Δ' ΔΕΣΜΗ 1992
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Δ' ΔΕΣΜΗ 1992
1. α) Δίνεται το σύστημα με πραγματικούς αριθμούς.
i) Να αποδειχθεί ότι αν το σύστημα είναι συμβιβαστό τότε
ii) Να αποδειχθεί ότι η σχέση δεν είναι ικανή για να είναι το σύστημα συμβιβαστό.
β) Με την προϋπόθεση ότι ο πίνακας έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός
να λυθεί για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού το σύστημα
2. α) Να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση
β) Δίνεται η συνάρτηση f με
i) Να αποδειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο
ii) Να βρεθεί η παράγωγος της για κάθε .
3. α) Δίνεται η συνάρτηση με
i) Να βρεθεί η παράγωγος της για κάθε
ii) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β) i) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα για κάθε
ii) Να βρεθεί το όριο .
4. α) Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση με η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:
Η συνάρτηση είναι περιττή
Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο
β) Η συνάρτηση έχει συνεχή παράγωγο στο και .
Αν να βρεθεί το .
i) Να αποδειχθεί ότι αν το σύστημα είναι συμβιβαστό τότε
ii) Να αποδειχθεί ότι η σχέση δεν είναι ικανή για να είναι το σύστημα συμβιβαστό.
β) Με την προϋπόθεση ότι ο πίνακας έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός
να λυθεί για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού το σύστημα
2. α) Να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση
β) Δίνεται η συνάρτηση f με
i) Να αποδειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο
ii) Να βρεθεί η παράγωγος της για κάθε .
3. α) Δίνεται η συνάρτηση με
i) Να βρεθεί η παράγωγος της για κάθε
ii) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β) i) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα για κάθε
ii) Να βρεθεί το όριο .
4. α) Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση με η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:
Η συνάρτηση είναι περιττή
Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο
β) Η συνάρτηση έχει συνεχή παράγωγο στο και .
Αν να βρεθεί το .
- Σ. Διονύσης
- Δημοσιεύσεις: 190
- Εγγραφή: Τρί Φεβ 19, 2013 5:17 pm
- Τοποθεσία: Milky Way,Orion Arm, Solar System, 3rd Planet(Earth)
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1992
α)parmenides51 έγραψε: 4. α) Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση με η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:
Η συνάρτηση είναι περιττή
Η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο
β) Η συνάρτηση έχει συνεχή παράγωγο στο και .
Αν να βρεθεί το .
Πρέπει:
και
Tελικά:
β)
My System:
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1992
3. α) Δίνεται η συνάρτηση με
i) Να βρεθεί η παράγωγος της για κάθε
ii) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β) i) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα για κάθε
ii) Να βρεθεί το όριο .
Λύση
α) i) Έχουμε :
.
ii) H παράγωγος έχει ρίζες .
Για έχουμε : άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο
Για έχουμε : άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο
Για έχουμε : άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Eπομένως παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το και τοπικό ελάχιστο το .
β) i) Έχουμε
ii) Το όριο γράφεται :
i) Να βρεθεί η παράγωγος της για κάθε
ii) Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β) i) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα για κάθε
ii) Να βρεθεί το όριο .
Λύση
α) i) Έχουμε :
.
ii) H παράγωγος έχει ρίζες .
Για έχουμε : άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο
Για έχουμε : άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο
Για έχουμε : άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Eπομένως παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το και τοπικό ελάχιστο το .
β) i) Έχουμε
ii) Το όριο γράφεται :
Γιώργος
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1992
Λύσηparmenides51 έγραψε: 2. α) Να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση
β) Δίνεται η συνάρτηση f με
i) Να αποδειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο
ii) Να βρεθεί η παράγωγος της για κάθε .
α) Θέλουμε να δείξουμε ότι για κάθε
Είναι
Θεωρώ συνάρτηση
Η συνάρτηση είναι :
συνεχής στο
παραγωγίσιμη στο
Από θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.)
Επίσης, η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα οπότε
για αφού γνησίως αύξουσα συνάρτηση
Κατά συνέπεια, έχουμε
Επίσης, ισχύει ότι
Από έχουμε ότι για κάθε
β)
i) Μας δίνεται η δίκλαδη συνάρτηση
Θέλουμε να εξετάσουμε την παραγωγισιμότητά της. Πρωτίστως, εξετάζουμε εάν είναι συνεχής.
Οπότε, η είναι συνεχής για κάθε ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων
Μένει να εξετάσουμε την συνέχειά της στο
Πράγματι,
Αλλά
κατά συνέπεια, οπότε από γνωστό θεώρημα
που σημαίνει ότι η είναι πρωτίστως συνεχής και στο που σημαίνει ότι η συνεχής στο
Συνεπώς μπορεί να είναι και παραγωγίσιμη. Ωστόσο, εξετάζουμε την παραγωγίσιμότητά της.
συνεπώς η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο .
Για κάθε η είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
Συνεπώς η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο
ii) Για κάθε η παράγωγος της συνάρτησης είναι:
και επίσης έχουμε αποδείξει ότι
Άρα τελικά έχουμε:
Χρήστος Λοΐζος
-
- Δημοσιεύσεις: 1753
- Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες