Α' ΔΕΣΜΗ 1993
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Α' ΔΕΣΜΗ 1993
1. α) Τα διανύσματα του επιπέδου ικανοποιούν τη σχέση .
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Αν να εκφράσετε το διάνυσμα ως συνάρτηση των
β) Για τον αντιστρέψιμο πίνακα τύπου ορίζουμε τα πολυώνυμα
όπου ο μοναδιαίος πίνακας και πραγματικός αριθμός.
Να αποδείξετε ότι αν τότε
i)
ii)
2. α) Δίνεται η συνάρτηση και
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Να βρείτε το είδος της καμπύλης στην οποία ανήκουν τα σημεία για τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί
με ικανοποιούν την σχέση
β) Δίνεται η έλλειψη με και το σημείο .
Μια μεταβλητή ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης διέρχεται από το σταθερό σημείο και τέμνει τις εφαπτόμενες της έλλειψης
στα άκρα του μεγάλου άξονά της στα σημεία και .
i) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ως συνάρτηση του .
ii) Να βρείτε την τιμή του ώστε ο κύκλος με διάμετρο να διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης.
3. α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο τότε
i) Υπάρχουν τέτοια ώστε .
ii) Υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε .
β) Δίνεται η συνάρτηση με
i) Να εξετάσετε την μονοτονία της συνάρτησης
ii) Να υπολογίσετε το
4. α) Δίνεται η ορθή γωνία και το ευθύγραμμο τμήμα μήκους m του οποίου τα άκρα και ολισθαίνουν πάνω
στις πλευρές και αντιστοίχως .
Το σημείο κινείται με σταθερή ταχύτητα m/sec και η θέση του πάνω στον άξονα δίνεται από τη συνάρτηση
όπου ο χρόνος σε sec
i) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση του χρόνου.
ii) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού τη στιγμή κατά την οποία το μήκος του τμήματος είναι m;
β) Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Αν να εκφράσετε το διάνυσμα ως συνάρτηση των
β) Για τον αντιστρέψιμο πίνακα τύπου ορίζουμε τα πολυώνυμα
όπου ο μοναδιαίος πίνακας και πραγματικός αριθμός.
Να αποδείξετε ότι αν τότε
i)
ii)
2. α) Δίνεται η συνάρτηση και
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Να βρείτε το είδος της καμπύλης στην οποία ανήκουν τα σημεία για τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί
με ικανοποιούν την σχέση
β) Δίνεται η έλλειψη με και το σημείο .
Μια μεταβλητή ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης διέρχεται από το σταθερό σημείο και τέμνει τις εφαπτόμενες της έλλειψης
στα άκρα του μεγάλου άξονά της στα σημεία και .
i) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ως συνάρτηση του .
ii) Να βρείτε την τιμή του ώστε ο κύκλος με διάμετρο να διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης.
3. α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο τότε
i) Υπάρχουν τέτοια ώστε .
ii) Υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε .
β) Δίνεται η συνάρτηση με
i) Να εξετάσετε την μονοτονία της συνάρτησης
ii) Να υπολογίσετε το
4. α) Δίνεται η ορθή γωνία και το ευθύγραμμο τμήμα μήκους m του οποίου τα άκρα και ολισθαίνουν πάνω
στις πλευρές και αντιστοίχως .
Το σημείο κινείται με σταθερή ταχύτητα m/sec και η θέση του πάνω στον άξονα δίνεται από τη συνάρτηση
όπου ο χρόνος σε sec
i) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση του χρόνου.
ii) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού τη στιγμή κατά την οποία το μήκος του τμήματος είναι m;
β) Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1993
Πάμε να δούμε τα θέματα και εκείνης της χρονιάς.parmenides51 έγραψε:1. α) Τα διανύσματα του επιπέδου ικανοποιούν τη σχέση .
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Αν να εκφράσετε το διάνυσμα ως συνάρτηση των
β) Για τον αντιστρέψιμο πίνακα τύπου ορίζουμε τα πολυώνυμα
όπου ο μοναδιαίος πίνακας και πραγματικός αριθμός.
Να αποδείξετε ότι αν τότε
i)
ii)
α)
i) Μας δίνεται η σχέση:
Από πολλαπλάσιάζοντάς την με διάνυσμα θα γίνει:
αφού
ii) Από την δοσμένη σχέση έχω: και αντικαθιστώ το γινόμενο
με αυτό που βρήκα στο προηγούμενο ερώτημα και έχω:
Συνεπώς, έχουμε βγάλει το διάνυσμα συναρτήσει των .
β)
i) Μας δίνεται το πολυώνυμο και θέλουμε να δείξουμε ότι
Θα χρησιμοποιήσουμε την απαγωγή σε άτοπο για να αποδείξουμε το ζητούμενο.
Πράγματι εάν τότε αφού ΑΤΟΠΟ, αφού ο πίνακας
αντιστρέψιμος. Άρα
ii) θέλουμε να δείξουμε ότι
Πράγματι, είναι
αφού από τα δεδομένα της υπόθεσης και
,
αφού πίνακας αντιστρέψιμος εξ ' υποθέσεως.
Συνεπώς
τελευταία επεξεργασία από Christos75 σε Σάβ Ιουν 29, 2013 9:51 am, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Χρήστος Λοΐζος
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1993
αi)Θεωρίαparmenides51 έγραψε:
3. α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο τότε
i) Υπάρχουν τέτοια ώστε .
ii) Υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε .
β) Δίνεται η συνάρτηση με
i) Να εξετάσετε την μονοτονία της συνάρτησης
ii) Να υπολογίσετε το
αii)Θέωρημα Μέσης Τιμής Ολοκληρωτικού Λογισμού
βi)Για κάθε έχουμε,
Συνεπώς, η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.
βii)Για κάθε έχουμε
Είναι,
Επομένως, από το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών συναρτήσεων, έχουμε ότι
Παπαπέτρος Ευάγγελος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1993
4. α) Δίνεται η ορθή γωνία και το ευθύγραμμο τμήμα μήκους m του οποίου τα άκρα και ολισθαίνουν πάνω
στις πλευρές και αντιστοίχως .
Το σημείο κινείται με σταθερή ταχύτητα m/sec και η θέση του πάνω στον άξονα δίνεται από τη συνάρτηση
όπου ο χρόνος σε sec
i) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση του χρόνου.
ii) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού τη στιγμή κατά την οποία το μήκος του τμήματος είναι m;
β) Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει
Λύση
α) i) Είναι : και από το Πυθαγόρειο : επομένως για το εμβαδόν θα ισχύει :
.
ii) Την τυχαία χρονική στιγμή ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού είναι :
. Έστω η στιγμή που .
Τότε άρα ο
ρυθμός μεταβολής είναι :
β) H είναι συνεχής άρα το ολοκλήρωμα είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση. Επίσης, αν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη της δοσμένης με
έχουμε και άρα η είναι παραγωγίσιμη στο .
Παραγωγίζουμε τα μέλη της δοσμένης και έχουμε :
και αφού η είναι συνεχής στο έχουμε : .
Για έχουμε : και από τη δοσμένη :
Τελικά :
στις πλευρές και αντιστοίχως .
Το σημείο κινείται με σταθερή ταχύτητα m/sec και η θέση του πάνω στον άξονα δίνεται από τη συνάρτηση
όπου ο χρόνος σε sec
i) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου ως συνάρτηση του χρόνου.
ii) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού τη στιγμή κατά την οποία το μήκος του τμήματος είναι m;
β) Να βρεθεί η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει
Λύση
α) i) Είναι : και από το Πυθαγόρειο : επομένως για το εμβαδόν θα ισχύει :
.
ii) Την τυχαία χρονική στιγμή ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού είναι :
. Έστω η στιγμή που .
Τότε άρα ο
ρυθμός μεταβολής είναι :
β) H είναι συνεχής άρα το ολοκλήρωμα είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση. Επίσης, αν πολλαπλασιάσουμε τα μέλη της δοσμένης με
έχουμε και άρα η είναι παραγωγίσιμη στο .
Παραγωγίζουμε τα μέλη της δοσμένης και έχουμε :
και αφού η είναι συνεχής στο έχουμε : .
Για έχουμε : και από τη δοσμένη :
Τελικά :
- Συνημμένα
-
- desmi.png (4.41 KiB) Προβλήθηκε 2858 φορές
Γιώργος
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1993
Για να δούμε ακόμα ένα θεματάκι αναλυτικής γεωμετρίας.parmenides51 έγραψε: 2. α) Δίνεται η συνάρτηση και
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Να βρείτε το είδος της καμπύλης στην οποία ανήκουν τα σημεία για τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί
με ικανοποιούν την σχέση
β) Δίνεται η έλλειψη με και το σημείο .
Μια μεταβλητή ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης διέρχεται από το σταθερό σημείο και τέμνει τις εφαπτόμενες της έλλειψης
στα άκρα του μεγάλου άξονά της στα σημεία και .
i) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου με διάμετρο ως συνάρτηση του .
ii) Να βρείτε την τιμή του ώστε ο κύκλος με διάμετρο να διέρχεται από τις εστίες της έλλειψης.
Λύση
α)
i) θέλουμε να δείξουμε ότι
Πράγματι
όπου και αποδείξαμε αυτό μου μας ζητήθηκε.
ii)
Έχουμε
Όμως:
επίσης
Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στη σχέση:
και τελικά
που σημαίνει ότι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι έλλειψη.
β)
i) Μας δίνεται η έλλειψη που σημαίνει ότι έχει τις εστίες τις στον άξονα
και κατά συνέπεια αυτός είναι και ο μεγάλος άξονάς της.
Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο έχει εξίσωση
Τα σημεία τα οποία είναι σημεία τομής της παραπάνω ευθείας με τις εφαπτομένες τις έλλειψης του μεγάλου άξονα προκύπτουν από τη λύση των δύο
συστημάτων :
Ομοίως
Επίσης, η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου προκύπτει από
αφού .
Συνεπώς ο ζητούμενος κύκλος είναι:
ii) Οι εστίες της έλλειψης, δίνονται ως εξής: με
Για να περνάει ο κύκλος από τις εστίες της έλλειψης πρέπει να ισχύει:
Δηλαδή:
ή
που είναι και οι ζητούμενες τιμές για το .
τελευταία επεξεργασία από Christos75 σε Σάβ Ιουν 29, 2013 5:31 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.
Χρήστος Λοΐζος
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Α' ΔΕΣΜΗ 1993
Έχω μία ένσταση για τη διατύπωση του 2ii και αυτό διότι δε φαίνεται εκ των προτέρων ότι οι είναι σταθεροί αριθμοί για να συμπεράνουμε ότι τελικά η εξίσωσηparmenides51 έγραψε: 2. α) Δίνεται η συνάρτηση και
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Να βρείτε το είδος της καμπύλης στην οποία ανήκουν τα σημεία για τα οποία οι μιγαδικοί αριθμοί
με ικανοποιούν την σχέση
στην οποία καταλήγουμε, παριστάνει έλλειψη.
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες