Δ' ΔΕΣΜΗ 1989

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δ' ΔΕΣΜΗ 1989

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τετ Ιουν 19, 2013 9:20 pm

1. α) Αν για τον τετραγωνικό \displaystyle{\nu x \nu} πίνακα \displaystyle{A} υπάρχει αντίστροφος να αποδειχθεί ότι είναι μοναδικός.
β) Έστω ο πίνακας \left[ \begin{matrix} 
 1 & x & {{x}^{2}}  \\ 
   0 & 1 & 2x  \\ 
0 & 0 & 1  \\ 
\end{matrix} \right] τον οποίο συμβολίζουμε με \displaystyle{A(x) \,\,\, , x\in \mathbb{R}}. Να αποδειχθεί ότι :
i) A({{x}_{1}})\cdot A({{x}_{2}})=A({{x}_{1}}+{{x}_{2}})\,\,,({{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{R})
ii) A(x)\cdot A(-x)={{I}_{3}} , ( {{I}_{3}} ο μοναδιαίος \displaystyle{3x3}).


2. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)={{x}^{2}}+\frac{2\alpha }{x}+\beta } , \displaystyle{(\alpha ,\beta \in \mathbb{R})} η οποία μηδενίζεται στο {{x}_{1}}=1
και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο {{x}_{0}}=2.
α) Να βρεθούν τα \displaystyle{\alpha,\beta}
β) Να βρεθεί το είδος του ακροτάτου και η τιμή του.


3. α) Να αποδείξετε ότι :
''Αν οι συναρτήσεις \displaystyle{f,g} με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα \displaystyle{\Delta} είναι παραγωγίσιμες στο {{x}_{0}}\in \Delta
τότε η συνάρτηση \displaystyle{f+g} είναι παραγωγίσιμη στο {{x}_{0}}\in \Delta και {{\left( f+g \right)}^{\prime }}({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})+{g}'({{x}_{0}}) ''.
β) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} με f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & \displaystyle \frac{3\alpha }{{{x}^{3}}}+1,0<x\le 2 \\  
	 &\displaystyle \frac{1-\sqrt{x-1}}{{{x}^{2}}-4},x>2 \\  
	\end{matrix} \right.
Να προσδιοριστεί το \alpha \in \mathbb{R} ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο {{x}_{0}}=2.


4. Να αποδειχθεί ότι :
α) η συνάρτηση \displaystyle{f} με f(x)=\sqrt{x} είναι γνησίως αύξουσα
β) για \kappa \ge 1 : \displaystyle{\sqrt{\kappa }\le \int\limits_{\kappa }^{\kappa +1}{\sqrt{x}}dx} και \displaystyle{\int\limits_{\kappa -1}^{\kappa }{\sqrt{x}}dx\le \sqrt{\kappa} }


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1989

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Ιουν 20, 2013 1:12 am

parmenides51 έγραψε:

3. α) Να αποδείξετε ότι :
''Αν οι συναρτήσεις \displaystyle{f,g} με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημα \displaystyle{\Delta} είναι παραγωγίσιμες στο {{x}_{0}}\in \Delta
τότε η συνάρτηση \displaystyle{f+g} είναι παραγωγίσιμη στο {{x}_{0}}\in \Delta και {{\left( f+g \right)}^{\prime }}({{x}_{0}})={f}'({{x}_{0}})+{g}'({{x}_{0}}) ''.
β) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} με f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & \displaystyle \frac{3\alpha }{{{x}^{3}}}+1,0<x\le 2 \\  
	 &\displaystyle \frac{1-\sqrt{x-1}}{{{x}^{2}}-4},x>2 \\  
	\end{matrix} \right.
Να προσδιοριστεί το \alpha \in \mathbb{R} ώστε η συνάρτηση να είναι συνεχής στο {{x}_{0}}=2.

Καλησπέρα

α)

\displaystyle{\begin{aligned}\left(f+g\right)^\prime(x_0)&=\lim_{x\to x_0}\frac{\left(f+g\right)(x)-\left(f+g\right)(x_0)}{x-x_0}\\&=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)}{x-x_0}\\&=\lim_{x\to x_0}\left[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}+\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\right]\\&=f^\prime(x_0)+g^\prime(x_0)}\end{aligned}}

β)Η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στα διαστήματα \displaystyle{\left(0,2\right)}\,\,\left(2,+\infty\right)} ως

πράξεις συνεχών συναρτήσεων.

Για να είναι συνεχής και στο \displaystyle{x=2}, απαιτούμε \displaystyle{\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)}

Είναι,

\displaystyle{\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=\lim_{x\to 2^{-}}\left(\frac{3\alpha}{x^3}+1\right)=\frac{3\alpha}{8}+1}

\displaystyle{\begin{aligned}\lim_{x\to 2^{+}}f(x)&=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{1-\sqrt{x-1}}{x^2-4}\\&=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{\left(1-\sqrt{x-1}\right)\left(1+\sqrt{x-1}\right)}{\left(x^2-4\right)\left(1+\sqrt{x-1}\right)}\\&=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{2-x}{{\left(x^2-4\right)\left(1+\sqrt{x-1}\right)}\\&=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{-\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(1+\sqrt{x-1}\right)}\\&=-\lim_{x\to 2^{+}}\frac{1}{\left(x+2\right)\left(1+\sqrt{x-1}\right)}\\&=-\frac{1}{8}\end{aligned}}

Άρα, θα πρέπει,

\displaystyle{\frac{3\alpha}{8}+1=-\frac{1}{8}\Leftrightarrow \frac{3\alpha+1}{8}=-1\Leftrightarrow 3\alpha+1=-8\Leftrightarrow 3\alpha=-9\Leftrightarrow \alpha=-3}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1989

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Ιουν 20, 2013 1:20 am

parmenides51 έγραψε:

4. Να αποδειχθεί ότι :
α) η συνάρτηση \displaystyle{f} με f(x)=\sqrt{x} είναι γνησίως αύξουσα
β) για \kappa \ge 1 : \displaystyle{\sqrt{\kappa }\le \int\limits_{\kappa }^{\kappa +1}{\sqrt{x}}dx} και \displaystyle{\int\limits_{\kappa -1}^{\kappa }{\sqrt{x}}dx\le \sqrt{\kappa} }
Απόδειξη

α)Το πεδίο ορισμού της \displaystyle{f} είναι το \displaystyle{D\left(f\right)=\left[0,+\infty\right)}

Έστω \displaystyle{x,y\in\left[0,+\infty\right)} τέτοια, ώστε \displaystyle{0\leq x<y}

Θα δείξουμε ότι \displaystyle{f(x)<f(y)}

Πράγματι,

\displaystyle{f(x)-f(y)=\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}<0}

β)\displaystyle{x\geq k\Rightarrow f(x)\geq f(k)=\sqrt{k}\Rightarrow \int_{k}^{k+1}f(x)\,dx\geq \int_{k}^{k+1}\sqrt{k}\,dx=\sqrt{k}\Rightarrow \int_{k}^{k+1}\sqrt{x}\,dx\geq \sqrt{k}}

\displaystyle{0\leq x\leq k\Rightarrow f(x)\leq f(k)\Rightarrow \int_{k-1}^{k}f(x)\,dx\leq \int_{k-1}^{k}\sqrt{k}\,dx\Rightarrow \int_{k-1}^{k}\sqrt{x}\,dx\leq \sqrt{k}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 935
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1989

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Παρ Ιουν 21, 2013 9:31 pm

parmenides51 έγραψε:1. α) Αν για τον τετραγωνικό \displaystyle{\nu x \nu} πίνακα \displaystyle{A} υπάρχει αντίστροφος να αποδειχθεί ότι είναι μοναδικός.
β) Έστω ο πίνακας \left[ \begin{matrix} 
 1 & x & {{x}^{2}}  \\ 
   0 & 1 & 2x  \\ 
0 & 0 & 1  \\ 
\end{matrix} \right] τον οποίο συμβολίζουμε με \displaystyle{A(x) \,\,\, , x\in \mathbb{R}}. Να αποδειχθεί ότι :
i) A({{x}_{1}})\cdot A({{x}_{2}})=A({{x}_{1}}+{{x}_{2}})\,\,,({{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{R})
ii) A(x)\cdot A(-x)={{I}_{3}} , ( {{I}_{3}} ο μοναδιαίος \displaystyle{3x3}).
α) Θεωρία
β) i. \displaystyle{A\left( {{x_1}} \right) \cdot A\left( {{x_2}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
1&{{x_1}}&{x_1^2}\\ 
0&1&{2{x_1}}\\ 
0&0&1 
\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
1&{{x_2}}&{x_2^2}\\ 
0&1&{2{x_2}}\\ 
0&0&1 
\end{array}} \right] = }

\displaystyle{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
1&{{x_1} + {x_2}}&{x_2^2 + 2{x_1}{x_2} + x_1^2}\\ 
0&1&{2{x_1} + 2{x_2}}\\ 
0&0&1 
\end{array}} \right] = A\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}

ii. \displaystyle{A\left( x \right) \cdot A\left( { - x} \right)\mathop  = \limits^{\left( i \right)} A\left( {x - x} \right) = A\left( 0 \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
1&0&0\\ 
0&1&0\\ 
0&0&1 
\end{array}} \right] = {I_3}}


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1989

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Σάβ Ιουν 22, 2013 1:22 pm

parmenides51 έγραψε:2. Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)={{x}^{2}}+\frac{2\alpha }{x}+\beta } , \displaystyle{(\alpha ,\beta \in \mathbb{R})} η οποία μηδενίζεται στο {{x}_{1}}=1
και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο {{x}_{0}}=2.
α) Να βρεθούν τα \displaystyle{\alpha,\beta}
β) Να βρεθεί το είδος του ακροτάτου και η τιμή του.
η \displaystyle{f} είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\mathbb{R}^*} ως πολυωνυμική με παράγωγο \displaystyle{f'(x)=2x-\frac{2\alpha }{x^2}} για κάθε \displaystyle{ x\in  \mathbb{R}^*}

\displaystyle{f(1)=0 \Leftrightarrow 1+2\alpha+\beta =0 \Leftrightarrow 2\alpha+\beta =-1} (1)

αφού η \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\mathbb{R^*}και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο {{x}_{0}}=2 εσωτερικό του \displaystyle{(0,+\infty)\subset \mathbb{R} }

θα ισχύει πως \displaystyle{f'(2)=0\Leftrightarrow 4-\frac{2\alpha }{2^2}=0 \Leftrightarrow \alpha=8}

οπότε λόγω (1) είναι \displaystyle{16+\beta=-1 \Leftrightarrow  \beta=-17}

άρα \displaystyle{f(x)={{x}^{2}}+\frac{16}{x}-17}

οπότε \displaystyle{f'(x)=2x-\frac{16}{x^2}=\frac{2x^3}{x^2}-\frac{16}{x^2}=\frac{2x^3-16}{x^2}=\frac{2(x^3-8)}{x^2} για κάθε \displaystyle{x\in  \mathbb{R}^*}

η \displaystyle{f'} είναι ομόσημη του \displaystyle{(x^3-8)} διότι \displaystyle{2, x^2>0} σε καθένα από τα διαστήματα \displaystyle{(-\infty,0),(0,+\infty)}

\displaystyle{x^3-8>0 \Leftrightarrow  x^3>8 \Leftrightarrow  x^3>2^3 \Leftrightarrow  x>2 } αφού \displaystyle{x^3 \uparrow \mathbb{R}}

ομοίως \displaystyle{x^3-8<0 \Leftrightarrow  x<2}

και \displaystyle{x^3-8=0 \Leftrightarrow  x=2}

οπότε συνοψίζοντας έχουμε πως οι \displaystyle{f,f'} ορίζονται στο \displaystyle{(-\infty,0)\cup(0,+\infty)}

και \displaystyle{f'(x)>0   \Leftrightarrow x\in (2,+\infty)}

\displaystyle{f'(x)<0   \Leftrightarrow x\in (-\infty,0)\cup (0,2)}

\displaystyle{f'(x)=0   \Leftrightarrow x=2}

κι επειδή η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{(-\infty,0)\cup(0,+\infty)} θα ισχύει πως

\displaystyle{f\uparrow} στο \displaystyle{[2,+\infty)}

και \displaystyle{f\downarrow} στο \displaystyle{(-\infty,0)} και στο \displaystyle{(0,2]}

επίσης η \displaystyle{f} παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για \displaystyle{x_0=2} στο \displaystyle{(0,+\infty)}

με τιμή \displaystyle{f(2)={{2}^{2}}+\frac{16}{2}-17=4+8-17=-5}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Δ' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης