ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#261

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιουν 08, 2014 11:26 am

Άσκηση 3732

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB\Gamma και το ύψος του A\Delta. Στο A\Delta θεωρούμε σημείο H τέτοιο ώστε HA=HB.Έστω ότι E είναι το σημείο τομής της BH με την A\Gamma. Φέρνουμε την κάθετη AZ στην BE, η οποία τέμνει την πλευρά B\Gamma στο \Theta.
α) Να αποδείξετε ότι:

i)Τα τρίγωνα H\Delta B και HZA είναι ίσα. (Μονάδες 6)

ii) \Delta\Theta=\Theta Z (Μονάδες 6)

iii) Η ευθεία \Theta H είναι μεσοκάθετος του τμήματος AB. (Μονάδες 6)

β) Ποιο από τα σημεία του σχήματος είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου AHB; Να διακιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

Λύση:

α. i) Τα τρίγωνα H\Delta B και HZA είναι ίσα, επειδή είναι ορθογώνια και έχουν HB=HA (από υπόθεση) και \displaystyle{{\rm B}\widehat {\rm H}\Delta  = {\rm A}\widehat {\rm H}{\rm Z}} (ως κατακορυφήν).

α. ii) Από την ισότητα των τριγώνων του ερωτήματος (α. i), προκύπτει ότι H\Delta=HZ. Άρα η \Theta H είναι διχοτόμος της γωνίας \displaystyle{{\rm A}\widehat \Theta {\rm B}} ( Το σημείο H ισαπέχει από τις πλευρές της). Επομένως τα ορθογώνια τρίγωνα \Delta\Theta H και ZH\Theta είναι ίσα (έχουν κοινή υποτείνουσα και \displaystyle{{\rm H}\widehat \Theta {\Delta} = {\rm H}\widehat \Theta {\rm Z}}). Άρα \Delta\Theta=\Theta Z.
3732.png
3732.png (11.51 KiB) Προβλήθηκε 4281 φορές
α. iii) Από την ισότητα των τριγώνων του ερωτήματος (α. i), έχουμε ακόμα B\Delta=AZ.
\displaystyle{{\rm B}\Theta  = {\rm B}\Delta  + \Delta \Theta  = {\rm A}{\rm Z} + \Theta {\rm Z} \Leftrightarrow {\rm B}\Theta  = {\rm A}\Theta }, οπότε το τρίγωνο \Theta AB είναι ισοσκελές. Άρα η \Theta H που διχοτομεί τη γωνία \displaystyle{{\rm A}\widehat \Theta {\rm B}}, θα είναι μεσοκάθετος της AB.

β) Στο τρίγωνο AHB, τα ύψη AZ, B\Delta τέμνονται στο σημείο \Theta, που είναι και το ορθόκεντρο του τριγώνου.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Κυρ Ιουν 08, 2014 12:26 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1987
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#262

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Ιουν 08, 2014 11:36 am

Άσκηση 3734
Σε ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) είναι ΑΒ=ΑΔ.
α) Να αποδείξετε ότι η ΒΔ είναι διχοτόμος της γωνίας Δ. (Μονάδες 7)
β) Να προσδιορίσετε τη θέση ενός σημείου Ε, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΕΔ να είναι ρόμβος.
(Μονάδες 10)
γ) Αν επιπλέον είναι γωνία ΒΑΔ=120˚ και οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται στο σημείο Ο, να υπολογίσετε τις γωνίες του τετραπλεύρου ΕΟΒΓ. (Μονάδες 8)

Απαντήσεις:

α)
Γνωρίζουμε ότι {\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Delta άρα το τρίγωνο \Delta {\rm A}{\rm B} είναι ισοσκελές , συνεπώς \angle {\rm A}\Delta {\rm B} = \angle {\rm A}{\rm B}\Delta.

Τα ευθύγραμμα τμήματα {\rm A}{\rm B},\Delta \Gamma είναι παράλληλα και τέμνονται από την \Delta {\rm B} , άρα οι γωνίες \angle {\rm A}{\rm B}\Delta, \angle {\rm B}\Delta \Gamma είναι ίσες μεταξύ τους ως εντός εναλλάξ. Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι \angle {\rm A}\Delta {\rm B} = angle {\rm B}\Delta \Gamma που οδηγεί στο συμπέρασμα.
Καταγραφή.PNG
Καταγραφή.PNG (7.78 KiB) Προβλήθηκε 4257 φορές
β)
Γράφουμε κύκλο με κέντρο το \Delta και ακτίνα \Delta {\rm A} , έστω {\rm E} το σημείο τομής του με την πλευρά \Delta \Gamma , θα δείξουμε ότι το τετράπλευρο {\rm A}{\rm B}{\rm E}\Deltaείναι ρόμβος.

Το ευθύγραμμα τμήματα {\rm A}{\rm B},\Delta \Gamma είναι παράλληλα (παράλληλες πλευρές τραπεζίου) , άρα θα είναι και τα τμήματα {\rm A}{\rm B} και \Delta {\rm E} παράλληλα, επιπλέον {\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Delta  = \Delta {\rm E} ,συνεπώς είναι ίσα , δείξαμε έτσι ότι το τετράπλευρο {\rm A}{\rm B}{\rm E}\Delta είναι παραλληλόγραμμο. Οι απέναντι πλευρές του {\rm A}\Delta ,{\rm B}{\rm E} θα είναι ίσες ,άρα ισχύει: {\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Delta  = \Delta {\rm E} = {\rm B}{\rm E}
και το τετράπλευρο είναι ρόμβος.
Καταγραφή2.PNG
Καταγραφή2.PNG (10.01 KiB) Προβλήθηκε 4257 φορές
γ)
Θα δείξουμε προπαρασκευαστικά ότι το τρίγωνο {\rm E}{\rm B}\Gamma είναι ισόπλευρο. Πράγματι είναι ισοσκελές καθώς: {\rm B}\Gamma  = {\rm A}\Delta  = {\rm B}{\rm E} , οι γωνίες \Delta {\rm A}{\rm B} και \Delta {\rm E}{\rm B} είναι ίσες ως απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου και η \angle {\rm B}{\rm E}\Gamma είναι παραπληρωματική της \Delta {\rm E}{\rm B} , άρα ίση με 60^o , συνεπώς το ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες βάσεων 60^o είναι ισόπλευρο.
Επιπλέον γνωρίζουμε ότι οι διαγώνιοι του ρόμβου τέμνονται κάθετα και διχοτομούν τις απέναντι γωνίες, όπως και ότι οι διαδοχικές γωνίες ενός παραλληλογράμμου είναι παραπληρωματικές.

Άρα:
\hat {\rm O} = 90^o

\angle {\rm O}{\rm B}\Gamma  = \frac{1} 
{2}\left( {\angle {\rm A}{\rm B}{\rm E}} \right) + \left( {\angle {\rm E}{\rm B}\Gamma } \right) = \frac{1} 
{2}60^o  + 60^o  = 90^0

\angle {\rm B}\Gamma {\rm E} = 60^o

\angle \Gamma {\rm E}{\rm O} = \left( {\angle \Gamma {\rm E}{\rm B}} \right) + \frac{1} 
{2}\left( {\angle {\rm B}{\rm E}\Delta } \right) = 60^o  + \frac{1} 
{2}120^o  = 120^o
Καταγραφή3.PNG
Καταγραφή3.PNG (12.42 KiB) Προβλήθηκε 4257 φορές
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Κυρ Ιουν 08, 2014 1:05 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
PanosG
Δημοσιεύσεις: 458
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 10, 2009 2:47 pm
Τοποθεσία: Άρτα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#263

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από PanosG » Κυρ Ιουν 08, 2014 11:43 am

Άσκηση 3735
Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma με AB<A\Gamma. Έστω Ax η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας \hat{A}
α)Να αποδείξετε ότι:

i) \displaystyle{\frac{\hat{A}_{\varepsilon\xi}}{2}+\hat{B_{\varepsilon\xi}}=180^o+\frac{\hat{\Gamma}-\hat{B}}{2}}, όπου \hat{A}_{\varepsilon\xi} και \hat{B}_{\varepsilon\xi} παριστάνουν τις εξωτερικές γωνίες των \hat{A},\hat{B} αντίστοιχα. (Μονάδες 10)
ii. Η εξωτερική διχοτόμος της γωνίας \hat{A} τέμνει την προέκταση της πλευράς \GammaB (προς το μέρος του Β) σε σημείο Z.(Μονάδες 8)
β) Αν το τρίγωνο AB\Gamma είναι ορθογώνιο στο A και \widehat{AZB}=15^o, να αποδείξετε ότι B\Gamma=2AB (Μονάδες 7)

Λύση
3735.png
3735.png (5.71 KiB) Προβλήθηκε 4259 φορές
α) i. Είναι \hat{A}_{\varepsilon\xi}=\hat{B}+\hat{\Gamma} και \hat{B}_{\varepsilon\xi}=\hat{A}+\hat{\Gamma}.Άρα:

\displaystyle{\frac{\hat{A}_{\varepsilon\xi}}{2}+\hat{B_{\varepsilon\xi}}=\frac{\hat{B}+\hat{\Gamma}}{2}+\hat{A}+\hat{\Gamma}=\frac{\hat{B}+\hat{\Gamma}+\hat{2A}+\hat{2\Gamma}}{2}=\frac{\hat{2A}+\hat{2B}+\hat{2\Gamma}+\hat{\Gamma}-\hat{B}}{2}=180^o+\frac{\hat{\Gamma}-\hat{B}}{2}}

ii. Επειδή AB<A\Gamma θα είναι και \hat{\Gamma}<\hat{B} άρα \hat{\Gamma}-\hat{B}<0 οπότε απο το α) ερώτημα θα ισχύει:
\displaystyle{\frac{\hat{A}_{\varepsilon\xi}}{2}+\hat{B_{\varepsilon\xi}}<180^o}
Οπότε οι ημιευθείες Ax και \Gamma B που τέμνονται από την AB σχηματίζουν τις εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες με άθροισμα μικρότερο απο 180^o άρα τέμνονται προς το μέρος της τέμνουσας που βρίσκονται οι γωνίες.

β) Από το τρίγωνο ABZ επειδή \widehat{AZB}=15^o θα είναι \displaystyle{\frac{\hat{A}_{\varepsilon\xi}}{2}+\hat{B_{\varepsilon\xi}}=165^o}
Άρα απο το α) ερώτημα \displaystyle{180^o+\frac{\hat{\Gamma}-\hat{B}}{2}}=165^o\Leftrightarrow \hat{\Gamma}-\hat{B}=-30^o}
Όμως απο το τρίγωνο AB\Gamma είναι \hat{B}+\hat{\Gamma}=90^o οπότε απο τις δυο τελευταίες σχέσεις έχουμε:
\hat{B}=60^o και \hat{\Gamma}=30^o
Τελικά το ορθογώνιο τρίγωνο AB\Gamma έχει \hat{\Gamma}=30^o άρα B\Gamma=2AB
τελευταία επεξεργασία από PanosG σε Κυρ Ιουν 08, 2014 12:56 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 80
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#264

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Κυρ Ιουν 08, 2014 11:52 am

Αναρτώ την άσκηση 3806. Είδα ότι η 3808 έχει λυθεί.
EKF.jpg
EKF.jpg (41.31 KiB) Προβλήθηκε 4167 φορές
SXHMA.jpg
SXHMA.jpg (17.16 KiB) Προβλήθηκε 4167 φορές
Έστω {\rm A}{\rm B} = 2\alpha και {\rm A}\Gamma  = 4\beta. Τότε {\rm A}{\rm I} = {\rm I}{\rm O} - {\rm O}{\rm H} = {\rm H}\Gamma  = \beta.
α) Στο ορθογώνιο τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma είναι: {\rm O},\,{\rm Z} μέσα των πλευρών του {\rm A}\Gamma ,\,{\rm A}{\rm B} αντιστοίχως. Άρα: \displaystyle{{\rm O}{\rm Z}// = \dfrac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} = \dfrac{{2\alpha }}{2} = \alpha }, επομένως {\rm O}{\rm Z}// = {\rm E}\Gamma ( = \alpha ) \Rightarrow {\rm O}{\rm Z}\Gamma {\rm E} παραλληλόγραμμο.
Είναι {\rm Z}\Gamma  = \Gamma {\rm E} \Rightarrow {\rm O}{\rm Z}\Gamma {\rm E} ρόμβος.
Είναι \displaystyle{\hat \Gamma  = {90^0} \Rightarrow {\rm O}{\rm Z}\Gamma {\rm E}} τετράγωνο.
Φέρνω την διάμεσο {\rm B}{\rm O} ( & ύψος του ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma).
Τότε \displaystyle{{\rm O}{\rm B} = \dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{2} = \dfrac{{4\beta }}{2} = 2\beta }.
Η {\rm Z}{\rm H} ενώνει τα μέσα των πλευρών {\rm O}\Gamma ,\,{\rm O}{\rm B} του ορθογωνίου τριγ. \Gamma {\rm O}{\rm B}.
Άρα \displaystyle{{\rm Z}{\rm H}// = \dfrac{{{\rm O}{\rm B}}}{2} = \dfrac{{2\beta }}{2} = \beta  = \dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{4} \Rightarrow {\rm Z}{\rm H} = \dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{4}}.
γ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο {\rm A}{\rm B}{\rm O} ομοίως \displaystyle{{\rm I}\Theta // = \dfrac{{{\rm O}{\rm B}}}{2} = {\rm Z}{\rm H} \Rightarrow {\rm I}\Theta {\rm Z}{\rm H}} παραλληλόγραμμο.
Όμως \displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{\rm I}\Theta // = {\rm O}{\rm B}}\\ 
{{\rm O}{\rm B} \bot {\rm A}\Gamma } 
\end{array}} \right\} \Rightarrow {\rm I}\Theta  \bot {\rm A}\Gamma  \Rightarrow \hat {\rm I} = {90^0}.}
Επομένως το παραλληλόγραμμο {\rm I}\Theta {\rm Z}{\rm H} είναι ορθογώνιο με:
\displaystyle{\left. {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\Theta {\rm Z}{\rm{ }} = {\rm{ }}{\rm I}{\rm H}{\rm{ }} = {\rm{ }}{\rm I}{\rm O} + {\rm O}{\rm H} = \beta  + \beta  = 2\beta  = \dfrac{{4\beta }}{2} = \dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{2}}\\ 
{\Theta {\rm I} = \dfrac{{{\rm O}{\rm B}}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{2}}}{2} = \dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{4}} 
\end{array}} \right\} \Rightarrow \dfrac{{\Theta {\rm Z}}}{{\Theta {\rm I}}} = \dfrac{{\dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{2}}}{{\dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{4}}} = 2 \Rightarrow \Theta {\rm Z} = 2\Theta {\rm I}} ό.έ.δ.
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 3806.doc
(83 KiB) Μεταφορτώθηκε 160 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Νάννος σε Κυρ Ιουν 08, 2014 3:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Αντικατάσταση συνημμένου με Latex.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8155
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#265

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 08, 2014 11:57 am

Ασκηση 4_3757



Λύση
α)
i. Αφού {\rm E}{\rm A} = {\rm A}\Delta \,\,\kappa \alpha \iota \,\,{\rm B}\Gamma  = //{\rm A}\Delta θα είναι και {\rm E}{\rm A} = //{\rm B}\Gamma συνεπώς το τετράπλευρο {\rm A}{\rm E}{\rm B}\Gamma έχει δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες και επομένως είναι παραλληλόγραμμο. Άμεση συνέπεια:

{\rm E}{\rm B} = //{\rm A}\Gamma \,\,(1)
4_3757_λύση.png
4_3757_λύση.png (14.91 KiB) Προβλήθηκε 4246 φορές
ii. Οι διαγώνιες του ορθογωνίου είναι ίσες, έτσι αν θέσουμε \boxed{{\rm B}\Gamma  = \alpha } θα είναι :

\boxed{{\rm A}\Gamma  = {\rm B}\Delta  = 2\alpha } και λόγω της (1) ( προηγούμενο ερώτημα) \boxed{{\rm B}{\rm E} = 2\alpha } . Επίσης από την υπόθεση \Delta {\rm E} = 2{\rm A}\Delta  \Rightarrow \Delta {\rm E} = 2{\rm B}\Gamma  \Rightarrow \boxed{\Delta {\rm E} = 2\alpha } . Δηλαδή το τρίγωνο {\rm E}{\rm B}\Delta έχει και τις τρεις πλευρές

του ίσες άρα είναι ισόπλευρο και ως γνωστό κάθε γωνία του είναι από {60^0}.

β) Στο ισόπλευρο τώρα {\rm E}{\rm B}\Delta η {\rm E}{\rm O} είναι διάμεσος γιατί οι διαγώνιοι του ορθογωνίου {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta διχοτομούνται . Έτσι όμως το {\rm E}{\rm O} είναι και ύψος στο τρίγωνο αυτό και άρα προφανές ότι το {\rm Z} είναι το ορθόκεντερό

του , οπότε αναγκαστικά η \Delta {\rm Z} ο φορές του τρίτου ύψους του και άρα \boxed{\Delta {\rm Z} \bot {\rm E}{\rm B}}.

Παρατηρήσεις:

Η άσκηση λύνεται και με άλλους τρόπους ( π.χ. με υπολογισμό γωνιών κ. λ. π.) επέλεξα τον πιο πάνω τρόπο για να δοθεί έμφαση αφ ενός ότι ή απάντηση κάθε ερωτήματος προκύπτει συνήθως από το ή

τα προηγούμενα άλλα και αφ ετέρου στην αξιοποίηση του ορθοκέντρου σε ασκήσεις καθετότητας που συνήθως δεν περνά από τη σκέψη μεγάλης μερίδας ( και δικαιολογημένα ) μαθητών.


Νίκος
Συνημμένα
4_3757.doc
(91 KiB) Μεταφορτώθηκε 160 φορές
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Κυρ Ιουν 08, 2014 10:37 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#266

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιουν 08, 2014 12:30 pm

Άσκηση 3739

Μοιάζει με την 3724. Την αφήνω γιατί έχει προβληματική εκφώνηση και στο ερώτημα (α. i), αλλά και στο (β).

Στο (α. i), το τετράπλευρο AB\Gamma\Delta δεν είναι πάντα τραπέζιο.
Στο (β) δεν διευκρινίζει ότι αναφέρεται στο ευθύγραμμο τμήμα O\Delta. Αλλιώς η ευθεία O\Delta τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία και πρέπει να ξεκαθαριστεί σε ποιο από τα δύο σημεία αναφέρεται.

Ας την κοιτάξει όμως και κάποιος άλλος.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Κυρ Ιουν 08, 2014 12:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#267

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Ιουν 08, 2014 12:36 pm

Άσκηση 3745

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma \;\left( {{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma } \right) και {\rm A}{\rm M} το ύψος του στην πλευρά {\rm B}\Gamma.
Στην προέκταση του {\rm A}{\rm M} θεωρούμε τμήμα {\rm M}{\rm N} = {\rm A}{\rm M}. Στην προέκταση του {\rm B}\Gamma προς το μέρος του \Gamma θεωρούμε τμήμα \Gamma \Delta  = {\rm B}\Gamma.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο {\rm A}{\rm B}{\rm N}\Gamma ρόμβος.
β) Το τρίγωνο {\rm A}\Delta {\rm N} είναι ισοσκελές.
γ) Το σημείο \Gamma είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου {\rm A}\Delta {\rm N}.

Λύση

α) Αφού το {\rm A}{\rm M} είναι ύψος στη βάση {\rm B}\Gamma του ισοσκελούς τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma θα είναι και διάμεσος.

Έτσι το {\rm A}{\rm B}{\rm N}\Gamma είναι ρόμβος αφού οι διαγώνιοί του τέμνονται κάθετα, διχοτομούνται και δύο διαδοχικές του πλευρές είναι ίσες \left( {{\rm A}{\rm B} = {\rm A}\Gamma } \right)

β) Το \Delta {\rm M} είναι μεσοκάθετος του {\rm A}{\rm N}, έτσι \Delta {\rm A} = \Delta {\rm N} οπότε το τρίγωνο {\rm A}\Delta {\rm N} είναι ισοσκελές.

γ) Στο τρίγωνο {\rm A}\Delta {\rm N} το τμήμα \Delta {\rm M} είναι διάμεσός του και ισχύει:

\displaystyle{\Delta \Gamma  = \Delta {\rm M} - {\rm M}\Gamma  \Rightarrow \Delta \Gamma  = \Delta {\rm M} - \dfrac{{{\rm B}\Gamma }}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{{\rm B}\Gamma  = \Delta \Gamma } \Delta \Gamma  = \Delta {\rm M} - \dfrac{{\Delta \Gamma }}{2} \Rightarrow }

2\Delta \Gamma  = 2\Delta {\rm M} - \Delta \Gamma  \Rightarrow \Delta \Gamma  = \dfrac{2}{3}\Delta {\rm M} οπότε το \Gamma είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου {\rm A}\Delta {\rm N}.
Συνημμένα
3745.png
3745.png (27.66 KiB) Προβλήθηκε 4230 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Κυρ Ιουν 08, 2014 1:46 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#268

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιουν 08, 2014 12:51 pm

Άσκηση 3741

Σε παραλληλόγραμμο AB\Gamma\Delta με γωνία A αμβλεία, ισχύει AB=2A\Delta. Τα σημεία E και Z είναι μέσα των πλευρών του AB και \Gamma\Delta αντίστοιχα. Από το \Delta φέρουμε την \Delta H κάθετη στην προέκταση της B\Gamma.
Να αποδείξετε ότι:

α) Το τετράπλευρο AEZ\Delta είναι ρόμβος. (Μονάδες 8)

β) Το τρίγωνο EZH είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9)

γ) Το τμήμα HE είναι διχοτόμος της γωνίας \displaystyle{{\rm Z}\widehat {\rm H}\Gamma }. (Μονάδες 8)

Λύση:

α) \displaystyle{{\rm A}{\rm B} = 2{\rm A}\Delta  \Leftrightarrow {\rm A}{\rm E} = {\rm A}\Delta  = {\rm E}{\rm Z} = {\rm A}{\rm Z}}. Άρα το τετράπλευρο AEZ\Delta είναι ρόμβος.

β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο H\Gamma\Delta η HZ είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, οπότε ZH=ZA=ZE. Άρα, τρίγωνο EZH είναι ισοσκελές.
3741.png
3741.png (12.48 KiB) Προβλήθηκε 4197 φορές
γ) Από το ισοσκελές τρίγωνο EZH, έχουμε \displaystyle{{\rm H}\widehat {\rm E}{\rm Z} = {\rm E}\widehat {\rm H}{\rm Z} = \omega }.
Αλλά, \displaystyle{{\rm H}\widehat {\rm E}{\rm Z} = \varphi } (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων EZ, HB που τέμνονται από την EH)

Άρα, \omega=\phi, δηλαδή το τμήμα HE είναι διχοτόμος της γωνίας \displaystyle{{\rm Z}\widehat {\rm H}\Gamma }.
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Κυρ Ιουν 08, 2014 2:46 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#269

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Ιουν 08, 2014 1:52 pm

Άσκηση 3747

Δίνεται τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma με γωνία {\rm A} ίση με 120^\circ και γωνία {\rm B} είναι ίση με 45^\circ .
Στην προέκταση της {\rm B}{\rm A} προς το {\rm A}, παίρνουμε τμήμα {\rm A}\Delta  = 2{\rm A}{\rm B} .
Από το \Delta φέρνουμε την κάθετη στην {\rm A}\Gamma που την τέμνει στο σημείο {\rm K}.
Να αποδείξετε ότι:
α) Η γωνία {\rm A}\Delta {\rm K} είναι ίση με 30^\circ.
β) Το τρίγωνο {\rm K}{\rm A}{\rm B} είναι ισοσκελές.
γ) Αν {\rm Z} το μέσο της \Delta {\rm A}, τότε \widehat {{\rm Z}{\rm K}{\rm B}} = 90^\circ .
δ) Το σημείο {\rm K}ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος {\rm B}\Delta .

Λύση


α) \widehat {{\rm K}{\rm A}\Delta } = 60^\circ ως παραπληρωματική της \widehat {\rm A} = 120^\circ .
Από το ορθογώνιο τρίγωνο {\rm A}\Delta {\rm K} θα είναι \widehat {{\rm A}\Delta {\rm K}} = 30^\circ

β) Αφού στο ο ορθογώνιο τρίγωνο {\rm A}\Delta {\rm K} είναι \widehat {{\rm A}\Delta {\rm K}} = 30^\circ τότε {\rm A}{\rm K} = \dfrac{{{\rm A}\Delta }}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{{\rm A}\Delta  = 2{\rm A}{\rm B}} {\rm A}{\rm K} = {\rm A}{\rm B} άρα το τρίγωνο {\rm K}{\rm A}{\rm B} είναι ισοσκελές.

γ) Είναι {\rm B}{\rm A} = {\rm A}{\rm Z}\left( { = \frac{{{\rm A}\Delta }}{2}} \right) και η διάμεσός του {\rm A}{\rm K} είναι {\rm A}{\rm K} = {\rm A}{\rm B} \Rightarrow {\rm A}{\rm K} = \dfrac{{{\rm A}{\rm Z}}}{2}
άρα το τρίγωνο {\rm Z}{\rm K}{\rm B} είναι ορθογώνιο αφού η διάμεσος του ισούται με το μισό της αντίστοιχής πλευράς, με υποτείνουσα {\rm B}{\rm Z} , οπότε \widehat {{\rm Z}{\rm K}{\rm B}} = 90^\circ.

δ) Τα ορθογώνια τρίγωνα {\rm B}{\rm K}{\rm Z} και {\rm A}{\rm K}\Delta είναι ίσα αφού έχουν:

{\rm A}{\rm B} = {\rm A}{\rm K} και {\rm A}{\rm Z} = {\rm A}\Delta \left( { = 2{\rm A}{\rm B}} \right) άρα είναι και {\rm K}{\rm B} = {\rm K}\Delta
δηλαδή το σημείο {\rm K} ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος {\rm B}\Delta αφού ισαπέχει από τα άκρα του.
Συνημμένα
3747.png
3747.png (17.22 KiB) Προβλήθηκε 4168 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Κυρ Ιουν 08, 2014 3:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#270

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιουν 08, 2014 2:48 pm

Άσκηση 3751

Δίνεται τυχαίο τρίγωνο AB\Gamma και η διάμεσός του AM. Έστω ότι \Delta είναι το μέσο της AM τέτοιο ώστε \displaystyle{{\rm B}\Delta  = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2}} και \displaystyle{{\rm A}\widehat \Delta {\rm B} = {120^0}}.

α)Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου B\Delta M. (Μονάδες 5)

β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο B\Delta\Gamma είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 6)

γ) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα A\Delta B και \Delta M\Gamma είναι ίσα. (Μονάδες 6)

δ) Αν το σημείο K είναι η προβολή του \Delta στη B\Gamma, να αποδείξετε ότι 2MK=A\Delta. (Μονάδες 8)

Λύση:

α) Το τρίγωνο B\Delta M είναι ισοσκελές, επειδή \displaystyle{{\rm B}\Delta  = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2} = {\rm B}{\rm M}}. Αλλά \displaystyle{{\rm B}\widehat \Delta {\rm M} = {60^0}}, οπότε είναι ισόπλευρο και έχει όλες τις γωνίες του ίσες με 60^0.

β) Αφού το τρίγωνο B\Delta M είναι ισόπλευρο \displaystyle{\Delta {\rm M} = {\rm B}\Delta  = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2}}, δηλαδή η διάμεσος του τριγώνου B\Delta\Gamma που αντιστοιχεί στη B\Gamma είναι ίση με το μισό της, οπότε \displaystyle{{\rm B}\widehat \Delta \Gamma  = {90^0}}
3751.png
3751.png (12.36 KiB) Προβλήθηκε 4161 φορές
γ) Είναι A\Delta=\Delta B=\Delta M=M\Gamma και \displaystyle{{\rm A}\widehat \Delta {\rm B} = \Delta \widehat {\rm M}\Gamma  = {120^0}}, οπότε τα τρίγωνα A\Delta B και \Delta M\Gamma είναι ίσα.

δ) Στο ισόπλευρο τρίγωνο B\Delta M το ύψος AK είναι και διάμεσος. Οπότε:

\displaystyle{{\rm A}\Delta  = \Delta {\rm M} = {\rm B}{\rm M} = 2{\rm M}{\rm K} \Leftrightarrow 2{\rm M}{\rm K} = {\rm A}\Delta }


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#271

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Ιουν 08, 2014 5:38 pm

Άσκηση 3754

Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta . Από την κορυφή {\rm A} φέρουμε {\rm A}{\rm E} \bot {\rm B}\Delta
Έστω {\rm K},\Lambda τα μέσα των πλευρών {\rm A}{\rm B} και {\rm A}\Delta αντιστοίχως, τότε:
α) Να αποδείξετε ότι: i. \widehat {{\rm K}{\rm E}\Lambda } = 90^\circ . ii. {\rm K}\Lambda  = \dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{2}.
γ) Αν \widehat {{\rm B}{\rm A}\Gamma } = 30^\circ , να αποδείξετε ότι {\rm K}\Lambda  = {\rm B}\Gamma .

Λύση

α) i. Τα τμήματα {\rm E}\Lambda ,{\rm E}{\rm K} είναι διάμεσοι στις υποτείνουσες των ορθογωνίων τριγώνων \Delta {\rm E}{\rm A} και {\rm A}{\rm E}{\rm B} αντίστοιχα, οπότε:

{\rm E}\Lambda  = \dfrac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} = {\rm A}\Lambda και {\rm E}{\rm K} = \dfrac{{{\rm A}{\rm B}}}{2} = {\rm A}{\rm K} δηλαδή τα τρίγωνα \Lambda {\rm E}{\rm A} και {\rm A}{\rm E}{\rm K} είναι ισοσκελή, οπότε:

\widehat {\Lambda {\rm E}{\rm A}} = \widehat {{\rm E}{\rm A}\Lambda }\;\left( 1 \right) και \widehat {{\rm A}{\rm E}{\rm K}} = \widehat {{\rm E}{\rm A}{\rm K}}\;\left( 2 \right)

\widehat {{\rm K}{\rm E}\Lambda } = \widehat {\Lambda {\rm E}{\rm A}} + \widehat {{\rm A}{\rm E}{\rm K}}\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right),\left( 2 \right)} \widehat {{\rm K}{\rm E}\Lambda } = \widehat {{\rm E}{\rm A}\Lambda } + \widehat {{\rm E}{\rm A}{\rm K}} \Rightarrow \widehat {{\rm K}{\rm E}\Lambda } = 90^\circ

ii. Το τμήμα {\rm K}\Lambda ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου{\rm A}{\rm B}\Delta, έτσι:

{\rm K}\Lambda  = \dfrac{{{\rm B}\Delta }}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{{\rm B}\Delta  = {\rm A}\Gamma } {\rm K}\Lambda  = \dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{2}\;\left( 3 \right)

γ) Αν \widehat {{\rm B}{\rm A}\Gamma } = 30^\circ τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma θα ισχύει: {\rm B}\Gamma  = \dfrac{{{\rm A}\Gamma }}{2}\;\left( 4 \right)

Από \left( 3 \right),\left( 4 \right) \Rightarrow {\rm K}\Lambda  = {\rm B}\Gamma

Σημείωση: Ερώτημα β δεν υπάρχει
Συνημμένα
3754.png
3754.png (26.97 KiB) Προβλήθηκε 4113 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Κυρ Ιουν 08, 2014 10:04 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8155
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#272

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 08, 2014 6:41 pm

george visvikis έγραψε:Άσκηση 3739

Μοιάζει με την 3724. Την αφήνω γιατί έχει προβληματική εκφώνηση και στο ερώτημα (α. i), αλλά και στο (β).

Στο (α. i), το τετράπλευρο AB\Gamma\Delta δεν είναι πάντα τραπέζιο.
Στο (β) δεν διευκρινίζει ότι αναφέρεται στο ευθύγραμμο τμήμα O\Delta. Αλλιώς η ευθεία O\Delta τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία και πρέπει να ξεκαθαριστεί σε ποιο από τα δύο σημεία αναφέρεται.

Ας την κοιτάξει όμως και κάποιος άλλος.

Πράγματι Γιώργο, η άσκηση ή πρέπει να αποσυρθεί ή αντί κύκλος να γραφτεί ημικύκλιο σε όλη την έκταση της εκφώνησης και με την παρατήρηση ότι το E δεν είναι

μέσο
του ημικυκλίου.


Νίκος


AIAS
Δημοσιεύσεις: 84
Εγγραφή: Δευ Ιουν 24, 2013 1:27 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#273

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από AIAS » Κυρ Ιουν 08, 2014 7:42 pm

Η άσκηση 4_3751 είναι

Δούρειος ίππος.

Το τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma όχι μόνο δεν είναι τυχαίο αλλά είναι ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο , ({\rm B} = {90^0})

αφού οι πλευρές του συνδέονται με τις σχέσεις:

\gamma  = \dfrac{{\alpha \sqrt 3 }}{2},\,\,\beta  = \dfrac{{\alpha \sqrt 7 }}{2},\,\,{\mu _\alpha } = \alpha

Το ότι από ψευδές μπορούμε να έχουμε αληθές και το κακέκτυπο

( γιατί άραγε σχεδιασμένο με το χέρι;)

σχήμα που δίδεται δεν απαλλάσσει τον θεματοδότη από τις ευθύνες του .

Αν δεν είναι ανικανότητα τότε είναι «ανεντιμότητα» απέναντι στα παιδιά μας .

AIAS


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10832
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#274

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιουν 08, 2014 8:41 pm

AIAS έγραψε:Η άσκηση 4_3751 είναι

Δούρειος ίππος.

Το τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma όχι μόνο δεν είναι τυχαίο αλλά είναι ειδικό ορθογώνιο τρίγωνο , ({\rm B} = {90^0})

αφού οι πλευρές του συνδέονται με τις σχέσεις:

\gamma  = \dfrac{{\alpha \sqrt 3 }}{2},\,\,\beta  = \dfrac{{\alpha \sqrt 7 }}{2},\,\,{\mu _\alpha } = \alpha

Το ότι από ψευδές μπορούμε να έχουμε αληθές και το κακέκτυπο

( γιατί άραγε σχεδιασμένο με το χέρι;)

σχήμα που δίδεται δεν απαλλάσσει τον θεματοδότη από τις ευθύνες του .

Αν δεν είναι ανικανότητα τότε είναι «ανεντιμότητα» απέναντι στα παιδιά μας .

AIAS
Έχεις απόλυτο δίκιο. Είχα την πρόθεση να το γράψω στο τέλος της λύσης, αλλά βιαζόμουν και τελικά το ξέχασα.


apaxtos
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Τρί Μάιος 27, 2014 9:35 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#275

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από apaxtos » Τρί Ιουν 10, 2014 11:48 am

Γειά σας. Είμαι καινούριο μέλος και επειδή δεν γνωρίζω ακόμα τα εργαλεία που χρησιμοποιείτε... Έχω μαζέψει όλα τα θέματα (και τις λύσεις σ'ένα αρχείο Word (90 σελίδων). Ας με καθοδηγήσει κάποιος από τους συντονιστές τι να το κάνω. Συγχαρητήρια και για την προσπάθεια. Αν μου επιτρέπεται μία υπόδειξη ... μήπως θα ήταν καλύτερα στο ευρετήριο (που κάνει η Φωτεινή) να έμπαινε ολόκληρος ο κατάλογος των ασκήσεων και να γίνονται links σ'αυτές που έχουν λυθεί. Έτσι θα έχουμε οπτικά την αίσθηση του ποιες (και κυρίως πόσες) απομένουν


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2016
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#276

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τρί Ιουν 10, 2014 11:05 pm

ΑΝΕΒΑΣΑ ΣΤΑ ΑΡΧΕΙΑ
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... ew&idev=10
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 4ο ΘΕΜΑ
το 1ο και το 2ο τεύχος της συλλογής.
Ετοιμάζεται και το 3ο τεύχος (λείπουν κάτι λίγες ασκήσεις ακόμα).
Παρακαλώ να ελέγξετε για τυχόν λάθη σε μεταφορά.
Το mail μου είναι xr.tsif@gmail.com


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1038
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#277

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Τετ Ιουν 11, 2014 1:43 am

apaxtos έγραψε:Γειά σας. Είμαι καινούριο μέλος και επειδή δεν γνωρίζω ακόμα τα εργαλεία που χρησιμοποιείτε... Έχω μαζέψει όλα τα θέματα (και τις λύσεις σ'ένα αρχείο Word (90 σελίδων). Ας με καθοδηγήσει κάποιος από τους συντονιστές τι να το κάνω. Συγχαρητήρια και για την προσπάθεια. Αν μου επιτρέπεται μία υπόδειξη ... μήπως θα ήταν καλύτερα στο ευρετήριο (που κάνει η Φωτεινή) να έμπαινε ολόκληρος ο κατάλογος των ασκήσεων και να γίνονται links σ'αυτές που έχουν λυθεί. Έτσι θα έχουμε οπτικά την αίσθηση του ποιες (και κυρίως πόσες) απομένουν

Καλησπέρα. Πας στη σελίδα www.mathematica.gr (αρχική σελίδα). Πάνω δεξιά υπάρχει η επιλογή αρχεία. Κάνεις κλικ στην επιλογή αρχεία και ανοίγει μια σελίδα με κατηγορίες. Επέλεξε Α λυκείου μετά Γεωμετρία και πάτα πάνω δεξιά προσθήκη αρχείου. Γράφεις τίτλο μια μικρή περιγραφή και μετά πατάς εκεί που λέει "Προσθέστε" κάτω αριστερά και τέλος. Ψάξε το λίγο. Εύκολο είναι.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1038
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#278

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Τετ Ιουν 11, 2014 5:06 am

Αν δεν κάνω λάθος έχει μείνει η 2802. Αν πάλι κάνω, την αφήνω για τον κόπο :)

α)
i) Στην περίπτωση 1) όπου A \Delta <B\Gamma, έχουμε και A \Delta //B \Gamma αφού A \Delta \bot \left( \varepsilon  \right) και B \Gamma \bot \left( \varepsilon  \right). Όμως οι AB //\Gamma \Delta δεν είναι παράλληλες διότι αν ήταν το τετράπλευρο AB\Gamma \Delta θα ήταν παραλληλόγραμμο άρα A\Delta =B\Gamma. Άτοπο. Επομένως το τετράπλευρο AB \Gamma \Delta θα είναι τραπέζιο.
φωτό 1.jpg
φωτό 1.jpg (19.17 KiB) Προβλήθηκε 3587 φορές
Στην περίπτωση 2) είναι A \Delta = B \Gamma και A \Delta //B \Gamma, επομένως το τετράπλευρο AB \Gamma \Delta είναι παραλληλόγραμμο. Επίσης είναι \hat{\Delta }={{90}^{0}} συνεπώς το AB \Gamma \Delta είναι ορθογώνιο.
φωτο 2.jpg
φωτο 2.jpg (12.83 KiB) Προβλήθηκε 3587 φορές
ii) Στην περίπτωση 1) όπου το AB\Gamma \Delta είναι τραπέζιο η MNείναι διάμεσος και επομένως \Mu \Nu =\frac{A \Delta +B \Gamma }{2}.

Στην περίπτωση 2) όπου το AB \Gamma \Delta είναι ορθογώνιο θα είναι MN=A \Delta =B \Gamma.

β) Είναι A \Delta //B \Gamma. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα A \Delta M , M B \Gamma.

Είναι,
1) \hat{\Delta }=\hat{\Gamma }={{90}^{0}}

2) AM=MB αφού M μέσο της AB.

3) {{\hat{M }}_{1}}={{\hat{M}}_{2}} ως κατακορυφήν

επομένως σύμφωνα με τα κριτήρια ισότητας ορθογωνίων τριγώνων τα τρίγωνα είναι ίσα άρα και A \Delta =B \Gamma. Συνεπώς το τετράπλευρο A\Gamma B\Delta είναι παραλληλόγραμμο. Οπότε οι διαγώνιοι του AB,\,\,\Delta \Gamma διχοτομούνται και επομένως είναι \Delta M =MN. Οπότε το μέσο της \Delta \Gamma είναι το M και αφού σύμφωνα με την υπόθεση το N είναι το μέσο της \Delta \Gamma, συμπερασματικά τα σημεία M, Nταυτίζονται.
φωτό 3.jpg
φωτό 3.jpg (22.09 KiB) Προβλήθηκε 3587 φορές


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2016
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#279

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Πέμ Ιουν 12, 2014 12:44 pm

με βάση ένα αρχείο που έχω άλυτες από την ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ θέμα 4ο είναι οι ασκήσεις
3702,3711,3739,4588,4753,4765,4804

Έχουν κάποιες διαγραφεί;


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
nik21
Δημοσιεύσεις: 104
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 29, 2010 2:31 am
Τοποθεσία: Χαλκίδα

Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ

#280

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nik21 » Πέμ Ιουν 12, 2014 1:06 pm

Δύο θέματα που είδα χθες να έχουν αποσυρθεί είναι τα: 4_3702 και 4_4762


Απάντηση

Επιστροφή σε “Τράπεζα Θεμάτων, Γεωμετρία A”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης