Α' ΔΕΣΜΗ 1989

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Α' ΔΕΣΜΗ 1989

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τετ Ιουν 19, 2013 8:49 pm

1. Να λυθεί το σύστημα \left\{ \begin{matrix} 
  x+\lambda \left( y+z \right)=0 \\  
  -2y+z=\lambda x \\  
  \lambda x+y=-z \\  
\end{matrix} \right.


2. α) Να αποδειχθεί ότι κάθε ν-οστή ρίζα της μονάδας είναι της μορφής \displaystyle{{{\zeta }_{\kappa }}=\sigma \upsilon \nu \frac{2\kappa \pi }{\nu }+i\eta \mu \frac{2\kappa \pi }{\nu },\,\,\kappa \in \mathbb{Z}}.
β) Να λυθεί η εξίσωση στο σύνολο \mathbb{C} των μιγαδικών{{z}^{6}}+2{{z}^{5}}+2{{z}^{4}}+2{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=0.


3. α) Να αποδειχθεί ότι αν η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \displaystyle{\Delta}
και για κάθε x\in \Delta είναι {f}'(x)=0 τότε η συνάρτηση \displaystyle{f}είναι σταθερή στο \displaystyle{\Delta}.
β) Έστω \displaystyle{f,g} συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα διάστημα \displaystyle{\Delta} για τις οποίες υποθέτουμε ότι :
\displaystyle{\bullet} είναι δυο φορές παραγωγίσιμες στο \displaystyle{\Delta}
\displaystyle{\bullet} {f}''={g}'' και
\displaystyle{\bullet} \displaystyle{0\in \Delta} και \displaystyle{f(0)=g(0)}
Να δειχθεί ότι :
i) Για κάθε x\in \Delta ,\,\,f(x)-g(x)=cx όπου c\in \mathbb{R}
ii) Αν η \displaystyle{f(x)=0} έχει δυο ρίζες ετερόσημες {{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}} τότε η \displaystyle{g(x)=0} έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο κλειστό διάστημα \left[ {{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}} \right].


4. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)=\eta \mu \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right)} και πεδίο ορισμού το διάστημα \displaystyle{\left[ -\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4} \right]}.
α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} στο σημείο \displaystyle{{{x}_{0}}=\frac{\pi }{8}}.
β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραπάνω εφαπτομένη,
τη γραφική παράσταση της \displaystyle{f} και τους θετικούς ημιάξονες \displaystyle{Ox,Oy}.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1424
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Ιουν 20, 2013 8:47 am

2. α) Να αποδειχθεί ότι κάθε ν-οστή ρίζα της μονάδας είναι της μορφής \displaystyle{{{\zeta }_{\kappa }}=\sigma \upsilon \nu \frac{2\kappa \pi }{\nu }+i\eta \mu \frac{2\kappa \pi }{\nu },\,\,\kappa \in \mathbb{Z}}.
β) Να λυθεί η εξίσωση στο σύνολο \mathbb{C} των μιγαδικών{{z}^{6}}+2{{z}^{5}}+2{{z}^{4}}+2{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=0.

α) Θεωρία
β)
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \,\,\,\,\,\,\,\,{z^6} + 2{z^5} + 2{z^4} + 2{z^3} + {z^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow {z^6} + 2{z^5} + {z^4} + {z^4} + 2{z^3} + {z^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow {z^4}({z^2} + 2z + 1) + {z^2}({z^2} + 2z + 1) + {(z + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow {(z + 1)^2}({z^4} + {z^2} + 1) = 0 \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow z =  - 1\,\,\,\, \\  
 \end{array}}
(διπλή ρίζα )
ή \displaystyle{\,\,\,\,\,\,{z^4} + {z^2} + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\,\,\,\,\,\,}
Για \displaystyle{\,\,z \ne  \pm 1\,\,} η \displaystyle{\,\,\,\,\,(1)\,\,\,\,} ισοδυναμεί με την :
\displaystyle{\,\,\,\,({z^2} - 1)({z^4} + {z^2} + 1) = 0 \Leftrightarrow {z^6} - 1 = 0 \Leftrightarrow {z^6} = 1}
οπότε : \displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{z_k} = \sigma \upsilon \nu \frac{{2k{\rm{\pi }}}}{6} + i{\rm{\eta \mu }}\frac{{2\kappa \pi }}{6}\,\,\,\,,\,\,\,\kappa  = 0,1,...,5}
απ΄ όπου παίρνουμε τις
\displaystyle{{z_0} = 1\,\,} (απορρίπτεται) , \displaystyle{\,\,\,\,{z_1} = \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,,\,\,{z_2} =  - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,,\,\,\,{z_3} =  - 1\,\,\,\,} (απορρίπτεται ) \displaystyle{\,\,,\,\,{z_4} =  - \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,,\,\,{z_5} = \frac{1}{2} - i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,}


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1424
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Πέμ Ιουν 20, 2013 9:27 am

1. Να λυθεί το σύστημα \left\{ \begin{matrix} 
  x+\lambda \left( y+z \right)=0 \\  
  -2y+z=\lambda x \\  
  \lambda x+y=-z \\  
\end{matrix} \right.


\displaystyle{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x + \lambda \left( {y + z} \right) = 0}  \\ 
   { - 2y + z = \lambda x}  \\ 
   {\lambda x + y =  - z}  \\ 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x + \lambda y + \lambda z = 0}  \\ 
   { - \lambda x - 2y + z = 0}  \\ 
   {\lambda x + y + z = 0}  \\ 
\end{array}} \right.}
το οποίο είναι ομογενές σύστημα \displaystyle{\,\,3 \times 3\,\,\,}
Η ορίζουσα του συστήματος είναι :
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \,D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
   1 & {\rm{\lambda }} & \lambda   \\ 
   { - \lambda } & { - 2} & 1  \\ 
   \lambda  & 1 & 1  \\ 
\end{array}} \right|\mathop  = \limits^{{\Gamma _3} \to {\Gamma _3} + {\Gamma _2}} \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
   1 & {\rm{\lambda }} & \lambda   \\ 
   { - \lambda } & { - 2} & 1  \\ 
   0 & { - 1} & 2  \\ 
\end{array}} \right|\mathop  = \limits^{{\Gamma _2} \to {\Gamma _2} + \lambda  \cdot {\Gamma _1}}  \\  
  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
   1 & {\rm{\lambda }} & \lambda   \\ 
   0 & {{\lambda ^2} - 2} & {{\lambda ^2} + 1}  \\ 
   0 & { - 1} & 2  \\ 
\end{array}} \right| = 2{\lambda ^2} - 4 + {\lambda ^2} + 1 = 3{\lambda ^2} - 3\,\,\,\, \\  
 \end{array}}
Είναι :\displaystyle{\,\,\,\,\,\,\,\,D = 0 \Leftrightarrow \lambda {\rm{ = }} \pm {\rm{1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,} .

Επομένως :
α) Αν \displaystyle{\,\,\,{\rm{\lambda }} \ne  \pm {\rm{1}}\,\,\,\,\,} , το σύστημα έχει μοναδική λύση , τη μηδενική .

β) Αν\displaystyle{\,\,\,\,\,\,\lambda  = 1\,\,} , τότε γίνεται :
\displaystyle{\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x + y + z = 0}  \\ 
   { - x - 2y + z = 0}  \\ 
   {x + y + z = 0}  \\ 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x + y + z = 0}  \\ 
   { - x - 2y + z = 0}  \\ 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x + y + z = 0}  \\ 
   { - y + 2z = 0}  \\ 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x =  - 3z}  \\ 
   {y = 2z}  \\ 
\end{array}} \right.}
, οπότε έχει άπειρες λύσεις , της μορφής : \displaystyle{\,\,\,(x,y,z) = ( - 3k,2k,k)\,\,\,,\,\,k \in R}

γ) Αν \displaystyle{\,\,\,{\rm{\lambda }} =  - 1\,\,\,\,\,} , γίνεται :
\displaystyle{\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x - y - z = 0}  \\ 
   {x - 2y + z = 0}  \\ 
   { - x + y + z = 0}  \\ 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x - y - z = 0}  \\ 
   {x - 2y + z = 0}  \\ 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x - y - z = 0}  \\ 
   { - y + 2z = 0}  \\ 
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
   {x = 3z}  \\ 
   {y = 2z}  \\ 
\end{array}} \right.}
οπότε έχει άπειρες λύσεις της μορφής : \displaystyle{\,\,\,\,\,(x,y,z) = (3m,2m,m)\,\,\,,\,\,m \in R}


Kαλαθάκης Γιώργης
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4222
Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ » Πέμ Ιουν 20, 2013 10:28 am

parmenides51 έγραψε:3. α) Να αποδειχθεί ότι αν η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \displaystyle{\Delta}
και για κάθε x\in \Delta είναι {f}'(x)=0 τότε η συνάρτηση \displaystyle{f}είναι σταθερή στο \displaystyle{\Delta}.
β) Έστω \displaystyle{f,g} συναρτήσεις με πεδίο ορισμού ένα διάστημα \displaystyle{\Delta} για τις οποίες υποθέτουμε ότι :
\displaystyle{\bullet} είναι δυο φορές παραγωγίσιμες στο \displaystyle{\Delta}
\displaystyle{\bullet} {f}''={g}'' και
\displaystyle{\bullet} \displaystyle{0\in \Delta} και \displaystyle{f(0)=g(0)}
Να δειχθεί ότι :
i) Για κάθε x\in \Delta ,\,\,f(x)-g(x)=cx όπου c\in \mathbb{R}
ii) Αν η \displaystyle{f(x)=0} έχει δυο ρίζες ετερόσημες {{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}} τότε η \displaystyle{g(x)=0} έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο κλειστό διάστημα \left[ {{\rho }_{1}},{{\rho }_{2}} \right].

(α) Θεωρία

(β) (i) Έχουμε: \displaystyle{(f{'}(x)){'}=(g{'}(x)){'}}, για κάθε \displaystyle{x\in \Delta}. Άρα \displaystyle{f{'}(x)=g{'}(x) + c} και άρα

\displaystyle{f(x)=g(x)+cx+c_{1}}, για κάθε \displaystyle{x\in \Delta}. Για \displaystyle{x=0}, έχουμε \displaystyle{f(0)=g(0)=0+c_{1} \Rightarrow c_{1}=0}

Συνεπώς \displaystyle{f(x)=g(x)+cx}, για κάθε x\in \Delta

(ii) Eίναι \displaystyle{g(x)=f(x)-cx} και \displaystyle{f(p_1 )=0, f(p_2 )=0}, όπου \displaystyle{p_1 p_2 <0}

Αν είναι \displaystyle{c=0} , τότε θα είναι και \displaystyle{g(x)=f(x)} και άρα \displaystyle{g(p_1 )=0 ,g(p_2 )=0}, δηλαδή η \displaystyle{g} έχει ρίζες τις

\displaystyle{p_1 , p_2}

Aν είναι \displaystyle{c\neq 0}, τότε \displaystyle{g(p_1 )g(p_2 )=-cp_1 .(-cp_2 )=c^2 p_1 p_2 <0}. Άρα από το θεώρημα Bolzano, έχουμε ότι

η \displaystyle{g} , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα \displaystyle{(p_1 , p_2 )}.

Tελικά δείξαμε ότι η \displaystyle{g} , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα \displaystyle{[p_1 , p_2 ]}.


Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 420
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Παρ Ιουν 21, 2013 12:00 pm

parmenides51 έγραψε:
4. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)=\eta \mu \left( 2x+\frac{\pi }{2} \right)} και πεδίο ορισμού το διάστημα \displaystyle{\left[ -\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4} \right]}.
α) Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} στο σημείο \displaystyle{{{x}_{0}}=\frac{\pi }{8}}.
β) Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την παραπάνω εφαπτομένη,
τη γραφική παράσταση της \displaystyle{f} και τους θετικούς ημιάξονες \displaystyle{Ox,Oy}.
Για να δούμε και το τελευταίο θεματάκι των δεσμών εκείνης της χρονιάς μιας και αυτό μου έλαχε...

α)
Για την συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής, έχουμε: f(x)=sin(\frac{\pi }{2}+2x)=sin(\frac{\pi }{2}-(-2x))=cos(-2x)=cos2x, x\in [-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}]

Για την εφαπτομένη της συνάρτησης \displaystyle{f έχουμε: y-f(\frac{\pi }{8})=f'(\frac{\pi }{8})(x-\frac{\pi }{8})} σχέση (1)

Πάμε να βρούμε την \displaystyle{f'(x)=(cos2x)'=-sin(2x).(2x)'=-2sin(2x)}

Οπότε, \displaystyle{f'(\frac{\pi }{8})=-2sin\frac{2\pi }{8}=-2sin(\frac{\pi }{4})=-2.\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow f'(\frac{\pi }{8})=-\sqrt{2}}

Επίσης: \displaystyle{f(\frac{\pi }{8})=cos(\frac{2\pi }{8})=cos\frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}}

Συνεπώς θα έχουμε: \displaystyle{y-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}(x-\frac{\pi }{8})\Leftrightarrow 2y-\sqrt{2}=-2\sqrt{2}(x-\frac{\pi }{8})\Leftrightarrow  
 
y=-\sqrt{2}x+\frac{(4+\pi)\sqrt{2} }{8}}

όπου είναι και η ζητούμενη εξίσωση ευθείας.

β)

Το ζητούμενο εμβαδόν προκύπτει εάν από το εμβαδόν του τριγώνου αφαιρέσουμε το εμβαδόν της συνάρτησης f, δηλαδή:

E=\frac{1}{2}(O\Gamma ).(O\Delta )-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}cos(2x)dx όπου \Gamma και \Delta είναι τα σημεία τομής της εφαπτομένης με τον άξονα x'x και yý αντιστοίχως.

Οπότε τελικά έχουμε: E=\frac{1}{2}(O\Gamma ).(O\Delta )-\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}cos(2x)dx=\frac{1}{2}(\frac{\pi }{8}+\frac{1}{2}).(\frac{\pi \sqrt{2}}{8}+\frac{\sqrt{2}}{2})-[\frac{1}{2}sin(2x)]=\frac{\sqrt{2}}{2}(\frac{\pi }{8}+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}
τελευταία επεξεργασία από Christos75 σε Πέμ Ιουν 27, 2013 3:27 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Χρήστος Λοΐζος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6170
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1989

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Ιουν 21, 2013 3:11 pm

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί το σύστημα \left\{ \begin{matrix} 
  x+\lambda \left( y+z \right)=0 \\  
  -2y+z=\lambda x \\  
  \lambda x+y=-z \\  
\end{matrix} \right.
Ας το δούμε και απλούστερα:

Με πρόσθεση των δύο τελευταίων εξισώσεων, βρίσκουμε \displaystyle{y=2z.}

Τότε, οι εξισώσεις του συστήματος γίνονται \displaystyle{x=-3\lambda z,~\lambda x+3z=0.}

Με αντικατάσταση της πρώτης στη δεύτερη προκύπτει \displaystyle{(1-\lambda ^2)z=0.}

Αν \displaystyle{\lambda \ne \pm 1,} το σύστημα έχει μοναδική λύση την \displaystyle{(0,0,0).}

Αν \displaystyle{\lambda =1} το σύστημα έχει φανερά την απειρία λύσεων \displaystyle{(-3z,2z,z), z\in \mathbb{R}.}

Αν \displaystyle{\lambda =-1} το σύστημα έχει φανερά την απειρία λύσεων \displaystyle{(3z,2z,z), z\in \mathbb{R}.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Α' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης