Δ' ΔΕΣΜΗ 1992

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δ' ΔΕΣΜΗ 1992

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Πέμ Ιουν 27, 2013 10:52 pm

1. α) Δίνεται το σύστημα \left( \Sigma  \right):\left\{ \begin{matrix} 
	  & {{\alpha }_{1}}x={{\beta }_{1}} \\  
	 & {{\alpha }_{2}}x={{\beta }_{2}} \\  
	\end{matrix} \right} με {{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}} πραγματικούς αριθμούς.
i) Να αποδειχθεί ότι αν το σύστημα \displaystyle{( \Sigma )} είναι συμβιβαστό τότε {{\alpha }_{1}}{{\beta }_{2}}-{{\alpha }_{2}}{{\beta }_{1}}=0\,\,\,\,\left( \sigma  \right)
ii) Να αποδειχθεί ότι η σχέση \displaystyle{( \sigma )} δεν είναι ικανή για να είναι το σύστημα \displaystyle{( \Sigma )} συμβιβαστό.
β) Με την προϋπόθεση ότι ο πίνακας \displaystyle{2x2} A=\left[ \begin{matrix} 
   {{\lambda }^{3}} & -{{\lambda }^{2}}  \\ 
	   2 & 1  \\ 
	\end{matrix} \right] έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός
να λυθεί για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού \displaystyle{ \lambda} το σύστημα \left\{ \begin{matrix} 
  & 2x-\lambda y=\lambda -1 \\  
 & (\lambda +1)x-y=0 \\  
\end{matrix} \right}


2. α) Να αποδειχθεί ότι \forall x\in (0,1) ισχύει η σχέση 1+x<{{e}^{x}}<1+e\cdot x
β) Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
	  & \displaystyle {{x}^{3}}\eta \mu \frac{1}{x},x\ne 0 \\  
	 & 0,x=0 \\  
	\end{matrix} \right}
i) Να αποδειχθεί ότι η \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\mathbb{R}}
ii) Να βρεθεί η παράγωγος της \displaystyle{f} για κάθε \displaystyle{x \in \mathbb{R}}.


3. α) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{ f} με \displaystyle{]f(x)=\frac{\,\,{{x}^{2}}}{4}(2\ln x-1)-2x(\ln x-1),\,\,x>0}
i) Να βρεθεί η παράγωγος {f}' της \displaystyle{f} για κάθε \displaystyle{x>0}
ii) Να μελετηθεί η συνάρτηση \displaystyle{f} ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β) i) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{E(t)=\int\limits_{1}^{t}{(x-2)\cdot \ln x}dx} για κάθε \displaystyle{t>1}
ii) Να βρεθεί το όριο \displaystyle{\lim_{t\to +\infty }\frac{{E}'(t)}{t\ln t}}.


4. α) Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)=\alpha {{x}^{3}}+\beta x+\gamma \,\,,x \in \mathbb{R} \,\,\alpha ,\beta ,\gamma  \in \mathbb{R}} η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:
\displaystyle{\bullet} Η συνάρτηση \displaystyle{ f} είναι περιττή
\displaystyle{\bullet} Η συνάρτηση \displaystyle{f} παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο {{x}_{0}}=1
\displaystyle{\bullet} \int\limits_{0}^{2}{f(x)}dx=2
β) Η συνάρτηση \displaystyle{g} έχει συνεχή παράγωγο στο \displaystyle{[0,\pi]} και g(\pi )={{e}^{-\pi }} .
Αν \int\limits_{0}^{\pi }{(g(x)+{g}'(x)) {{e}^{x}}}dx=2 να βρεθεί το \displaystyle{g(0)} .


Άβαταρ μέλους
Σ. Διονύσης
Δημοσιεύσεις: 190
Εγγραφή: Τρί Φεβ 19, 2013 5:17 pm
Τοποθεσία: Milky Way,Orion Arm, Solar System, 3rd Planet(Earth)

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1992

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σ. Διονύσης » Πέμ Ιουν 27, 2013 11:59 pm

parmenides51 έγραψε: 4. α) Να βρεθεί πολυωνυμική συνάρτηση \displaystyle{f} με \displaystyle{f(x)=\alpha {{x}^{3}}+\beta x+\gamma \,\,,x \in \mathbb{R} \,\,\alpha ,\beta ,\gamma  \in \mathbb{R}} η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες:
\displaystyle{\bullet} Η συνάρτηση \displaystyle{ f} είναι περιττή
\displaystyle{\bullet} Η συνάρτηση \displaystyle{f} παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο {{x}_{0}}=1
\displaystyle{\bullet} \int\limits_{0}^{2}{f(x)}dx=2
β) Η συνάρτηση \displaystyle{g} έχει συνεχή παράγωγο στο \displaystyle{[0,\pi]} και g(\pi )={{e}^{-\pi }} .
Αν \int\limits_{0}^{\pi }{(g(x)+{g}'(x)) {{e}^{x}}}dx=2 να βρεθεί το \displaystyle{g(0)} .
α) \displaystyle{f(-x)=-f(x)\Leftrightarrow -ax^3-bx+\gamma = -ax^3-bx-\gamma\Leftrightarrow \boxed{\gamma=0}}

\displaystyle{f'(x)=3ax^2+b \; , \; x,a,b\in\mathbb{R}}

Πρέπει:

f'(1)=0\Leftrightarrow \boxed{3a=-b}

\displaystyle{\int_{0}^{2}\left(\frac{a}{4}x^4 + \frac{b}{2}x^2\right)'dx = 2\Leftrightarrow 2a + b = 1\Leftrightarrow \boxed{a=-1}} και \displaystyle{\boxed{b=3}}

Tελικά: \displaystyle{f(x)=-x^3 +3x \; , \; x\in\mathbb{R}}

β) \displaystyle{\int\limits_{0}^{\pi }{\left(e^x\cdot g(x)\right)'dx=2 \Leftrightarrow e^{\pi}g(\pi) - g(0)=2\Leftrightarrow \boxed{g(0)=-1}}


My System:
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1992

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Παρ Ιουν 28, 2013 5:07 pm

3. α) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{ f} με \displaystyle{f(x)=\frac{\,\,{{x}^{2}}}{4}(2\ln x-1)-2x(\ln x-1),\,\,x>0}
i) Να βρεθεί η παράγωγος {f}' της \displaystyle{f} για κάθε \displaystyle{x>0}
ii) Να μελετηθεί η συνάρτηση \displaystyle{f} ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
β) i) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα \displaystyle{E(t)=\int\limits_{1}^{t}{(x-2)\cdot \ln x}dx} για κάθε \displaystyle{t>1}
ii) Να βρεθεί το όριο \displaystyle{\lim_{t\to +\infty }\frac{{E}'(t)}{t\ln t}}.

Λύση

α) i) Έχουμε : \displaystyle{f'(x)=\frac{x}{2}(2\ln x-1)+\frac{x^2}{4}\cdot \frac{2}{x}-2(\ln x-1)-2x\cdot \frac{1}{x}=x\ln x-\frac{x}{2}+\frac{x}{2}-2\ln x+2-2=}

\displaystyle{=x\ln x-2\ln x=(x-2)\ln x}.

ii) H παράγωγος έχει ρίζες \displaystyle{1,~2}.

Για \displaystyle{0<x<1} έχουμε : \displaystyle{f'(x)>0} άρα η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{(0,1]}

Για \displaystyle{1<x<2} έχουμε : \displaystyle{f'(x)<0} άρα η \displaystyle{f} είναι γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{[1,2]}

Για \displaystyle{x>2} έχουμε : \displaystyle{f'(x)>0} άρα η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{[2,+\infty)}.

Eπομένως παρουσιάζει τοπικό μέγιστο το \displaystyle{f(1)=\frac{7}{4}} και τοπικό ελάχιστο το \displaystyle{f(2)=3-2\ln 2}.

β) i) Έχουμε \displaystyle{E(t)=\int_1^t f'(x)dx=\big[f(x)\big]_1^t=f(t)-f(1)}

ii) Το όριο γράφεται : \displaystyle{\lim_{t\to +\infty }\frac{f'(t)}{t\ln t}=\lim_{t\to +\infty }\frac{(t-2)\ln t}{t\ln t}=\lim_{t\to +\infty }\frac{t-2}{t}=1}


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 419
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1992

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Σάβ Ιουν 29, 2013 11:47 pm

parmenides51 έγραψε: 2. α) Να αποδειχθεί ότι \forall x\in (0,1) ισχύει η σχέση 1+x<{{e}^{x}}<1+e\cdot x
β) Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=\left\{ \begin{matrix} 
	  & \displaystyle {{x}^{3}}\eta \mu \frac{1}{x},x\ne 0 \\  
	 & 0,x=0 \\  
	\end{matrix} \right}
i) Να αποδειχθεί ότι η \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\mathbb{R}}
ii) Να βρεθεί η παράγωγος της \displaystyle{f} για κάθε \displaystyle{x \in \mathbb{R}}.
Λύση

α) Θέλουμε να δείξουμε ότι \displaystyle{1+x<e^{x}<1+ex} για κάθε \displaystyle{x\in (0,1)}

Είναι \displaystyle{1+x<e^{x}<1+ex \overset{-1}{\rightarrow} x<e^{x}-1<ex\overset{0<x<1}{\rightarrow}1<\frac{e^{x}-1}{x}<e\Leftrightarrow 1<\frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}<e}

Θεωρώ συνάρτηση f(t)=e^{t}, 0\leq t \leq x

Η συνάρτηση f είναι :
\bullet συνεχής στο [0,x]

\bullet παραγωγίσιμη στο (0,x)

Από θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) \displaystyle{\exists \xi\in (0,x) : f'(\xi)=\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{e^{x}-e^{0}}{x-0}}

Επίσης, η συνάρτηση f' είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,x] οπότε

για \displaystyle{0<\xi\Leftrightarrow f'(0)<f'(\xi)} αφού f' γνησίως αύξουσα συνάρτηση

Κατά συνέπεια, έχουμε \displaystyle{1<\frac{e^{x}-e^{0}}{x} (1)}

Επίσης, ισχύει ότι \displaystyle{0<\xi<x<1\Rightarrow \xi<1\Rightarrow f'(\xi)<f'(1)\Rightarrow \frac{e^{x}-e^{0}}{x}< e (2)}

Από (1), (2) έχουμε ότι \displaystyle{1<\frac{e^{x}-e^{0}}{x}<e\Leftrightarrow x<e^{x}-e^{0}<xe\Leftrightarrow 1+x<e^{x}<1+ex} για κάθε x\in (0,1)

β)
i) Μας δίνεται η δίκλαδη συνάρτηση

\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} 
x^{3}.sin\frac{1}{x},x\neq 0\\  
0, x=0 
\end{matrix}\right}

Θέλουμε να εξετάσουμε την παραγωγισιμότητά της. Πρωτίστως, εξετάζουμε εάν είναι συνεχής.

Οπότε, η f είναι συνεχής για κάθε x\neq 0 ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων

Μένει να εξετάσουμε την συνέχειά της στο 0

Πράγματι, \displaystyle{\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}x^{3}.sin(\frac{1}{x}) (3)}

Αλλά \displaystyle{\mid x^{3}.sin(\frac{1}{x})\mid \leq \mid x^3 \mid.\mid sin(\frac{1}{x}) \mid \leq \mid x^3 \mid}

κατά συνέπεια, \lim_{x\to 0}\mid x^3 \mid = 0 οπότε από γνωστό θεώρημα \displaystyle{\lim_{x\to 0}x^{3}.sin(\frac{1}{x})=0=f(0)}

που σημαίνει ότι η f είναι πρωτίστως συνεχής και στο x_{0}=0 που σημαίνει ότι η f συνεχής στο \mathbb{R}

Συνεπώς μπορεί να είναι και παραγωγίσιμη. Ωστόσο, εξετάζουμε την παραγωγίσιμότητά της.

\displaystyle{f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{x^{3}.sin(\frac{1}{x})-0}{x}=\lim_{x\to 0}x^{2}sin(\frac{1}{x}) = 0 \in \mathbb{R}}

συνεπώς η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0.

Για κάθε x\neq 0 η f είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

Συνεπώς η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο \mathbb{R}

ii) Για κάθε x\neq 0 η παράγωγος της συνάρτησης είναι:

\displaystyle{f'(x)=(x^{3}.sin(\frac{1}{x}))'=(x^{3})'sin(\frac{1}{x})+x^{3}(sin(\frac{1}{x}))'=3x^{2}sin(\frac{1}{x})-xcos(\frac{1}{x}), x\neq 0}

και επίσης έχουμε αποδείξει ότι \displaystyle{f'(0)=0 \in \mathbb{R}}

Άρα τελικά έχουμε: \displaystyle{f'(x)=\left\{\begin{matrix} 
3x^{2}sin(\frac{1}{x})-xcos(\frac{1}{x}), x\neq 0\\  
            0, x=0 
\end{matrix}\right}


Χρήστος Λοΐζος
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1992

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Κυρ Ιούλ 07, 2013 5:25 pm

parmenides51 έγραψε:1. α) Δίνεται το σύστημα \left( \Sigma  \right):\left\{ \begin{matrix} 
	  & {{\alpha }_{1}}x={{\beta }_{1}} \\  
	 & {{\alpha }_{2}}x={{\beta }_{2}} \\  
	\end{matrix} \right} με {{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\beta }_{1}},{{\beta }_{2}} πραγματικούς αριθμούς.
i) Να αποδειχθεί ότι αν το σύστημα \displaystyle{( \Sigma )} είναι συμβιβαστό τότε {{\alpha }_{1}}{{\beta }_{2}}-{{\alpha }_{2}}{{\beta }_{1}}=0\,\,\,\,\left( \sigma  \right)
ii) Να αποδειχθεί ότι η σχέση \displaystyle{( \sigma )} δεν είναι ικανή για να είναι το σύστημα \displaystyle{( \Sigma )} συμβιβαστό.
β) Με την προϋπόθεση ότι ο πίνακας \displaystyle{2x2} A=\left[ \begin{matrix} 
   {{\lambda }^{3}} & -{{\lambda }^{2}}  \\ 
	   2 & 1  \\ 
	\end{matrix} \right] έχει ορίζουσα διάφορη του μηδενός
να λυθεί για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού \displaystyle{ \lambda} το σύστημα \left\{ \begin{matrix} 
  & 2x-\lambda y=\lambda -1 \\  
 & (\lambda +1)x-y=0 \\  
\end{matrix} \right}.
α) (i) Έστω ότι το σύστημα είναι συμβιβαστό και \displaystyle{{{x}_{0}}} μία λύση του. Τότε \displaystyle{{{\alpha }_{1}}{{x}_{0}}={{\beta }_{1}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{{\alpha }_{2}}{{x}_{0}}={{\beta }_{2}}}, οπότε \displaystyle{{{\alpha }_{1}}{{\beta }_{2}}-{{\alpha }_{2}}{{\beta }_{1}}={{\alpha }_{1}}{{\alpha }_{2}}{{x}_{0}}-{{\alpha }_{2}}{{\alpha }_{1}}{{x}_{0}}=0}.

(ii) Η \displaystyle{\left( \sigma  \right)} δεν είναι ικανή αφού για το \displaystyle{\left\{ \begin{matrix} 
   0\cdot x=5  \\ 
   0\cdot x=6  \\ 
\end{matrix} \right.} ισχύει \displaystyle{{{\alpha }_{1}}{{\beta }_{2}}-{{\alpha }_{2}}{{\beta }_{1}}=0\cdot 6-0\cdot 5=0}, αλλά αυτό δεν είναι συμβιβαστό.

β) Είναι \displaystyle{\left| \begin{matrix} 
   {{\lambda }^{3}} & -{{\lambda }^{2}}  \\ 
   2 & 1  \\ 
\end{matrix} \right|\ne 0\Leftrightarrow {{\lambda }^{3}}+2{{\lambda }^{2}}\ne 0\Leftrightarrow \left( \lambda \ne 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\lambda \ne -2 \right)}. Με δεδομένα αυτά

έχουμε \displaystyle{D=\left| \begin{matrix} 
   2 & -\lambda   \\ 
   \lambda +1 & -1  \\ 
\end{matrix} \right|=\left( \lambda +2 \right)\left( \lambda -1 \right),\,\,\,{{D}_{x}}=\left| \begin{matrix} 
   \lambda -1 & -\lambda   \\ 
   0 & -1  \\ 
\end{matrix} \right|,\,\,\,{{D}_{y}}=\left| \begin{matrix} 
   2 & \lambda -1  \\ 
   \lambda +1 & 0  \\ 
\end{matrix} \right|}.

Αν \displaystyle{\left[ \lambda \ne 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\left( \lambda \ne 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\lambda \ne -2 \right) \right]\Rightarrow x=\frac{{{D}_{x}}}{D}=-\frac{1}{\lambda +2},\,\,\,y=\frac{{{D}_{y}}}{D}=-\frac{\lambda +1}{\lambda +2}}.

Αν \displaystyle{\lambda =1\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} 
   2x-y=0  \\ 
   2x-y=0  \\ 
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow 2x-y=0\Leftrightarrow \left( x,y \right)=\left( x,2x \right),\,\,\,x\in \mathbb{R}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Δ' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης