Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Ιουν 28, 2013 12:05 am

1. α) Δίνονται οι πίνακες A=\left[ \begin{matrix} 
	   0 & \alpha   \\ 
   \alpha  & 0  \\ 
\end{matrix} \right], B =\left[ \begin{matrix} 
	   3 & 0  \\ 
	   0 & -3  \\ 
	\end{matrix} \right] και ο αντιστρέψιμος \Gamma =\left[ \begin{matrix} 
	   1 & -1  \\ 
	   1 & 1  \\ 
	\end{matrix} \right].
Να υπολογίσετε το \displaystyle{\alpha\in \mathbb{R}} ώστε {{\Gamma }^{-1}}A \Gamma =B.

β) Δίνεται ο πίνακας A =\left[ \begin{matrix} 
   \lambda  & -1  \\ 
   -4 & 1  \\ 
\end{matrix} \right], \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R} }
i) Να υπολογίσετε την τιμή του \displaystyle{\lambda} ώστε A ^2=5\mathbb{I} όπου \displaystyle{\mathbb{I}} ο μοναδιαίος πίνακας.
ii) Για την τιμή του \displaystyle{\lambda} που βρήκατε να υπολογίσετε τους \displaystyle{x,y\in \mathbb{R}} ώστε να ισχύει {{A }^{6}}{\color{red}\left[ \begin{matrix} 
   x  \\ 
   y  
	\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 
   250 \\ 
   -375 
	\end{matrix} \right]}


2. α) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{7}{2}{{x}^{2}}+3x+\mu \,\, ,x,\mu \in \mathbb{R}}.
Να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{f(x)=0} δεν μπορεί να έχει δυο διαφορετικές ρίζες στο διάστημα \displaystyle{(1,2)}
β) Αν η συνάρτηση \displaystyle{g(x)} έχει συνεχή παράγωγο στο \displaystyle{[0,1]} και ικανοποιεί την σχέση \int\limits_{0}^{1}{x{g}'(x)}dx=1993-\int\limits_{0}^{1}{g(x)}dx
να βρείτε το \displaystyle{g(1)}.


3. Μια βιομηχανία παράγει \displaystyle{x} ποσότητα από ένα προϊόν με κόστος που δίνεται από την συνάρτηση \displaystyle{K(x)=\frac{\alpha {{x}^{3}}}{4}}\,,x>0,\alpha \in \left[\frac{2}{9},\frac{9}{2}\right]}.
Τα έσοδα από την πώληση \displaystyle{x} ποσότητας του προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση \displaystyle{E(x)={{x}^{2}} \,,x>0}
και το κέρδος από την συνάρτηση \displaystyle{f(x)=E(x)-K(x)\,,x>0}.
α) Να βρείτε την ποσότητα {{x}_{0}} για την οποία έχουμε το μέγιστο κέρδος που συμβολίζεται με \displaystyle{M(\alpha)}.
β) Να βρείτε την τιμή του \displaystyle{\alpha \in \left[\frac{2}{9},\frac{9}{2}\right]} για την οποία το \displaystyle{M(\alpha)} γίνεται μέγιστο καθώς και το μέγιστο κέρδος.


4. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x{{e}^{-\nu x}},\,\,x\in \mathbb{R},\nu \in \mathbb{N}^*
α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της \displaystyle{f} , να βρείτε τα ακρότατα και τα σημεία καμπής της

β) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{2\le {{e}^{2}}{{\nu }^{2}} \int\limits_{\displaystyle\frac{1}{\nu }}^{\displaystyle\frac{2}{\nu }}{x{{e}^{-\nu x}}}dx\le e}.


Υ.Γ. Με επιφύλαξη για το ακριβές ζητούμενο στo ερώτημα 1.β.(ii) Πρέπει να το διασταυρώσω.
edit διορθώθηκε, ευχαριστώ τον Ηλία
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Σάβ Ιουν 29, 2013 6:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Σ. Διονύσης
Δημοσιεύσεις: 190
Εγγραφή: Τρί Φεβ 19, 2013 5:17 pm
Τοποθεσία: Milky Way,Orion Arm, Solar System, 3rd Planet(Earth)

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σ. Διονύσης » Παρ Ιουν 28, 2013 12:47 am

parmenides51 έγραψε: 4. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x{{e}^{-\nu x}},\,\,x\in \mathbb{R},\nu \in \mathbb{N}^*
α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της \displaystyle{f} , να βρείτε τα ακρότατα και τα σημεία καμπής της

β) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{2\le {{e}^{2}}{{\nu }^{2}} \int\limits_{\displaystyle\frac{1}{\nu }}^{\displaystyle\frac{2}{\nu }}{x{{e}^{-\nu x}}}dx\le e}.
[/color]
α)\displaystyle{f'(x)=e^{-\nu x} -\nu x e^{-\nu x} ,\forall x}

\displaystyle{f'(x)\geq 0\Leftrightarrow 1\geq \nu x\Leftrightarrow x\leq \frac{1}{\nu}}

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-\infty,\frac{1}{\nu}] και γνησίως φθίνουσα στο [\frac{1}{\nu},+\infty) με τοπικό μέγιστο στο x=\frac{1}{\nu} το f(\frac{1}{\nu})=\frac{1}{\nu e}

\displaystyle{f''(x)=-2\nu e^{-\nu x} +\nu^{2} x e^{-\nu x} ,\forall x}

και: \displaystyle{f''(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{2}{\nu^2}\rightarrow} σημείο καμπής


β)Με δυο διαδοχικές παραγοντικές έχουμε:
\displaystyle{\displaystyle{2\le {{e}^{2}}{{\nu }^{2}} \int\limits_{\displaystyle\frac{1}{\nu }}^{\displaystyle\frac{2}{\nu }}{x{{e}^{-\nu x}}}dx\le e}}

\displaystyle{2\le -2+e-e^2\int\limits_{\displaystyle\frac{1}{\nu }}^{\displaystyle\frac{2}{\nu }}\left(e^{-\nu x}\right)'dx\le e}

\displaystyle{2\le -2+e-1+e\le e\Leftrightarrow 2\le 2e-3\le e} , αληθές

Σημείωση:Από την τελευταία φαίνεται ότι πιο αυστηρή σχέση είναι ν.δ.ο: \displaystyle{2\color{red}<\color{black} {{e}^{2}}{{\nu }^{2}} \int\limits_{\displaystyle\frac{1}{\nu }}^{\displaystyle\frac{2}{\nu }}{x{{e}^{-\nu x}}}dx\color{red}<\color{black} e}

Ελπίζω να μην σας πειράζει που παρέλειψα τις πράξεις.

Έγινε προσθήκη του α)

Φιλικά,
Διονύσης


My System:
Case:CoolerMaster HAF-X
CPU:i7-2600k @5.0GHz @1.43v
RAM:Corsair Dominator GT 32GB 2133MHz
GPU:ATI RADEON HD6990 4GB @950MHz @1450MHz
Mobo:GIGABYTE Z68X-UD7-B3
SSD:Corsair Force GS 240GB
HDD:WD Caviar Black 2TB
CPU cooler:CoolerMaster V10
Headphones:V-moda M100
Audio interface:RME Babyface
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 934
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Παρ Ιουν 28, 2013 9:23 pm

parmenides51 έγραψε:1. α) Δίνονται οι πίνακες A=\left[ \begin{matrix} 
	   0 & \alpha   \\ 
   \alpha  & 0  \\ 
\end{matrix} \right], B =\left[ \begin{matrix} 
	   3 & 0  \\ 
	   0 & -3  \\ 
	\end{matrix} \right] και ο αντιστρέψιμος \Gamma =\left[ \begin{matrix} 
	   1 & -1  \\ 
	   1 & 1  \\ 
	\end{matrix} \right].
Να υπολογίσετε το \displaystyle{\alpha\in \mathbb{R}} ώστε {{\Gamma }^{-1}}A \Gamma =B.

β) Δίνεται ο πίνακας A =\left[ \begin{matrix} 
   \lambda  & -1  \\ 
   -4 & 1  \\ 
\end{matrix} \right], \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R} }
i) Να υπολογίσετε την τιμή του \displaystyle{\lambda} ώστε A ^2=5\mathbb{I} όπου \displaystyle{\mathbb{I}} ο μοναδιαίος πίνακας.
ii) Για την τιμή του \lambda που βρήκατε να υπολογίσετε τους \displaystyle{x,y\in \mathbb{R}} ώστε να ισχύει {{A }^{6}}=\left[ \begin{matrix} 
   x  & 250 \\ 
   y  & -375 
	\end{matrix} \right]
Το ερώτημα βii σωστά διατυπωμένο:
β) ii) Για την τιμή του \lambda που βρήκατε να υπολογίσετε τους x,y \in R ώστε να ισχύει {{\rm A}^6}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
x\\ 
y 
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{250}\\ 
{ - 375} 
\end{array}} \right]

Σημείωση: α. Η πηγή είναι από παλιό βοήθημα.
β. Λόγω αδυναμίας του Parm να το διορθώσει σήμερα το ανέβασα εγώ.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 934
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Σάβ Ιουν 29, 2013 8:58 am

parmenides51 έγραψε:1. α) Δίνονται οι πίνακες A=\left[ \begin{matrix} 
	   0 & \alpha   \\ 
   \alpha  & 0  \\ 
\end{matrix} \right], B =\left[ \begin{matrix} 
	   3 & 0  \\ 
	   0 & -3  \\ 
	\end{matrix} \right] και ο αντιστρέψιμος \Gamma =\left[ \begin{matrix} 
	   1 & -1  \\ 
	   1 & 1  \\ 
	\end{matrix} \right].
Να υπολογίσετε το \displaystyle{\alpha\in \mathbb{R}} ώστε {{\Gamma }^{-1}}A \Gamma =B.

β) Δίνεται ο πίνακας A =\left[ \begin{matrix} 
   \lambda  & -1  \\ 
   -4 & 1  \\ 
\end{matrix} \right], \displaystyle{\lambda \in \mathbb{R} }
i) Να υπολογίσετε την τιμή του \displaystyle{\lambda} ώστε A ^2=5\mathbb{I} όπου \displaystyle{\mathbb{I}} ο μοναδιαίος πίνακας.
ii) Για την τιμή του που βρήκατε να υπολογίσετε τους x,y \in R ώστε να ισχύει {{\rm A}^6}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
x\\ 
y 
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{250}\\ 
{ - 375} 
\end{array}} \right]


α) {\Gamma ^{ - 1}}{\rm A}\Gamma  = {\rm B} \Leftrightarrow \Gamma {\Gamma ^{ - 1}}{\rm A}\Gamma  = \Gamma {\rm B} \Leftrightarrow {\rm A}\Gamma  = \Gamma {\rm B} \Leftrightarrow

\displaystyle{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
0&\alpha \\ 
\alpha &0 
\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
1&{ - 1}\\ 
1&1 
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
1&{ - 1}\\ 
1&1 
\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
3&0\\ 
0&{ - 3} 
\end{array}} \right] \Rightarrow }

\displaystyle{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
\alpha &\alpha \\ 
\alpha &{ - \alpha } 
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
3&3\\ 
3&{ - 3} 
\end{array}} \right] \Rightarrow \alpha  = 3}

β) i) {{\rm A}^2} = 5{\rm I} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
\lambda &{ - 1}\\ 
{ - 4}&1 
\end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
\lambda &{ - 1}\\ 
{ - 4}&1 
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
5&0\\ 
0&5 
\end{array}} \right] \Rightarrow

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{{\lambda ^2} + 4}&{ - \lambda  - 1}\\ 
{ - 4\lambda  - 4}&5 
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
5&0\\ 
0&5 
\end{array}} \right] \Rightarrow

\left\{ \begin{array}{l} 
{\lambda ^2} + 4 = 5\\ 
 - \lambda  - 1 = 0\\ 
 - 4\lambda  - 4 = 0 
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
\lambda  =  \pm 1\\ 
\lambda  =  - 1\\ 
\lambda  =  - 1 
\end{array} \right. \Rightarrow \lambda  =  - 1

ii) Με \lambda  =  - 1 είναι \displaystyle{{{\rm A}^2} = 5 \cdot {\rm I} \Rightarrow {{\rm A}^6} = {\left( {5 \cdot {\rm I}} \right)^3} \Rightarrow {{\rm A}^6} = 125 \cdot {\rm I}}

{{\rm A}^6}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
x\\ 
y 
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{250}\\ 
{ - 375} 
\end{array}} \right] \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{125}&0\\ 
0&{125} 
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
x\\ 
y 
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{250}\\ 
{ - 375} 
\end{array}} \right] \Rightarrow

\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{125x}\\ 
{125y} 
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{250}\\ 
{ - 375} 
\end{array}} \right]

Άρα \left\{ \begin{array}{l} 
125x = 250\\ 
125y =  - 375 
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
x = 2\\ 
y =  - 3 
\end{array} \right.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 419
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Σάβ Ιουν 29, 2013 6:25 pm

parmenides51 έγραψε: 2. α) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{7}{2}{{x}^{2}}+3x+\mu \,\, ,x,\mu \in \mathbb{R}}.
Να δείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{f(x)=0} δεν μπορεί να έχει δυο διαφορετικές ρίζες στο διάστημα \displaystyle{(1,2)}
β) Αν η συνάρτηση \displaystyle{g(x)} έχει συνεχή παράγωγο στο \displaystyle{[0,1]} και ικανοποιεί την σχέση \int\limits_{0}^{1}{x{g}'(x)}dx=1993-\int\limits_{0}^{1}{g(x)}dx
να βρείτε το \displaystyle{g(1)}.
Έχουμε την συνάρτηση: \displaystyle{f(x)=\frac{2}{3}x^{3}-\frac{7}{2}x^{2}+3x+\mu , x,\mu\in \mathbb{R}}

Θα αποδείξουμε το ζητούμενο με απαγωγή σε άτοπο.
Πραγματικά, έστω ότι η συνάρτηση \displaystyle{f(x)} έχει δύο ρίζες διακεκριμένες, έστω \displaystyle{\rho  _{1}<\rho _{2}}

Οι δύο παραπάνω ρίζες υποθέτουμε ότι βρίσκονται στο διάστημα [1,2] δηλαδή \displaystyle{1\leq \rho  _{1}<\rho _{2}\leq 2}

Η εν λόγω συνάρτηση είναι:

\bullet Συνεχής στο διάστημα \displaystyle{[\rho _{1},\rho _{2}]\subseteq [1,2]} ως πολυωνυμική

\bullet Παραγωγίσιμη στο διάστημα \displaystyle{(\rho _{1},\rho _{2})\subseteq (1,2)} για τον ίδιο λόγο.

\bullet Ισχύει \displaystyle{f(\rho _{1})=f(\rho _{2})(=0)} αφού \rho _{1}, \rho _{2} ρίζες της εξίσωσης

Τότε από θεώρημα Rolle \displaystyle{\exists \xi\in (\rho _{1},\rho _{2}): f'(\xi)=0}

Δηλαδή: \displaystyle{2\xi^{2}-7\xi+3=0 \Leftrightarrow \xi_{1}=\frac{1}{2}\notin (\rho _{1},\rho _{2})\subseteq (1,2) \wedge \xi_{2}=3 \notin (\rho _{1},\rho _{2})\subseteq (1,2)}

που σημαίνει ότι καταλήξαμε σε ΑΤΟΠΟ. Άρα, δεν μπορούμε να έχουμε για την f δύο ξεχωριστές ρίζες στο συγκεκριμένο διάστημα.

β) Μας δίνεται ότι η g έχει συνεχή παράγωγο στο \displaystyle{[0,1]}

Είναι \displaystyle{\int_{0}^{1}x.g'(x)dx=1993-\int_{0}^{1}g(x)dx\Leftrightarrow [xg(x)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(x)'g(x)dx=1993-\int_{0}^{1}g(x)dx}

\displaystyle{\Leftrightarrow 1.g(1)-0.g(0)-\int_{0}^{1}g(x)dx=1993-\int_{0}^{1}g(x)dx\Leftrightarrow g(1)=1993}

όπου είναι και η ζητούμενη τιμή του g(1)


Χρήστος Λοΐζος
Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 419
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1993

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Σάβ Ιουν 29, 2013 8:56 pm

parmenides51 έγραψε: 3. Μια βιομηχανία παράγει \displaystyle{x} ποσότητα από ένα προϊόν με κόστος που δίνεται από την συνάρτηση \displaystyle{K(x)=\frac{\alpha {{x}^{3}}}{4}}\,,x>0,\alpha \in \left[\frac{2}{9},\frac{9}{2}\right]}.
Τα έσοδα από την πώληση \displaystyle{x} ποσότητας του προϊόντος δίνεται από την συνάρτηση \displaystyle{E(x)={{x}^{2}} \,,x>0}
και το κέρδος από την συνάρτηση \displaystyle{f(x)=E(x)-K(x)\,,x>0}.
α) Να βρείτε την ποσότητα {{x}_{0}} για την οποία έχουμε το μέγιστο κέρδος που συμβολίζεται με \displaystyle{M(\alpha)}.
β) Να βρείτε την τιμή του \displaystyle{\alpha \in \left[\frac{2}{9},\frac{9}{2}\right]} για την οποία το \displaystyle{M(\alpha)} γίνεται μέγιστο καθώς και το μέγιστο κέρδος.
Λύση

Έχουμε την συνάρτηση \displaystyle{f(x)=E(x)-K(x)\Leftrightarrow f(x)=x^{2}-\frac{\alpha x^{3}}{4}}

Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης \displaystyle{f'(x)=(x^{2}-\frac{\alpha x^{3}}{4})'=2x-\frac{3\alpha x^{2}}{4}=-\frac{3\alpha x^{2}}{4}+2x}

Είναι \displaystyle{f'(x)=0\Leftrightarrow -\frac{3\alpha x^{2}}{4}+2x=0} και αφού x>0 από πρόσημο τριωνύμου έχουμε ότι

η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{(0,\frac{8}{3\alpha }]} και γνησίως φθίνουσα στο \displaystyle{\displaystyle{[\frac{8}{3\alpha },+\infty )}}

άρα η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στο \displaystyle{x_{0}=\frac{8}{3\alpha }}

Η μέγιστη τιμή αυτή είναι \displaystyle{f(x_{0})=f(\frac{8}{3\alpha })=(\frac{8}{3\alpha })^2-\frac{\alpha (8/3\alpha )^3}{4}=...=\frac{64}{27\alpha ^{2}}, \alpha \in [\frac{2}{9},\frac{9}{2}]}

Άρα τελικά έχουμε \displaystyle{M(\alpha )=\frac{64}{27\alpha ^{2}}, \alpha \in [\frac{2}{9},\frac{9}{2}]}

ii) Αναζητούμε τώρα την παράγωγο της συνάρτησης M και έχουμε

\displaystyle{M'(\alpha )=(\frac{64}{27\alpha ^{2}})'=-\frac{128}{27\alpha ^{3}}<0 , \alpha \in [\frac{2}{9},\frac{9}{2}]} που σημαίνει ότι η συνάρτηση M είναι γνησίως

φθίνουσα στο διάστημα αυτό. Εν τω μεταξύ, η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα αυτό και αφού η M και γνησίως φθίνουσα τότε

\displaystyle{max=M(\frac{2}{9})=\frac{64}{27(2/9)^2}=...=48} όπου είναι και το μέγιστο κέρδος.


Χρήστος Λοΐζος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Δ' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης