Α' ΔΕΣΜΗ 1992
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Α' ΔΕΣΜΗ 1992
1. α) Δίνονται ο πίνακας και ο πίνακας με .
Να δειχθεί ότι οι πίνακες και είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του διανυσματικού χώρου των πινάκων .
β) i) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης
ii) Να δειχθεί ότι η ευθεία που ορίζουν οι εικόνες των ριζών της παραπάνω εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο διέρχεται
από την εικόνα μιας ρίζας της εξίσωσης .
2. α) Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα σημεία δίνεται από τον τύπο
β.i) Δίνονται οι ευθείες και με και και ευθεία η οποία τις τέμνει στα σημεία και .
Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων και συναρτήσει των συντεταγμένων του μέσου του ευθύγραμμου τμήματος .
ii) Να δειχθεί ότι το σημείο γράφει τον ένα κλάδο υπερβολής όταν η ευθεία κινείται
έτσι ώστε τα τρίγωνο να έχει σταθερό εμβαδόν .
3. α) i) Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα με τιμές στο .
Να δειχθεί ότι η συνάρτηση με στρέφει τα κοίλα άνω
αν και μόνο αν ισχύει η σχέση .
ii) Να βρεθεί το μέγιστο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση με στρέφει τα κοίλα άνω.
β) i) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα κοίλα η συνάρτηση με και .
ii) Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του για τις οποίες ισχύει η ισότητα όπου ..
4. α) Δίνεται η συνάρτηση με .
Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τα σημεία με .
β) i) Να αποδειχθεί ότι μια συνάρτηση ορισμένη στο έχει την ιδιότητα
αν και μόνο αν όπου πραγματική σταθερά.
ii) Να βρεθεί η συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις
και .
Να δειχθεί ότι οι πίνακες και είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του διανυσματικού χώρου των πινάκων .
β) i) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης
ii) Να δειχθεί ότι η ευθεία που ορίζουν οι εικόνες των ριζών της παραπάνω εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο διέρχεται
από την εικόνα μιας ρίζας της εξίσωσης .
2. α) Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα σημεία δίνεται από τον τύπο
β.i) Δίνονται οι ευθείες και με και και ευθεία η οποία τις τέμνει στα σημεία και .
Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων και συναρτήσει των συντεταγμένων του μέσου του ευθύγραμμου τμήματος .
ii) Να δειχθεί ότι το σημείο γράφει τον ένα κλάδο υπερβολής όταν η ευθεία κινείται
έτσι ώστε τα τρίγωνο να έχει σταθερό εμβαδόν .
3. α) i) Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα με τιμές στο .
Να δειχθεί ότι η συνάρτηση με στρέφει τα κοίλα άνω
αν και μόνο αν ισχύει η σχέση .
ii) Να βρεθεί το μέγιστο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση με στρέφει τα κοίλα άνω.
β) i) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα κοίλα η συνάρτηση με και .
ii) Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του για τις οποίες ισχύει η ισότητα όπου ..
4. α) Δίνεται η συνάρτηση με .
Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τα σημεία με .
β) i) Να αποδειχθεί ότι μια συνάρτηση ορισμένη στο έχει την ιδιότητα
αν και μόνο αν όπου πραγματική σταθερά.
ii) Να βρεθεί η συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις
και .
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1992
parmenides51 έγραψε: 2. α) Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα σημεία δίνεται από τον τύπο
β.i) Δίνονται οι ευθείες και με και και ευθεία η οποία τις τέμνει στα σημεία και .
Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων και συναρτήσει των συντεταγμένων του μέσου του ευθύγραμμου τμήματος .
ii) Να δειχθεί ότι το σημείο γράφει τον ένα κλάδο υπερβολής όταν η ευθεία κινείται
έτσι ώστε τα τρίγωνο να έχει σταθερό εμβαδόν .
Για να δούμε ένα ακόμη θέμα αναλυτικής γεωμετρίας ενδιαφέρον θα...έγραφα.
α) Θεωρία σχολικού βιβλίου
β)
i) Μας δίνονται οι ευθείες που ουσιαστικά είναι ημιευθείες αφού
Έστω τα σημεία τομής της ευθείας με συντεταγμένες:
Αφού το μέσο των σημείων τότε θα ισχύει:
Δηλαδή και τελικά προκύπτει
Προσθέτω τις σχέσεις και έχω:
Οπότε
Συνεπώς θα έχουμε
όπου είναι και οι ζητούμενες συντεταγμένες των σημείων συναρτήσει των συντεταγμένων του μέσου τους.
ii) Από τα δεδομένα της άσκησης και χρησιμοποιώντας το ερώτημα α), έχουμε ότι:
Οπότε τελικά έχουμε :
Η δεύτερη απορρίπτεται αφού μας δίνεται ότι και κατά συνέπεια έχουμε:
και με δεδομένο ότι οι τετμημένες είναι θετικές, ο γεωμετρικός
τόπος των σημείων διαγράφει τον δεξί κλάδο της υπερβολής:
τελευταία επεξεργασία από Christos75 σε Παρ Ιουν 28, 2013 2:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Χρήστος Λοΐζος
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1992
Πάμε να δούμε και το θέμα ανάλυσης της εποχής.parmenides51 έγραψε: 3. α) i) Δίνεται η συνάρτηση ορισμένη και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα με τιμές στο .
Να δειχθεί ότι η συνάρτηση με στρέφει τα κοίλα άνω
αν και μόνο αν ισχύει η σχέση .
ii) Να βρεθεί το μέγιστο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση με στρέφει τα κοίλα άνω.
β) i) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα κοίλα η συνάρτηση με και .
ii) Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του για τις οποίες ισχύει η ισότητα όπου ..
α)
i) Μας δίνεται η συνάρτηση η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο με τιμές στο που σημαίνει ότι :
Επίσης, η συνάρτηση είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων και βεβαίως δύο φορές παραγωγίσιμη και αυτή για τους ίδιους λόγους.
Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο της και έχουμε:
Υπολογίζουμε εν συνεχεία και την δεύτερη παράγωγο και έχουμε:
Αφού η κυρτή (στρέφει τα κοίλα άνω) τότε για κάθε
ii) Μας δίνεται η συνάρτηση: οπότε εάν θέσω από το ερώτημα i) παραπάνω, για να βρω το διάστημα στο οποίο η
στρέφει τα κοίλα άνω, πρέπει:
όπου είναι και το ζητούμενο διάστημα.
β)
i) Μας δίνεται η συνάρτηση:
Μας ζητάνε την μονοτονία της συνάρτησης και είναι:
Αφού τότε οπότε αφού επιπλέον
Συνεπώς η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο και συνεπώς είναι και
Επίσης που σημαίνει ότι η εν λόγω συνάρτηση στρέφει τα κοίλα άνω.
ii) Έχουμε
όπου είναι και η ζητούμενες τιμές για το .
Χρήστος Λοΐζος
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1992
ΠΕΡΙΤΤΑ
τελευταία επεξεργασία από orestisgotsis σε Κυρ Φεβ 25, 2024 9:46 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 303
- Εγγραφή: Κυρ Απρ 12, 2009 1:06 am
- Τοποθεσία: ΖΑΚΥΝΘΟΣ
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1992
α) Είναιparmenides51 έγραψε:1. α) Δίνονται ο πίνακας και ο πίνακας με .
Να δειχθεί ότι οι πίνακες και είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του διανυσματικού χώρου των πινάκων .
β) i) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης
ii) Να δειχθεί ότι η ευθεία που ορίζουν οι εικόνες των ριζών της παραπάνω εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο διέρχεται
από την εικόνα μιας ρίζας της εξίσωσης .
Έστω με
Άρα
Το σύστημα αυτό, με αγνώστους , είναι ομογενές με ορίζουσα
γιατί επειδή και αφού .
Άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση την και επομένως τα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.
β) Η εξίσωση
έχει ρίζες και
γ) Έστω και οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης του ερωτήματος β.
Η εξίσωση της ευθείας είναι
Η εξίσωση έχει ρίζες
με
Από τις ρίζες αυτές, μόνο η εικόνα της ανήκει στην ευθεία
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης