blondy σε Δευ Ιουν 02, 2014 5:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1561
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#171

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Ιουν 02, 2014 2:24 pm

5908


Δίνεται παραλληλόγραμμο \displaystyle{\,{\rm{{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta }}\,} με \displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm A}{\rm B} > \Gamma \Delta \,\,\,} και οι διχοτόμοι των γωνιών του ( όπου \displaystyle{\,\,\,\,{\rm P},{\rm E}\,} στην \displaystyle{\,\,\,\Delta \Gamma \,\,\,} και \displaystyle{\,\,\,\Sigma ,{\rm T}\,\,\,\,\,} στην \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}{\rm B}\,\,\,} )
τέμνονται στα σημεία \displaystyle{\,\,\,{\rm K},\Lambda ,{\rm M},{\rm N}\,\,\,\,\,\,\,} , όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Να αποδείξετε ότι:
α) το τετράπλευρο \displaystyle{\Delta {\rm E}{\rm B}{\rm T}\,\,\,\,} είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 7)
β) το τετράπλευρο \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}\,\,\,\,\,} είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 8)
γ) \displaystyle{\,\,\,\,\Lambda {\rm N}//{\rm A}{\rm B}\,\,} (Μονάδες 5)
δ) \displaystyle{\,\,\,\,\Lambda {\rm N} = {\rm A}{\rm B} - {\rm A}\Delta \,\,\,\,\,} (Μονάδες 5)
3908.png
3908.png (6.5 KiB) Προβλήθηκε 3286 φορές
Λύση

α) Από το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα \displaystyle{\,\,\,\,\,\Delta {\rm A}{\rm T},{\rm B}{\rm E}\Gamma \,\,\,} είναι ίσα,
επομένως : \displaystyle{\,\,\,\,\Gamma {\rm E} = {\rm A}{\rm T}\,\,\,} , οπότε : \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}{\rm B} - {\rm A}{\rm T} = \Delta \Gamma  - {\rm E}\Gamma  \Leftrightarrow {\rm T}{\rm B} = \Delta {\rm E}.\,\,\,\,\,\,}.
Επιπλέον είναι και \displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm T}{\rm B}//\Delta {\rm E}\,\,\,\,\,\,} , οπότε το τετράπλευρο \displaystyle{\Delta {\rm E}{\rm B}{\rm T}\,\,\,\,} είναι παραλληλόγραμμο .

β) Στο τρίγωνο \displaystyle{\,\,\,\,\Delta {\rm A}{\rm N}\,\,\,\,} είναι \displaystyle{\,\,\,\,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\widehat{\rm{A}}_1} + {\widehat\Delta _1} = \frac{{\widehat{\rm{A}} + \widehat\Delta }}{2} = \frac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} } οπότε
είναι και \displaystyle{\,\,\,\,{\rm N} = {90^0}\,\,\,\,}. Ομοίως για άλλες δυο γωνίες , π,χ. \displaystyle{\,\,\,\,\widehat{\rm  M},\widehat{\rm K}\,\,\,}, οπότε το τετράπλευρο \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm K}\Lambda {\rm M}{\rm N}\,\,\,\,\,} είναι ορθογώνιο .

γ) Στο τρίγωνο \displaystyle{\,\,\Delta {\rm A}{\rm T}\,\,} , το \displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm A}{\rm N}\,\,\,} είναι ύψος και διχοτόμος . Επομένως είναι ισοσκελές και το είναι και το \displaystyle{\,\,\,\,{\rm N}\,\,\,} είναι μέσον της \displaystyle{\,\,\,\,\Delta {\rm T}\,\,\,\,\,} . Ομοίως το \displaystyle{\,\,\Lambda \,\,\,} είναι μέσον της \displaystyle{\,\,\,\,{\rm E}{\rm B}\,\,\,\,} .
Από το (α) έχουμε ότι \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\Delta {\rm T}//{\rm E}{\rm B}\,\,\,\,\,} και \displaystyle{\,\,\,\,\,\Delta {\rm T} = {\rm E}{\rm B} \Rightarrow \frac{{\Delta {\rm T}}}{2} = \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{2} \Rightarrow {\rm N}{\rm T} = \Lambda {\rm B}\,\,\,\,} . Άρα το \displaystyle{\,\,\,\,{\rm T}{\rm B}\Lambda {\rm N}\,\,\,\,\,\,} είναι παρ/μο , οπότε \displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm N}\Lambda //{\rm B}{\rm T} \Rightarrow {\rm N}\Lambda //{\rm A}{\rm B}\,\,\,\,\,}

δ) \displaystyle{\,\,\,\,\,\Lambda {\rm N} = {\rm T}{\rm B} = {\rm A}{\rm B} - {\rm A}{\rm T} = {\rm A}{\rm B} - {\rm A}\Delta \,\,\,} , λόγω του ισοσκελούς \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\Delta {\rm A}{\rm T}\,\,\,\,}


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1561
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#172

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Ιουν 02, 2014 5:49 pm

5910

Δίνεται τρίγωνο με \displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm B}\Gamma \,\,\,} , εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο \displaystyle{\,\,\,\,{\rm O}\,\,} .
Θεωρούμε το μέσο \displaystyle{\,\,\,{\rm M}\,\,\,} του κυρτογώνιου τόξου \displaystyle{\,\,\,{\rm B}\Gamma \,\,\,} και το ύψος \displaystyle{\,\,\,{\rm A}\Delta \,\,\,\,\,} του τριγώνου \displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm A}{\rm B}\Gamma \,\,\,\,\,\,} .
Να αποδείξετε ότι:
α) Η \displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm M}\,\,\,} είναι διχοτόμος της γωνίας \displaystyle{\,\,\,\widehat{\Delta {\rm A}{\rm O}}\,\,\,\,} . (Μονάδες 8 )
β) \displaystyle{\,\,\,\widehat{{\rm O}{\rm A}\Gamma } = \widehat{\Delta {\rm A}{\rm B}}\,\,\,\,} (Μονάδες 9 )
γ) \displaystyle{\,\,\,\widehat{\Delta {\rm A}{\rm O}} = \widehat{\rm B} - \widehat\Gamma \,\,\,\,} (Μονάδες 8 )
5910.png
5910.png (22.29 KiB) Προβλήθηκε 3006 φορές
Λύση
α) Το απόστημα \displaystyle{\,\,\,{\rm O}{\rm Z}\,\,\,} της χορδής \displaystyle{\,\,\,{\rm B}\Gamma \,\,\,\,} διέρχεται από το μέσον της χορδής και από το μέσον \displaystyle{\,\,\,{\rm M}\,\,\,\,\,} του τόξου .
Επομένως \displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm O}{\rm M}//{\rm A}\Delta \,\,\,\,} ως κάθετες στην ίδια ευθεία .
Τότε όμως \displaystyle{\,\,\,\,\,{\widehat{\rm A}_1} = {\widehat{\rm M}_1}\,\,\,\,} και \displaystyle{\,\,\,\,\,{\widehat{\rm A}_1} = {\widehat{\rm M}_2}\,\,\,\,\,} , αφού το \displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm A}{\rm O}{\rm M}\,\,\,\,} είναι ισοσκελές . Τελικά \displaystyle{\,\,\,\,\,\widehat{\rm A}1 = \widehat{\rm A}2\,\,\,} ,οπότε η \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}{\rm M}\,\,\,\,} είναι διχοτόμος .

β) Είναι \displaystyle{\,\,\,\,\,\widehat{{\rm A}\Gamma {\rm H}} = {90^0}\,\,\,\,} αφού βαίνει σε ημικύκλιο , οπότε \displaystyle{\,\,\,\,\,\widehat{{\rm O}{\rm A}\Gamma } = {90^0} - \widehat{\rm H}\,\,\,\,}
Επίσης από το τρίγωνο \displaystyle{\,\,\Delta {\rm A}{\rm B}\,\,} είναι \displaystyle{\,\,\,\,\,\widehat{\Delta {\rm A}{\rm B}} = {90^0} - \widehat{\rm B}\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}
Επειδή \displaystyle{\,\,\,\widehat{\rm B} = \widehat{\rm H}\,\,\,\,\,} , αφού βαίνουν στο ίδιο τόξο , έχουμε από \displaystyle{\,\,\,\,(1),(2)\,\,\,\,} ότι : \displaystyle{\,\,\,\widehat{{\rm O}{\rm A}\Gamma } = \widehat{\Delta {\rm A}{\rm B}}\,\,\,\,}

γ) Η γωνία \displaystyle{\,\,\,\,{\widehat{\rm E}_1}\,\,} είναι εξωτερική στα τρίγωνα \displaystyle{\,\,\,\,\Delta {\rm A}{\rm E},{\rm E}\Gamma {\rm H}\,\,\,\,} , οπότε έχουμε ότι:
\displaystyle{\,\,\,\,\,{\widehat{\rm E}_1} = {90^0} + \widehat{\Delta {\rm A}{\rm O}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\,\,\,\,\,\,\,} και \displaystyle{\,\,\,\,\,{\widehat{\rm E}_1} = \widehat{\rm H} + \widehat{{\Gamma _1}}\, = \widehat{\rm B} + ({90^o} - \widehat\Gamma )\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)\,\,\,\,\,\,\,\,}

Από \displaystyle{\,\,\,\,\,\,(3),(4) \Rightarrow {90^0} + \widehat{\Delta {\rm A}{\rm O}} = \widehat{\rm B} + ({90^o} - \widehat\Gamma ) \Rightarrow \widehat{\Delta {\rm A}{\rm O}} = \widehat{\rm B} - \widehat\Gamma }
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Τρί Ιουν 03, 2014 8:07 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10811
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#173

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιουν 02, 2014 8:06 pm

Άσκηση 5911
Έστω ορθογώνιο AB\Gamma\Delta με AB>B\Gamma τέτοιο ώστε οι διαγώνιοι του να σχηματίζουν γωνία 60^0 . Από το \Delta φέρουμε \Delta M κάθετη στην A\Gamma.

α) Να αποδείξετε ότι:

i) Το σημείο M είναι μέσο του AO, όπου O το κέντρο του ορθογωνίου. (Μονάδες 8)

ii) \displaystyle{{\rm A}{\rm M} = \frac{1}{4}{\rm A}\Gamma } (Μονάδες 7)

β) Αν από το \Gaqmma φέρουμε \Gamma N κάθετη στη B\Delta, να αποδείξετε ότι το MN\Gamma\Delta είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 10)
Λύση:

α. i) Οι διαγώνιοι του ορθογωνίου διχοτομούνται και είναι ίσες. Άρα OA=O\Delta. Το ισοσκελές τρίγωνο AO\Delta έχει μία γωνία 60^0, οπότε είναι ισόπλευρο. Το ύψος λοιπόν, \Delta M, θα είναι και διάμεσος, δηλαδή το M είναι μέσο του AO.

α. ii) \displaystyle{{\rm A}{\rm M} = \frac{1}{2}{\rm A}{\rm O} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}{\rm A}\Gamma } \right) \Leftrightarrow } \boxed{{\rm A}{\rm M} = \frac{1}{4}{\rm A}\Gamma }
5911.png
5911.png (14.9 KiB) Προβλήθηκε 3189 φορές
β) Ομοίως το N είναι το μέσο του BO, άρα MN||AB||\Delta\Gamma και \displaystyle{{\rm M}{\rm N} = \frac{{\Delta \Gamma }}{2}}, οπότε το MN\Gamma\Delta δεν μπορεί να είναι παραλληλόγραμμο, άρα είναι τραπέζιο.

Στα ορθογώνια τρίγωνα \Delta MO, \Gamma NO είναι \displaystyle{{\rm O}\Delta  = {\rm O}\Gamma } και \displaystyle{{\rm M}\widehat {\rm O}\Delta  = \Gamma \widehat {\rm O}{\rm N} = {60^0}}.

Τα τρίγωνα είναι λοιπόν ίσα, \Delta M=\Gamma N, οπότε το MN\Gamma\Delta είναι ισοσκελές τραπέζιο.


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#174

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Δευ Ιουν 02, 2014 10:45 pm

Άσκηση 7433

Δίνεται τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma και η διάμεσός του {\rm A}\Delta. Έστω {\rm E},{\rm Z} και {\rm H} είναι τα μέσα των {\rm B}\Delta ,{\rm A}\Delta και {\rm A}\Gamma αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο \Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H} είναι παραλληλόγραμμο.

β) Να βρείτε τη σχέση των πλευρών {\rm A}{\rm B} και {\rm B}\Gamma του τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma, ώστε το παραλληλόγραμμο \Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H} να είναι ρόμβος.

γ) Στην περίπτωση που το τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma είναι ορθογώνιο (η γωνία {\rm B} ορθή), να βρείτε το είδος του παραλληλογράμμου \Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H}.

Λύση

α) Είναι {\rm E}{\rm Z}// = \dfrac{{{\rm A}{\rm B}}}{2}\;\left( 1 \right) διότι το \Delta {\rm E} ενώνει τα μέσα των πλευρών {\rm A}\Delta ,{\rm B}{\rm E} του τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Delta.

\Delta {\rm H}// = \dfrac{{{\rm A}{\rm B}}}{2}\;\left( 2 \right) διότι το \Delta {\rm H} ενώνει τα μέσα των πλευρών {\rm B}\Gamma ,{\rm A}\Gamma του τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma

Από \left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow {\rm E}{\rm Z}// = \Delta {\rm H} οπότε το τετράπλευρο \Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H} είναι παραλληλόγραμμο.

β) Είναι {\rm Z}{\rm H} = \dfrac{{\Delta \Gamma }}{2}\; \Rightarrow {\rm Z}{\rm H} = \dfrac{{{\rm B}\Gamma }}{4}\left( 3 \right) αφού \Delta \Gamma  = \dfrac{{{\rm B}\Gamma }}{2}, γιατί ενώνει τα μέσα των πλευρών {\rm A}\Delta ,{\rm A}\Gamma του τριγώνου {\rm A}\Delta \Gamma.

Για να είναι το παραλληλόγραμμο \Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H} ρόμβος πρέπει να έχει δύο διαδοχικές πλευρές ίσες, δηλαδή:

{\rm Z}{\rm H} = {\rm Z}{\rm E}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right),\left( 1 \right)} \dfrac{{{\rm B}\Gamma }}{4} = \dfrac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} \Rightarrow {\rm B}\Gamma  = 2{\rm A}{\rm B}

γ) Αν η γωνία {\rm B} είναι ορθή τότε \widehat {{\rm Z}{\rm E}\Delta } = \widehat {\rm B} = 90^\circ ως εντός εκτός και επί τα αυτά,

οπότε το \Delta {\rm E}{\rm Z}{\rm H} είναι ορθογώνιο επειδή είναι παραλληλόγραμμο με μια ορθή γωνία.
Συνημμένα
7433.png
7433.png (14.53 KiB) Προβλήθηκε 3125 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10811
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#175

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 03, 2014 12:40 am

Άσκηση 2787
Στο τρίγωνο AB\Gamma του παρακάτω σχήματος η κάθετη από το μέσο M της B\Gamma τέμνει την προέκταση της διχοτόμου A\Delta στο σημείο E. Αν \Theta, Z είναι οι προβολές του E στις AB, A\Gamma, να αποδείξετε ότι:

α) Το τρίγωνο EB\Gamma είναι ισοσκελές. (Μονάδες 5)

β) Τα τρίγωνα \Theta BE, Z\Gamma E είναι ίσα. (Μονάδες 8)

γ) \displaystyle{{\rm A}\widehat \Gamma {\rm E} + {\rm A}\widehat {\rm B}{\rm E} = {180^0}} (Μονάδες 12)
Λύση:

α) Το τρίγωνο EB\Gamma είναι ισοσκελές, επειδή η ME είναι μεσοκάθετος του B\Gamma

β) Τα τρίγωνα \Theta BE, Z\Gamma E είναι ορθογώνια και έχουν EB=E\Gamma και E\Theta=EZ (κάθε σημείο της διχοτόμου ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας)
2787.png
2787.png (18.19 KiB) Προβλήθηκε 3057 φορές
γ) Από την ισότητα των παραπάνω τριγώνων προκύπτει ότι \displaystyle{{\widehat {\rm E}_1} = {\widehat {\rm E}_2}} (1)

Είναι ακόμα: \displaystyle{{\rm A}\widehat \Gamma {\rm E} = {90^0} - {\widehat {\rm E}_2}} και \displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm B}{\rm E} = {90^0} + {\widehat {\rm E}_1}} (ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο EB\Theta)

Άρα: \displaystyle{{\rm A}\widehat \Gamma {\rm E} + {\rm A}\widehat {\rm B}{\rm E} = {90^0} - {\widehat {\rm E}_2} + {90^0} + {\widehat {\rm E}_1}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} } \boxed{{\rm A}\widehat \Gamma {\rm E} + {\rm A}\widehat {\rm B}{\rm E} = {180^0}}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10811
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#176

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 03, 2014 9:25 am

Άσκηση 2788
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma(A=90^0) B=50^0, το ύψος του A\Delta και σημείο E \Delta\Gamma, ώστε \Delta E=B\Delta. Το σημείο Z είναι η προβολή του \Gamma στην AE.

α) Να αποδείξετε ότι:

i) Το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές. (Μονάδες 6)

ii) \displaystyle{\Gamma \widehat {\rm A}{\rm E} = {10^0}} (Μονάδες 10)

β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου Z\Gamma E (Μονάδες 9)
Λύση:

α. i) Το τρίγωνο ABE είναι ισοσκελές, επειδή η A\Delta είναι μεσοκάθετος του BE.

α. ii) \displaystyle{\widehat {\rm B} = {50^0}}, οπότε από το ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma και από το ισοσκελές ABE , έχουμε

διαδοχικά: \widehat{\Gamma}=40^0 και A\widehat{E}\Delta=50^0.
2788.png
2788.png (8.64 KiB) Προβλήθηκε 2942 φορές
Αλλά η A\widehat{E}\Delta είναι εξωτερική στο τρίγωνο AE\Gamma, άρα:

\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm E}{\rm B} = \widehat \Gamma  + \Gamma \widehat {\rm A}{\rm E} \Leftrightarrow } \boxed{\Gamma\widehat{A} E=10^0}}

β) Είναι \boxed{\widehat{Z}=90^0}}, \boxed{\Gamma\widehat{E} Z=50^0} (ως κατακορυφήν της \displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm E}\Delta }), οπότε, \boxed{E\widehat{\Gamma} Z=40^0}}.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τρί Ιουν 03, 2014 10:24 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1561
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#177

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Ιουν 03, 2014 9:43 am

2792

Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα \displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm B}\,\,\,} και στο εσωτερικό του θεωρούμε τα σημεία \displaystyle{\,\,\,\,\Gamma ,\Delta \,\,\,} ώστε να ισχύει \displaystyle{\,\,{\rm A}\Gamma  = \Gamma \Delta  = \Delta {\rm B}\,\,\,\,\,\,\,\,\,} . Επίσης θεωρούμε σημείο \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,{\rm O}\,\,} εκτός του ευθυγράμμου τμήματος \displaystyle{\,\,{\rm A}{\rm B}\,\,} έτσι ώστε να ισχύουν \displaystyle{\,\,\,{\rm O}\Gamma  = {\rm A}\Gamma \,\,} και \displaystyle{\,\,\,{\rm O}\Delta  = \Delta {\rm B}\,\,\,} .
α) Να αποδείξετε ότι:
i. η γωνία \displaystyle{\,\,\,\,\widehat{\Gamma {\rm O}\Delta } = {60^0}\,\,} (Μονάδες 9)
ii. οι γωνίες \displaystyle{\,\,\,\,\widehat{{\rm O}{\rm A}\Gamma },\widehat{{\rm O}{\rm B}\Delta }\,\,\,\,} είναι ίσες και κάθε μια ίση με \displaystyle{\,\,\,\,{30^0}\,\,}. (Μονάδες 9)
β) Αν \displaystyle{\,\,\,{\rm M}\,} το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}{\rm B}\,\,\,\,} , να αποδείξετε ότι \displaystyle{\,\,\,\,2{\rm O}{\rm M} = {\rm O}{\rm A}\,\,\,} . (Μονάδες 7)
2792.png
2792.png (5.89 KiB) Προβλήθηκε 2928 φορές
Λύση

α) Το τρίγωνο \displaystyle{\,\,\,\,\Gamma {\rm O}\Delta \,\,\,\,} είναι ισόπλευρο εκ κατασκευής και το ζητούμενο έπεται άμεσα .
β) Τα τρίγωνα \displaystyle{\,\,\,{\rm O}{\rm A}\Gamma ,{\rm O}{\rm B}\Delta \,\,} είναι ισοσκελή , οπότε οι γωνίες που πρόσκεινται σε κάθε βάση είναι ίσες κι αφού οι εξωτερικές τους γωνίες \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\widehat{\Delta \Gamma {\rm O}} = \widehat{\Gamma \Delta {\rm O}} = {60^0}\,\,\,\,\,} , το ζητούμενο έπεται άμεσα .
γ) Το \displaystyle{\,\,\,{\rm O}{\rm M}\,\,\,\,\,} είναι διάμεσος στο ισόπλευρο τρίγωνο , άρα και ύψος , οπότε το τρίγωνο \displaystyle{\,\,\,\,{\rm M}{\rm O}{\rm A}\,\,\,} είναι ορθογώνιο με \displaystyle{\,\,\,\,\widehat{\rm A} = {30^0}\,\,\,} , άρα \displaystyle{\,\,\,{\rm O}{\rm M} = \frac{{{\rm O}{\rm A}}}{2} \Leftrightarrow {\rm O}{\rm A} = 2{\rm O}{\rm M}\,\,\,\,\,\,\,\,\,}

Σχόλιο : Θέμα κατάλληλο για εξετάσεις Γ΄ Γυμνασίου
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Τρί Ιουν 03, 2014 10:39 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#178

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Τρί Ιουν 03, 2014 9:53 am

Άσκηση 2794

Σε τραπέζιο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta \left( {{\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta } \right) είναι \Gamma \Delta  = 2{\rm A}{\rm B}.
Επίσης τα {\rm Z},{\rm H},{\rm E} είναι τα μέσα των {\rm A}\Delta ,{\rm B}\Gamma και \Delta \Gamma αντίστοιχα. Ακόμη η {\rm Z}{\rm H} τέμνει τις {\rm A}{\rm E},{\rm B}{\rm E} στα σημεία \Theta ,{\rm I} αντίστοιχα.
α) Να δείξετε ότι, το τετράπλευρο {\rm A}{\rm B}\Gamma {\rm E} είναι παραλληλόγραμμο.
β) Να δείξετε ότι, τα σημεία \Theta ,{\rm I} είναι μέσα των {\rm A}{\rm E},{\rm B}{\rm E} αντίστοιχα.
γ) Να δείξετε ότι {\rm Z}{\rm H} = \dfrac{3}{2}{\rm A}{\rm B}

Λύση

α) Είναι \Delta {\rm E} = \dfrac{{\Gamma \Delta }}{2}\;\left( 1 \right) αφού το {\rm E} είναι μέσο του \Gamma \Delta και {\rm A}{\rm B}// = \dfrac{{\Gamma \Delta }}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} {\rm A}{\rm B}// = \Delta {\rm E} ,
έτσι το {\rm A}{\rm B}\Gamma {\rm E} είναι παραλληλόγραμμο.

β) Το {\rm Z}{\rm H} είναι διάμεσος του τραπεζίου {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta, οπότε {\rm Z}{\rm H}//{\rm A}{\rm B}//\Gamma \Delta και {\rm Z}{\rm H} = \dfrac{{{\rm A}{\rm B} + \Gamma \Delta }}{2}\;\left( 2 \right)

Στο τρίγωνο {\rm A}\Delta {\rm E} το {\rm Z} είναι μέσο της {\rm A}\Delta και {\rm Z}\Theta //\Delta {\rm E} , έτσι το \Theta είναι μέσο του {\rm A}{\rm E}.

Ομοίως, στο τρίγωνο {\rm B}\Gamma {\rm E} είναι {\rm H} μέσο του {\rm B}\Gamma και {\rm H}{\rm I}//\Gamma {\rm E}, έτσι το {\rm I} είναι μέσο του {\rm B}{\rm E}.

γ) Από \left( 2 \right) \Rightarrow {\rm Z}{\rm H} = \frac{{{\rm A}{\rm B} + \Gamma \Delta }}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{\Gamma \Delta  = 2{\rm A}{\rm B}} {\rm Z}{\rm H} = \dfrac{{{\rm A}{\rm B} + 2{\rm A}{\rm B}}}{2} \Rightarrow {\rm Z}{\rm H} = \dfrac{{3{\rm A}{\rm B}}}{2}
Συνημμένα
2794.png
2794.png (11.03 KiB) Προβλήθηκε 2943 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10811
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#179

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 03, 2014 10:27 am

Άσκηση 2796
Δίνεται κύκλος με κέντρο O και έστω AB μία διάμετρός του, \Gamma το μέσο του ενός ημικυκλίου και \Delta τυχαίο σημείο του άλλου. Στην προέκταση της \Delta B (προς το B) θεωρούμε σημείο E ώστε BE=A\Delta.

α) Να αποδείξετε ότι:

i) Τα τρίγωνα A\Delta\Gamma, BE\Gamma είναι ίσα. (Μονάδες 8)

ii) Η \Gamma\Delta είναι κάθετη στη \Gamma E. (Μονάδες 8)

β) Να αιτιολογήσετε γιατί στην περίπτωση που το σημείο \Delta είναι αντιδιαμετρικό του \Gamma, η \Gamma E είναι εφαπτομένη του κύκλου. (Μονάδες 9)


Λύση:

α. i) Επειδή το \Gamma είναι μέσο του ημικυκλίου, θα είναι A\Gamma=B\Gamma και \displaystyle{{\rm A}\widehat {\Gamma} B  = {90^0}}.

Τα τρίγωνα A\Delta\Gamma, BE\Gamma έχουν:
A\Gamma=B\Gamma
A\Delta=BE (από υπόθεση)
\displaystyle{\Delta \widehat {\rm A}\Gamma  = {\rm E}\widehat {\rm B}\Gamma } (η γωνία εγγεγραμμένου τετραπλεύρου είναι ίση με την απέναντι εξωτερική)
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα (Π-Γ-Π)
2796.png
2796.png (16.17 KiB) Προβλήθηκε 2906 φορές
α. ii) Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει ότι \displaystyle{\omega  = \varphi }.

\displaystyle{\Delta \Gamma {\rm E} = {\rm A}\widehat {\Gamma}B  - \omega  + \varphi  = {\rm A}\widehat {\Gamma} B  = {90^0} \Leftrightarrow } \boxed{\Gamma \Delta  \bot \Gamma {\rm E}}

β) Είναι από το προηγούμενο ερώτημα \displaystyle{\Delta \widehat \Gamma {\rm E} = {90^0}} και επειδή η \Delta\Gamma είναι διάμετρος του κύκλου, η \Gamma E θα είναι εφαπτομένη.
2796.1png.png
2796.1png.png (14.01 KiB) Προβλήθηκε 2906 φορές
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τρί Ιουν 03, 2014 12:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1561
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#180

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Τρί Ιουν 03, 2014 10:42 am

2797


Σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει \displaystyle{\,\,\,\,\widehat{\rm A} + \widehat\Gamma  = 2\widehat{\rm B}\,\,\,} και έστω \displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm A}\Delta \,\,\,\,} ύψος και \displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm B}{\rm E}\,\,\,} διχοτόμος του τριγώνου που τέμνονται στο \displaystyle{\,\,\,\,\,\,{\rm Z}\,\,\,\,}
α) Να αποδείξετε ότι:
i. \displaystyle{\,\,\,{\rm B} = {60^0}\,\,} και \displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm Z} = {\rm B}{\rm Z}\,\,\,}. (Μονάδες 10)
ii. \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,{\rm A}\Delta  = \frac{3}{2}{\rm B}{\rm Z}\,\,\,\,\,} (Μονάδες 8)
β) Αν είναι γνωστό ότι το τρίγωνο \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}{\rm Z}{\rm E}\,\,\,} είναι ισόπλευρο, να υπολογίσετε τις άλλες γωνίες του τριγώνου \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}{\rm B}\Gamma \,\,\,\,} . (Μονάδες 7)
2797.png
2797.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 2918 φορές
Λύση

α)
ι) \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,\widehat{\rm A} + \widehat\Gamma  = 2\widehat{\rm B} \Leftrightarrow \,\,\,\,\widehat{\rm A} + \widehat{\rm B}\, + \widehat\Gamma  = 3\widehat{\rm B} \Leftrightarrow 3\widehat{\rm B} = {180^0} \Leftrightarrow \widehat{\rm B} = {60^0}\,\,\,\,\,}
Από το ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}{\rm B}\Delta \,\,\,} , έχουμε ότι \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,{{\rm A}_1} = {30^0}\,\,\,\,} κι ακόμα \displaystyle{\,\,\,\,{\widehat{\rm B}_1} = \frac{{{{60}^0}}}{2} = {30^0}\,\,\,\,\,\,\,}
, οπότε το \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}{\rm B}{\rm Z}\,\,\,} είναι ισοσκελές , άρα \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}{\rm Z} = {\rm B}{\rm Z}\,\,\,}

ιι) Αφού \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}{\rm Z} = {\rm B}{\rm Z}\,\,\,} και από το \displaystyle{\,\,\,\,{\rm B}{\rm Z}\Delta \,\,\,\,}με \displaystyle{\,\,\,\,{\widehat{\rm B}_2} = {30^0}\,\,\,\,} , έχουμε ότι : \displaystyle{\,\,\,\,{\rm Z}\Delta  = \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{2}\,\,\,\,} ,
έπεται ότι : \displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm A}\Delta  = {\rm A}{\rm Z} + {\rm Z}\Delta  = {\rm B}{\rm Z} + \frac{{{\rm B}{\rm Z}}}{2} = \frac{3}{2}{\rm B}{\rm Z}\,\,\,\,\,\,\,} .

β) Αφού το τρίγωνο \displaystyle{\,\,\,\,{\rm A}{\rm Z}{\rm E}\,\,\,\,} είναι ισόπλευρο , έχουμε ότι \displaystyle{\,\,\,\,{\widehat{\rm A}_2} = {60^0}\,\,\,\,} , οπότε \displaystyle{\,\,\,\,\widehat{\rm A} = {30^0} + {60^0} = {90^0}\,\,\,\,\,\,\,\,} .
Επίσης \displaystyle{\,\,\,\widehat{\rm B} = {60^0}\,\,\,} , οπότε \displaystyle{\,\,\,\,\,\widehat\Gamma  = {30^0}\,\,}


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία A”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης