Α' ΔΕΣΜΗ 1992

parmenides51 · #1

1. α) Δίνονται ο $\displaystyle{2x1}$ πίνακας $u=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]\ne \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$ και ο $\displaystyle{2x2}$ πίνακας $A=\left[ \begin{matrix} \sigma \upsilon \nu \theta & -\eta \mu \theta \\ \eta \mu \theta & \sigma \upsilon \nu \theta \\ \end{matrix} \right]$ με $\theta \in (0,\pi )$ .
Να δειχθεί ότι οι πίνακες $\displaystyle{u}$ και $\displaystyle{Au}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του διανυσματικού χώρου ${{\Pi }_{2x1}}$ των πινάκων $\displaystyle{2x1}$ .
β) i) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης ${{z}^{2}}-\sqrt{2}(1-i)z-2i=0$
ii) Να δειχθεί ότι η ευθεία που ορίζουν οι εικόνες των ριζών της παραπάνω εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο διέρχεται
από την εικόνα μιας ρίζας της εξίσωσης ${{z}^{4}}+1=0$ .

2. α) Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα σημεία $A({{x}_{1}},{{y}_{1}}),B({{x}_{2}},{{y}_{2}}),\Gamma ({{x}_{3}},{{y}_{3}})$ δίνεται από τον τύπο $\displaystyle{E =\frac{1}{2}|\left| \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{y}_{1}} & 1 \\ {{x}_{2}} & {{y}_{2}} & 1 \\ {{x}_{3}} & {{y}_{3}} & 1 \\ \end{matrix} \right||}$
β.i) Δίνονται οι ευθείες $\displaystyle{y=\lambda x}$ και $\displaystyle{y=-\lambda x}$ με $\displaystyle{\lambda>0}$ και $\displaystyle{x>0}$ και ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ η οποία τις τέμνει στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ .
Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ συναρτήσει των συντεταγμένων του μέσου $\displaystyle{M}$ του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{AB}$ .
ii) Να δειχθεί ότι το σημείο $\displaystyle{M}$ γράφει τον ένα κλάδο υπερβολής όταν η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ κινείται
έτσι ώστε τα τρίγωνο $\displaystyle{OAB}$ να έχει σταθερό εμβαδόν ${{\kappa }^{2}}$ .

3. α) i) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ορισμένη και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ με τιμές στο $\left( 0,+\infty \right)$ .
Να δειχθεί ότι η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ με $g(x)=\ln f(x),\,\,x\in \Delta$ στρέφει τα κοίλα άνω
αν και μόνο αν ισχύει η σχέση $f(x) {f}''(x)\ge {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}},\,\,\forall x\in \Delta$ .
ii) Να βρεθεί το μέγιστο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ με $g(x)=\ln \left( {{x}^{2}}+2 \right)$ στρέφει τα κοίλα άνω.
β) i) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα κοίλα η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $f(x)={{\alpha }^{x}}-x,\,\,x\in \mathbb{R}$ και $\displaystyle{0<\alpha<1}$ .
ii) Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα ${{\alpha }^{{{\lambda }^{2}}-4}}-{{\alpha }^{\lambda -2}}=\left( {{\lambda }^{2}}-4 \right)-\left( \lambda -2 \right)$ όπου $\displaystyle{0<\alpha<1}$ ..

4. α) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $f(x)=\left( x+4 \right){{e}^{-x}},\,\,x\in \mathbb{R}$ .
Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τα σημεία $\displaystyle{(x,y)}$ με $-1\le x\le 1,\,\,0\le y\le f(x)$ .
β) i) Να αποδειχθεί ότι μια συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ορισμένη στο $\mathbb{R}$ έχει την ιδιότητα {f}'=f

αν και μόνο αν $f(x)=c{{e}^{x}}$ όπου $\displaystyle{c}$ πραγματική σταθερά.
ii) Να βρεθεί η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ ορισμένη στο διάστημα $\displaystyle{\left( -\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2} \right)}$ η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις
${g}'(x) \sigma \upsilon \nu x+g(x)\eta \mu x=g(x) \sigma \upsilon \nu x$ και g(0)=1992

.

Christos75 · #2

parmenides51 έγραψε: 2. α) Να δειχθεί ότι το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές τα σημεία $A({{x}_{1}},{{y}_{1}}),B({{x}_{2}},{{y}_{2}}),\Gamma ({{x}_{3}},{{y}_{3}})$ δίνεται από τον τύπο $\displaystyle{E =\frac{1}{2}|\left| \begin{matrix} {{x}_{1}} & {{y}_{1}} & 1 \\ {{x}_{2}} & {{y}_{2}} & 1 \\ {{x}_{3}} & {{y}_{3}} & 1 \\ \end{matrix} \right||}$
β.i) Δίνονται οι ευθείες $\displaystyle{y=\lambda x}$ και $\displaystyle{y=-\lambda x}$ με $\displaystyle{\lambda>0}$ και $\displaystyle{x>0}$ και ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ η οποία τις τέμνει στα σημεία $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ .
Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ συναρτήσει των συντεταγμένων του μέσου $\displaystyle{M}$ του ευθύγραμμου τμήματος $\displaystyle{AB}$ .
ii) Να δειχθεί ότι το σημείο $\displaystyle{M}$ γράφει τον ένα κλάδο υπερβολής όταν η ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon)}$ κινείται
έτσι ώστε τα τρίγωνο $\displaystyle{OAB}$ να έχει σταθερό εμβαδόν ${{\kappa }^{2}}$ .

Για να δούμε ένα ακόμη θέμα αναλυτικής γεωμετρίας ενδιαφέρον θα...έγραφα.

α) Θεωρία σχολικού βιβλίου

β)
i) Μας δίνονται οι ευθείες $y=\lambda x, y=-\lambda x, \lambda >0$ που ουσιαστικά είναι ημιευθείες αφού x>0

Έστω

τα σημεία τομής της ευθείας $(\varepsilon )$ με συντεταγμένες: $A(x_{A},y_{A}), B(x_{B},y_{B})$

Αφού το

μέσο των σημείων A,B

τότε θα ισχύει: $x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2} \wedge y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$

Δηλαδή $x_{A}+x_{B}=2x_{M} (1) \wedge y_{A}+y_{B}=2y_{M}$ και τελικά προκύπτει $y_{A}+y_{B}=2y_{M}\Leftrightarrow -\lambda x_{A}+\lambda x_{B}=2y_{M}\Leftrightarrow (x_{B}-x_{A}).\lambda =2y_{M}\Leftrightarrow x_{B}-x_{A}=\frac{2y_{M}}{\lambda }, \lambda >0 (2)$

Προσθέτω τις σχέσεις (1), (2)

και έχω: $\left\{\begin{matrix} x_{B}+x_{A}=2x_{M} & \\ x_{B}-x_{A}=2\frac{y_{M}}{\lambda }& \end{matrix}\right.\overset{(+)}{\rightarrow} 2x_{B}=2x_{M}+\frac{2}{\lambda }.y_{M}\Leftrightarrow x_{B}=x_{M}+\frac{y_{M}}{\lambda }$

Οπότε $x_{A}=2x_{M}-x_{B}=2x_{M}-(x_{M}+\frac{y_{M}}{\lambda })=2x_{M}-x_{M}-\frac{y_{M}}{\lambda }=x_{M}-\frac{y_{M}}{\lambda }$

Συνεπώς θα έχουμε $A(x_{M}-\frac{y_{M}}{\lambda }, y_{M}-\lambda x_{M}) \wedge B(x_{M}+\frac{y_{M}}{\lambda },\lambda x_{M}+y_{M})$

όπου είναι και οι ζητούμενες συντεταγμένες των σημείων συναρτήσει των συντεταγμένων του μέσου τους.

ii) Από τα δεδομένα της άσκησης και χρησιμοποιώντας το ερώτημα α), έχουμε ότι: $(OAB)=\kappa ^{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\begin{Vmatrix} 0 &0 &1 \\ x_{M}-y_{M}/\lambda & y_{M}-\lambda x_{M} & 1 \\ x_{M}+y_{M}/\lambda &\lambda x_{M}+y_{M} & 1 \end{Vmatrix}=\kappa ^{2} \Leftrightarrow \begin{Vmatrix} 0 &0 &1 \\ x_{M}-y_{M}/\lambda & y_{M}-\lambda x_{M} & 1 \\ x_{M}+y_{M}/\lambda &\lambda x_{M}+y_{M} & 1 \end{Vmatrix}=2\kappa ^{2}$

Οπότε τελικά έχουμε : $\frac{\begin{vmatrix} (\lambda x_{M})^2-(y_{M})^2 \end{vmatrix}}{\lambda }=\kappa ^{2}\Leftrightarrow \begin{vmatrix} (\lambda x_{M})^2-(y_{M})^2 \end{vmatrix}=\lambda \kappa ^{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (\lambda x_{M})^2-(y_{M})^2=\lambda \kappa ^{2}\\ (\lambda x_{M})^2-(y_{M})^2=-\lambda \kappa ^{2} \end{matrix}\right.$

Η δεύτερη απορρίπτεται αφού μας δίνεται ότι x>0

και κατά συνέπεια έχουμε:

$\displaystyle{\frac{x_{M}^{2}}{\frac{\kappa ^{2}}{\lambda }}-\frac{y_{M}^{2}}{\lambda \kappa ^{2}}=1, x>0}$ και με δεδομένο ότι οι τετμημένες είναι θετικές, ο γεωμετρικός

τόπος των σημείων

διαγράφει τον δεξί κλάδο της υπερβολής:

$\displaystyle{\frac{x^{2}}{\frac{\kappa ^{2}}{\lambda }}-\frac{y^{2}}{\lambda \kappa ^{2}}=1, x>0}$

Christos75 · #3

parmenides51 έγραψε: 3. α) i) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ ορισμένη και δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ με τιμές στο $\left( 0,+\infty \right)$ .
Να δειχθεί ότι η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ με $g(x)=\ln f(x),\,\,x\in \Delta$ στρέφει τα κοίλα άνω
αν και μόνο αν ισχύει η σχέση $f(x) {f}''(x)\ge {{\left[ {f}'(x) \right]}^{2}},\,\,\forall x\in \Delta$ .
ii) Να βρεθεί το μέγιστο διάστημα στο οποίο η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ με $g(x)=\ln \left( {{x}^{2}}+2 \right)$ στρέφει τα κοίλα άνω.
β) i) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία και τα κοίλα η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με $f(x)={{\alpha }^{x}}-x,\,\,x\in \mathbb{R}$ και $\displaystyle{0<\alpha<1}$ .
ii) Να βρεθούν οι πραγματικές τιμές του $\displaystyle{\lambda}$ για τις οποίες ισχύει η ισότητα ${{\alpha }^{{{\lambda }^{2}}-4}}-{{\alpha }^{\lambda -2}}=\left( {{\lambda }^{2}}-4 \right)-\left( \lambda -2 \right)$ όπου $\displaystyle{0<\alpha<1}$ ..

Πάμε να δούμε και το θέμα ανάλυσης της εποχής.

α)
i) Μας δίνεται η συνάρτηση

η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\Delta$ με τιμές στο $(0,+\infty )$ που σημαίνει ότι : f(x)>0

Επίσης, η συνάρτηση

είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων f, lnx

και βεβαίως δύο φορές παραγωγίσιμη και αυτή για τους ίδιους λόγους.

Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο της

και έχουμε:

$\displaystyle{g'(x)=(ln(f(x)))'\Leftrightarrow g'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}}$

Υπολογίζουμε εν συνεχεία και την δεύτερη παράγωγο και έχουμε:

$\displaystyle{g''(x)=(\frac{f'(x)}{f(x)})'=\frac{f''(x).f(x)-[f'(x)]^2}{[f(x)]^{2}}}$

Αφού η

κυρτή (στρέφει τα κοίλα άνω) τότε $g''(x)\geq 0\Leftrightarrow f''(x).f(x)-[f'(x)]^2\geq 0\Leftrightarrow f''(x).f(x)\geq [f'(x)]^2$ για κάθε $x\in \Delta$

ii) Μας δίνεται η συνάρτηση: $\displaystyle{g(x)=ln(x^{2}+2), x^{2}+2>0}$ οπότε εάν θέσω $\displaystyle{f(x)=x^2+2}$ από το ερώτημα i) παραπάνω, για να βρω το διάστημα στο οποίο η

στρέφει τα κοίλα άνω, πρέπει: $\displaystyle{f''(x).f(x)\geq [f'(x)]^2\Leftrightarrow 2(x^{2}+2)\geq (2x)^2\Leftrightarrow x^{2}\leq 2\Leftrightarrow \begin{vmatrix} x \end{vmatrix}\leq \sqrt{2}\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}, x\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]}$

όπου είναι και το ζητούμενο διάστημα.

β)
i) Μας δίνεται η συνάρτηση: $f(x)=\alpha ^{x}-x, x\in \mathbb{R}\wedge 0<\alpha<1$

Μας ζητάνε την μονοτονία της συνάρτησης

και είναι:

$f'(x)=(\alpha^x-x)'=(\alpha ^{x})'-(x)'=\alpha ^{x}ln\alpha -1\Leftrightarrow f'(x)=\alpha ^{x}ln\alpha -1$

Αφού $0<\alpha<1$ τότε $ln\alpha<0$ οπότε f'(x)<0

αφού επιπλέον $\alpha ^{x}>0$

Συνεπώς η συνάρτηση

είναι γνησίως φθίνουσα στο $\mathbb{R}$ και συνεπώς είναι και 1-1

Επίσης $f''(x)=(\alpha ^{x}ln\alpha-1)'=\alpha ^{x}(ln\alpha )^{2}>0\Leftrightarrow f''(x)>0$ που σημαίνει ότι η εν λόγω συνάρτηση στρέφει τα κοίλα άνω.

ii) Έχουμε $\alpha ^{\lambda ^{2}-4}-\alpha ^{\lambda -2}=(\lambda ^{2}-4)-(\lambda -2)\Leftrightarrow \alpha ^{\lambda ^{2}-4}-(\lambda ^{2}-4)=\alpha ^{\lambda -2}-(\lambda -2)\Leftrightarrow f(\lambda ^{2}-4)=f(\lambda -2)\overset{f 1-1}{\rightarrow}\lambda ^{2}-4=\lambda -2\Leftrightarrow \lambda ^{2}-\lambda -2=0\Leftrightarrow \lambda =-1, \lambda =2$

όπου είναι και η ζητούμενες τιμές για το $\lambda$ .

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #5

parmenides51 έγραψε:1. α) Δίνονται ο $\displaystyle{2x1}$ πίνακας $u=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right]\ne \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$ και ο $\displaystyle{2x2}$ πίνακας $A=\left[ \begin{matrix} \sigma \upsilon \nu \theta & -\eta \mu \theta \\ \eta \mu \theta & \sigma \upsilon \nu \theta \\ \end{matrix} \right]$ με $\theta \in (0,\pi )$ .
Να δειχθεί ότι οι πίνακες $\displaystyle{u}$ και $\displaystyle{Au}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα στοιχεία του διανυσματικού χώρου ${{\Pi }_{2x1}}$ των πινάκων $\displaystyle{2x1}$ .
β) i) Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης ${{z}^{2}}-\sqrt{2}(1-i)z-2i=0$
ii) Να δειχθεί ότι η ευθεία που ορίζουν οι εικόνες των ριζών της παραπάνω εξίσωσης στο μιγαδικό επίπεδο διέρχεται
από την εικόνα μιας ρίζας της εξίσωσης ${{z}^{4}}+1=0$ .

α) Είναι
$A\cdot u =\left[ \begin{matrix} x \sigma \upsilon \nu \theta -y\eta \mu \theta \\ x \eta \mu \theta+ y\sigma \upsilon \nu \theta \\ \end{matrix} \right]$
Έστω $k_1 , k_2 \in \mathbb{R}$ με $k_1 u +k_2 (A\cdot u) =\mathbb{O} \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} k_1 x \\ k_1 y \\ \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} k_2x \sigma \upsilon \nu \theta -k_2y\eta \mu \theta \\ k_2 x \eta \mu \theta + k_2 y\sigma \upsilon \nu \theta \\ \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]$
Άρα $\; \left[ \begin{matrix} k_1x+k_2x \sigma \upsilon \nu \theta -k_2y\eta \mu \theta \\ k_1 y+k_2 x \eta \mu \theta +k_2 y\sigma \upsilon \nu \theta \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} k_1x+k_2x \sigma \upsilon \nu \theta -k_2y\eta \mu \theta =0 \\ k_1 y+k_2 x \eta \mu \theta +k_2 y\sigma \upsilon \nu \theta =0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} xk_1+(x \sigma \upsilon \nu \theta -y\eta \mu \theta)k_2 =0 \\ y k_1+(x \eta \mu \theta + y\sigma \upsilon \nu \theta)k_2 =0 \\ \end{matrix} \; \; \; (1)$

Το σύστημα αυτό, με αγνώστους k_1 , k_2

, είναι ομογενές $2\times 2$ με ορίζουσα $D=(x^2 +y^2)\eta\mu\theta \ne 0$
γιατί $x^2+y^2\ne 0$ επειδή $(x\ne 0 \vee y\ne 0)$ και $\eta\mu\theta \ne$ αφού $\theta \in (0,\pi )$ .
Άρα το σύστημα (1)

έχει μοναδική λύση την k_1 =k_2 =0

και επομένως τα u , Au

είναι γραμμικώς ανεξάρτητα.

β) Η εξίσωση ${{z}^{2}}-\sqrt{2}(1-i)z-2i=0 \Leftrightarrow z^2 -\left(\sqrt 2 +(-i\sqrt 2)\right)z + \sqrt 2 (-i\sqrt 2)=0$
έχει ρίζες $\sqrt 2$ και $-i\sqrt 2$

γ) Έστω $M(\sqrt 2 , 0)$ και $N(0,-\sqrt 2)$ οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης του ερωτήματος β.
Η εξίσωση της ευθείας

είναι $y=x-\sqrt 2$
Η εξίσωση $\; \; z^4 +1=0 \Leftrightarrow z^4=-1\Leftrightarrow z^4=\cos\pi +\sin\pi\; \;$ έχει ρίζες

$\displaystyle z_k = \cos \frac{2k\pi +\pi}{4} +\sin \frac{2k\pi +\pi}{4} \; ,\; k=0,1,2,3$
με $\; \; \displaystyle z_0 = \frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2} \;\;\; ,z_1 =- \frac{\sqrt 2}{2}+i\frac{\sqrt 2}{2}\;\;\; ,z_2 = -\frac{\sqrt 2}{2}-i\frac{\sqrt 2}{2}\;\;\;, z_3 = \frac{\sqrt 2}{2}-i\frac{\sqrt 2}{2}$
Από τις ρίζες αυτές, μόνο η εικόνα της $\; z_3\;$ ανήκει στην ευθεία $\; MN$

Α' ΔΕΣΜΗ 1992

Α' ΔΕΣΜΗ 1992

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1992

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1992

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1992

Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1992

Μέλη σε σύνδεση