Α' ΔΕΣΜΗ 1984

parmenides51 · #1

1. α) Έστω ότι $\vec{\alpha },\vec{\beta }$ είναι τα διανύσματα $({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}),\,\,({{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}})$ αντίστοιχα (ως προς ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς)
και $\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }$ το εσωτερικό τους γινόμενο. Να αποδειχθεί ότι $\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }={{\alpha }_{1}}{{\beta }_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{\beta }_{2}}$ .
β) Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς $\displaystyle{xOy}$ θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με κορυφή $\displaystyle{A}$ το σημείο $\displaystyle{(2,1)}$
και έστω ότι οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται δυο από τα ύψη του έχουν εξισώσεις $\displaystyle{3x+y-11=0\,\,, x-y+3=0}$ .
Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες βρίσκονται οι πλευρές του τριγώνου και τις συντεταγμένες των κορυφών $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ .

2.α) Αν $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ με $0<\left| \alpha \right|<1$ , να αποδείξετε ότι $\lim {{\alpha }^{\nu }}=0$ .
β) Να μελετήσετε ως προς την σύγκλιση την ακολουθία $({{\beta }_{\nu }})$ με $\displaystyle{{{\beta }_{\nu }}=\frac{{{\lambda }^{\nu }}+{{2}^{\nu +1}}}{2\cdot {{\lambda }^{\nu }}-3\cdot {{2}^{\nu -1}}}}$ , όπου $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\,\,, \lambda \ne 0,-2}$ .

3.α) Δίνονται τα σύνολα διανυσμάτων ${B}_{1}},{B}_{2}}$ του χώρου ${{\mathbb{R}}^{2}}$ με
${B_{1}}=\left\{ (\sigma \upsilon \nu \theta ,\eta \mu \theta ),(\eta \mu \theta ,-\sigma \upsilon \nu \theta ) \right\}$ , ${B_{2}}=\left\{ (\sigma \upsilon \theta -\eta \mu \theta ,-\sigma \upsilon \nu \theta -\eta \mu \theta ),(\sigma \upsilon \nu \theta +\eta \mu \theta ,\sigma \upsilon \nu \theta -\eta \mu \theta ) \right\}$ με $\displaystyle{ \theta\in \mathbb{R}}$ .
Να αποδείξετε ότι το καθένα από τα σύνολα ${B_{1}},{B_{2}}$ είναι μια βάση του διανυσματικού χώρου ${{\mathbb{R}}^{2}}$ ( για κάθε $\displaystyle{ \theta\in \mathbb{R}}$ )
β) Έστω $\displaystyle{\theta =\frac{\pi }{4}}$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα (και μόνο) διάνυσμα $\displaystyle{(x,y)}$ του διανυσματικού χώρου ${{\mathbb{R}}^{2}}$
τέτοιο ώστε τα διατεταγμένα ζεύγη των συντεταγμένων να είναι $\displaystyle{(\lambda,\mu-1)}$ και $\displaystyle{(\lambda-1,\mu)}$ ως προς τις βάσεις ${B_{1}},{B_{2}}$ αντίστοιχα.

4.Έστω $\displaystyle{z}$ ο μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{x+yi}$ με $y\ne 0$ ( $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ ). Θέτουμε $\displaystyle{\omega =\frac{{{{\bar{z}}}^{2}}}{z-1}}$ όπου $\bar{z}$ ο συζυγής του $\displaystyle{z}$ .
Να αποδείξετε ότι ο $\displaystyle{\omega }$ είναι πραγματικός αριθμός εάν και μόνο εάν το σημείο $\displaystyle{(x,y)}$
ως προς ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς $\displaystyle{xOy}$ , ανήκει σε μία υπερβολή από την οποία έχουν εξαιρεθεί οι κορυφές της.

Christos75 · #2

: zitima_1.png (24.77 KiB) Προβλήθηκε 2976 φορές

1. α) Έστω ότι $\vec{\alpha },\vec{\beta }$ είναι τα διανύσματα $({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}}),\,\,({{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}})$ αντίστοιχα (ως προς ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς)
και $\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }$ το εσωτερικό τους γινόμενο. Να αποδειχθεί ότι $\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }={{\alpha }_{1}}{{\beta }_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{\beta }_{2}}$ .
β) Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς $\displaystyle{xOy}$ θεωρούμε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με κορυφή $\displaystyle{A}$ το σημείο $\displaystyle{(2,1)}$
και έστω ότι οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται δυο από τα ύψη του έχουν εξισώσεις $\displaystyle{3x+y-11=0\,\,, x-y+3=0}$ .
Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες βρίσκονται οι πλευρές του τριγώνου και τις συντεταγμένες των κορυφών $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ .

Λύση:
α) Θεωρία

β) Έστω τρίγωνο $AB\Gamma$ . Γνωρίζουμε ότι A(2,1)

, εν συνεχεία ελέγχουμε αν τα ύψη από το σημείο

επαληθεύουν τις δοσμένες εξισώσεις 3x+y-11=0

και

.
Παρατηρούμε ότι $3.2+1-11\neq 0$ , το ίδιο συμβαίνει και την εξίσωση του άλλου ύψους. Δηλαδή $2-1+3\neq 0$ .
Άρα τα δοσμένα ύψη δεν ανήκουν στην κορυφή

του τριγώνου. Συνεπώς, ανήκουν στις άλλες δύο κορυφές.
Έστω λοιπόν η το ύψος από την κορυφή

έχει εξίσωση: (BE):3x+y-11=0

και το ύψος από την κορυφή $\Gamma$ έχει εξίσωση: $(\Gamma \Delta ) : x-y+3=0$ .
Αφού $\Gamma \Delta\perp AB$ τότε θα ισχύει: $\lambda _{\Gamma \Delta }.\lambda _{AB}=-1 (1)$
Αλλά $\lambda _{\Gamma \Delta }=-\frac{1}{(-1)}=1$ , σύμφωνα με την σχέση (1) $\lambda _{AB}=-1$ .
Συνεπώς η εξίσωση της ευθείας $(ΑΒ): y-y_{A}=\lambda _{AB}(x-x_{A})$ , συνεπώς η εξίσωση της (AB)

είναι

που είναι και η ζητούμενη.
Ομοίως πράττουμε για την (BE)

που τέμνεται με την $(A\Gamma )$ ([ (BE)

το ύψος στην πλευρά $(A\Gamma )$ )
Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία βρίσκουμε ότι $(A\Gamma ): x-3y+1=0$ .
Εν συνεχεία, για να βρούμε τις συντεταγμένες των σημείων

και $\Gamma$ λύνουμε το ακόλουθο σύστημα:
$\begin{Bmatrix}x+y-3=0 \\ 3x+y-11=0 \end{Bmatrix}$ που είναι οι εξισώσεις των ευθειών (AB)

και

αντιστοίχως.
Λύνοντας το παραπάνω σύστημα με αντίθετους συντελεστές ή με αντικατάσταση, βρίσκουμε ότι x=4

και

Άρα

Ομοίως για το σημείο $\Gamma$ θα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων $(\Gamma \Delta )$ και $(A\Gamma )$ όπως φαίνεται παρακάτω:
$\begin{Bmatrix} x-y+3=0\\ x-3y+1=0 \end{Bmatrix}$
και πάλι με την μέθοδο των αντίθετων συντελεστών παίρνουμε ότι: y=-1

και

Συνεπώς το ζητούμενο σημείο $\Gamma$ έχει συντεταγμένες: $\Gamma(-4,-1)$ .
Τέλος, για την εξίσωση της ευθείας $(B\Gamma )$ που είναι και η τρίτη πλευρά του τριγώνου, παρατηρούμε ότι $\lambda _{B\Gamma }=0$
Άρα η εξίσωση ευθείας της τελευταίας πλευράς του αρχικού τριγώνου, δίνεται από την εξίσωση: $(B\Gamma ): y=-1$ .

#3

parmenides51 έγραψε:3.α) Δίνονται τα σύνολα διανυσμάτων ${B}_{1}},{B}_{2}}$ του χώρου ${{\mathbb{R}}^{2}}$ με
${B_{1}}=\left\{ (\sigma \upsilon \nu \theta ,\eta \mu \theta ),(\eta \mu \theta ,-\sigma \upsilon \nu \theta ) \right\}$ , ${B_{2}}=\left\{ (\sigma \upsilon \theta -\eta \mu \theta ,-\sigma \upsilon \nu \theta -\eta \mu \theta ),(\sigma \upsilon \nu \theta +\eta \mu \theta ,\sigma \upsilon \nu \theta -\eta \mu \theta ) \right\}$ με $\displaystyle{ \theta\in \mathbb{R}}$ .
Να αποδείξετε ότι το καθένα από τα σύνολα ${B_{1}},{B_{2}}$ είναι μια βάση του διανυσματικού χώρου ${{\mathbb{R}}^{2}}$ ( για κάθε $\displaystyle{ \theta\in \mathbb{R}}$ )
β) Έστω $\displaystyle{\theta =\frac{\pi }{4}}$ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα (και μόνο) διάνυσμα $\displaystyle{(x,y)}$ του διανυσματικού χώρου ${{\mathbb{R}}^{2}}$
τέτοιο ώστε τα διατεταγμένα ζεύγη των συντεταγμένων να είναι $\displaystyle{(\lambda,\mu-1)}$ και $\displaystyle{(\lambda-1,\mu)}$ ως προς τις βάσεις ${B_{1}},{B_{2}}$ αντίστοιχα.

(a) Για να αποδείξουμε ότι το $\displaystyle{B_1}$ είναι μια βάση του $\displaystyle{R^{2}}$ , αρκεί να αποδείξουμε ότι τα διανύσματα
του $\displaystyle{B_1}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
Παίρνοντας την ορίζουσα που έχει πρώτη γραμμή τα στοιχεία $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \theta}$ και $\displaystyle{\eta \mu \theta}$
και δεύτερη γραμμή τα $\displaystyle{\eta \mu \theta}$ και $\displaystyle{-\sigma \upsilon \nu \theta}$ , βρίσκουμε ότι είναι ίση με $\displaystyle{-1\neq 0}$
Άρα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και άρα αφού η διάσταση του $\displaystyle{R^{2}}$ είναι $\displaystyle{2}$ , τότε αποτελλούν μια βάση αυτού.

Με τον ίδιο τρόπο αποδείχνουμε ότι και το $\displaystyle{B_2}$ είναι βάση του $\displaystyle{R^{2}}$ .

(β) Για $\displaystyle{\theta =\frac{\pi}{4}}$ , έχουμε: $\displaystyle{B_1 =\{\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}),(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})\}}$ και $\displaystyle{B_2=\{(0,-\sqrt{2}),(\sqrt{2},0)\}}$
Ζητάμε να βρούμε $\displaystyle{x,y\in R}$ , έτσι ώστε να είναι:

$\displaystyle{(x,y)=\lambda (\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})+(\mu -1)(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})}$ και

$\displaystyle{(x,y)=(\lambda -1)(0,-\sqrt{2})+\mu (\sqrt{2},0)}$

Άρα:

$\displaystyle{\lambda +\mu -1=x\sqrt{2}}$
$\displaystyle{\lambda -\mu +1=y\sqrt{2}}$
$\displaystyle{\mu =x\frac{\sqrt{2}}{2}}$
$\displaystyle{\lambda -1 =-y\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Λύνοντας το παραπάνω σύστημα, βρίσκουμε ότι $\displaystyle{x=-\sqrt{2} , y=\sqrt{2}}$

#4

parmenides51 έγραψε:4.Έστω $\displaystyle{z}$ ο μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{x+yi}$ με $y\ne 0$ ( $\displaystyle{x,y \in \mathbb{R}}$ ). Θέτουμε $\displaystyle{\omega =\frac{{{{\bar{z}}}^{2}}}{z-1}}$ όπου $\bar{z}$ ο συζυγής του $\displaystyle{z}$ .
Να αποδείξετε ότι ο $\displaystyle{\omega }$ είναι πραγματικός αριθμός εάν και μόνο εάν το σημείο $\displaystyle{(x,y)}$
ως προς ένα ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς $\displaystyle{xOy}$ , ανήκει σε μία υπερβολή από την οποία έχουν εξαιρεθεί οι κορυφές της.

$\displaystyle{w\in R\Leftrightarrow w=\bar{w}\Leftrightarrow \frac{\bar{z}^2}{z-1}=\frac{z^2}{\bar{z}-1}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{(\bar{z}-z)(\bar{z}^2 +z\bar{z}+z^2 )=(\bar{z}-z)(\bar{z}+z)}$ . Kαι αφού $\displaystyle{y\neq 0}$ , παίρνουμε:

$\displaystyle{\bar{z}^2 +z\bar{z}+z^2 =\bar{z}+z}$ . Αντικαθιστώντας τον $\displaystyle{z}$ με $\displaystyle{x+yi}$ ,βρίσκουμε:

$\displaystyle{3x^2-2x-y^2 =0\Leftrightarrow 3(x^2 -\frac{2}{3}x)-y^2 =0\Leftrightarrow 3(x^2 -2\frac{1}{3}x+(\frac{1}{3})^2 -(\frac{1}{3})^2 )-y^2 =0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{9(x-\frac{1}{3})^2 -3y^2 =1\Leftrightarrow \frac{(x-\frac{1}{3})^2}{(\frac{1}{3})^2} -\frac{y^2}{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2}=1}$

H εξίσωση αυτή παριστάνει υπερβολή, της οποίας οι κορυφές είναι πάνω στον άξονα $\displaystyle{x{'}x}$ . Kαι αφού τα σημεία του άξονα αυτού έχουν τεταγμένη ίση με το μηδέν, θα πρέπει να εξαιρεθούν.

: TOPOS.png (5.06 KiB) Προβλήθηκε 2900 φορές

kostas_zervos · #5

parmenides51 έγραψε:
2.α) Αν $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ με $0<\left| \alpha \right|<1$ , να αποδείξετε ότι $\lim {{\alpha }^{\nu }}=0$ .
β) Να μελετήσετε ως προς την σύγκλιση την ακολουθία $({{\beta }_{\nu }})$ με $\displaystyle{{{\beta }_{\nu }}=\frac{{{\lambda }^{\nu }}+{{2}^{\nu +1}}}{2\cdot {{\lambda }^{\nu }}-3\cdot {{2}^{\nu -1}}}}$ , όπου $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\,\,, \lambda \ne 0,-2}$ .

α)Θεωρία.
β)
$\bullet$ Αν $|\lambda|<2\iff -2<\lambda<2$ , τότε
$\displaystyle \lim \beta_{\nu}=\lim\frac{\displaystyle\left(\frac{\lambda}{2}\right)^{\nu}+2}{2\displaystyle\left(\frac{\lambda}{2}\right)^{\nu}-\frac{3}{2}}=-\frac{4}{3}$ .
$\bullet$ Αν $|\lambda|>2\iff \lambda<-2$ ή $\lambda>2$ , τότε
$\displaystyle \lim \beta_{\nu}=\lim\frac{\displaystyle1+2\left(\frac{2}{\lambda}\right)^{\nu}}{\displaystyle2-\frac{3}{2}\left(\frac{2}{\lambda}\right)^{\nu}}=\frac{1}{2}$ .
$\bullet$ Αν $\lambda=2$ , τότε
$\displaystyle \lim \beta_{\nu}=\lim\frac{2^{\nu}+2\cdot 2^{\nu}}{\displaystyle 2\cdot 2^{\nu}-\frac{3}{2}\cdot 2^{\nu}}=6$ .

#6

parmenides51 έγραψε:2.α) Αν $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ με $0<\left| \alpha \right|<1$ , να αποδείξετε ότι $\lim {{\alpha }^{\nu }}=0$ .
β) Να μελετήσετε ως προς την σύγκλιση την ακολουθία $({{\beta }_{\nu }})$ με $\displaystyle{{{\beta }_{\nu }}=\frac{{{\lambda }^{\nu }}+{{2}^{\nu +1}}}{2\cdot {{\lambda }^{\nu }}-3\cdot {{2}^{\nu -1}}}}$ , όπου $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\,\,, \lambda \ne 0,-2}$ .

Έξτρα: τι γίνεται αν $\lambda =-2;$

orestisgotsis · #7

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #8

ΠΕΡΙΤΤΑ

Christos75 · #9

kostas_zervos έγραψε:
parmenides51 έγραψε:
2.α) Αν $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ με $0<\left| \alpha \right|<1$ , να αποδείξετε ότι $\lim {{\alpha }^{\nu }}=0$ .
β) Να μελετήσετε ως προς την σύγκλιση την ακολουθία $({{\beta }_{\nu }})$ με $\displaystyle{{{\beta }_{\nu }}=\frac{{{\lambda }^{\nu }}+{{2}^{\nu +1}}}{2\cdot {{\lambda }^{\nu }}-3\cdot {{2}^{\nu -1}}}}$ , όπου $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}\,\,, \lambda \ne 0,-2}$ .
α)Θεωρία.
β)
$\bullet$ Αν $|\lambda|<2\iff -2<\lambda<2$ , τότε
$\displaystyle \lim \beta_{\nu}=\lim\frac{\displaystyle\left(\frac{\lambda}{2}\right)^{\nu}+2}{2\displaystyle\left(\frac{\lambda}{2}\right)^{\nu}-\frac{3}{2}}=-\frac{4}{3}$ .
$\bullet$ Αν $|\lambda|>2\iff \lambda<-2$ ή $\lambda>2$ , τότε
$\displaystyle \lim \beta_{\nu}=\lim\frac{\displaystyle1+2\left(\frac{2}{\lambda}\right)^{\nu}}{\displaystyle2-\frac{3}{2}\left(\frac{2}{\lambda}\right)^{\nu}}=\frac{1}{2}$ .
$\bullet$ Αν $\lambda=2$ , τότε
$\displaystyle \lim \beta_{\nu}=\lim\frac{2^{\nu}+2\cdot 2^{\nu}}{\displaystyle 3\cdot 2^{\nu}-\frac{3}{2}\cdot 2^{\nu}}=2$ .

Κώστα, επίτρεψέ μου, στην τελευταία περίπτωση σου έχει ξεφύγει και αντί για 2.2^ν εσύ έχεις βάλει 3.2^ν με αποτέλεσμα να βγάζεις λάθος αποτέλεσμα 2 ενώ είναι 6 απ´ότι βλέπω στα δικά μου χαρτιά εδώ...
Πάντα φιλικά

kostas_zervos · #10

Το είδα ευχαριστώ..

Christos75 · #11

kostas_zervos έγραψε:Το είδα ευχαριστώ..

Καμία ευχαριστία δεν χρειάζεται. Εγώ έχω κάνει ένα σωρό αβλεψίες και τα διορθώνω στην πορεία!
Καλή συνέχεια.

Α' ΔΕΣΜΗ 1984

Α' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1984

Μέλη σε σύνδεση