Δ' ΔΕΣΜΗ 1991

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δ' ΔΕΣΜΗ 1991

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Τρί Ιουν 25, 2013 11:18 am

1. α) Αν \displaystyle{A} και \displaystyle{B} είναι πίνακες \displaystyle{2x2} να αποδειχθεί ότι D(AB)=D(A)\cdot D(B)
β) Για τις διάφορες τιμές του \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}} να βρεθούν οι τιμές των \displaystyle{x} και \displaystyle{y}
οι οποίες επαληθεύουν τη σχέση \left[ \begin{matrix} 
	   1 & 2  \\ 
   1 & 0  \\ 
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 
	   x  \\ 
	   \lambda x  \\ 
	\end{matrix} \right]+\lambda \left[ \begin{matrix} 
   y  \\ 
	   \lambda y  \\ 
	\end{matrix} \right]=(\lambda +1)\left[ \begin{matrix} 
	   1  \\ 
	   \lambda   \\ 
	\end{matrix} \right].


2. α) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f} η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα \displaystyle{\Delta} και παραγωγίζεται στο {{x}_{0}}\in \Delta.
Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\lim_{x\to {x}_{0}}\frac{xf({{x}_{0}})-{{x}_{0}}f(x)}{x-{{x}_{0}}}=f({{x}_{0}})-{{x}_{0}}{f}'({{x}_{0}})}.
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle{f}
με f(x)=\sqrt{x+3}+x-3,\,\,x\ge -3 στο σημείο {{x}_{0}}=-3.


3. α) Δίνονται οι συναρτήσεις \displaystyle{f} και \displaystyle{g} οι οποίες έχουν τις εξής ιδιότητες:
\displaystyle{\bullet} είναι συνεχείς στο \displaystyle{[\alpha,\beta]} και παραγωγίσιμες στο \displaystyle{(\alpha,\beta)}
\displaystyle{\bullet} για κάθε \displaystyle{x\in [\alpha,\beta]} και g(x)\ne 0 και για κάθε \displaystyle{x\in(\alpha,\beta) } είναι {g}'(x)\ne 0 και
\displaystyle{\bullet} f(\beta )g(\alpha )-f(\alpha )g(\beta )=0
Να αποδείξετε ότι:
i) Για την συνάρτηση \displaystyle{F} με \displaystyle{F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}} εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο \displaystyle{ [\alpha,\beta]}.
ii) Υπάρχει {{x}_{0}}\in (\alpha ,\beta ) τέτοιο ώστε \displaystyle{\frac{{f}'({{x}_{0}})}{{g}'({{x}_{0}})}=\frac{f({{x}_{0}})}{g({{x}_{0}})}}.
β) i) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)>0 ,\,\,x\in \mathbb{R}}.
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης \displaystyle{F} με F(x)={{\left[ f(x) \right]}^{x}},x\in \mathbb{R}
ii) Έστω \displaystyle{ \alpha>0}. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης \displaystyle{g } με g(x)={{\alpha }^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}},\,\,x\in \mathbb{R} .


4. α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της \displaystyle{f:\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\to \mathbb{R}}
με \displaystyle{ f(x)=\eta {{\mu }^{2}}x-\sqrt{2}\eta \mu x+2\sqrt{2}}.
β) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f } με τύπο f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & {{e}^{x}}-e,\,\,\,x<1 \\  
 & \displaystyle\frac{\ln x}{x},\,\,\,\,\,\,x\ge 1 \\  
	\end{matrix} \right.
Να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f} είναι συνεχής και να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου το οποίο περικλείεται
από τη γραφική παράσταση της \displaystyle{f} , τον άξονα {x}'x και τις ευθείες \displaystyle{x=0} και \displaystyle{x=e}.


Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 419
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1991

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Τετ Ιουν 26, 2013 4:22 pm

parmenides51 έγραψε:1. α) Αν \displaystyle{A} και \displaystyle{B} είναι πίνακες \displaystyle{2x2} να αποδειχθεί ότι D(AB)=D(A)\cdot D(B)
β) Για τις διάφορες τιμές του \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}} να βρεθούν οι τιμές των \displaystyle{x} και \displaystyle{y}
οι οποίες επαληθεύουν τη σχέση \left[ \begin{matrix} 
	   1 & 2  \\ 
   1 & 0  \\ 
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 
	   x  \\ 
	   \lambda x  \\ 
	\end{matrix} \right]+\lambda \left[ \begin{matrix} 
   y  \\ 
	   \lambda y  \\ 
	\end{matrix} \right]=(\lambda +1)\left[ \begin{matrix} 
	   1  \\ 
	   \lambda   \\ 
	\end{matrix} \right].
Για να δούμε σιγά-σιγά τη λύση του πρώτου θέματος.

α) Θεωρία τότε σχολικού βιβλίου

β)
Μας έχει δοθεί η σχέση: \begin{bmatrix} 
1 & 2\\  
1 & 0 
\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 
x\\  
\lambda x 
 
\end{bmatrix}+\lambda .\begin{bmatrix} 
y\\  
\lambda y 
\end{bmatrix}=(\lambda +1)\begin{bmatrix} 
1\\  
\lambda  
\end{bmatrix}

στην οποία κάνουμε τις απαραίτητες πράξεις και έχουμε:

\begin{bmatrix} 
x+2\lambda x\\  
x+0\lambda x 
\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 
\lambda y\\  
\lambda ^{2}y 
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 
\lambda +1\\  
\lambda (\lambda +1) 
\end{bmatrix} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
x+2\lambda x+\lambda y=\lambda +1 & \\  
 x+\lambda ^{2}y=\lambda (\lambda +1)&  
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow  
\begin{Bmatrix} 
(1+2\lambda )x+\lambda y=\lambda +1 & \\  
 x+\lambda ^{2}y=\lambda (\lambda +1)&  
\end{Bmatrix}

Αφού προκύπτει ένα 2x2 γραμικό σύστημα, με την μέθοδο των οριζουσών παίρνω:

D=\begin{vmatrix} 
1+2\lambda  & \lambda \\  
 1&\lambda ^{2}  
\end{vmatrix} \Leftrightarrow \lambda ^{2}(1+2\lambda )-\lambda =\lambda (2\lambda ^{2}+\lambda -1)\Leftrightarrow \lambda (2\lambda -1)(\lambda +1)

Υπολογίζουμε τις ορίζουσες D_{x},D_{y} όπως φαίνεται παρακάτω:

D_{x}=\begin{vmatrix} 
\lambda +1 &1 \\  
 \lambda (\lambda +1)&\lambda ^{2}  
\end{vmatrix}=\lambda ^{2}(\lambda +1)-\lambda ^{2}(\lambda +1)=0

και

D_{y}=\begin{vmatrix} 
1+2\lambda  & \lambda +1\\  
 1&\lambda (\lambda +1)  
\end{vmatrix}=(\lambda +1)^2.(2\lambda -1)

Διακρίνουμε περιπτώσεις:

ΑνD\neq 0\Leftrightarrow \lambda .(2\lambda -1).(\lambda +1)\neq 0\Leftrightarrow \lambda \neq 0\wedge \lambda \neq \frac{1}{2}\wedge \lambda \neq -1

το σύστημα έχει μοναδική λύση την \displaystyle{x=\frac{D_{x}}{D} \wedge y=\frac{D_{y}}{D}}

Δηλαδή: \displaystyle{x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{0}{\lambda .(2\lambda -1).(\lambda +1)}=0}

και \displaystyle{y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{(\lambda +1)^{2}.(2\lambda -1)}{\lambda (2\lambda -1).(\lambda +1)}=\frac{\lambda +1}{\lambda }}

Συνεπώς η μοναδική λύση του συστήματος είναι: \displaystyle{(x,y)=(0,\frac{\lambda +1}{\lambda }), \lambda \in \mathbb{R}-\left \{ 0,\frac{1}{2},-1\left.  \right \} \right.}

Αν \displaystyle{D=0\Leftrightarrow \lambda .(2\lambda -1).(\lambda +1)=0\Leftrightarrow \lambda =0\vee \lambda =\frac{1}{2}\vee \lambda =-1}

Κατά συνέπεια, έχουμε:

\cdot για \lambda =0 το αρχικό σύστημα γίνεται: \left\{\begin{matrix} 
x +0y=1& \\  
 x+0y=0&  
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=0\wedge x=1 που σημαίνει ότι σύστημα είναι αδύνατο.

\cdot για \lambda =\frac{1}{2} το αρχικό σύστημα γίνεται: \left\{\begin{matrix} 
4x+y=3 & \\  
 4x+y=3&  
\end{matrix}\right.

που σημαίνει ότι το εν λόγω είναι αόριστο, δηλαδή έχει άπειρες λύσεις που δίνονται ως εξής:
x=\kappa , y=3-4\kappa , \kappa \in \mathbb{R}

\cdot για \lambda =-1 το αρχικό μου σύστημα γίνεται:

\begin{Bmatrix} 
-x-y=0 & \\  
 x+y=0&  
\end{Bmatrix}\Leftrightarrow x+y=0

Αν θέσω και εδώ: x=\phi , y=-\varphi , \varphi \in \mathbb{R} δηλαδή και πάλι το αρχικό μας σύστημα έχει άπειρες λύσεις.


Χρήστος Λοΐζος
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 419
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1991

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Πέμ Ιουν 27, 2013 1:35 am

parmenides51 έγραψε: 3. α) Δίνονται οι συναρτήσεις \displaystyle{f} και \displaystyle{g} οι οποίες έχουν τις εξής ιδιότητες:
\displaystyle{\bullet} είναι συνεχείς στο \displaystyle{[\alpha,\beta]} και παραγωγίσιμες στο \displaystyle{(\alpha,\beta)}
\displaystyle{\bullet} για κάθε \displaystyle{x\in [\alpha,\beta]} και g(x)\ne 0 και για κάθε \displaystyle{x\in(\alpha,\beta) } είναι {g}'(x)\ne 0 και
\displaystyle{\bullet} f(\beta )g(\alpha )-f(\alpha )g(\beta )=0
Να αποδείξετε ότι:
i) Για την συνάρτηση \displaystyle{F} με \displaystyle{F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}} εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο \displaystyle{ [\alpha,\beta]}.
ii) Υπάρχει {{x}_{0}}\in (\alpha ,\beta ) τέτοιο ώστε \displaystyle{\frac{{f}'({{x}_{0}})}{{g}'({{x}_{0}})}=\frac{f({{x}_{0}})}{g({{x}_{0}})}}.
β) i) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)>0 ,\,\,x\in \mathbb{R}}.
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης \displaystyle{F} με F(x)={{\left[ f(x) \right]}^{x}},x\in \mathbb{R}
ii) Έστω \displaystyle{ \alpha>0}. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης \displaystyle{g } με g(x)={{\alpha }^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}},\,\,x\in \mathbb{R} .
Πάμε να δούμε και αυτό το θεματάκι που για την εποχή του θεωρήθηκε αρκετά προτότυπο.

α)
i) Μας ζητάει να αποδείξουμε ότι ισχύει το θεώρημα Rolle για την συνάρτηση F.

\cdot Η συνάρτηση \displaystyle{F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}} με g(x)\neq 0 είναι συνεχής στο [\alpha ,\beta ] ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων που δίνονται από την υπόθεση.

\cdot Η συνάρτηση \displaystyle{F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}} είναι παραγωγίσιμη στο (\alpha ,\beta ) ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων που μας δίνεται από την υπόθεση.
Επίσης μας δίνεται εξ' υποθέσεως ότι ισχύει:
f(\beta ).g(\alpha)-f(\alpha ).g(\beta )=0\Leftrightarrow f(\beta ).g(\alpha)=f(\alpha ).g(\beta )\Leftrightarrow \frac{f(\beta )}{g(\beta )}=\frac{f(\alpha )}{g(\alpha )}\Leftrightarrow F(\alpha )=F(\beta )

Συνεπώς ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle για την F.

ii) Από το ερώτημα i) για την συνάρτηση F ισχύουν οι προυποθέσεις του θεωρήματος Rolle, άρα \displaystyle{\exists x_{0}\in (\alpha ,\beta ): F'(x_{0})=0}

Αλλά \displaystyle{F'(x)=\frac{f'(x).g(x)-f(x).g'(x)}{(g(x))^{2}}}

Οπότε: \displaystyle{F'(x_{0})=0\Leftrightarrow f'(x_{0}).g(x_{0})-f(x_{0}).g'(x_{0})=0\Leftrightarrow f'(x_{0}).g(x_{0})=f(x_{0}).g'(x_{0})\Leftrightarrow \frac{f'(x_{0})}{g'(x_{0})}=\frac{f(x_{0})}{g(x_{0})},  x_{0}\in (\alpha ,\beta )} και έτσι αποδείξαμε το ζητούμενο.

β)
i) Μας δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{F(x)=(f(x))^{x}, f(x)>0, x\in \mathbb{R}} και μας ζητείται να βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης F

Βάσει των δεδομένων απορρέει το συμπέρασμα ότι : F(x)>0, οπότε αν λογαριθμήσουμε την δοσμένη σχέση, θα έχουμε:

\displaystyle{ln(F(x))=ln[f(x)^{x}]} και παραγωγίζοντας την προηγούμενη σχέση θα έχουμε:

(ln(F(x))=ln[f(x)]^x\Rightarrow (ln(F(x))'=(ln[f(x)]^x)'\Leftrightarrow  
\frac{F'(x)}{F(x)}=(x)'ln(f(x))+x(lnf(x))'\Leftrightarrow \frac{F'(x)}{F(x)}=ln(f(x))+x.\frac{f'(x)}{f(x)}\Leftrightarrow F'(x)=[f(x)]^{x}[lnf(x)+x.\frac{f'(x)}{f(x)}], f(x)>0, x\in \mathbb{R}

που είναι και η ζητούμενη παράγωγος.

ii) με την ίδια λογική λογαριθμίζουμε και εν συνεχεία παραγωγίζουμε την δοσμένη σχέση αφού g(x)>0 και έχουμε :

\displaystyle{(ln(g(x)))'=[ln\alpha ^{\sqrt{x^{2}+1}}]'\Leftrightarrow \frac{g'(x)}{g(x)}=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}2xln\alpha \Leftrightarrow g'(x)=\alpha ^{\sqrt{x^{2}+1}}.\frac{xln\alpha }{\sqrt{x^{2}+1}}, \alpha >0}

και x\in \mathbb{R}

όπου είναι και η ζητούμενη παράγωγος.


Χρήστος Λοΐζος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1991

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Ιουν 27, 2013 2:41 pm

parmenides51 έγραψε:

4. α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της \displaystyle{f:\left[0,\frac{\pi }{2}\right]\to \mathbb{R}}
με \displaystyle{ f(x)=\eta {{\mu }^{2}}x-\sqrt{2}\eta \mu x+2\sqrt{2}}.
β) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f } με τύπο f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
  & {{e}^{x}}-e,\,\,\,x<1 \\  
 & \displaystyle\frac{\ln x}{x},\,\,\,\,\,\,x\ge 1 \\  
	\end{matrix} \right.
Να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f} είναι συνεχής και να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου το οποίο περικλείεται
από τη γραφική παράσταση της \displaystyle{f} , τον άξονα {x}'x και τις ευθείες \displaystyle{x=0} και \displaystyle{x=e}.
Καλησπέρα σε όλους.

α)Η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\left[0,\frac{\pi}{2}\right]} ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με

\displaystyle{f^\prime(x)=2\,\eta \mu\,x\,\sigma \upsilon \nu\,x-\sqrt{2}\,\sigma \upsilon \nu\,x=\sqrt{2}\,\sigma \upsilon \nu\,x\left(\sqrt{2}\,\eta \mu\,x-1\right)}

Για \displaystyle{x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]} είναι

\displaystyle{f^\prime(x)=0\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu\,x\left(\sqrt{2}\,\eta \mu\,x-1\right)=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}\ \lor\, x=\frac{\pi}{2}}

Επίσης, \displaystyle{f^\prime(x)<0\ \forall x\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right)\,\,,f^\prime(x)>0\ \forall x\in\left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right)}

Επομένως, η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι γνησίως αυξουσα στο διάστημα \displaystyle{\left[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]} ,

γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \displaystyle{\left[0,\frac{\pi}{4}\right]} και παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο και μέγιστο στα σημεία

\displaystyle{x_1=\frac{\pi}{4}} και \displaystyle{x_2=\frac{\pi}{2}} αντίστοιχα, τους αριθμούς, \displaystyle{f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3\sqrt{2}+1}{2}\,\,,f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1+\sqrt{2}}

β)Η \displaystyle{f} είναι συνεχής στα διαστήματα \displaystyle{\left(-\infty,1\right)\,\,,\left(1,+\infty\right)} ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων

Θα εξετάσουμε τώρα την συνέχεια της συνάρτησης αυτής στο σημείο \displaystyle{x=1}

\displaystyle{\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}\left(e^{x}-e\right)=e-e=0=f(1)}

\displaystyle{\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln 1}{1}=0=f(1)}

Έτσι, η \displaystyle{f} είναι συνεχής και στο σημείο \displaystyle{x=1} και άρα σε όλο το \displaystyle{\mathbb{R}}.

Το ζητούμενο εμβαδό ισούται με \displaystyle{E=\int_{0}^{e}\left|f(x)\right|\,dx} και επειδή η \displaystyle{f} είναι συνεχής έχουμε ότι

\displaystyle{E=\int_{0}^{1}\left|f(x)\right|\,dx+\int_{1}^{e}\left|f(x)\right|\,dx}

Είναι,

\displaystyle{0\leq x\leq 1\Rightarrow 1\leq e^{x}\leq e\Rightarrow 1-e\leq e^{x}-e\leq 0}

\displaystyle{1\leq x\leq e\Rightarrow 0\leq \ln x\leq 1\Rightarrow 0\leq \frac{\ln x}{x}\leq \frac{1}{x}}

Συνεπώς,

\displaystyle{\begin{aligned} E&=\int_{0}^{1}\left(e-e^{x}\right)\,dx+\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x}\,dx\\&=\int_{0}^{1}\,d\left(e\,x-e^{x}\right)+\int_{1}^{e}\,d\left(\frac{1}{2}\ln^2 x\right)\\&=\left[e\,x-e^{x}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{1}{2}\ln^2 x\right]_{1}^{e}\\&=1+\frac{1}{2}\\&=\frac{3}{2}\end{aligned}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1991

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Πέμ Ιουν 27, 2013 3:01 pm

parmenides51 έγραψε:

2. α) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f} η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα \displaystyle{\Delta} και παραγωγίζεται στο {{x}_{0}}\in \Delta.
Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\lim_{x\to {x}_{0}}\frac{xf({{x}_{0}})-{{x}_{0}}f(x)}{x-{{x}_{0}}}=f({{x}_{0}})-{{x}_{0}}{f}'({{x}_{0}})}.
β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle{f}
με f(x)=\sqrt{x+3}+x-3,\,\,x\ge -3 στο σημείο {{x}_{0}}=-3.

α)

\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\to x_0}\frac{x\,f(x_0)-x_0\,f(x)}{x-x_0}&=\lim_{x\to x_0}\frac{x\,f(x_0)-x_0\,f(x)+x_0\,f(x_0)-x_0\,f(x_0)}{x-x_0}\\&=\lim_{x\to x_0}\frac{-x_0\left(f(x)-f(x_0)\right)+f(x_0)\left(x-x_0\right)}{x-x_0}\\&=\lim_{x\to x_0}\left[f(x_0)-x_0\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right)\right]\\&=f(x_0)-x_0\,f^\prime(x_0)\end{aligned}}

β)Είναι \displaystyle{f(-3)=-6} και

\displaystyle{\lim_{x\to -3}\frac{f(x)-f(-3)}{x+3}=\lim_{x\to -3}\frac{\sqrt{x+3}+x+3}{x+3}=\lim_{x\to -3}\frac{1+\sqrt{x+3}}{\sqrt{x+3}}=+\infty}

Βλέπουμε ότι η \displaystyle{f} δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο \displaystyle{x_0=-3} και άρα δεν ορίζεται η εφαπτομένη

στο σημείο αυτό.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Δ' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης