Α' ΔΕΣΜΗ 1986

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Α' ΔΕΣΜΗ 1986

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Ιουν 15, 2013 11:45 pm

1. α) Θεωρούμε τρία διανύσματα \vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma } που ανήκουν στο \displaystyle{E} . Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς:
i) Πότε τα διανύσματα \vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma } λέγονται γραμμικώς εξαρτημένα;
ii) Πότε τα διανύσματα \vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma } λέγονται γραμμικώς ανεξάρτητα;
β) Να αποδείξετε ότι αν τα διανύσματα \vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma } είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε επίσης και τα διανύσματα
\displaystyle{\vec{u}=3\vec{\alpha }-\vec{\beta }+2\vec{\gamma } ,  \vec{v}=2\vec{\alpha }-2\vec{\beta }+3\vec{\gamma }, \vec{w}=-2\vec{\alpha }+\vec{\beta }+2\vec{\gamma }} είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.


2.α) i) Να δώσετε τον ορισμό του μέτρου ενός μιγαδικού.
ii) Έστω οι μη μηδενικοί αριθμοί {{z}_{1}},{{z}_{2}}. Να αποδείξετε ότι \left| {{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|\cdot \left| {{z}_{2}} \right|
β) Έστω ότι \displaystyle{z=(2x-3)+(2y-1)i} με \displaystyle{x,y\in \mathbb{R}}
Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων \displaystyle{(x,y)} που είναι τέτοια ώστε \left| 2z-1+3i \right|=3 είναι κύκλος.
Στη συνέχεια να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου αυτού και την ακτίνα του.


3.α) Έστω ότι η συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα Δ και έστω {{x}_{0}}\in \Delta. Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς:
i) Πότε η συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο {{x}_{0}}
ii) Πότε η συνάρτηση f λέγεται συνεχής από δεξιά στο {{x}_{0}}
iii) Πότε η συνάρτηση f λέγεται συνεχής από αριστερά στο {{x}_{0}}
β) Να προσδιορίσετε τα \alpha ,\beta \in \mathbb{R} ώστε η συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)=\begin{cases} 
 3\alpha {{e}^{x+1}}+x & \alpha \nu \,\,x\le -1    \\  
2{{x}^{2}}-\alpha x+3\beta x  & \alpha \nu \,\,-1<x<0   \\  
 \beta \eta \mu x+\alpha \sigma \upsilon \nu x+1  &\alpha \nu \,\, 0\le x   
\end{cases}}
να είναι συνεχής στο \mathbb{R}.


4. α) Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα:
''Έστω ότι μια συνάρτηση \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοιχτό διάστημα \displaystyle{(\alpha ,\beta)} και ότι στο σημείο {{x}_{0}}\in (\alpha ,\beta ) είναι {f}'({{x}_{0}})=0.
Η \displaystyle{f} παρουσιάζει στο {{x}_{0}} τοπικό μέγιστο αν : \displaystyle{\forall x\in (\alpha ,{{x}_{0}}],\,\,{f}'(x)\ge 0} και \displaystyle{\forall x\in [{{x}_{0}},\beta ),\,\,\,{f}'(x)\le 0}.''
β) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f} με τύπο \displaystyle{f(x)=\left(\alpha -\frac{2}{3}\right){{x}^{3}}-\left(\alpha +\frac{1}{2}\right){{x}^{2}}-10x+7,\,\,\forall x\in \mathbb{R}}
Να βρείτε το \alpha \in \mathbb{R} ώστε η \displaystyle{f} να παρουσιάζει καμπή στο {{x}_{0}}=\frac{3}{2}.
Μετά για την τιμή αυτή του \displaystyle{\alpha } να σχηματίσετε τον πίνακα μεταβολής της \displaystyle{f}.


ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4222
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1986

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Κυρ Ιουν 16, 2013 12:37 am

parmenides51 έγραψε:1. α) Θεωρούμε τρία διανύσματα \vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma } που ανήκουν στο \displaystyle{E} . Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς:
i) Πότε τα διανύσματα \vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma } λέγονται γραμμικώς εξαρτημένα;
ii) Πότε τα διανύσματα \vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma } λέγονται γραμμικώς ανεξάρτητα;
β) Να αποδείξετε ότι αν τα διανύσματα \vec{\alpha },\vec{\beta },\vec{\gamma } είναι γραμμικώς ανεξάρτητα τότε επίσης και τα διανύσματα
\displaystyle{\vec{u}=3\vec{\alpha }-\vec{\beta }+2\vec{\gamma } ,  \vec{v}=2\vec{\alpha }-2\vec{\beta }+3\vec{\gamma }, \vec{w}=-2\vec{\alpha }+\vec{\beta }+2\vec{\gamma }} είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
(a) ΘΕΩΡΙΑ


(β) Έστω \displaystyle{k,m,n \in R} με \displaystyle{k\vec{u}+m\vec{v}+n\vec{w}=\vec{0} \Rightarrow }

\displaystyle{k(3\vec{a}-\vec{\beta}+2\vec{\gamma})+m(2\vec{a}-2\vec{\beta}+3\vec{\gamma})+n(-2\vec{a}+\vec{\beta}+2\vec{\gamma})=\vec{0}\Rightarrow}

\displaystyle{(3k+2m-2n)\vec{a}+(-k-2m+n)\vec{\beta}+(2k+3m+2n)\vec{\gamma}=\vec{0}\Rightarrow}

\displaystyle{3k+2m-2n=0}

\displaystyle{-k-2m+n=0}

\displaystyle{2k+3m+2n=0}

(διότι τα \displaystyle{\vec{a} , \vec{\beta} , \vec{\gamma}} είναι γραμμικώς ανεξάρτητα)

Το σύστημα αυτό είναι ομογενές \displaystyle{3x3} και η ορίζουσα των συντελλεστών των αγνώστων, είναι \displaystyle{D=-15\neq 0}

Συνεπώς έχει μόνο την λύση \displaystyle{k=m=n=0} και άρα τα \displaystyle{\vec{u} , \vec{v} , \vec{w}} είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1314
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1986

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Κυρ Ιουν 16, 2013 2:07 am

parmenides51 έγραψε: 2.α) i) Να δώσετε τον ορισμό του μέτρου ενός μιγαδικού.
ii) Έστω οι μη μηδενικοί αριθμοί {{z}_{1}},{{z}_{2}}. Να αποδείξετε ότι \left| {{z}_{1}}\cdot {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}} \right|\cdot \left| {{z}_{2}} \right|
β) Έστω ότι \displaystyle{z=(2x-3)+(2y-1)i} με \displaystyle{x,y\in \mathbb{R}}
Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των σημείων \displaystyle{(x,y)} που είναι τέτοια ώστε \left| 2z-1+3i \right|=3 είναι κύκλος.
Στη συνέχεια να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου του κύκλου αυτού και την ακτίνα του.
α) Θεωρία

β) Έχουμε \displaystyle{\left| 2\left( 2x-3 \right)+2\left( 2y-1 \right)i-1+3i \right|=3\Leftrightarrow \left| \left( 4x-7 \right)+\left( 4y+1 \right)i \right|=3\Leftrightarrow {{\left( 4x-7 \right)}^{2}}+{{\left( 4y+1 \right)}^{2}}=9}

\displaystyle{\Leftrightarrow {{\left( x-\frac{7}{4} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{4} \right)}^{2}}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}}, άρα κύκλος με \displaystyle{K\left( \frac{7}{4},-\frac{1}{4} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\rho =\frac{3}{4}}


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1314
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1986

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Κυρ Ιουν 16, 2013 2:40 am

parmenides51 έγραψε:3.α) Έστω ότι η συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα Δ και έστω {{x}_{0}}\in \Delta. Να δώσετε τους παρακάτω ορισμούς:
i) Πότε η συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο {{x}_{0}}
ii) Πότε η συνάρτηση f λέγεται συνεχής από δεξιά στο {{x}_{0}}
iii) Πότε η συνάρτηση f λέγεται συνεχής από αριστερά στο {{x}_{0}}
β) Να προσδιορίσετε τα \alpha ,\beta \in \mathbb{R} ώστε η συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)=\begin{cases} 
 3\alpha {{e}^{x+1}}+x & \alpha \nu \,\,x\le -1    \\  
2{{x}^{2}}-\alpha x+3\beta x  & \alpha \nu \,\,-1<x<0   \\  
 \beta \eta \mu x+\alpha \sigma \upsilon \nu x+1  &\alpha \nu \,\, 0\le x   
\end{cases}}
να είναι συνεχής στο \mathbb{R}.
α) Θεωρία

β) Η συνάρτηση είναι συνεχής στο \displaystyle{\mathbb{R}-\left\{ -1,0 \right\}} από πράξεις συνεχών συναρτήσεων.

Είναι \displaystyle{f(-1)=3\alpha -1,\,\,\,\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 3\alpha {{e}^{x+1}}+x \right)=3\alpha -1,\,\,\,\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2{{x}^{2}}-\alpha x+3\beta x \right)=2+\alpha -3\beta }

Για τη συνέχεια στο -1 αρκεί \displaystyle{2+\alpha -3\beta =3\alpha -1\Leftrightarrow 2\alpha +3\beta =3\,\,\,\left( 1 \right)}

Έχουμε \displaystyle{f(0)=\alpha +1,\,\,\,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2{{x}^{2}}-\alpha x+3\beta x \right)=0,\,\,\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \beta \eta \mu x+\alpha \sigma \upsilon \nu x+1 \right)=\alpha +1}

Για τη συνέχεια στο μηδέν αρκεί \displaystyle{\alpha +1=0\Leftrightarrow \alpha =-1} και τότε από \displaystyle{\left( 1 \right)\Rightarrow \beta =\frac{5}{3}}


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1314
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1986

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Κυρ Ιουν 16, 2013 10:47 am

parmenides51 έγραψε:4. α) Να αποδείξετε το παρακάτω θεώρημα:
''Έστω ότι μια συνάρτηση \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοιχτό διάστημα \displaystyle{(\alpha ,\beta)} και ότι στο σημείο {{x}_{0}}\in (\alpha ,\beta ) είναι {f}'({{x}_{0}})=0.
Η \displaystyle{f} παρουσιάζει στο {{x}_{0}} τοπικό μέγιστο αν : \displaystyle{\forall x\in (\alpha ,{{x}_{0}}],\,\,{f}'(x)\ge 0} και \displaystyle{\forall x\in [{{x}_{0}},\beta ),\,\,\,{f}'(x)\le 0}.''
β) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f} με τύπο \displaystyle{f(x)=\left(\alpha -\frac{2}{3}\right){{x}^{3}}-\left(\alpha +\frac{1}{2}\right){{x}^{2}}-10x+7,\,\,\forall x\in \mathbb{R}}
Να βρείτε το \alpha \in \mathbb{R} ώστε η \displaystyle{f} να παρουσιάζει καμπή στο {{x}_{0}}=\frac{3}{2}.
Μετά για την τιμή αυτή του \displaystyle{\alpha } να σχηματίσετε τον πίνακα μεταβολής της \displaystyle{f}.
α) Θεωρία

β) Είναι \displaystyle{{f}'(x)=\left( 3\alpha -2 \right){{x}^{2}}-\left( 2\alpha +1 \right)x-10,\,\,\,{f}''(x)=2\left( 3\alpha -2 \right)x-\left( 2\alpha +1 \right)}.

Έστω ότι για \displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}} η συνάρτηση παρουσιάζει καμπή στο \displaystyle{{{x}_{0}}=\frac{3}{2}}. Τότε \displaystyle{{f}''\left( \frac{3}{2} \right)=0\Rightarrow 3\left( 3\alpha -2 \right)-2\alpha -1=0\Rightarrow \alpha =1}. Για \displaystyle{\alpha =1\Rightarrow {f}''(x)=2\left( x-\frac{3}{2} \right),\,\,\,{f}''\left( \frac{3}{2} \right)=0,\,\,\,{f}''(x)>0\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,x>\frac{3}{2},\,\,\,{f}''(x)<0\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,x<\frac{3}{2}}, άρα η συνάρτηση παρουσιάζει καμπή στο \displaystyle{{{x}_{0}}=\frac{3}{2}},

οπότε ο ζητούμενος αριθμός είναι ο \displaystyle{\alpha =1}.

Για \displaystyle{\alpha =1\Rightarrow f(x)=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-\frac{3}{2}{{x}^{2}}-10x+7,\,\,\,{f}'(x)={{x}^{2}}-3x-10,\,\,\,{f}''(x)=2x-3}.

Έχουμε \displaystyle{{f}'(x)=0} όταν \displaystyle{x=-2} και όταν \displaystyle{x=5}, ενώ \displaystyle{{f}''(x)=0} όταν \displaystyle{x=\frac{3}{2}}. Τότε \displaystyle{{f}'(x)>0} στα \displaystyle{\left( -\infty ,\,\,-2 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( 5,\,\,+\infty  \right)}, άρα γνησίως αύξουσα σε

καθένα από τα \displaystyle{\left( -\infty ,\,\,-2 \right]\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left[ 5,\,\,+\infty  \right)}, ενώ \displaystyle{{f}'(x)<0} στο \displaystyle{\left( -2,\,\,5 \right)} και συνεπώς γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{\left[ -2,\,\,5 \right]}. Επίσης \displaystyle{{f}''(x)<0} στο \displaystyle{\left( -\infty ,\,\,\frac{3}{2} \right)} και

επομένως κοίλη στο \displaystyle{\left( -\infty ,\,\,\frac{3}{2} \right]}, ενώ \displaystyle{{f}''(x)>0} στο \displaystyle{\left( \frac{3}{2},\,\,+\infty  \right)} και επομένως κυρτή στο \displaystyle{\left[ \frac{3}{2},\,\,+\infty  \right)}.

Παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο \displaystyle{A\left( -2,\,\,\frac{55}{3} \right)}, τοπικό ελάχιστο στο \displaystyle{B\left( 5,\,\,-\frac{233}{6} \right)} και το σημείο καμπής είναι το \displaystyle{\Gamma \left( \frac{3}{2},\,\,-\frac{41}{4} \right)}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Α' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης