A' ΔΕΣΜΗ 2000

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

A' ΔΕΣΜΗ 2000

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Ιούλ 06, 2013 12:32 pm

1. α) Αν \displaystyle{z_1 = \rho_1 (\sigma \upsilon\nu \theta_1 + i \eta \mu \theta_1)} και \displaystyle{ z_2 = \rho_2(\sigma \upsilon\nu \theta_2 + i \eta \mu \theta_2)} είναι η τριγωνομετρική μορφή των μιγαδικών αριθμών \displaystyle{z_1} και \displaystyle{z_2}
τότε να αποδείξετε ότι \displaystyle{z_1 z_2 = \rho_1\rho_2 (\sigma \upsilon\nu( \theta_1+ \theta_2) + i \eta \mu (\theta_1+ \theta_2)}
β) ΄Εστω \displaystyle{\Omega =\left\{ 1,2,...,10 \right\}} είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα.
Αν \displaystyle{\lambda \in \Omega }, θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} }, με \displaystyle{f(x)=\frac{1}{3}} x^3 -2x^2+3x+\lambda ^2\,\,,    x \in \mathbb{R} }.
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα \displaystyle{X,Y} όπου :
\displaystyle{X=\{} Η μέγιστη τιμή της \displaystyle{f} στο \displaystyle{[0,5]}, είναι μεγαλύτερη ή ίση του \displaystyle{\frac{68}{3} \left\}}.
\displaystyle{Y=\{}Η ελάχιστη τιμή της \displaystyle{f} στο \displaystyle{[0,5]}, είναι μικρότερη ή ίση του \displaystyle{4 \}}.
Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων \displaystyle{X,Y,  X\cap  Y} και \displaystyle{X\cup Y}


2. α) ΄Εστω ότι \displaystyle{A,B} είναι \displaystyle{ \nu \, x \, \nu} πίνακες, με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τέτοιοι, ώστε \displaystyle{4A^2-B^2=\mathbb{I}} και \displaystyle{AB=BA},
όπου \displaystyle{\mathbb{I}} είναι ο \displaystyle{ \nu \, x \, \nu} μοναδιαίος πίνακας.
i) Να αποδείξετε ότι οι πίνακες \displaystyle{2A+B} και \displaystyle{2A-B} είναι αντιστρέψιμοι.
ii) ΄Εστω \displaystyle{X,Y} είναι νxν πίνακες τέτοιοι, ώστε \displaystyle{2AX+BY=2A+\mathbb{I}} και \displaystyle{BX+2AY=B}.
1. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{X=2A+\mathbb{I}} και \displaystyle{Y=-B} .
2. Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα του πίνακα \displaystyle{Y^2+2X} είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
β) Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου \displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi ,5 \eta \mu \phi)} με \displaystyle{\phi \in [0,2\pi)}.
i) 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης στο σημείο \displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi ,5 \eta \mu \phi)} με \displaystyle{\phi \in [0,2\pi)}.
ii) ΄Εστω \displaystyle{E(\phi)} με \displaystyle{\phi \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)} είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο \displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi , 5\eta \mu \phi)}
με τους άξονες \displaystyle{x'x} και \displaystyle{y'y}. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{E(\phi) \ge 20}.


3. α) Έστω \displaystyle{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} } συνάρτηση συνεχής στο \displaystyle{\mathbb{R} }.
Έστω \displaystyle{I : \mathbb{R}  \to \mathbb{R} } η συνάρτηση με \displaystyle{I(x)=\int_{0}^{1}\left[\left( f\left( t \right) \right)^2- 2xt^2f(t) +x^2t^4 \right] dt}, για \displaystyle{x \in \mathbb{R} }.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{I} παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο \displaystyle{x_o=5\int_{0}^{1}t^2f(t) dt}
β) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f : (1, +\infty) \to \mathbb{R} }, με \displaystyle{f(x) = 2000 +\left| \ln (x-1)\right |} .
Έστω \displaystyle{c} πραγματικός μεγαλύτερος του \displaystyle{2000}.
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση \displaystyle{y=c} και η γραφική παράσταση της \displaystyle{f} τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου, τα \displaystyle{A} και \displaystyle{B}.
Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f}, στα \displaystyle{A} και \displaystyle{B}, είναι κάθετες μεταξύ τους.


4. Έστω \displaystyle{f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} }, είναι συναρτήσεις συνεχείς στο \displaystyle{\mathbb{R} } τέτοιες, ώστε να ισχύει \displaystyle{f(x)-g(x)=x-4} για \displaystyle{x \in\mathbb{R} }.
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση \displaystyle{y=3x-7} είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f}, καθώς \displaystyle{x\to +\infty} .
α) Να βρείτε τα όρια :
i)\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{g(x)}{x}} και
ii) \displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{g(x) + 3x +\eta \mu  2 x}{x f(x) - 3x^2 +1}}
β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση \displaystyle{y=2x-3} είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της \displaystyle{g}, καθώς \displaystyle{x\to +\infty} .


edit
διόρθωση αρίθμησης θεμάτων
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Κυρ Ιούλ 07, 2013 11:17 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1320
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Σάβ Ιούλ 06, 2013 1:29 pm

parmenides51 έγραψε:3. α) Έστω \displaystyle{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} } συνάρτηση συνεχής στο \displaystyle{\mathbb{R} }.
Έστω \displaystyle{I : \mathbb{R}  \to \mathbb{R} } η συνάρτηση με \displaystyle{I(x)=\int_{0}^{1}\left[\left( f\left( t \right) \right)^2- 2xt^2f(t) +x^2t^4 \right] dt}, για \displaystyle{x \in \mathbb{R} }.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{I} παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο \displaystyle{x_o=5\int_{0}^{1}t^2f(t) dt}
β) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f : (1, +\infty) \to \mathbb{R} }, με \displaystyle{f(x) = 2000 +\left| \ln (x-1)\right |} .
Έστω \displaystyle{c} πραγματικός μεγαλύτερος του \displaystyle{2000}.
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση \displaystyle{y=c} και η γραφική παράσταση της \displaystyle{f} τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου, τα \displaystyle{A} και \displaystyle{B}.
Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f}, στα \displaystyle{A} και \displaystyle{B}, είναι κάθετες μεταξύ τους.
α) Είναι \displaystyle{I(x)=\int\limits_{0}^{1}{{{\left( f(t) \right)}^{2}}dt}-2x\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{2}}f(t)dt}+{{x}^{2}}\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{4}}dt}\Rightarrow }

\displaystyle{\Rightarrow {I}'(x)=-2\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{2}}f(t)dt}+2x\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{4}}dt}=-2\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{2}}f(t)dt}+2x\left[ \frac{{{t}^{5}}}{5} \right]_{0}^{1}=-2\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{2}}f(t)dt}+\frac{2}{5}x} και

\displaystyle{\Rightarrow {I}'(x)=0\Leftrightarrow x=5\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{2}}f(t)dt}\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,{I}'(x)>0\Leftrightarrow x>5\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{2}}f(t)dt}}, άρα έχουμε ελάχιστο στο \displaystyle{{{x}_{0}}=5\int\limits_{0}^{1}{{{t}^{2}}f(t)dt}}.

β) Για \displaystyle{x\ge 2\Rightarrow x-1\ge 1\Rightarrow \ln \left( x-1 \right)\ge 0\Rightarrow f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
   2000+\ln \left( x-1 \right), & x\ge 2  \\ 
   2000-\ln \left( x-1 \right), & 1<x<2  \\ 
\end{matrix} \right.}.

\displaystyle{y=c\Leftrightarrow 2000+\left| \ln (x-1) \right|=c\Leftrightarrow \left| \ln (x-1) \right|=c-2000\,\,\overset{c>2000}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,}

\displaystyle{\Leftrightarrow \left[ \ln (x-1)=c-2000\,\,\,\vee \,\,\,\ln (x-1)=-\left( c-2000 \right) \right]\Leftrightarrow }

\displaystyle{\Leftrightarrow \left( x={{e}^{c-2000}}+1\,\,\,\vee \,\,\,x={{e}^{-(c-2000)}}+1 \right)}.

Έστω \displaystyle{A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right),\,\,B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)}. Για \displaystyle{x>2\Rightarrow {f}'(x)=\frac{1}{x-1}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,1<x<2\Rightarrow {f}'(x)=-\frac{1}{x-1}}.

Από \displaystyle{c-2000>0\Rightarrow {{e}^{c-2000}}>1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{{e}^{-\left( c-2000 \right)}}<1\Rightarrow \left( {{x}_{1}}>2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,1<{{x}_{2}}<2 \right)}, οπότε

\displaystyle{{f}'({{x}_{1}})\cdot {f}'({{x}_{2}})=\frac{1}{{{e}^{c-2000}}+1-1}\cdot \left( -\frac{1}{{{e}^{-(c-2000)}}+1-1} \right)=-1} και, τότε, οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f}, στα \displaystyle{A} και \displaystyle{B}, είναι κάθετες μεταξύ τους.


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Ιούλ 06, 2013 1:31 pm

parmenides51 έγραψε:

3. α) Έστω \displaystyle{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} } συνάρτηση συνεχής στο \displaystyle{\mathbb{R} }.
Έστω \displaystyle{I : \mathbb{R}  \to \mathbb{R} } η συνάρτηση με \displaystyle{I(x)=\int_{0}^{1}\left[\left( f\left( t \right) \right)^2- 2xt^2f(t) +x^2t^4 \right] dt}, για \displaystyle{x \in \mathbb{R} }.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση \displaystyle{I} παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο \displaystyle{x_o=5\int_{0}^{1}t^2f(t) dt}
β) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f : (1, +\infty) \to \mathbb{R} }, με \displaystyle{f(x) = 2000 +\left| \ln (x-1)\right |} .
Έστω \displaystyle{c} πραγματικός μεγαλύτερος του \displaystyle{2000}.
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση \displaystyle{y=c} και η γραφική παράσταση της \displaystyle{f} τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου, τα \displaystyle{A} και \displaystyle{B}.
Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f}, στα \displaystyle{A} και \displaystyle{B}, είναι κάθετες μεταξύ τους.

α)Για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R}} είναι,

\displaystyle{\begin{aligned} I(x)=\int_{0}^{1}\left[f^2(t)-2x\,t^2\,f(t)+x^2\,t^4\right\,dt&=\int_{0}^{1}t^4\,dt\,x^2-2\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\,dt\,x+\int_{0}^{1}f^2(t)\,dt\\&=\left[\frac{t^5}{5}\right]_{0}^{1}\,x^2-2\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\,dt\,x+\int_{0}^{1}f^2(t)\,dt\\&=\frac{x^2}{5}-2\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\,dt\,x+\int_{0}^{1}f^2(t)\,dt\\&=\frac{1}{5}\left[x^2-2x\left(5\,\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\,dt\right)+5\int_{0}^{1}f^2(t)\,dt\right]\\&=\frac{1}{5}\left[\left(x-5\,\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\,dt\right)^2+5\int_{0}^{1}f^2(t)\,dt-25\left[\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\,dt\right]^2\right]\\&\geq 5\int_{0}^{1}f^2(t)\,dt-25\left[\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\,dt\right]^2\\&=I\left(5\,\int_{0}^{1}t^2\,f(t)\right)\end{aligned}}

β)Η \displaystyle{f} γράφεται ως

\displaystyle{f(x)=\begin{cases} 
                                    2000-\ln \left(x-1\right)\,\,,x\in\left(1,2\right)\\ 
                                    2000+\ln \left(x-1\right)\,\,,x\in\left[2,+\infty\right) 
                                   \end{cases}}

Για \displaystyle{x\in\left(1,2\right)} είναι,

\displaystyle{f(x)=c\Leftrightarrow \ln \left(x-1\right)=2000-c<0\Leftrightarrow  x=1+e^{2000-c}}

Για \displaystyle{x\geq 2} είναι \displaystyle{f(x)=c\Leftrightarrow x=1+e^{c-2000}}

Ας είναι \displaystyle{A\left(1+e^{2000-c},c\right)\,\,,B\left(1+e^{c-2000},c\right)}

\displaystyle{f^\prime(x)=\begin{cases} 
                                                -\frac{1}{x-1}\,\,,x\in\left(1,2\right)\\ 
                                                 \frac{1}{x-1}\,\,,x\in\left(2,+\infty\right) 
                                               \end{cases}}

\displaystyle{x_{A}=2\Leftrightarrow e^{2000-c}=1\Leftrightarrow 2000-c=0\Leftrightarrow c=2000} , άτοπο

\displaystyle{x_{B}=2\Leftrightarrow e^{c-2000}=1\Leftrightarrow c-2000=0\Leftrightarrow c=2000} , άτοπο.

Οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} στα σημεία της \displaystyle{A\,\,,B} έχουν συντελεστές διεύθυνσης

\displaystyle{\lambda_1=f^\prime(x_{A})}\,\, \kappa \alpha \iota\,\,,\lambda_{2}=f^\prime(x_{B})} αντίστοιχα.

Είναι,

\displaystyle{\lambda_{1}\cdot \lambda_{2}=-\frac{1}{e^{2000-c}}\cdot \frac{1}{e^{c-2000}}=-\frac{1}{e^{2000-c+c-2000}}=-1}

απ' όπου έχουμε το ζητούμενο.

Την αφήνω και λόγω κόπου και λόγω διαφορετικής αντιμετώπισης του α)


Παπαπέτρος Ευάγγελος
gavrilos
Δημοσιεύσεις: 1032
Εγγραφή: Παρ Δεκ 07, 2012 4:11 pm

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gavrilos » Σάβ Ιούλ 06, 2013 2:03 pm

parmenides51 έγραψε:4. Έστω \displaystyle{f,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} }, είναι συναρτήσεις συνεχείς στο \displaystyle{\mathbb{R} } τέτοιες, ώστε να ισχύει \displaystyle{f(x)-g(x)=x-4} για \displaystyle{x \in\mathbb{R} }.
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση \displaystyle{y=3x-7} είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f}, καθώς \displaystyle{x\to +\infty} .
α) Να βρείτε τα όρια :
i)\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{g(x)}{x}} και
ii) \displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{g(x) + 3x +\eta \mu  2 x}{x f(x) - 3x^2 +1}}
β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση \displaystyle{y=2x-3} είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της \displaystyle{g}, καθώς \displaystyle{x\to +\infty} .
α)i.Ξέρουμε ότι \displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}=3} και ότι \displaystyle{g(x)=f(x)-x+4}.

Άρα ψάχνουμε το \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)-x+4}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{f(x)}{x}+\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{4}{x}-1=3-1=2}.


ii.Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με το \displaystyle{x}.

Το όριο είναι τώρα το \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\frac{g(x)}{x}+3+\frac{sin2x}{x}}{f(x)-3x+\frac{1}{x}}=\frac{2+3+0}{-7+0}=-\frac{5}{7}}.

β)Ξέρουμε ότι \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{g(x)}{x}=2}.

Συνεπώς πρέπει ν.δ.ο. \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}[g(x)-2x]=-3} ή ισοδύναμα \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-x+4-2x]=-3}

Αφού \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-3x]=-7} το όριό μας είναι ίσο με \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-3x+4]=-7+4=-3}.

Συνεπώς,αφού \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{g(x)}{x}=2} και \displaystyle{\lim_{x\rightarrow +\infty}[g(x)-2x]=-3} η ευθεία \displaystyle{2x-3} είναι ασύμπτωτη της \displaystyle{g(x)} στο \displaystyle{x\rightarrow +\infty}.
τελευταία επεξεργασία από gavrilos σε Σάβ Ιούλ 06, 2013 6:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Αν τα γεγονότα δεν συμφωνούν με τη θεωρία, τότε αλίμονο στα γεγονότα.

Albert Einstein
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 944
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Σάβ Ιούλ 06, 2013 6:11 pm

parmenides51 έγραψε:2. α) ΄Εστω ότι \displaystyle{A,B} είναι \displaystyle{ \nu \, x \, \nu} πίνακες, με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τέτοιοι, ώστε \displaystyle{4A^2-B^2=\mathbb{I}} και \displaystyle{AB=BA},
όπου \displaystyle{\mathbb{I}} είναι ο \displaystyle{ \nu \, x \, \nu} μοναδιαίος πίνακας.
i) Να αποδείξετε ότι οι πίνακες \displaystyle{2A+B} και \displaystyle{2A-B} είναι αντιστρέψιμοι.
ii) ΄Εστω \displaystyle{X,Y} είναι νxν πίνακες τέτοιοι, ώστε \displaystyle{2AX+BY=2A+\mathbb{I}} και \displaystyle{BX+2AY=B}.
1. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{X=2A+\mathbb{I}} και \displaystyle{Y=-B} .
2. Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα του πίνακα \displaystyle{Y^2+2X} είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
β) Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου \displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi ,5 \eta \mu \phi)} με \displaystyle{\phi \in [0,2\pi)}.
i) 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης στο σημείο \displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi ,5 \eta \mu \phi)} με \displaystyle{\phi \in [0,2\pi)}.
ii) ΄Εστω \displaystyle{E(\phi)} με \displaystyle{\phi \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)} είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο \displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi , 5\eta \mu \phi)}
με τους άξονες \displaystyle{x'x} και \displaystyle{y'y}. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{E(\phi) \ge 20}.
α) i) 4{A^2} - {B^2} = I \Leftrightarrow \left( {2A + B} \right)\left( {2A - B} \right) = I αφού ισχύει AB = BA .

Από την παραπάνω σχέση συμπεραίνουμε ότι οι πίνακες 2A + I και 2A - I είναι αντιστρέψιμοι με:

{\left( {2A + B} \right)^{ - 1}} = 2A - B και {\left( {2A - B} \right)^{ - 1}} = 2A + B

ii. 1. \left\{ \begin{array}{l} 
2AX + BY = 2A + I\;\left( 1 \right)\\ 
BX + 2AY = B\quad \quad \left( 2 \right) 
\end{array} \right.

Από \left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \left( {2A + B} \right)X + \left( {2A + B} \right)Y = \left( {2A + B} \right) + I\mathop  \Leftrightarrow \limits^{ \cdot \left( {2A - B} \right)}

X + Y = 2A - B + I \Leftrightarrow Y = 2A - B + I - X\;\left( 3 \right)

\left( 1 \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 3 \right)} 2AX + B + 2AB - {B^2} - BX = 2A + I \Leftrightarrow

\left( {2A - B} \right)X = 2A - 2AB + {B^2} - B + I \Leftrightarrow

\left( {2A - B} \right)X = 2A\left( {I - B} \right) - B\left( {I - B} \right) + I \Leftrightarrow

\left( {2A - B} \right)X = \left( {2A - B} \right)\left( {I - B} \right) + I\mathop  \Leftrightarrow \limits^{ \cdot \left( {2A + B} \right)}

X = I - B + 2A + B \Leftrightarrow X = 2A + I\;\left( 4 \right)

\left( 3 \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right)} Y = I + 2A - B - 2A - I \Leftrightarrow Y =  - B

2. Από το προηγούμενο ερώτημα είναι:

{Y^2} + 2X = {B^2} + 4A + 2I \Leftrightarrow {Y^2} + 2X = {B^2} + 4{A^2} + 4A + I + I - 4{A^2} \Leftrightarrow

{Y^2} + 2X = {\left( {2A + I} \right)^2} + I - \left( {4{A^2} - {B^2}} \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\upsilon \pi \dot o\vartheta \varepsilon \sigma \eta } {Y^2} + 2X = {\left( {2A + I} \right)^2} + I - I \Leftrightarrow

{Y^2} + 2X = {\left( {2A + I} \right)^2} \Rightarrow \left| {{Y^2} + 2X} \right| = {\left| {\left( {2A + I} \right)} \right|^2} \Rightarrow \left| {{Y^2} + 2X} \right| \ge 0

β) i. Αν \displaystyle x = 4\sigma \upsilon \nu \varphi  \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{x}{4} και \displaystyle y = 5\eta \mu \varphi  \Leftrightarrow \eta \mu \varphi  = \frac{y}{5}

\displaystyle\sigma \upsilon {\nu ^2}\varphi  + \eta {\mu ^2}\varphi  = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1

Άρα τα σημεία M\left( {4\sigma \upsilon \nu \varphi ,5\eta \mu \varphi } \right) ανήκουν στην έλλειψη με \alpha  = 5,\beta  = 4 και εστίες τα σημεία E\left( {0,3} \right),E'\left( {0, - 3} \right) για κάθε \varphi  \in \left[ {0,2\pi } \right)

2. i. Η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης στο σημείο M έχει εξίσωση:

\displaystyle\frac{{x{x_M}}}{{16}} + \frac{{y{y_M}}}{{25}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{4x\sigma \upsilon \nu \varphi }}{{16}} + \frac{{5y\eta \mu \varphi }}{{25}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{x\sigma \upsilon \nu \varphi }}{4} + \frac{{y\eta \mu \varphi }}{5} = 1 με \varphi  \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)

Με y = 0 βρίσκουμε ότι τέμνει τον x'x στο \displaystyle A\left( {\frac{4}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }},0} \right)

Με x = 0 βρίσκουμε ότι τέμνει τον y'y στο \displaystyle B\left( {0,\frac{5}{{\eta \mu \varphi }}} \right)

Είναι \displaystyle\frac{4}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} > 0 και \displaystyle\frac{5}{{\eta \mu \varphi }} > 0 αφού \varphi  \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)

\displaystyle\left( {OAB} \right) = \frac{1}{2}OA \cdot OB \Rightarrow \left( {OAB} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{{\sigma \upsilon \nu \varphi }} \cdot \frac{5}{{\eta \mu \varphi }} \Rightarrow \left( {OAB} \right) = \frac{{20}}{{\eta \mu 2\varphi }}\tau .\mu .

\displaystyle 0 < \varphi  < \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow 0 < 2\varphi  < \pi  \Rightarrow 0 < \eta \mu 2\varphi  \le 1 \Leftrightarrow \frac{1}{{\eta \mu 2\varphi }} \ge 1 \Leftrightarrow

\displaystyle\frac{{20}}{{\eta \mu 2\varphi }} \ge 20 \Leftrightarrow \left( {OAB} \right) \ge 20 με το “ίσον” να ισχύει όταν \displaystyle\varphi  = \frac{\pi }{4}
Συνημμένα
Ελλειψη.png
Ελλειψη.png (26.33 KiB) Προβλήθηκε 1316 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1428
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: A' ΔΕΣΜΗ 2000

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Σάβ Ιούλ 06, 2013 6:19 pm

2. α) ΄Εστω ότι \displaystyle{A,B} είναι \displaystyle{ \nu \, x \, \nu} πίνακες, με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τέτοιοι, ώστε \displaystyle{4A^2-B^2=\mathbb{I}} και \displaystyle{AB=BA},
όπου \displaystyle{\mathbb{I}} είναι ο \displaystyle{ \nu \, x \, \nu} μοναδιαίος πίνακας.
i) Να αποδείξετε ότι οι πίνακες \displaystyle{2A+B} και \displaystyle{2A-B} είναι αντιστρέψιμοι.
ii) ΄Εστω \displaystyle{X,Y} είναι νxν πίνακες τέτοιοι, ώστε \displaystyle{2AX+BY=2A+\mathbb{I}} και \displaystyle{BX+2AY=B}.
1. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{X=2A+\mathbb{I}} και \displaystyle{Y=-B} .
2. Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα του πίνακα \displaystyle{Y^2+2X} είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
β) Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου \displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi ,5 \eta \mu \phi)} με \displaystyle{\phi \in [0,2\pi)}.
i) 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης στο σημείο \displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi ,5 \eta \mu \phi)} με \displaystyle{\phi \in [0,2\pi)}.
ii) ΄Εστω \displaystyle{E(\phi)} με \displaystyle{\phi \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)} είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο \displaystyle{M(4\sigma \upsilon \nu \phi , 5\eta \mu \phi)}
με τους άξονες \displaystyle{x'x} και \displaystyle{y'y}. Να αποδείξετε ότι \displaystyle{E(\phi) \ge 20}.

α)
i) \displaystyle{\,\,\,(2A + B)(2A - B) = 4{A^2} - 2AB + 2BA - {B^2} = 4{A^2} - {B^2} = I\,\,\,\,\,\,} , αφού \displaystyle{\,\,\,AB = BA\,\,\,\,} .
1. Είναι :
\displaystyle{\left. \begin{array}{l} 
 2AX + BY = 2A + {\rm I} \\  
 BX + 2AY = B \\  
 \end{array} \right\}\begin{array}{*{20}{c}} 
   {\,\,\,\,\,(1)}  \\ 
   {\,\,\,\,(2)}  \\ 
\end{array}}
\displaystyle{\left. \begin{array}{l} 
 (1) + (2) \Rightarrow (2{\rm A} + {\rm B}){\rm X} + (2{\rm A} + {\rm B})\Upsilon  = 2{\rm A} + {\rm B} + {\rm I} \\  
 (1) - (2) \Rightarrow (2{\rm A} - {\rm B}){\rm X} + ({\rm B} - 2{\rm A})\Upsilon  = 2{\rm A} - {\rm B} + {\rm I} \\  
 \end{array} \right\}\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}} 
   {(3)}  \\ 
   {(4)}  \\ 
\end{array}}
Πολλαπλασιάζοντας τις \displaystyle{\,\,\,\,(3)\,,\,\,(4)\,\,} από αριστερά με \displaystyle{\,\,\,2{\rm A} - {\rm B}\,\,,\,\,2{\rm A} + {\rm B}\,\,\,} , αντίστοιχα , παίρνουμε τις :
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \left. \begin{array}{l} 
 {\rm X} + \Upsilon  = (2{\rm A} - {\rm B})(2{\rm A} + {\rm B} + {\rm I}) = {\rm I} + 2{\rm A} - {\rm B} \\  
 {\rm X} - \Upsilon  = ({\rm B} + 2{\rm A})(2{\rm A} - {\rm B} + {\rm I}) = \,{\rm I} + {\rm B} + 2{\rm A} \\  
 \end{array} \right\}\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}} 
   {(5)}  \\ 
   {(6)}  \\ 
\end{array} \\  
  \\  
 (5) + (6) \Rightarrow {\rm X} = 2{\rm A} + {\rm I} \\  
 (5) - (6) \Rightarrow \Upsilon  =  - \,\,{\rm B} \\  
 \end{array}}
2.
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 {\Upsilon ^2} + 2{\rm X} = {{\rm B}^2} + 4{\rm A} + 2{\rm I} = 4{{\rm A}^2} - {\rm I} + 4{\rm A} + 2{\rm I} = 4{{\rm A}^2} + 4{\rm A} + {\rm I} = {(2{\rm A} + {\rm I})^2} \\  
Αρα 
\det ({\Upsilon ^2} + 2{\rm X}) = \det ({(2{\rm A} + {\rm I})^2}) = {(\det (2{\rm A} + {\rm I}))^2} \ge 0 \\  
 \end{array}}


Kαλαθάκης Γιώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Α' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης