Α' ΔΕΣΜΗ 1984

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Α' ΔΕΣΜΗ 1984

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τετ Ιουν 12, 2013 3:27 pm

1. α) Έστω ότι \vec{\alpha },\vec{\beta } είναι τα διανύσματα ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}),\,\,({{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}) αντίστοιχα (ως προς ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς)
και \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta } το εσωτερικό τους γινόμενο. Να αποδειχθεί ότι \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }={{\alpha }_{1}}{{\beta }_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{\beta }_{2}}.
β) Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς \displaystyle{xOy} θεωρούμε τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} με κορυφή \displaystyle{A} το σημείο \displaystyle{(2,1)}
και έστω ότι οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται δυο από τα ύψη του έχουν εξισώσεις \displaystyle{3x+y-11=0\,\,,   x-y+3=0}.
Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες βρίσκονται οι πλευρές του τριγώνου και τις συντεταγμένες των κορυφών \displaystyle{B} και \displaystyle{\Gamma}.


2.α) Αν \displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}} με 0<\left| \alpha  \right|<1, να αποδείξετε ότι \lim {{\alpha }^{\nu }}=0.
β) Να μελετήσετε ως προς την σύγκλιση την ακολουθία ({{\beta }_{\nu }}) με \displaystyle{{{\beta }_{\nu }}=\frac{{{\lambda }^{\nu }}+{{2}^{\nu +1}}}{2\cdot {{\lambda }^{\nu }}-3\cdot {{2}^{\nu -1}}}}, όπου \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\,\,, \lambda \ne 0,-2}.


3.α) Δίνονται τα σύνολα διανυσμάτων {B}_{1}},{B}_{2}} του χώρου {{\mathbb{R}}^{2}} με
{B_{1}}=\left\{ (\sigma \upsilon \nu \theta ,\eta \mu \theta ),(\eta \mu \theta ,-\sigma \upsilon \nu \theta ) \right\}, {B_{2}}=\left\{ (\sigma \upsilon \theta -\eta \mu \theta ,-\sigma \upsilon \nu \theta -\eta \mu \theta ),(\sigma \upsilon \nu \theta +\eta \mu \theta ,\sigma \upsilon \nu \theta -\eta \mu \theta ) \right\} με \displaystyle{ \theta\in \mathbb{R}}.
Να αποδείξετε ότι το καθένα από τα σύνολα {B_{1}},{B_{2}} είναι μια βάση του διανυσματικού χώρου {{\mathbb{R}}^{2}} ( για κάθε \displaystyle{ \theta\in \mathbb{R}})
β) Έστω \displaystyle{\theta =\frac{\pi }{4}}. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα (και μόνο) διάνυσμα \displaystyle{(x,y)} του διανυσματικού χώρου {{\mathbb{R}}^{2}}
τέτοιο ώστε τα διατεταγμένα ζεύγη των συντεταγμένων να είναι \displaystyle{(\lambda,\mu-1)} και \displaystyle{(\lambda-1,\mu)} ως προς τις βάσεις {B_{1}},{B_{2}} αντίστοιχα.


4.Έστω \displaystyle{z} ο μιγαδικός αριθμός \displaystyle{x+yi} με y\ne 0 ( \displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}). Θέτουμε \displaystyle{\omega =\frac{{{{\bar{z}}}^{2}}}{z-1}} όπου \bar{z} ο συζυγής του \displaystyle{z}.
Να αποδείξετε ότι ο \displaystyle{\omega } είναι πραγματικός αριθμός εάν και μόνο εάν το σημείο \displaystyle{(x,y)}
ως προς ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς \displaystyle{xOy} , ανήκει σε μία υπερβολή από την οποία έχουν εξαιρεθεί οι κορυφές της.


Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 420
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Τετ Ιουν 12, 2013 3:39 pm

zitima_1.png
zitima_1.png (24.77 KiB) Προβλήθηκε 1284 φορές
1. α) Έστω ότι \vec{\alpha },\vec{\beta } είναι τα διανύσματα ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}),\,\,({{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}}) αντίστοιχα (ως προς ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς)
και \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta } το εσωτερικό τους γινόμενο. Να αποδειχθεί ότι \vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }={{\alpha }_{1}}{{\beta }_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{\beta }_{2}}.
β) Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς \displaystyle{xOy} θεωρούμε τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} με κορυφή \displaystyle{A} το σημείο \displaystyle{(2,1)}
και έστω ότι οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται δυο από τα ύψη του έχουν εξισώσεις \displaystyle{3x+y-11=0\,\,,   x-y+3=0}.
Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες βρίσκονται οι πλευρές του τριγώνου και τις συντεταγμένες των κορυφών \displaystyle{B} και \displaystyle{\Gamma}.

Λύση:
α) Θεωρία

β) Έστω τρίγωνο AB\Gamma. Γνωρίζουμε ότι A(2,1), εν συνεχεία ελέγχουμε αν τα ύψη από το σημείο A επαληθεύουν τις δοσμένες εξισώσεις 3x+y-11=0 και x-y+3=0.
Παρατηρούμε ότι 3.2+1-11\neq 0, το ίδιο συμβαίνει και την εξίσωση του άλλου ύψους. Δηλαδή 2-1+3\neq 0.
Άρα τα δοσμένα ύψη δεν ανήκουν στην κορυφή A του τριγώνου. Συνεπώς, ανήκουν στις άλλες δύο κορυφές.
Έστω λοιπόν η το ύψος από την κορυφή B έχει εξίσωση: (BE):3x+y-11=0 και το ύψος από την κορυφή \Gamma έχει εξίσωση: (\Gamma \Delta ) : x-y+3=0.
Αφού \Gamma \Delta\perp AB τότε θα ισχύει: \lambda _{\Gamma \Delta }.\lambda _{AB}=-1 (1)
Αλλά \lambda _{\Gamma \Delta }=-\frac{1}{(-1)}=1, σύμφωνα με την σχέση (1) \lambda _{AB}=-1.
Συνεπώς η εξίσωση της ευθείας (ΑΒ): y-y_{A}=\lambda _{AB}(x-x_{A}), συνεπώς η εξίσωση της (AB) είναι (AB): x+y-3=0 που είναι και η ζητούμενη.
Ομοίως πράττουμε για την (BE) που τέμνεται με την (A\Gamma ) ([(BE) το ύψος στην πλευρά (A\Gamma ))
Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία βρίσκουμε ότι (A\Gamma ): x-3y+1=0.
Εν συνεχεία, για να βρούμε τις συντεταγμένες των σημείων B και \Gamma λύνουμε το ακόλουθο σύστημα:
\begin{Bmatrix}x+y-3=0 
\\ 3x+y-11=0 
 
\end{Bmatrix} που είναι οι εξισώσεις των ευθειών (AB) και (BE) αντιστοίχως.
Λύνοντας το παραπάνω σύστημα με αντίθετους συντελεστές ή με αντικατάσταση, βρίσκουμε ότι x=4 και y=-1
Άρα B(4,-1)
Ομοίως για το σημείο \Gamma θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων (\Gamma \Delta ) και (A\Gamma ) όπως φαίνεται παρακάτω:
\begin{Bmatrix} 
x-y+3=0\\  
x-3y+1=0 
\end{Bmatrix}
και πάλι με την μέθοδο των αντίθετων συντελεστών παίρνουμε ότι: y=-1 και x=-4
Συνεπώς το ζητούμενο σημείο \Gamma έχει συντεταγμένες: \Gamma(-4,-1).
Τέλος, για την εξίσωση της ευθείας (B\Gamma ) που είναι και η τρίτη πλευρά του τριγώνου, παρατηρούμε ότι \lambda _{B\Gamma }=0
Άρα η εξίσωση ευθείας της τελευταίας πλευράς του αρχικού τριγώνου, δίνεται από την εξίσωση: (B\Gamma ): y=-1.
τελευταία επεξεργασία από Christos75 σε Τετ Ιουν 12, 2013 11:46 pm, έχει επεξεργασθεί 12 φορές συνολικά.


Χρήστος Λοΐζος
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4222
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Τετ Ιουν 12, 2013 10:54 pm

parmenides51 έγραψε:3.α) Δίνονται τα σύνολα διανυσμάτων {B}_{1}},{B}_{2}} του χώρου {{\mathbb{R}}^{2}} με
{B_{1}}=\left\{ (\sigma \upsilon \nu \theta ,\eta \mu \theta ),(\eta \mu \theta ,-\sigma \upsilon \nu \theta ) \right\}, {B_{2}}=\left\{ (\sigma \upsilon \theta -\eta \mu \theta ,-\sigma \upsilon \nu \theta -\eta \mu \theta ),(\sigma \upsilon \nu \theta +\eta \mu \theta ,\sigma \upsilon \nu \theta -\eta \mu \theta ) \right\} με \displaystyle{ \theta\in \mathbb{R}}.
Να αποδείξετε ότι το καθένα από τα σύνολα {B_{1}},{B_{2}} είναι μια βάση του διανυσματικού χώρου {{\mathbb{R}}^{2}} ( για κάθε \displaystyle{ \theta\in \mathbb{R}})
β) Έστω \displaystyle{\theta =\frac{\pi }{4}}. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα (και μόνο) διάνυσμα \displaystyle{(x,y)} του διανυσματικού χώρου {{\mathbb{R}}^{2}}
τέτοιο ώστε τα διατεταγμένα ζεύγη των συντεταγμένων να είναι \displaystyle{(\lambda,\mu-1)} και \displaystyle{(\lambda-1,\mu)} ως προς τις βάσεις {B_{1}},{B_{2}} αντίστοιχα.
(a) Για να αποδείξουμε ότι το \displaystyle{B_1} είναι μια βάση του \displaystyle{R^{2}}, αρκεί να αποδείξουμε ότι τα διανύσματα
του \displaystyle{B_1} είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Παίρνοντας την ορίζουσα που έχει πρώτη γραμμή τα στοιχεία \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \theta} και \displaystyle{\eta \mu \theta}
και δεύτερη γραμμή τα \displaystyle{\eta \mu \theta} και \displaystyle{-\sigma \upsilon \nu \theta}, βρίσκουμε ότι είναι ίση με \displaystyle{-1\neq 0}
Άρα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και άρα αφού η διάσταση του \displaystyle{R^{2}} είναι \displaystyle{2}, τότε αποτελλούν μια βάση αυτού.

Με τον ίδιο τρόπο αποδείχνουμε ότι και το \displaystyle{B_2} είναι βάση του \displaystyle{R^{2}}.

(β) Για \displaystyle{\theta =\frac{\pi}{4}}, έχουμε: \displaystyle{B_1 =\{\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}),(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})\}} και \displaystyle{B_2=\{(0,-\sqrt{2}),(\sqrt{2},0)\}}
Ζητάμε να βρούμε \displaystyle{x,y\in R}, έτσι ώστε να είναι:

\displaystyle{(x,y)=\lambda (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})+(\mu -1)(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})} και

\displaystyle{(x,y)=(\lambda -1)(0,-\sqrt{2})+\mu (\sqrt{2},0)}

Άρα:

\displaystyle{\lambda +\mu -1=x\sqrt{2}}
\displaystyle{\lambda -\mu +1=y\sqrt{2}}
\displaystyle{\mu =x\frac{\sqrt{2}}{2}}
\displaystyle{\lambda -1 =-y\frac{\sqrt{2}}{2}}

Λύνοντας το παραπάνω σύστημα, βρίσκουμε ότι \displaystyle{x=-\sqrt{2} , y=\sqrt{2}}


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4222
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Ιουν 13, 2013 12:32 am

parmenides51 έγραψε:4.Έστω \displaystyle{z} ο μιγαδικός αριθμός \displaystyle{x+yi} με y\ne 0 ( \displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}). Θέτουμε \displaystyle{\omega =\frac{{{{\bar{z}}}^{2}}}{z-1}} όπου \bar{z} ο συζυγής του \displaystyle{z}.
Να αποδείξετε ότι ο \displaystyle{\omega } είναι πραγματικός αριθμός εάν και μόνο εάν το σημείο \displaystyle{(x,y)}
ως προς ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς \displaystyle{xOy} , ανήκει σε μία υπερβολή από την οποία έχουν εξαιρεθεί οι κορυφές της.
\displaystyle{w\in R\Leftrightarrow w=\bar{w}\Leftrightarrow \frac{\bar{z}^2}{z-1}=\frac{z^2}{\bar{z}-1}\Leftrightarrow}

\displaystyle{(\bar{z}-z)(\bar{z}^2 +z\bar{z}+z^2 )=(\bar{z}-z)(\bar{z}+z)} . Kαι αφού \displaystyle{y\neq 0}, παίρνουμε:

\displaystyle{\bar{z}^2 +z\bar{z}+z^2 =\bar{z}+z}. Αντικαθιστώντας τον \displaystyle{z} με \displaystyle{x+yi},βρίσκουμε:

\displaystyle{3x^2-2x-y^2 =0\Leftrightarrow 3(x^2 -\frac{2}{3}x)-y^2 =0\Leftrightarrow 3(x^2 -2\frac{1}{3}x+(\frac{1}{3})^2 -(\frac{1}{3})^2 )-y^2 =0\Leftrightarrow}

\displaystyle{9(x-\frac{1}{3})^2 -3y^2 =1\Leftrightarrow \frac{(x-\frac{1}{3})^2}{(\frac{1}{3})^2} -\frac{y^2}{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}=1}

H εξίσωση αυτή παριστάνει υπερβολή, της οποίας οι κορυφές είναι πάνω στον άξονα \displaystyle{x{'}x}. Kαι αφού τα σημεία του άξονα αυτού έχουν τεταγμένη ίση με το μηδέν, θα πρέπει να εξαιρεθούν.
TOPOS.png
TOPOS.png (5.06 KiB) Προβλήθηκε 1208 φορές


kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Πέμ Ιουν 13, 2013 12:44 am

parmenides51 έγραψε:
2.α) Αν \displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}} με 0<\left| \alpha  \right|<1, να αποδείξετε ότι \lim {{\alpha }^{\nu }}=0.
β) Να μελετήσετε ως προς την σύγκλιση την ακολουθία ({{\beta }_{\nu }}) με \displaystyle{{{\beta }_{\nu }}=\frac{{{\lambda }^{\nu }}+{{2}^{\nu +1}}}{2\cdot {{\lambda }^{\nu }}-3\cdot {{2}^{\nu -1}}}}, όπου \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\,\,, \lambda \ne 0,-2}.
α)Θεωρία.
β)
\bullet Αν |\lambda|<2\iff -2<\lambda<2 , τότε
\displaystyle \lim \beta_{\nu}=\lim\frac{\displaystyle\left(\frac{\lambda}{2}\right)^{\nu}+2}{2\displaystyle\left(\frac{\lambda}{2}\right)^{\nu}-\frac{3}{2}}=-\frac{4}{3}.
\bullet Αν |\lambda|>2\iff \lambda<-2 ή \lambda>2, τότε
\displaystyle \lim \beta_{\nu}=\lim\frac{\displaystyle1+2\left(\frac{2}{\lambda}\right)^{\nu}}{\displaystyle2-\frac{3}{2}\left(\frac{2}{\lambda}\right)^{\nu}}=\frac{1}{2}.
\bullet Αν \lambda=2 , τότε
\displaystyle \lim \beta_{\nu}=\lim\frac{2^{\nu}+2\cdot 2^{\nu}}{\displaystyle 2\cdot 2^{\nu}-\frac{3}{2}\cdot 2^{\nu}}=6.
τελευταία επεξεργασία από kostas_zervos σε Πέμ Ιουν 13, 2013 1:12 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κώστας Ζερβός
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5799
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Ιουν 13, 2013 12:53 am

parmenides51 έγραψε:2.α) Αν \displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}} με 0<\left| \alpha  \right|<1, να αποδείξετε ότι \lim {{\alpha }^{\nu }}=0.
β) Να μελετήσετε ως προς την σύγκλιση την ακολουθία ({{\beta }_{\nu }}) με \displaystyle{{{\beta }_{\nu }}=\frac{{{\lambda }^{\nu }}+{{2}^{\nu +1}}}{2\cdot {{\lambda }^{\nu }}-3\cdot {{2}^{\nu -1}}}}, όπου \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\,\,, \lambda \ne 0,-2}.

Έξτρα: τι γίνεται αν \lambda =-2;


Θανάσης Κοντογεώργης
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1314
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Ιουν 13, 2013 12:57 am

socrates έγραψε:
parmenides51 έγραψε:2.α) Αν \displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}} με 0<\left| \alpha  \right|<1, να αποδείξετε ότι \lim {{\alpha }^{\nu }}=0.
β) Να μελετήσετε ως προς την σύγκλιση την ακολουθία ({{\beta }_{\nu }}) με \displaystyle{{{\beta }_{\nu }}=\frac{{{\lambda }^{\nu }}+{{2}^{\nu +1}}}{2\cdot {{\lambda }^{\nu }}-3\cdot {{2}^{\nu -1}}}}, όπου \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\,\,, \lambda \ne 0,-2}.

Έξτρα: τι γίνεται αν \lambda =-2;
Ορίζεται αλλά δεν έχει όριο.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1314
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Πέμ Ιουν 13, 2013 1:00 am

Είδα ότι δεν ορίζεται για \displaystyle{\lambda =\frac{3}{2}}


Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 420
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Πέμ Ιουν 13, 2013 1:08 am

kostas_zervos έγραψε:
parmenides51 έγραψε:
2.α) Αν \displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}} με 0<\left| \alpha  \right|<1, να αποδείξετε ότι \lim {{\alpha }^{\nu }}=0.
β) Να μελετήσετε ως προς την σύγκλιση την ακολουθία ({{\beta }_{\nu }}) με \displaystyle{{{\beta }_{\nu }}=\frac{{{\lambda }^{\nu }}+{{2}^{\nu +1}}}{2\cdot {{\lambda }^{\nu }}-3\cdot {{2}^{\nu -1}}}}, όπου \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\,\,, \lambda \ne 0,-2}.
α)Θεωρία.
β)
\bullet Αν |\lambda|<2\iff -2<\lambda<2 , τότε
\displaystyle \lim \beta_{\nu}=\lim\frac{\displaystyle\left(\frac{\lambda}{2}\right)^{\nu}+2}{2\displaystyle\left(\frac{\lambda}{2}\right)^{\nu}-\frac{3}{2}}=-\frac{4}{3}.
\bullet Αν |\lambda|>2\iff \lambda<-2 ή \lambda>2, τότε
\displaystyle \lim \beta_{\nu}=\lim\frac{\displaystyle1+2\left(\frac{2}{\lambda}\right)^{\nu}}{\displaystyle2-\frac{3}{2}\left(\frac{2}{\lambda}\right)^{\nu}}=\frac{1}{2}.
\bullet Αν \lambda=2 , τότε
\displaystyle \lim \beta_{\nu}=\lim\frac{2^{\nu}+2\cdot 2^{\nu}}{\displaystyle 3\cdot 2^{\nu}-\frac{3}{2}\cdot 2^{\nu}}=2.

Κώστα, επίτρεψέ μου, στην τελευταία περίπτωση σου έχει ξεφύγει και αντί για 2.2^ν εσύ έχεις βάλει 3.2^ν με αποτέλεσμα να βγάζεις λάθος αποτέλεσμα 2 ενώ είναι 6 απ´ότι βλέπω στα δικά μου χαρτιά εδώ...
Πάντα φιλικά
τελευταία επεξεργασία από Christos75 σε Πέμ Ιουν 13, 2013 1:11 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Λοΐζος
kostas_zervos
Δημοσιεύσεις: 1156
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 25, 2010 8:26 am
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kostas_zervos » Πέμ Ιουν 13, 2013 1:10 am

Το είδα ευχαριστώ..


Κώστας Ζερβός
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 420
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Πέμ Ιουν 13, 2013 1:13 am

kostas_zervos έγραψε:Το είδα ευχαριστώ..

Καμία ευχαριστία δεν χρειάζεται. Εγώ έχω κάνει ένα σωρό αβλεψίες και τα διορθώνω στην πορεία!
Καλή συνέχεια.


Χρήστος Λοΐζος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Α' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης