Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

parmenides51 · #1

1. Θεωρούμε τους πίνακες $\displaystyle{\begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} & \displaystyle \frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}} \\ & \\ \displaystyle \frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}} & \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} & \displaystyle -\frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}} \\ & \\ \displaystyle -\frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}} & \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}}$ και ονομάζουμε $\displaystyle{H(x)}$ τον πρώτο και $\displaystyle{\Sigma(x)}$ το δεύτερο.
α) Να αποδείξετε ότι ισχύει ${{H}^{2}}(x)+{{\Sigma }^{2}}(x)=I$ όπου $\displaystyle{I}$ ο πίνακας $\displaystyle{I=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$
β) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{{\Sigma }^{2}}(x)-{{H}^{2}}(x)=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}}$ ( $\displaystyle{x\in \mathhb{R}}$ )

2. α) Έστω το σύστημα ( $\displaystyle{\Sigma}$ ) : $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} {{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}\psi ={{\gamma }_{1}} \\ {{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}\psi ={{\gamma }_{2}} \end{matrix}\right.}$ με τους ${{\alpha }_{1}},{{\beta }_{1}},{{\gamma }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\beta }_{2}},{{\gamma }_{2}}$ πραγματικούς αριθμούς.
Να αποδείξετε ότι αν ο πίνακας $\displaystyle{\begin{bmatrix} \alpha_1 & \beta_1\\ \alpha_2 & \beta_2 \end{bmatrix}}$ είναι αντιστρέψιμος τότε το σύστημα έχει μία μόνο λύση.
β) Να λύσετε (και να διερευνήσετε) το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} (\lambda +1)x-2(\lambda -1)\psi =3 \\ x+3\lambda \psi =4\lambda +5 \end{matrix}\right.}$ όπου $\displaystyle{\lambda}$ πραγματικός αριθμός.

3. Έστω η πραγματική συνάρτηση $\psi$ της πραγματικής μεταβλητής $\displaystyle{x}$ με $\displaystyle{\psi (x)=x+\frac{4}{x}}$
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο των τιμών της $\psi$
β) Να εξετάσετε την $\displaystyle{\psi }$ ως προς την μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα (0,2]

και $[2,+\infty )$

4. α) Έστω μια πραγματική συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με πεδίο ορισμού της $\displaystyle{A}$ ένα υποσύνολο του $\displaystyle{\mathbb{R}}$ ,
που περιέχει ένα ανοικτό διάστημα $\displaystyle{(\alpha,\beta)}$ με $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{R}}$ και έστω $\displaystyle{{{x}_{0}}}$ ένα από τα άκρα του διαστήματος $\displaystyle{(\alpha,\beta)}$ .
Τι εννοούμε όταν λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο ${{x}_{0}}$ το $+\infty$ και τι όταν λέμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ έχει όριο στο ${{x}_{0}}$ το $-\infty$ ;
β) Έστω η πραγματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής $\displaystyle{x}$ με $\displaystyle{\psi (x)=\frac{2x-10}{5-\sqrt{5x}}}$ να βρείτε το $\displaystyle{\lim_{x\to 5}\psi (x)}$ .

Σ. Διονύσης · #2

1. Θεωρούμε τους πίνακες $\displaystyle{\begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} & \displaystyle \frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}} \\ & \\ \displaystyle \frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}} & \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} & \displaystyle -\frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}} \\ & \\ \displaystyle -\frac{\eta \mu x}{\sqrt{2}} & \displaystyle \frac{\sigma \upsilon \nu x}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}}$ και ονομάζουμε $\displaystyle{H(x)}$ τον πρώτο και $\displaystyle{\Sigma(x)}$ το δεύτερο.
α) Να αποδείξετε ότι ισχύει ${{H}^{2}}(x)+{{\Sigma }^{2}}(x)=I$ όπου $\displaystyle{I}$ ο πίνακας $\displaystyle{I=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$
β) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{{\Sigma }^{2}}(x)-{{H}^{2}}(x)=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}}$ $(\displaystyle{x\in \mathhb{R}})$

α)

Έχουμε:

$\displaystyle{\frac{1}{2}\begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & sinx}\\ & \\ \displaystyle{sinx & cosx}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & sinx}\\ & \\ \displaystyle{sinx & cosx}\end{bmatrix} + \frac{1}{2}\begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & -sinx}\\ & \\ \displaystyle{-sinx & cosx}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & -sinx}\\ & \\ \displaystyle{-sinx & cosx}\end{bmatrix}=}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}\left[\begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & sinx}\\ & \\ \displaystyle{sinx & cosx}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & sinx}\\ & \\ \displaystyle{sinx & cosx}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & -sinx}\\ & \\ \displaystyle{-sinx & cosx}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}\displaystyle{cosx & -sinx}\\ & \\ \displaystyle{-sinx & cosx}\end{bmatrix}\right]=}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}\left[\begin{bmatrix}\displaystyle{1 & sin2x}\\ & \\ \displaystyle{sin2x & 1}\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}\displaystyle{1 & -sin2x}\\ & \\ \displaystyle{-sin2x & 1}\end{bmatrix}\right]=}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}\displaystyle{2 & 0}\\ & \\ \displaystyle{0 & 2}\end{bmatrix}=I}$

β)Αρκεί να λύσουμε την:

$\displaystyle{\Sigma^{2}(x)-H^{2}(x)=\begin{bmatrix}\displaystyle{0 & 0}\\ & \\ \displaystyle{0 & 0}\end{bmatrix}}$

ή την:

$\displaystyle{H^{2}(x)-\Sigma^{2}(x)=\begin{bmatrix}\displaystyle{0 & 0}\\ & \\ \displaystyle{0 & 0}\end{bmatrix}}$

$\displaystyle{\frac{1}{2}\left[\begin{bmatrix}\displaystyle{1 & sin2x}\\ & \\ \displaystyle{sin2x & 1}\end{bmatrix}- \begin{bmatrix}\displaystyle{1 & -sin2x}\\ & \\ \displaystyle{-sin2x & 1}\end{bmatrix}\right]=\begin{bmatrix}\displaystyle{0 & 0}\\ & \\ \displaystyle{0 & 0}\end{bmatrix}}$

$\displaystyle{\begin{bmatrix}\displaystyle{1 & sin2x}\\ & \\ \displaystyle{sin2x & 1}\end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}\displaystyle{-1 & sin2x}\\ & \\ \displaystyle{sin2x & -1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\displaystyle{0 & 0}\\ & \\ \displaystyle{0 & 0}\end{bmatrix}}$

$\displaystyle{\begin{bmatrix}\displaystyle{0 & 2sin2x}\\ & \\ \displaystyle{2sin2x & 0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\displaystyle{0 & 0}\\ & \\ \displaystyle{0 & 0}\end{bmatrix}}$

Επομένως πρέπει:

$\displaystyle{2sin2x=0\Leftrightarrow x=\frac{k}{2}\cdot \pi}$ , $k\in\mathbb{Z}$

BAGGP93 · #3

parmenides51 έγραψε:

3. Έστω η πραγματική συνάρτηση $\psi$ της πραγματικής μεταβλητής $\displaystyle{x}$ με $\displaystyle{\psi (x)=x+\frac{4}{x}}$
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο των τιμών της $\psi$
β) Να εξετάσετε την $\displaystyle{\psi }$ ως προς την μονοτονία σε καθένα από τα διαστήματα και $[2,+\infty )$

Λύση

α)Είναι $\displaystyle{D\left(\psi\right)=\mathbb{R}-\left\{0\right\}}$

Για το σύνολο τιμών μπορούμε να εργαστούμε με δύο τρόπους

Πρώτος τρόπος

Για κάθε $\displaystyle{x\neq 0}$ είναι

$\displaystyle{\psi^\prime(x)=1-\frac{4}{x^2}\,\,,\psi''(x)=\frac{8}{x^3}}$

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{\psi^\prime(-2)=\psi^\prime(2)=0}\,\,,\psi''(-2)=-1<0\,\,,\psi''(2)=1>0}$ και, επί πλέον, ότι

$\displaystyle{\forall x\in\left(-\infty,-2\right)\cup\left(2,+\infty\right):\psi^\prime(x)>0\,\,\,,\forall x\in\left(-2,0\right)\cup\left(0,2\right):\psi^\prime(x)<0}$

Από τα παραπάνω έχουμε ότι

$\displaystyle{f\left(D\left(\psi\right)\right)=\left(\lim_{x\to -\infty}\psi(x),\psi(-2)\right]\cup\left(\lim_{x\to 0^{-}}\psi(x),\psi(-2)\right]\left[\psi(2),\lim_{x\to 0^{+}}\psi(x)\right)\cup\left[\psi(2),\lim_{x\to +\infty}\psi(x)\right)$ , όπου

$\displaystyle{\lim_{x\to -\infty}\psi(x)=\lim_{x\to -\infty}\left(x+\frac{4}{x}\right)=-\infty}$

$\displaystyle{\psi(-2)=-4\,\,,\psi(2)=4}$

$\displaystyle{\lim_{x\to 0^{-}}\psi(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\left(x+\frac{4}{x}\right)=-\infty\,\,\,,\lim_{x\to 0^{+}}\psi(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\left(x+\frac{4}{x}\right)=+\infty}$

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\psi(x)=\lim_{x\to +\infty}\left(x+\frac{4}{x}\right)=+\infty}$

Συνεπώς, $\displaystyle{f\left(D\left(\psi\right)\right)=\left(-\infty,-4\right]\cup\left(-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right)\cup\left[4,+\infty\right)=\left(-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right)}$

Δεύτερος τρόπος

Έστω $\displaystyle{y\in f\left(D\left(\psi\right)\right)}$ .Τότε, υπάρχει $\displaystyle{x\in D\left(\psi\right)=\mathbb{R}-\left\{0\right\}}$ τέτοιο,

ώστε $\displaystyle{\psi(x)=y$ , οπότε,

$\displaystyle{x+\frac{4}{x}=y\Rightarrow x^2+4=xy\Rightarrow x^2-xy=-4\Rightarrow \left(x-\frac{y}{2}\right)^2=\frac{y^2}{4}-4\Rightarrow \frac{y^2}{4}\geq 4\Rightarrow y^2\geq 16 \Rightarrow y\in\left(-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right)}$

Έτσι, $\displaystyle{D\left(\psi\right)\subset \left(-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right)\,\,(I)}$

Αντίστροφα τώρα, έστω $\displaystyle{z\in\left(-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right)}$

i) $\displaystyle{z\in\left(-\infty,-4\right]}$

Τότε, για το $\displaystyle{0>x=\frac{z}{2}-\frac{\sqrt{z^2-16}}{2}\in D\left(\psi\right)}$ ισχύει $\displaystyle{\psi(x)=z}$ , γεγονός που

αποδεικνύει ότι $\displaystyle{z\in f\left(D\left(\psi\right)\right)}$

ii) $\displaystyle{z\in\left[4,+\infty\right)}$

Τότε, για το $\displaystyle{0<x=\frac{z}{2}+\frac{\sqrt{z^2-16}}{2}\in D\left(\psi\right)}$ ισχύει $\displaystyle{\psi(x)=z}$ , γεγονός που

αποδεικνύει ότι $\displaystyle{z\in f\left(D\left(\psi\right)\right)}$

Επομένως $\displaystyle{\left(-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right)\subset f\left(D\left(\psi\right)\right)\,\,(II)}$

Οι σχέσεις $\displaystyle{(I)\,\,\kappa \alpha \iota\,\, (II)}$ δίνουν $\displaystyle{f\left(D\left(\psi\right)\right)=\left(-\infty,-4\right]\cup\left[4,+\infty\right)}$

β)Έχει απαντηθεί στον πρώτο τρόπο του ερωτήματος α)

#4

Βέβαια, ο συντομότερος τρόπος να βρεθεί το σύνολο τιμών είναι ο εξής:

Η συνάρτηση είναι φανερά περιττή στο πεδίο ορισμού της. Ας δουλέψουμε λοιπόν στο $\displaystyle{(0,+\infty).}$

Από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ είναι

$\displaystyle{y\geq 2\sqrt{x\cdot \frac{4}{x}}=4}$ και η ισότητα ισχύει για $\displaystyle{x=2.}$

Επίσης η συνάρτηση είναι συνεχής στο $\displaystyle{(0,+\infty)}$ και $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty ,}$ άρα το

$\displaystyle{f(0,+\infty)=[4,+\infty ).}$

Τελικά, λόγω περιττότητας, το σύνολο τιμών είναι το

$\displaystyle{(-\infty ,-4]\cup [4,+\infty ).}$

gavrilos · #5

parmenides51 έγραψε:4. α) Έστω μια πραγματική συνάρτηση $\displaystyle{f}$ με πεδίο ορισμού της $\displaystyle{A}$ ένα υποσύνολο του $\displaystyle{\mathbb{R}}$ ,
που περιέχει ένα ανοικτό διάστημα $\displaystyle{(\alpha,\beta)}$ με $\displaystyle{\alpha,\beta\in\mathbb{R}}$ και έστω $\displaystyle{{{x}_{0}}}$ ένα από τα άκρα του διαστήματος $\displaystyle{(\alpha,\beta)}$ .
Τι εννοούμε όταν λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο στο ${{x}_{0}}$ το $+\infty$ και τι όταν λέμε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ έχει όριο στο ${{x}_{0}}$ το $-\infty$ ;
β) Έστω η πραγματική συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής $\displaystyle{x}$ με $\displaystyle{\psi (x)=\frac{2x-10}{5-\sqrt{5x}}}$ να βρείτε το $\displaystyle{\lim_{x\to 5}\psi (x)}$ .

α)Θεωρία

β)Αφού $\displaystyle{x\neq 5}$ έχουμε $\displaystyle{\psi (x)=\frac{2(x-5)}{5-\sqrt{5x}}=\frac{2(x-5)(5+\sqrt{5x})}{25-5x}=\frac{2(x-5)(5+\sqrt{5x})}{-5(x-5)}=\frac{2(5+\sqrt{5x})}{-5}}$ .

Συνεπώς $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 5} \psi (x)=\lim_{x\rightarrow 5} \frac{2(5+\sqrt{5x})}{-5}=\frac{2\cdot 10}{-5}=-4}$ .

parmenides51 · #6

parmenides51 έγραψε:2. α) Έστω το σύστημα ( $\displaystyle{\Sigma}$ ) : $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} {{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}\psi ={{\gamma }_{1}} \\ {{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}\psi ={{\gamma }_{2}} \end{matrix}\right.}$ με τους ${{\alpha }_{1}},{{\beta }_{1}},{{\gamma }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\beta }_{2}},{{\gamma }_{2}}$ πραγματικούς αριθμούς.
Να αποδείξετε ότι αν ο πίνακας $\displaystyle{\begin{bmatrix} \alpha_1 & \beta_1\\ \alpha_2 & \beta_2 \end{bmatrix}}$ είναι αντιστρέψιμος τότε το σύστημα έχει μία μόνο λύση.
β) Να λύσετε (και να διερευνήσετε) το σύστημα $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} (\lambda +1)x-2(\lambda -1)\psi =3 \\ x+3\lambda \psi =4\lambda +5 \end{matrix}\right.}$ όπου $\displaystyle{\lambda}$ πραγματικός αριθμός.

α) θεωρία

β) $\displaystyle{D=\begin{vmatrix} \lambda +1 & -2(\lambda -1)\\ 1 & 3\lambda \end{vmatrix}=3\lambda(\lambda +1)+1\cdot 2(\lambda -1)}$
$\displaystyle{=3\lambda^2+3\lambda +2\lambda-2=3\lambda^2+5\lambda- 2=(3\lambda-1)(\lambda+2)}}$

$\displaystyle{D_x=\begin{vmatrix} 3 & -2(\lambda -1)\\ 4\lambda+5 & 3\lambda \end{vmatrix}=3\cdot 3 \lambda+1 (4\lambda+5 )\cdot 2(\lambda -1)=}$
$\displaystyle{=9\lambda+8\lambda^2- 8\lambda+10\lambda-10=8\lambda^2+11\lambda-10=(8\lambda-5)(\lambda+2)}}$

$\displaystyle{D_y=\begin{vmatrix} \lambda +1 & 3\\ 1 & 4\lambda+5 \end{vmatrix}=(\lambda+1)(4\lambda +5)-1\cdot 3}$
$\displaystyle{=4\lambda^2+5\lambda+4\lambda+5 -3=4\lambda^2+9\lambda+2=(4\lambda+1)(\lambda+2)}$

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{D\ne 0 \Leftrightarrow (3\lambda-1)(\lambda+2)\ne 0 \Leftrightarrow \lambda\ne-2}$ και $\displaystyle{\lambda\ne\frac{1}{3}}$ , το σύστημα έχει μοναδική λύση

$\displaystyle{(x,y)=\left(\frac{D_x}{D},\frac{D_y}{D}\right)=\left(\frac{(8\lambda-5)(\lambda+2)}{(3\lambda-1)(\lambda+2)},\frac{(4\lambda+1)(\lambda+2)}{(3\lambda-1)(\lambda+2)}\right)=\left(\frac{8\lambda-5}{3\lambda-1},\frac{4\lambda+1}{3\lambda-1}\right)}$

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{\lambda=-2}$ είναι $\displaystyle{D=0, D_x=D_y=0}$ , άρα το σύστημα γίνεται

$\displaystyle{\left\{\begin{matrix} (-2 +1)x-2(-2 -1)y=3 \\ x+3(-2)y =4(-2) +5 \end{matrix}\right}\Leftrightarrow }$ $\displaystyle{\left\{\begin{matrix} -x+6y=3 \\ x-6y =-3 \end{matrix}\right}\Leftrightarrow x-6y =-3 \Leftrightarrow x=6y-3}$

οπότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις, όλα τα σημεία $\displaystyle{(x,y)}$ της ευθείας $\displaystyle{x=6y-3}$

δηλαδή έχει λύσεις $\displaystyle{(x,y)=(6y-3,y)=(6k-3,k)}$ με $\displaystyle{k\in \mathbb{R}}$

$\displaystyle{\bullet}$ Για $\displaystyle{\lambda=\frac{1}{3}}$ είναι $\displaystyle{D=0, D_x\ne 0}$ , άρα το σύστημα είναι αδύνατο

edit
διορθώθηκε η περίπτωση που έβγαινε αόριστο το σύστημα

Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1984

Μέλη σε σύνδεση