Α' ΔΕΣΜΗ 1992

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Α' ΔΕΣΜΗ 1992

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Ιουν 27, 2013 11:12 pm

1. α) Δίνονται ο \displaystyle{2x1} πίνακας u=\left[ \begin{matrix} 
	   x \\  
	  y \\  
	\end{matrix} \right]\ne \left[ \begin{matrix} 
	   0 \\  
	  0 \\  
	\end{matrix} \right] και ο \displaystyle{2x2} πίνακας A=\left[ \begin{matrix} 
	   \sigma \upsilon \nu \theta  & -\eta \mu \theta   \\ 
   \eta \mu \theta  & \sigma \upsilon \nu \theta   \\ 
\end{matrix} \right] με \theta \in (0,\pi ).
Να δειχθεί ότι οι πίνακες \displaystyle{u} και \displaystyle{Au} είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του διανυσματικού χώρου {{\Pi }_{2x1}} των πινάκων \displaystyle{2x1}.
β) i) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης {{z}^{2}}-\sqrt{2}(1-i)z-2i=0
ii) Να δειχθεί ότι η ευθεία που ορίζουν οι εικόνες των ριζών της παραπάνω εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο διέρχεται
από την εικόνα μιας ρίζας της εξίσωσης {{z}^{4}}+1=0.


2. α) Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα σημεία A({{x}_{1}},{{y}_{1}}),B({{x}_{2}},{{y}_{2}}),\Gamma ({{x}_{3}},{{y}_{3}}) δίνεται από τον τύπο \displaystyle{E =\frac{1}{2}|\left| \begin{matrix} 
   {{x}_{1}} & {{y}_{1}} & 1  \\ 
	   {{x}_{2}} & {{y}_{2}} & 1  \\ 
   {{x}_{3}} & {{y}_{3}} & 1  \\ 
	\end{matrix} \right||}
β.i) Δίνονται οι ευθείες \displaystyle{y=\lambda x} και \displaystyle{y=-\lambda x} με \displaystyle{\lambda>0} και \displaystyle{x>0} και ευθεία \displaystyle{(\varepsilon)} η οποία τις τέμνει στα σημεία \displaystyle{A} και \displaystyle{B} .
Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων \displaystyle{A} και \displaystyle{B} συναρτήσει των συντεταγμένων του μέσου \displaystyle{M} του ευθύγραμμου τμήματος \displaystyle{AB}.
ii) Να δειχθεί ότι το σημείο \displaystyle{M} γράφει τον ένα κλάδο υπερβολής όταν η ευθεία \displaystyle{(\varepsilon)} κινείται
έτσι ώστε τα τρίγωνο \displaystyle{OAB} να έχει σταθερό εμβαδόν {{\kappa }^{2}}.


3. α) i) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} ορισμένη και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα \displaystyle{\Delta} με τιμές στο \left( 0,+\infty  \right).
Να δειχθεί ότι η συνάρτηση \displaystyle{g} με g(x)=\ln f(x),\,\,x\in \Delta στρέφει τα κοίλα άνω
αν και μόνο αν ισχύει η σχέση f(x) {f}''(x)\ge {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}},\,\,\forall x\in \Delta.
ii) Να βρεθεί το μέγιστο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση \displaystyle{g} με g(x)=\ln \left( {{x}^{2}}+2 \right) στρέφει τα κοίλα άνω.
β) i) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα κοίλα η συνάρτηση \displaystyle{f} με f(x)={{\alpha }^{x}}-x,\,\,x\in \mathbb{R} και \displaystyle{0<\alpha<1}.
ii) Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του \displaystyle{\lambda} για τις οποίες ισχύει η ισότητα {{\alpha }^{{{\lambda }^{2}}-4}}-{{\alpha }^{\lambda -2}}=\left( {{\lambda }^{2}}-4 \right)-\left( \lambda -2 \right) όπου \displaystyle{0<\alpha<1}..


4. α) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} με f(x)=\left( x+4 \right){{e}^{-x}},\,\,x\in \mathbb{R} .
Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τα σημεία \displaystyle{(x,y)} με -1\le x\le 1,\,\,0\le y\le f(x).
β) i) Να αποδειχθεί ότι μια συνάρτηση \displaystyle{f} ορισμένη στο \mathbb{R} έχει την ιδιότητα {f}'=f
αν και μόνο αν f(x)=c{{e}^{x}} όπου \displaystyle{c} πραγματική σταθερά.
ii) Να βρεθεί η συνάρτηση \displaystyle{g} ορισμένη στο διάστημα \displaystyle{\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)} η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις
{g}'(x) \sigma \upsilon \nu x+g(x)\eta \mu x=g(x) \sigma \upsilon \nu x και g(0)=1992.


Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 420
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1992

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Παρ Ιουν 28, 2013 11:29 am

parmenides51 έγραψε: 2. α) Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα σημεία A({{x}_{1}},{{y}_{1}}),B({{x}_{2}},{{y}_{2}}),\Gamma ({{x}_{3}},{{y}_{3}}) δίνεται από τον τύπο \displaystyle{E =\frac{1}{2}|\left| \begin{matrix} 
   {{x}_{1}} & {{y}_{1}} & 1  \\ 
	   {{x}_{2}} & {{y}_{2}} & 1  \\ 
   {{x}_{3}} & {{y}_{3}} & 1  \\ 
	\end{matrix} \right||}
β.i) Δίνονται οι ευθείες \displaystyle{y=\lambda x} και \displaystyle{y=-\lambda x} με \displaystyle{\lambda>0} και \displaystyle{x>0} και ευθεία \displaystyle{(\varepsilon)} η οποία τις τέμνει στα σημεία \displaystyle{A} και \displaystyle{B} .
Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων \displaystyle{A} και \displaystyle{B} συναρτήσει των συντεταγμένων του μέσου \displaystyle{M} του ευθύγραμμου τμήματος \displaystyle{AB}.
ii) Να δειχθεί ότι το σημείο \displaystyle{M} γράφει τον ένα κλάδο υπερβολής όταν η ευθεία \displaystyle{(\varepsilon)} κινείται
έτσι ώστε τα τρίγωνο \displaystyle{OAB} να έχει σταθερό εμβαδόν {{\kappa }^{2}}.

Για να δούμε ένα ακόμη θέμα αναλυτικής γεωμετρίας ενδιαφέρον θα...έγραφα.

α) Θεωρία σχολικού βιβλίου

β)
i) Μας δίνονται οι ευθείες y=\lambda x, y=-\lambda x, \lambda >0 που ουσιαστικά είναι ημιευθείες αφού x>0

Έστω A,B τα σημεία τομής της ευθείας (\varepsilon ) με συντεταγμένες: A(x_{A},y_{A}), B(x_{B},y_{B})

Αφού το M μέσο των σημείων A,B τότε θα ισχύει: x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \wedge y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}

Δηλαδή x_{A}+x_{B}=2x_{M} (1) \wedge y_{A}+y_{B}=2y_{M} και τελικά προκύπτει y_{A}+y_{B}=2y_{M}\Leftrightarrow -\lambda x_{A}+\lambda  
 
x_{B}=2y_{M}\Leftrightarrow (x_{B}-x_{A}).\lambda =2y_{M}\Leftrightarrow x_{B}-x_{A}=\frac{2y_{M}}{\lambda }, \lambda >0 (2)

Προσθέτω τις σχέσεις (1), (2) και έχω: \left\{\begin{matrix} 
x_{B}+x_{A}=2x_{M} & \\  
 x_{B}-x_{A}=2\frac{y_{M}}{\lambda }&  
\end{matrix}\right.\overset{(+)}{\rightarrow} 2x_{B}=2x_{M}+\frac{2}{\lambda }.y_{M}\Leftrightarrow x_{B}=x_{M}+\frac{y_{M}}{\lambda }

Οπότε x_{A}=2x_{M}-x_{B}=2x_{M}-(x_{M}+\frac{y_{M}}{\lambda })=2x_{M}-x_{M}-\frac{y_{M}}{\lambda }=x_{M}-\frac{y_{M}}{\lambda }

Συνεπώς θα έχουμε A(x_{M}-\frac{y_{M}}{\lambda }, y_{M}-\lambda x_{M}) \wedge  
B(x_{M}+\frac{y_{M}}{\lambda },\lambda x_{M}+y_{M})

όπου είναι και οι ζητούμενες συντεταγμένες των σημείων συναρτήσει των συντεταγμένων του μέσου τους.

ii) Από τα δεδομένα της άσκησης και χρησιμοποιώντας το ερώτημα α), έχουμε ότι: (OAB)=\kappa ^{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\begin{Vmatrix} 
0 &0  &1 \\  
x_{M}-y_{M}/\lambda  & y_{M}-\lambda x_{M}    & 1 \\  
x_{M}+y_{M}/\lambda &\lambda x_{M}+y_{M}   & 1 
\end{Vmatrix}=\kappa ^{2} \Leftrightarrow  
\begin{Vmatrix} 
0 &0  &1 \\  
x_{M}-y_{M}/\lambda  & y_{M}-\lambda x_{M}    & 1 \\  
x_{M}+y_{M}/\lambda &\lambda x_{M}+y_{M}   & 1 
\end{Vmatrix}=2\kappa ^{2}

Οπότε τελικά έχουμε :\frac{\begin{vmatrix} 
(\lambda x_{M})^2-(y_{M})^2 
\end{vmatrix}}{\lambda }=\kappa ^{2}\Leftrightarrow  
\begin{vmatrix} 
(\lambda x_{M})^2-(y_{M})^2 
\end{vmatrix}=\lambda \kappa ^{2}\Leftrightarrow  
\left\{\begin{matrix} 
(\lambda x_{M})^2-(y_{M})^2=\lambda \kappa ^{2}\\  
(\lambda x_{M})^2-(y_{M})^2=-\lambda \kappa ^{2} 
\end{matrix}\right.

Η δεύτερη απορρίπτεται αφού μας δίνεται ότι x>0 και κατά συνέπεια έχουμε:

\displaystyle{\frac{x_{M}^{2}}{\frac{\kappa ^{2}}{\lambda }}-\frac{y_{M}^{2}}{\lambda \kappa ^{2}}=1, x>0} και με δεδομένο ότι οι τετμημένες είναι θετικές, ο γεωμετρικός

τόπος των σημείων M διαγράφει τον δεξί κλάδο της υπερβολής:

\displaystyle{\frac{x^{2}}{\frac{\kappa ^{2}}{\lambda }}-\frac{y^{2}}{\lambda \kappa ^{2}}=1, x>0}
τελευταία επεξεργασία από Christos75 σε Παρ Ιουν 28, 2013 2:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Λοΐζος
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 420
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1992

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Παρ Ιουν 28, 2013 12:47 pm

parmenides51 έγραψε: 3. α) i) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} ορισμένη και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα \displaystyle{\Delta} με τιμές στο \left( 0,+\infty  \right).
Να δειχθεί ότι η συνάρτηση \displaystyle{g} με g(x)=\ln f(x),\,\,x\in \Delta στρέφει τα κοίλα άνω
αν και μόνο αν ισχύει η σχέση f(x) {f}''(x)\ge {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}},\,\,\forall x\in \Delta.
ii) Να βρεθεί το μέγιστο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση \displaystyle{g} με g(x)=\ln \left( {{x}^{2}}+2 \right) στρέφει τα κοίλα άνω.
β) i) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα κοίλα η συνάρτηση \displaystyle{f} με f(x)={{\alpha }^{x}}-x,\,\,x\in \mathbb{R} και \displaystyle{0<\alpha<1}.
ii) Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του \displaystyle{\lambda} για τις οποίες ισχύει η ισότητα {{\alpha }^{{{\lambda }^{2}}-4}}-{{\alpha }^{\lambda -2}}=\left( {{\lambda }^{2}}-4 \right)-\left( \lambda -2 \right) όπου \displaystyle{0<\alpha<1}..
Πάμε να δούμε και το θέμα ανάλυσης της εποχής.

α)
i) Μας δίνεται η συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο \Delta με τιμές στο (0,+\infty ) που σημαίνει ότι : f(x)>0

Επίσης, η συνάρτηση g είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f, lnx και βεβαίως δύο φορές παραγωγίσιμη και αυτή για τους ίδιους λόγους.

Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο της g και έχουμε:

\displaystyle{g'(x)=(ln(f(x)))'\Leftrightarrow g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}}

Υπολογίζουμε εν συνεχεία και την δεύτερη παράγωγο και έχουμε:

\displaystyle{g''(x)=(\frac{f'(x)}{f(x)})'=\frac{f''(x).f(x)-[f'(x)]^2}{[f(x)]^{2}}}

Αφού η g κυρτή (στρέφει τα κοίλα άνω) τότε g''(x)\geq 0\Leftrightarrow f''(x).f(x)-[f'(x)]^2\geq 0\Leftrightarrow f''(x).f(x)\geq [f'(x)]^2 για κάθε x\in \Delta

ii) Μας δίνεται η συνάρτηση: \displaystyle{g(x)=ln(x^{2}+2), x^{2}+2>0} οπότε εάν θέσω \displaystyle{f(x)=x^2+2} από το ερώτημα i) παραπάνω, για να βρω το διάστημα στο οποίο η

g στρέφει τα κοίλα άνω, πρέπει: \displaystyle{f''(x).f(x)\geq [f'(x)]^2\Leftrightarrow 2(x^{2}+2)\geq (2x)^2\Leftrightarrow x^{2}\leq 2\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 
x 
\end{vmatrix}\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}, x\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]}

όπου είναι και το ζητούμενο διάστημα.

β)
i) Μας δίνεται η συνάρτηση: f(x)=\alpha ^{x}-x,  x\in \mathbb{R}\wedge 0<\alpha<1

Μας ζητάνε την μονοτονία της συνάρτησης f και είναι:

f'(x)=(\alpha^x-x)'=(\alpha ^{x})'-(x)'=\alpha ^{x}ln\alpha -1\Leftrightarrow f'(x)=\alpha ^{x}ln\alpha -1

Αφού 0<\alpha<1 τότε ln\alpha<0 οπότε f'(x)<0 αφού επιπλέον \alpha ^{x}>0

Συνεπώς η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο \mathbb{R} και συνεπώς είναι και 1-1

Επίσης f''(x)=(\alpha ^{x}ln\alpha-1)'=\alpha ^{x}(ln\alpha )^{2}>0\Leftrightarrow f''(x)>0 που σημαίνει ότι η εν λόγω συνάρτηση στρέφει τα κοίλα άνω.

ii) Έχουμε \alpha ^{\lambda ^{2}-4}-\alpha ^{\lambda -2}=(\lambda ^{2}-4)-(\lambda -2)\Leftrightarrow \alpha ^{\lambda ^{2}-4}-(\lambda ^{2}-4)=\alpha ^{\lambda -2}-(\lambda -2)\Leftrightarrow f(\lambda ^{2}-4)=f(\lambda -2)\overset{f 1-1}{\rightarrow}\lambda ^{2}-4=\lambda -2\Leftrightarrow \lambda ^{2}-\lambda -2=0\Leftrightarrow \lambda =-1, \lambda =2

όπου είναι και η ζητούμενες τιμές για το \lambda.


Χρήστος Λοΐζος
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1314
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1992

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Παρ Ιουν 28, 2013 2:48 pm

parmenides51 έγραψε:4. α) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} με f(x)=\left( x+4 \right){{e}^{-x}},\,\,x\in \mathbb{R} .
Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τα σημεία \displaystyle{(x,y)} με -1\le x\le 1,\,\,0\le y\le f(x).
β) i) Να αποδειχθεί ότι μια συνάρτηση \displaystyle{f} ορισμένη στο \mathbb{R} έχει την ιδιότητα {f}'=f
αν και μόνο αν f(x)=c{{e}^{x}} όπου \displaystyle{c} πραγματική σταθερά.
ii) Να βρεθεί η συνάρτηση \displaystyle{g} ορισμένη στο διάστημα \displaystyle{\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)} η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις
{g}'(x) \sigma \upsilon \nu x+g(x)\eta \mu x=g(x) \sigma \upsilon \nu x και g(0)=1992.
α) Είναι \displaystyle{E=\int\limits_{-1}^{1}{\left( x+4 \right){{e}^{-x}}dx}=-\int\limits_{-1}^{1}{\left( x+4 \right){{\left( {{e}^{-x}} \right)}^{\prime }}dx}=-\left[ \left( x+4 \right){{e}^{-x}} \right]_{-1}^{\,1}+\int\limits_{-1}^{1}{{{e}^{-x}}dx}=-\left[ \left( x+4 \right){{e}^{-x}} \right]_{-1}^{\,1}-\left[ {{e}^{-x}} \right]_{-1}^{\,1}=}
\displaystyle{=-\left( 5{{e}^{-1}}-3e \right)-\left( {{e}^{-1}}-e \right)=4e-6{{e}^{-1}}}.

\displaystyle{{{\beta }_{i}})} Είναι \displaystyle{{f}'(x)=f(x)\Leftrightarrow {{e}^{x}}{f}'(x)={{e}^{x}}f(x)\Leftrightarrow \frac{{{e}^{x}}{f}'(x)-f(x){{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}}{{{e}^{2x}}}=0\Leftrightarrow {{\left( \frac{f(x)}{{{e}^{x}}} \right)}^{\prime }}=0\Leftrightarrow }

\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{f(x)}{{{e}^{x}}}=c,\,\,\,c\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(x)=c{{e}^{x}},\,\,\,c\in \mathbb{R}}.

\displaystyle{{{\beta }_{ii}})} Είναι \displaystyle{\sigma \upsilon \nu x\ne 0,\,\,\,x\in \left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)}, οπότε \displaystyle{{g}'(x)\sigma \upsilon \nu x+g(x)\eta \mu x=g(x)\sigma \upsilon \nu x\Rightarrow \frac{{g}'(x)\sigma \upsilon \nu x-g(x){{\left( \sigma \upsilon \nu x \right)}^{\prime }}}{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}}=\frac{g(x)}{\sigma \upsilon \nu x}\Rightarrow }

\displaystyle{\Rightarrow {{\left( \frac{g(x)}{\sigma \upsilon \nu x} \right)}^{\prime }}=\frac{g(x)}{\sigma \upsilon \nu x}} και από το \displaystyle{{{\beta }_{i}})\Rightarrow g(x)=c{{e}^{x}}\sigma \upsilon \nu x,\,\,\,c\in \mathbb{R}\Rightarrow g(0)=c\Rightarrow c=1992\Rightarrow g(x)=1992{{e}^{x}}\sigma \upsilon \nu x}

Η συνάρτηση αυτή ικανοποιεί τις δοσμένες συνθήκες, οπότε είναι μοναδική.


Νίκος Ζαφειρόπουλος
Δημοσιεύσεις: 283
Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
Επικοινωνία:

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1992

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ζαφειρόπουλος » Κυρ Ιουν 30, 2013 11:30 am

parmenides51 έγραψε:1. α) Δίνονται ο \displaystyle{2x1} πίνακας u=\left[ \begin{matrix} 
	   x \\  
	  y \\  
	\end{matrix} \right]\ne \left[ \begin{matrix} 
	   0 \\  
	  0 \\  
	\end{matrix} \right] και ο \displaystyle{2x2} πίνακας A=\left[ \begin{matrix} 
	   \sigma \upsilon \nu \theta  & -\eta \mu \theta   \\ 
   \eta \mu \theta  & \sigma \upsilon \nu \theta   \\ 
\end{matrix} \right] με \theta \in (0,\pi ).
Να δειχθεί ότι οι πίνακες \displaystyle{u} και \displaystyle{Au} είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του διανυσματικού χώρου {{\Pi }_{2x1}} των πινάκων \displaystyle{2x1}.
β) i) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης {{z}^{2}}-\sqrt{2}(1-i)z-2i=0
ii) Να δειχθεί ότι η ευθεία που ορίζουν οι εικόνες των ριζών της παραπάνω εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο διέρχεται
από την εικόνα μιας ρίζας της εξίσωσης {{z}^{4}}+1=0.
α) Είναι
A\cdot u =\left[ \begin{matrix} 
	  x \sigma \upsilon \nu \theta -y\eta \mu \theta   \\ 
  x \eta \mu \theta+ y\sigma \upsilon \nu \theta   \\ 
\end{matrix} \right]
Έστω k_1 , k_2 \in \mathbb{R} με k_1 u +k_2 (A\cdot u) =\mathbb{O} \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 
	  k_1 x \\  
	 k_1 y \\  
	\end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} 
	  k_2x \sigma \upsilon \nu \theta  -k_2y\eta \mu \theta   \\ 
 k_2 x \eta \mu \theta + k_2 y\sigma \upsilon \nu \theta   \\ 
\end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 
	   0 \\  
	  0 \\  
	\end{matrix} \right]
Άρα \; 
 \left[ \begin{matrix} 
	 k_1x+k_2x \sigma \upsilon \nu \theta  -k_2y\eta \mu \theta   \\ 
 k_1 y+k_2 x \eta \mu \theta +k_2 y\sigma \upsilon \nu \theta   \\ 
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 
	   0 \\  
	  0 \\  
	\end{matrix} \right]\Leftrightarrow 
 \left\{ \begin{matrix} 
	 k_1x+k_2x \sigma \upsilon \nu \theta  -k_2y\eta \mu \theta =0  \\ 
 k_1 y+k_2 x \eta \mu \theta +k_2 y\sigma \upsilon \nu \theta  =0 \\ 
\end{matrix}\Leftrightarrow  
 \left\{ \begin{matrix} 
	 xk_1+(x \sigma \upsilon \nu \theta  -y\eta \mu \theta)k_2 =0  \\ 
         y k_1+(x \eta \mu \theta + y\sigma \upsilon \nu \theta)k_2  =0 \\ 
\end{matrix} \; \; \; (1)

Το σύστημα αυτό, με αγνώστους k_1 , k_2, είναι ομογενές 2\times 2 με ορίζουσα D=(x^2 +y^2)\eta\mu\theta \ne 0
γιατί x^2+y^2\ne 0 επειδή (x\ne 0 \vee y\ne 0) και \eta\mu\theta \ne αφού \theta \in (0,\pi ).
Άρα το σύστημα (1) έχει μοναδική λύση την k_1 =k_2 =0 και επομένως τα u , Au είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

β) Η εξίσωση {{z}^{2}}-\sqrt{2}(1-i)z-2i=0 \Leftrightarrow z^2 -\left(\sqrt 2 +(-i\sqrt 2)\right)z + \sqrt 2 (-i\sqrt 2)=0
έχει ρίζες \sqrt 2 και -i\sqrt 2

γ) Έστω M(\sqrt 2 , 0) και N(0,-\sqrt 2) οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης του ερωτήματος β.
Η εξίσωση της ευθείας MN είναι y=x-\sqrt 2
Η εξίσωση \; \; z^4 +1=0 \Leftrightarrow z^4=-1\Leftrightarrow z^4=\cos\pi +\sin\pi\; \; έχει ρίζες

\displaystyle z_k = \cos \frac{2k\pi +\pi}{4} +\sin \frac{2k\pi +\pi}{4} \; ,\; k=0,1,2,3
με \; \; \displaystyle z_0 = \frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2} \;\;\;  ,z_1 =- \frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}\;\;\; ,z_2 = -\frac{\sqrt 2}{2}-i\frac{\sqrt 2}{2}\;\;\;, z_3 = \frac{\sqrt 2}{2}-i\frac{\sqrt 2}{2}
Από τις ρίζες αυτές, μόνο η εικόνα της \; z_3\; ανήκει στην ευθεία \; MN


Απάντηση

Επιστροφή σε “Α' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης