A' ΔΕΣΜΗ 2000
Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 06, 2013 12:32 pm
1. α) Αν και είναι η τριγωνομετρική μορφή των μιγαδικών αριθμών και
τότε να αποδείξετε ότι
β) ΄Εστω είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα.
Αν , θεωρούμε τη συνάρτηση , με .
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα όπου :
Η μέγιστη τιμή της στο , είναι μεγαλύτερη ή ίση του .
Η ελάχιστη τιμή της στο , είναι μικρότερη ή ίση του .
Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων και
2. α) ΄Εστω ότι είναι πίνακες, με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τέτοιοι, ώστε και ,
όπου είναι ο μοναδιαίος πίνακας.
i) Να αποδείξετε ότι οι πίνακες και είναι αντιστρέψιμοι.
ii) ΄Εστω είναι νxν πίνακες τέτοιοι, ώστε και .
1. Να αποδείξετε ότι και .
2. Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα του πίνακα είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
β) Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου με .
i) 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης στο σημείο με .
ii) ΄Εστω με είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο
με τους άξονες και . Να αποδείξετε ότι .
3. α) Έστω συνάρτηση συνεχής στο .
Έστω η συνάρτηση με , για .
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο
β) Έστω η συνάρτηση , με .
Έστω πραγματικός μεγαλύτερος του .
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση και η γραφική παράσταση της τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου, τα και .
Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της , στα και , είναι κάθετες μεταξύ τους.
4. Έστω , είναι συναρτήσεις συνεχείς στο τέτοιες, ώστε να ισχύει για .
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της , καθώς .
α) Να βρείτε τα όρια :
i) και
ii)
β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της , καθώς .
edit
διόρθωση αρίθμησης θεμάτων
τότε να αποδείξετε ότι
β) ΄Εστω είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα.
Αν , θεωρούμε τη συνάρτηση , με .
Θεωρούμε τα ενδεχόμενα όπου :
Η μέγιστη τιμή της στο , είναι μεγαλύτερη ή ίση του .
Η ελάχιστη τιμή της στο , είναι μικρότερη ή ίση του .
Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων και
2. α) ΄Εστω ότι είναι πίνακες, με στοιχεία πραγματικούς αριθμούς, τέτοιοι, ώστε και ,
όπου είναι ο μοναδιαίος πίνακας.
i) Να αποδείξετε ότι οι πίνακες και είναι αντιστρέψιμοι.
ii) ΄Εστω είναι νxν πίνακες τέτοιοι, ώστε και .
1. Να αποδείξετε ότι και .
2. Να αποδείξετε ότι η ορίζουσα του πίνακα είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
β) Θεωρούμε τα σημεία του επιπέδου με .
i) 1. Να αποδείξετε ότι τα σημεία αυτά ανήκουν σε έλλειψη, της οποίας να βρείτε την εξίσωση.
2. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραπάνω έλλειψης στο σημείο με .
ii) ΄Εστω με είναι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η εφαπτομένη της παραπάνω έλλειψης στο σημείο
με τους άξονες και . Να αποδείξετε ότι .
3. α) Έστω συνάρτηση συνεχής στο .
Έστω η συνάρτηση με , για .
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο
β) Έστω η συνάρτηση , με .
Έστω πραγματικός μεγαλύτερος του .
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση και η γραφική παράσταση της τέμνονται σε δύο διαφορετικά σημεία του επιπέδου, τα και .
Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες της γραφικής παράστασης της , στα και , είναι κάθετες μεταξύ τους.
4. Έστω , είναι συναρτήσεις συνεχείς στο τέτοιες, ώστε να ισχύει για .
Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της , καθώς .
α) Να βρείτε τα όρια :
i) και
ii)
β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της , καθώς .
edit
διόρθωση αρίθμησης θεμάτων