Δ' ΔΕΣΜΗ 1996

parmenides51 · #1

1. α) Έστω $\displaystyle{\alpha , \beta , \gamma \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{ \alpha < \beta<\gamma}$ και $\displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 1 & \alpha & \alpha ^{2} \\ 1 & \beta & \beta ^{2} \\ 1 & \gamma & \gamma ^{2} \\ \end{matrix} \right]}$ . Θεωρούμε το $\displaystyle{3 \, x \, 3}$ γραμμικό σύστημα $\displaystyle{AX=B}$ όπου $\displaystyle{X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right]}$
με αγνώστους $\displaystyle{x,y,z \in \mathbb{R}}$ .Έστω $\displaystyle{D}$ η ορίζουσα του πίνακα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{D_x,D_y,D_z}$ οι ορίζουσες που προκύπτουν από την $\displaystyle{D}$
αν αντικαταστήσουμε την $\displaystyle{1}$ η , $\displaystyle{2}$ η και $\displaystyle{3}$ η στήλη αντίστοιχα με τη στήλη των σταθερών όρων του συστήματος.
Έστω ότι $\displaystyle{{{D}_{x}}^{2}+{{D}_{y}}^{2}+{{D}_{z}}^{2}+2{{D}^{2}}=2D({{D}_{x}}-{{D}_{y}})}$ .
Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{AX=B}$ .
β) Δίνεται ο πίνακας $\displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]}$ και το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)=-{{x}^{2}}+3x+1}$
i) Να βρεθούν οι τιμές του $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\left| A-\lambda \mathbb{I}\right|=0}$ όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ ο μοναδιαίος πίνακας.
ii) Αν $\displaystyle{B}$ συμβολίζει τον πίνακα $\displaystyle{\left( f(3)-1 \right){{\left( A-\mathbb{I} \right)}^{2}}+A-f(1)\mathbb{I}}$ , να αποδείξετε ότι υπάρχει μη μηδενικός πίνακας $\displaystyle{X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right]}$
τέτοιος ώστε $\displaystyle{BX=\mathbb{O} }$ όπου $\displaystyle{\mathbb{O}}$ ο μηδενικός πίνακας.

2. α) i) Έστω μια πραγματική συνάρτηση $\displaystyle{f}$ συνεχής σ’ ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ .
Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{f '(x)>0}$ για κάθε εσωτερικό σημείο του $\displaystyle{\Delta}$ , τότε η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\displaystyle{\Delta}$ .
ii) Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ που έχουν πεδίο ορισμού το διάστημα $\displaystyle{ [0,+\infty) }$ για τις οποίες ισχύει η σχέση
$\displaystyle{{f}'(x)={g}'(x)+\eta \mu ^{2}x+{{e}^{x}}}$ για $\displaystyle{x \in [0,+\infty) }$ .
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(0)+g(x)<g(0)+f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in (0,+\infty) }$
β) i) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)={{e}^{\alpha x}}$ όπου $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R} }$ .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δυο τιμές της παραμέτρου $\displaystyle{\alpha}$ έτσι ώστε να ικανοποιείται η σχέση $\displaystyle{{f}''(x)+2{f}'(x)=3f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R} }$
ii) Έστω $\displaystyle{\lambda,\mu,\beta_1,\beta_2 \in \mathbb{R} }$ με $\dxisplaystyle{\beta_1 \ne \beta_2}$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\lambda e^{\beta_1 x}+\mu e^{\beta_2 x} }$ με $\displaystyle{x \in \mathbb{R} }$ .
Έστω ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός $\displaystyle{x_0}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{g({{x}_{0}})={g}'({{x}_{0}})=0}$ . Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\lambda=\mu=0}$ .

3. α) i) Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{g }$ συνεχής στο $\displaystyle{\mathbb{R} }$ και $\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{x }{\left( x-t \right)g(t)dt}}$ .
Να αποδείξετε ότι η $\displaystyle{f}$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και να μελετήσετε την $\displaystyle{ f}$ ως προς τα κοίλα όταν $\displaystyle{g(x)\ne 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R} }$
ii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $\displaystyle{g(x)=\sqrt{x}}$ και $\displaystyle{{\color{red}f}(x)=2x-1}$
και την ευθεία $\displaystyle{x=0}$ .
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\sqrt{1+{{x}^{2}}}+\lambda x^2 \,\,, x \in \mathbb{R}}$
ii) Να υπολογίσετε την τιμή του $\displaystyle{\lambda\in \mathbb{R}}$ αν είναι γνωστό ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}=1}$
ii) Για την τιμή του $\displaystyle{\lambda}$ που βρήκατε παραπάνω να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα $\displaystyle{I=\int_{0}^{1}{\frac{x}{{{f}^{2}}(x)}}dx}$ .

4. α) i) Δίνεται ο πίνακας $\displaystyle{X=\left[ \begin{matrix} \alpha & \beta \\ \beta & \alpha \\ \end{matrix} \right]}$ όπου $\displaystyle{\alpha , \beta}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{\alpha + \beta=1}$ .
Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{{{X}^{2}}=\left[ \begin{matrix} \gamma & \delta \\ \delta & \gamma \\ \end{matrix} \right]}$ όπου $\displaystyle{\gamma , \delta}$ είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί με $\displaystyle{\gamma + \delta =1}$ .
ii) Έστω ότι $\displaystyle{ \Omega}$ είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και $\displaystyle{A,B}$ ενδεχόμενα του $\displaystyle{ \Omega}$
Θεωρούμε του πίνακες $\displaystyle{{\color{red}Y}=\left[ \begin{matrix} P(A) & P({A}') \\ P({A}') & P(A) \\ \end{matrix} \right]}$ και $\displaystyle{{{Y}^{2}}=\left[ \begin{matrix} P(B) & P({B}') \\ P({B}') & P(B) \\ \end{matrix} \right]}$ όπου $\displaystyle{A',B' }$ το συμπληρωματικά σύνολα των $\displaystyle{A,B}$ αντίστοιχα.
Αν $\displaystyle{P({B}')=\frac{4}{9}}$ και $\displaystyle{P(A)<P({A}')}$ τότε να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{A'}$ .
β) Έστω ότι $\displaystyle{f(t)}$ είναι η ποσότητα ενός αντιβιοτικού που έχει απορροφηθεί από το ανθρώπινο σώμα κατά τη χρονική στιγμή $\displaystyle{t}$ όπου $\displaystyle{t\ge 0}$
και $\displaystyle{f:[0,+\infty )\to \mathbb{R}}$ είναι πραγματική συνάρτηση με $\displaystyle{f(\sqrt{t})=1-{{2}^{\displaystyle-\frac{\sqrt{t}}{499}}}}$
Να βρεθεί η χρονική στιγμή $\displaystyle{t_1}$ κατά την οποία ο ρυθμός απορρόφησης του αντιβιοτικού από το ανθρώπινο σώμα είναι ίσος
με το $\displaystyle{\frac{1}{16}}$ του ρυθμού απορρόφησης κατά τη χρονική στιγμή $\displaystyle{t_0=0}$ .

edit's
1. συμπλήρωση στο 4ο ελέω $\displaystyle{\LaTeX}$ , θενξ Ηλία
2. διόρθωση ονομασίας στο 3α) ii), σωστός ο Ορέστης

Christos75 · #2

parmenides51 έγραψε: 2. α) i) Έστω μια πραγματική συνάρτηση $\displaystyle{f}$ συνεχής σ’ ένα διάστημα $\displaystyle{\Delta}$ .
Να αποδείξετε ότι αν $\displaystyle{f '(x)>0}$ για κάθε εσωτερικό σημείο του $\displaystyle{\Delta}$ , τότε η $\displaystyle{f}$ είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\displaystyle{\Delta}$ .
ii) Θεωρούμε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ που έχουν πεδίο ορισμού το διάστημα $\displaystyle{ [0,+\infty) }$ για τις οποίες ισχύει η σχέση
$\displaystyle{{f}'(x)={g}'(x)+\eta \mu ^{2}x+{{e}^{x}}}$ για $\displaystyle{x \in [0,+\infty) }$ .
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(0)+g(x)<g(0)+f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in (0,+\infty) }$
β) i) Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)={{e}^{\alpha x}}$ όπου $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R} }$ .
Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δυο τιμές της παραμέτρου $\displaystyle{\alpha}$ έτσι ώστε να ικανοποιείται η σχέση $\displaystyle{{f}''(x)+2{f}'(x)=3f(x)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \mathbb{R} }$
ii) Έστω $\displaystyle{\lambda,\mu,\beta_1,\beta_2 \in \mathbb{R} }$ με $\dxisplaystyle{\beta_1 \ne \beta_2}$ . Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\lambda e^{\beta_1 x}+\mu e^{\beta_2 x} }$ με $\displaystyle{x \in \mathbb{R} }$ .
Έστω ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός $\displaystyle{x_0}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{g({{x}_{0}})={g}'({{x}_{0}})=0}$ . Να αποδειχθεί ότι $\displaystyle{\lambda=\mu=0}$ .

Λύση

α)
i) Θεωρία

ii) Μας δίνεται ότι $\displaystyle{f'(x)=g'(x)+(sinx)^{2}+e^{x}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in [0,+\infty)}$

Η παραπάνω σχέση γράφεται $\displaystyle{f'(x)-g'(x)=(sinx)^{2}+e^{x}\Leftrightarrow (f(x)-g(x))'= (sinx)^{2}+e^{x} >0}$

Αν θέσω $\displaystyle{t(x)=f(x)-g(x)}$ τότε $\displaystyle{t'(x)>0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in [0,+\infty)}$

Συνεπώς η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, οπότε θα ισχύει

$\displaystyle{x>0\Leftrightarrow t(x)>t(0)\Leftrightarrow f(x)-g(x)>f(0)-g(0)\Leftrightarrow g(x)+f(0)<g(0)+f(x)}$ και έτσι αποδείξαμε το ζητούμενο.

β)
i) Μας δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=e^{\alpha x}, \alpha \in \mathbb{R}}$ και ικανοποιείται η σχέση $\displaystyle{f''(x)+2f'(x)=3f(x) (1)}$

Αλλά $\displaystyle{f'(x)=(e^{\alpha x})'=e^{\alpha x}.(\alpha x)'=\alpha e^{x}}$ και επίσης

$\displaystyle{f''(x)=(\alpha e^{\alpha x})'=\alpha e^{\alpha x}(\alpha x)'=\alpha ^{2}e^{\alpha x}}$

Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην σχέση (1)

και έχουμε

$\displaystyle{f''(x)+2f'(x)=3f(x)\Leftrightarrow \alpha ^{2}.e^{\alpha x}+2\alpha.e^{\alpha x}=3.e^{\alpha x}\Leftrightarrow e^{\alpha x}(\alpha ^{2}+2\alpha )= 3.e^{\alpha x}}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \alpha ^{2}+2\alpha -3=0\Leftrightarrow \alpha _{1}=-3, \alpha _{2}=1}$

ii) Έχουμε $\displaystyle{\beta _{1}\neq \beta _{2} \wedge g(x)=\lambda e^{\beta _{1}x}+\mu e^{\beta _{2}x}, x\in \mathbb{R}}$

Υπολογίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης

$\displaystyle{g'(x)=(\lambda e^{\beta _{1}x}+\mu e^{\beta _{2}x})'=\lambda (e^{\beta _{1}x})' + \mu (e^{\beta _{2}x})' = \lambda \beta _{1}e^{\beta _{1}x} + \mu \beta _{2}e^{\beta _{2}x}}$

Επίσης $\displaystyle{g(x_{0})=0\Leftrightarrow \lambda e^{\beta _{1}x_{0}} + \mu e^{\beta _{2}x_{0}}=0\Leftrightarrow \lambda e^{\beta _{1}x_{0}}=-\mu e^{\beta _{2}x_{0}} (1)}$

και επίσης $\displaystyle{g'(x_{0})=0\Leftrightarrow \lambda \beta _{1}e^{\beta _{1}x_{0}} + \mu \beta _{2}e^{\beta _{2}x_{0}}=0 (2)}$

Αντικαθιστώντας την (1)

στην

έχουμε

$\displaystyle{\beta _{1}(-\mu e^{\beta _{2}x_{0}}) + \mu \beta _{2}e^{\beta _{2}x_{0}}=0\Leftrightarrow -\beta _{1}\mu e^{\beta _{2}x_{0}} + \mu \beta _{2}e^{\beta _{2}x_{0}}=0}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow \mu e^{\beta _{2}x_{0}}(\beta _{2}-\beta _{1})=0}$ και αφού $\displaystyle{\beta _{1}\neq \beta _{2}}$

τότε $\displaystyle{\mu e^{\beta _{2}x_{0}}=0\overset{e^{\beta _{2}x_{0}}>0}{\rightarrow}\mu =0}$ και εν συνεχεία

$\displaystyle{\lambda e^{\beta _{1}x_{0}}=0\overset{e^{\beta _{1}x_{0}}>0}{\rightarrow}\lambda =0}$

Συνεπώς αποδείξαμε ότι $\displaystyle{\lambda =\mu =0}$

orestisgotsis · #3

ΠΕΡΙΤΤΑ

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

hlkampel · #5

parmenides51 έγραψε:1. α) Έστω $\displaystyle{\alpha , \beta , \gamma \in \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{ \alpha < \beta<\gamma}$ και $\displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 1 & \alpha & \alpha ^{2} \\ 1 & \beta & \beta ^{2} \\ 1 & \gamma & \gamma ^{2} \\ \end{matrix} \right]}$ . Θεωρούμε το $\displaystyle{3 \, x \, 3}$ γραμμικό σύστημα $\displaystyle{AX=B}$ όπου $\displaystyle{X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right]}$
με αγνώστους $\displaystyle{x,y,z \in \mathbb{R}}$ .Έστω $\displaystyle{D}$ η ορίζουσα του πίνακα $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{D_x,D_y,D_z}$ οι ορίζουσες που προκύπτουν από την $\displaystyle{D}$
αν αντικαταστήσουμε την $\displaystyle{1}$ η , $\displaystyle{2}$ η και $\displaystyle{3}$ η στήλη αντίστοιχα με τη στήλη των σταθερών όρων του συστήματος.
Έστω ότι $\displaystyle{{{D}_{x}}^{2}+{{D}_{y}}^{2}+{{D}_{z}}^{2}+2{{D}^{2}}=2D({{D}_{x}}-{{D}_{y}})}$ .
Να λυθεί το σύστημα $\displaystyle{AX=B}$ .
β) Δίνεται ο πίνακας $\displaystyle{A=\left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ \end{matrix} \right]}$ και το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)=-{{x}^{2}}+3x+1}$
i) Να βρεθούν οι τιμές του $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ έτσι ώστε $\displaystyle{\left| A-\lambda \mathbb{I}\right|=0}$ όπου $\displaystyle{\mathbb{I}}$ ο μοναδιαίος πίνακας.
ii) Αν $\displaystyle{B}$ συμβολίζει τον πίνακα $\displaystyle{\left( f(3)-1 \right){{\left( A-\mathbb{I} \right)}^{2}}+A-f(1)\mathbb{I}}$ , να αποδείξετε ότι υπάρχει μη μηδενικός πίνακας $\displaystyle{X=\left[ \begin{matrix} x \\ y \\ z \\ \end{matrix} \right]}$
τέτοιος ώστε $\displaystyle{BX=\mathbb{O} }$ όπου $\displaystyle{\mathbb{O}}$ ο μηδενικός πίνακας.

α) $D = \left| A \right| \Leftrightarrow D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&\alpha &{{\alpha ^2}}\\ 1&\beta &{{\beta ^2}}\\ 1&\gamma &{{\gamma ^2}} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \beta &{{\beta ^2}}\\ \gamma &{{\gamma ^2}} \end{array}} \right| - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha &{{\alpha ^2}}\\ \gamma &{{\gamma ^2}} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha &{{\alpha ^2}}\\ \beta &{{\beta ^2}} \end{array}} \right| =$

$\beta {\gamma ^2} - {\beta ^2}\gamma - \alpha {\gamma ^2} + {\alpha ^2}\gamma + \alpha {\beta ^2} - {\alpha ^2}\beta =$

$\beta \gamma \left( {\gamma - \beta } \right) - \alpha \left( {\gamma - \beta } \right)\left( {\gamma + \beta } \right) + {\alpha ^2}\left( {\gamma - \beta } \right) =$

$\left( {\gamma - \beta } \right)\left( {\beta \gamma - \alpha \gamma - \alpha \beta + {\alpha ^2}} \right) = \left( {\gamma - \beta } \right)\left[ {\gamma \left( {\beta - \alpha } \right) - \alpha \left( {\beta - \alpha } \right)} \right] =$

$\left( {\gamma - \beta } \right)\left( {\beta - \alpha } \right)\left( {\gamma - \alpha } \right) \ne 0$ αφού $\alpha < \beta < \gamma$

Έτσι $D \ne 0$ , οπότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την: $\displaystyle\left( {x,y,z} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D},\frac{{{D_y}}}{D},\frac{{{D_z}}}{D}} \right)$ (1)

$\displaystyle{D_x^2 + D_y^2 + D_z^2 + 2{D^2} - 2D{D_x} + 2D{D_y} = 0 \Leftrightarrow {\left( {{D_x} - D} \right)^2} + {\left( {{D_y} + D} \right)^2} + D_z^2 = 0 \Leftrightarrow }$

${D_x} = D\;\kappa \alpha \iota \;{D_y} = - D\;\;\kappa \alpha \iota \;\;{D_z} = 0$

Από τη σχέση (1) συμπεραίνουμε ότι η μοναδική λύση του συστήματος είναι $\left( {x,y,z} \right) = \left( {1, - 1,0} \right)$

β) i) $A - \lambda I = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&1&0\\ 2&3&2\\ 0&1&3 \end{array}} \right] - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda &0&0\\ 0&\lambda &0\\ 0&0&\lambda \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - \lambda }&1&0\\ 2&{3 - \lambda }&2\\ 0&1&{3 - \lambda } \end{array}} \right]$

Έτσι $\left| {A - \lambda I} \right| = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - \lambda }&1&0\\ 2&{3 - \lambda }&2\\ 0&1&{3 - \lambda } \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow$

$\left( {3 - \lambda } \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - \lambda }&2\\ 1&{3 - \lambda } \end{array}} \right| - \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2&2\\ 0&{3 - \lambda } \end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow$

$\left( {3 - \lambda } \right)\left[ {{{\left( {3 - \lambda } \right)}^2} - 2} \right] - 2\left( {3 - \lambda } \right) = 0 \Leftrightarrow$

$\left( {3 - \lambda } \right)\left( {{\lambda ^2} - 6\lambda + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \lambda = 3\;\dot \eta \;\lambda = 1\;\dot \eta \;\lambda = 5$

ii. Είναι $f\left( 3 \right) = 1$ και $f\left( 1 \right) = 3$ (2)

$B = \left( {f\left( 3 \right) - 1} \right){\left( {A - I} \right)^2} + A - f\left( 1 \right)I\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 3 \right)} B = A - 3I \Rightarrow$ $\left| B \right| = \left| {A - 3I} \right|\mathop \Rightarrow \limits^{\beta i} \left| B \right| = 0$

Άρα το ομογενές σύστημα BX = O

έχει και μη μηδενικές λύσεις, αφού $D = \left| B \right| = 0$ , δηλαδή υπάρχει και μη μηδενικός πίνακας

με

Δ' ΔΕΣΜΗ 1996

Δ' ΔΕΣΜΗ 1996

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1996

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1996

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1996

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1996

Μέλη σε σύνδεση