Α' ΔΕΣΜΗ 1990

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Α' ΔΕΣΜΗ 1990

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Ιουν 25, 2013 8:51 am

1. α) Αν \displaystyle{A,B} είναι πίνακες \displaystyle{\nu x \nu} και ισχύουν οι σχέσεις \displaystyle{{A^{2}}=A} και \displaystyle{AB+BA={\mathbb O}} όπου \displaystyle{{\mathbb O}} ο μηδενικός πίνακας \displaystyle{\nu x \nu}
τότε να αποδείξετε ότι είναι \displaystyle{AB=BA={\mathbb O}}.
β) Έστω \displaystyle{A,B} πίνακες \displaystyle{\nu x \nu} και \displaystyle{\mathbb I} ο μοναδιαίος πίνακας \displaystyle{\nu x \nu} .
Αν ισχύει ότι AB =\Gamma A=\mathbb I τότε να αποδείξετε ότι ο \displaystyle{A} είναι αντιστρέψιμος και ότι {{A}^{-1}}=B =\Gamma
γ) Έστω \displaystyle{A,B} πίνακες \displaystyle{\nu x \nu} όπου ο \displaystyle{B} είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι για κάθε \displaystyle{\kappa} θετικό ακέραιο ισχύει η σχέση {{\left( BA{B^{-1}} \right)}^{\kappa }}=B {A^{\kappa }}{B^{-1}}.


2. α) Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{[\alpha ,\beta]} και παραγωγίσιμη στο \displaystyle{(\alpha ,\beta)}
τότε υπάρχει \xi \in (\alpha ,\beta ) τέτοιο ώστε να είναι \displaystyle{{f}'(\xi )=\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}.
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)=\frac{\alpha {{x}^{3}}}{3}+\left( \frac{\beta }{2}+\delta  \right){{x}^{2}}+\left( \gamma -\delta  \right)x+\delta} όπου \displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\delta} είναι πραγματικοί αριθμοί
και ισχύει \displaystyle{\frac{\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}+\gamma =0} .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει \xi \in \left( 0,1 \right) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} στο σημείο \left( \xi ,f(\xi ) \right)
να είναι παράλληλη προς τον άξονα {x}'x.


3. α) Θεωρούμε κύκλο με κέντρο K({{x}_{0}},{{y}_{0}}) και ακτίνα \displaystyle{\rho} καθώς και σημείο A({{x}_{1}},{{y}_{1}}) αυτού του κύκλου.
Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο \displaystyle{A} έχει εξίσωση \left( x-{{x}_{0}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{0}} \right)+\left( y-{{y}_{0}} \right)\left( {{y}_{1}}-{{y}_{0}} \right)={{\rho }^{2}}.
β) Δίνονται η ευθεία \displaystyle{(\varepsilon)} με εξίσωση \displaystyle{5x+3y+2=0} και ο κύκλος \displaystyle{C} με εξίσωση {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-2=0 που τέμνονται στα σημεία \displaystyle{M} και \displaystyle{N}.
i) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό \displaystyle{\lambda} η εξίσωση {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-2+\lambda \left( 5x+3y+2 \right)=0 παριστάνει κύκλο
ο οποίος περνάει από τα σημεία \displaystyle{M} και \displaystyle{N}. Για ποια τιμή του \displaystyle{\lambda} ο κύκλος αυτός περνάει από την αρχή των αξόνων;
ii) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων του ερωτήματος (i) ανήκουν σε ευθεία {{\varepsilon }_{1}} της οποίας να βρείτε την εξίσωση.


4. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)=3x+\frac{1}{2{{x}^{2}}}}
α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν \displaystyle{E(\alpha)} του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} της ευθείας
με εξίσωση \displaystyle{y=3x} και των ευθειών με εξισώσεις \displaystyle{x=1} και \displaystyle{x=\alpha} με \displaystyle{\alpha >1}.
γ) Να υπολογίσετε το όριο του εμβαδού \displaystyle{E(\alpha)} του ανωτέρου χωρίου όταν το \displaystyle{\alpha}$ τείνει στο άπειρο.


Άβαταρ μέλους
pito
Δημοσιεύσεις: 1754
Εγγραφή: Τρί Μάιος 18, 2010 10:41 pm
Τοποθεσία: mathematica

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1990

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pito » Τρί Ιουν 25, 2013 9:24 am

parmenides51 έγραψε:1. α) Αν \displaystyle{A,B} είναι πίνακες \displaystyle{\nu x \nu} και ισχύουν οι σχέσεις \displaystyle{{A^{2}}=A} και \displaystyle{AB+BA={\mathbb O}} όπου \displaystyle{{\mathbb O}} ο μηδενικός πίνακας \displaystyle{\nu x \nu}
τότε να αποδείξετε ότι είναι \displaystyle{AB=BA={\mathbb O}}.
β) Έστω \displaystyle{A,B} πίνακες \displaystyle{\nu x \nu} και \displaystyle{\mathbb I} ο μοναδιαίος πίνακας \displaystyle{\nu x \nu} .
Αν ισχύει ότι AB =\Gamma A=\mathbb I τότε να αποδείξετε ότι ο \displaystyle{A} είναι αντιστρέψιμος και ότι {{A}^{-1}}=B =\Gamma
γ) Έστω \displaystyle{A,B} πίνακες \displaystyle{\nu x \nu} όπου ο \displaystyle{B} είναι αντιστρέψιμος.
Να αποδείξετε ότι για κάθε \displaystyle{\kappa} θετικό ακέραιο ισχύει η σχέση {{\left( BA{B^{-1}} \right)}^{\kappa }}=B {A^{\kappa }}{B^{-1}}.
Θα κάνω μια προσπάθεια:

α) Είναι AB+BA={\mathbb O}\Rightarrow A(AB+BA)=A{\mathbb O}\Rightarrow A^{2}B+ABA={\mathbb O}\Rightarrow AB+ABA={\mathbb O}  (1), όμοια
(AB+BA)A={\mathbb O}\Rightarrow ABA+BA^{2}={\mathbb O}\Rightarrow ABA+BA={\mathbb O}  (2)

Έτσι και ABA+BA=AB+ABA\Rightarrow BA=AB και αφού AB+BA={\mathbb O}\Rightarrow AB=BA={\mathbb O}

β) Είναι \Gamma =\Gamma I\Rightarrow \Gamma  =\Gamma (AB)\Rightarrow \Gamma =(\Gamma A)B\Rightarrow \Gamma =IB\Rightarrow \Gamma =B

Από τη σχέση AB=\Gamma A=I\Rightarrow AB=BA=I άρα ο A αντιστρέφεται με A^{-1}=B

γ) Για k=1 προφανώς η σχέση ισχύει
Έστω ότι ισχύει για \kappa =\nu δηλαδή (BAB^{-1})^{\nu }=BA^{\nu }B^{-1}

Για \kappa =\nu +1 είναι (BAB^{-1})^{\nu +1}=(BAB^{-1})^{\nu }(BAB^{-1})=BA^{\nu }(B^{-1}B)AB^{-1}=BA^{\nu }IAB^{-1}=BA^{\nu +1}B^{-1} και το ζητούμενο έπεται από τη μαθηματική επαγωγή.


1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 420
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1990

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Τρί Ιουν 25, 2013 5:38 pm

parmenides51 έγραψε: 2. α) Να αποδείξετε ότι αν η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{[\alpha ,\beta]} και παραγωγίσιμη στο \displaystyle{(\alpha ,\beta)}
τότε υπάρχει \xi \in (\alpha ,\beta ) τέτοιο ώστε να είναι \displaystyle{{f}'(\xi )=\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }}.
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)=\frac{\alpha {{x}^{3}}}{3}+\left( \frac{\beta }{2}+\delta  \right){{x}^{2}}+\left( \gamma -\delta  \right)x+\delta} όπου \displaystyle{\alpha,\beta,\gamma,\delta} είναι πραγματικοί αριθμοί
και ισχύει \displaystyle{\frac{\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}+\gamma =0} .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει \xi \in \left( 0,1 \right) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} στο σημείο \left( \xi ,f(\xi ) \right)
να είναι παράλληλη προς τον άξονα {x}'x.

Πάμε να δούμε το ακόλουθο θεματάκι που είναι και απλό.

α) Θεωρία σχολικού βιβλίου

β) Μας δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\frac{\alpha x^{3}}{3}+(\frac{\beta }{2}+\delta )x^{2}+(\gamma -\delta )x+\delta} η οποία είναι:

\cdot Συνεχής στο διάστημα [0,1] ως πολυωνυμική,

\cdot Παραγωγίσιμη στο (0,1) για τον ίδιο λόγο.

και επιπλέον ισχύει: \displaystyle{f(0)=\delta} και \displaystyle{f(1)=\frac{\alpha }{3}+(\frac{\beta }{2}+\delta).1+(\gamma -\delta ).1+\delta =(\frac{\alpha }{3}+\frac{\beta }{2}+\gamma)+\delta =\delta}

προκύπτει αν εκμεταλλευτούμε τη δοσμένη σχέση εξ'υποθέσεως.

Άρα \displaystyle{f(0)=f(1)(=\delta )}

Χρησιμοποιώντας το α) ερώτημα, από θεώρημα Rolle \displaystyle{\exists \xi \in (0,1): f'(\xi )=0} από όπου αποδεικνύεται το ζητούμενο.


Χρήστος Λοΐζος
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1314
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1990

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Παρ Ιουν 28, 2013 9:44 pm

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)=3x+\frac{1}{2{{x}^{2}}}}
α) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν \displaystyle{E(\alpha)} του χωρίου που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} της ευθείας
με εξίσωση \displaystyle{y=3x} και των ευθειών με εξισώσεις \displaystyle{x=1} και \displaystyle{x=\alpha} με \displaystyle{\alpha >1}.
γ) Να υπολογίσετε το όριο του εμβαδού \displaystyle{E(\alpha)} του ανωτέρου χωρίου όταν το \displaystyle{\alpha} τείνει στο άπειρο.</div></blockquote>

α) Η f έχει πεδίο ορισμού το \displaystyle{A=\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}} και είναι συνεχής σε αυτό ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων . 
 
Επειδή \displaystyle{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 3x+\frac{1}{2{{x}^{2}}} \right)=+\infty } η \displaystyle{{{C}_{f}}} έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία \displaystyle{x=0}. 
 
Είναι \displaystyle{\lambda =\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 3+\frac{1}{2{{x}^{3}}} \right)=3} και \displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ f(x)-\lambda x \right]=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 3x+\frac{1}{2{{x}^{2}}}-3x \right)=0}. Άρα η ευθεία \displaystyle{y=3x} είναι πλάγια  
 
ασύμπτωτη της \displaystyle{{{C}_{f}}} στο \displaystyle{+\infty }. Όμοια βρίσκουμε ότι η \displaystyle{y=3x} είναι πλάγια ασύμπτωτη της \displaystyle{{{C}_{f}}} στο \displaystyle{-\infty }.  
 
β) Επειδή η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{\left[ 1,\alpha \right]} και \displaystyle{f(x)-\lambda x=\frac{1}{2{{x}^{2}}}>0} για κάθε \displaystyle{x\in \left[ 1,\alpha \right]}  
 
το ζητούμενο εμβαδό είναι \displaystyle{E\left( \alpha \right)=\int\limits_{1}^{\alpha }{(f(x)-3x)dx}=\int\limits_{1}^{\alpha }{\frac{1}{2{{x}^{2}}}dx}=\left[ -\frac{1}{2x} \right]_{\,1}^{\,\alpha }=\frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{\alpha } \right)}  
 
γ) Είναι \displaystyle{\underset{\text{ }\!\!\alpha\!\!\text{ }\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,E\left( \alpha \right)=\underset{\alpha \to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{1}{2}\left( 1-\frac{1}{\alpha } \right) \right]=\frac{1}{2}}$.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1314
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1990

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Σάβ Ιουν 29, 2013 12:07 am

parmenides51 έγραψε:3. α) Θεωρούμε κύκλο με κέντρο K({{x}_{0}},{{y}_{0}}) και ακτίνα \displaystyle{\rho} καθώς και σημείο A({{x}_{1}},{{y}_{1}}) αυτού του κύκλου.
Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο \displaystyle{A} έχει εξίσωση \left( x-{{x}_{0}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{0}} \right)+\left( y-{{y}_{0}} \right)\left( {{y}_{1}}-{{y}_{0}} \right)={{\rho }^{2}}.
β) Δίνονται η ευθεία \displaystyle{(\varepsilon)} με εξίσωση \displaystyle{5x+3y+2=0} και ο κύκλος \displaystyle{C} με εξίσωση {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-2=0 που τέμνονται στα σημεία \displaystyle{M} και \displaystyle{N}.
i) Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό \displaystyle{\lambda} η εξίσωση {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-2+\lambda \left( 5x+3y+2 \right)=0 παριστάνει κύκλο
ο οποίος περνάει από τα σημεία \displaystyle{M} και \displaystyle{N}. Για ποια τιμή του \displaystyle{\lambda} ο κύκλος αυτός περνάει από την αρχή των αξόνων;
ii) Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων του ερωτήματος (i) ανήκουν σε ευθεία {{\varepsilon }_{1}} της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
α) Θεωρία

β) \displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-2+\lambda \left( 5x+3y+2 \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\left( 5\lambda -1 \right)x+3\lambda y+2\lambda -2\,\,\,\left( 1 \right)}.

Έχουμε: \displaystyle{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}-4\Gamma ={{\left( 5\lambda -1 \right)}^{2}}+9{{\lambda }^{2}}-4\left( 2\lambda -2 \right)=25{{\lambda }^{2}}+{{\left[ 3\left( \lambda -1 \right) \right]}^{2}}>0}.

Άρα η δοσμένη εξίσωση παριστάνει κύκλο για κάθε \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}.

Οι συντεταγμένες των \displaystyle{M,N} επαληθεύουν τις \displaystyle{5x+3y+2=0,\,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-2=0}, άρα και την \left( 1 \right) για κάθε \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}},

δηλαδή τα \displaystyle{M,N} είναι κοινά των κύκλων που παριστάνει η \left( 1 \right).

Ένας κύκλος περνάει από την αρχή των αξόνων αν η εξίσωσή του επαληθεύεται για \displaystyle{x=0,\,\,\,y=0}, δηλαδή \displaystyle{2\lambda -2=0\Leftrightarrow \lambda =1}.

Έστω \displaystyle{K\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)} το κέντρο ενός κύκλου από αυτούς που παριστάνει η \left( 1 \right).

Τότε \displaystyle{\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=\left( -\frac{5\lambda -1}{2},-\frac{3\lambda }{2} \right)\Rightarrow \left( \lambda =\frac{1-2{{x}_{0}}}{5}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\lambda =\frac{-2{{y}_{0}}}{3} \right)\Rightarrow 6{{x}_{0}}-10{{y}_{0}}-3=0},

δηλαδή το \displaystyle{K} ανήκει στην ευθεία \displaystyle{6x-10y-3=0\,\,\,\left( {{\varepsilon }_{1}} \right)} και επειδή αυτό είναι τυχαίο, έπεται ότι όλα τα κέντρα ανήκουν στην \displaystyle{\left( {{\varepsilon }_{1}} \right)}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Α' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης