Δ' ΔΕΣΜΗ 1994
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Δ' ΔΕΣΜΗ 1994
1. α) Δίνεται ο θετικός πραγματικός αριθμός και η συνάρτηση με .
i) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη.
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο
και να προσδιορίσετε το ώστε η εφαπτομένη αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
β) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη στο η οποία έχει συνεχή στο , παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο
και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο .
Αν ισχύει να υπολογίσετε το .
2. α) Έστω πίνακες τέτοιοι ώστε , όπου ο μοναδιαίος πίνακας .
Να αποδείξετε ότι ο πίνακας αντιστρέφεται.
β) Έστω ένας πίνακας για τον οποίο υποθέτουμε ότι , όπου ο μοναδιαίος και μηδενικός πίνακας αντίστοιχα.
i) Να αποδείξετε ότι , ο έχει αντίστροφο και .
ii) Να αποδείξετε ότι .
3. α) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα και για κάθε εσωτερικό σημείο του
τότε να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα .
β) Έστω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και είναι υποσύνολα του .
Έστω και . Να αποδείξετε ότι :
i)
ii) το ενδεχόμενο δεν είναι το .
4. α) Έστω ότι η ευθεία είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης στο .
i) Να βρείτε τα όρια και
ii) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό , αν
β) Να αποδείξετε ότι :
i)
ii) Η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση την .
i) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη.
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο
και να προσδιορίσετε το ώστε η εφαπτομένη αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
β) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη στο η οποία έχει συνεχή στο , παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο
και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο .
Αν ισχύει να υπολογίσετε το .
2. α) Έστω πίνακες τέτοιοι ώστε , όπου ο μοναδιαίος πίνακας .
Να αποδείξετε ότι ο πίνακας αντιστρέφεται.
β) Έστω ένας πίνακας για τον οποίο υποθέτουμε ότι , όπου ο μοναδιαίος και μηδενικός πίνακας αντίστοιχα.
i) Να αποδείξετε ότι , ο έχει αντίστροφο και .
ii) Να αποδείξετε ότι .
3. α) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα και για κάθε εσωτερικό σημείο του
τότε να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα .
β) Έστω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και είναι υποσύνολα του .
Έστω και . Να αποδείξετε ότι :
i)
ii) το ενδεχόμενο δεν είναι το .
4. α) Έστω ότι η ευθεία είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης στο .
i) Να βρείτε τα όρια και
ii) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό , αν
β) Να αποδείξετε ότι :
i)
ii) Η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση την .
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1742
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1994
2. α) Έστω πίνακες τέτοιοι ώστε , όπου ο μοναδιαίος πίνακας .
Να αποδείξετε ότι ο πίνακας αντιστρέφεται.
β) Έστω ένας πίνακας για τον οποίο υποθέτουμε ότι , όπου ο μοναδιαίος και μηδενικός πίνακας αντίστοιχα.
i) Να αποδείξετε ότι , ο έχει αντίστροφο και .
ii) Να αποδείξετε ότι .
Να αποδείξετε ότι ο πίνακας αντιστρέφεται.
β) Έστω ένας πίνακας για τον οποίο υποθέτουμε ότι , όπου ο μοναδιαίος και μηδενικός πίνακας αντίστοιχα.
i) Να αποδείξετε ότι , ο έχει αντίστροφο και .
ii) Να αποδείξετε ότι .
Kαλαθάκης Γιώργης
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1994
3. α) Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα και για κάθε εσωτερικό σημείο του
τότε να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα .
β) Έστω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και είναι υποσύνολα του .
Έστω και . Να αποδείξετε ότι :
i)
ii) το ενδεχόμενο δεν είναι το .
Λύση
α) Θεωρία
β) i) Έχουμε :
και . Mε πρόσθεση κατά μέλη :
ii) Aν τότε θα είχαμε : και η σχέση του ερωτήματος i) θα γινόταν
που είναι άτοπο.
τότε να αποδείξετε ότι η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα .
β) Έστω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και είναι υποσύνολα του .
Έστω και . Να αποδείξετε ότι :
i)
ii) το ενδεχόμενο δεν είναι το .
Λύση
α) Θεωρία
β) i) Έχουμε :
και . Mε πρόσθεση κατά μέλη :
ii) Aν τότε θα είχαμε : και η σχέση του ερωτήματος i) θα γινόταν
που είναι άτοπο.
Γιώργος
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1994
αi)Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με παράγωγοparmenides51 έγραψε:1. α) Δίνεται ο θετικός πραγματικός αριθμός και η συνάρτηση με .
i) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη.
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο
και να προσδιορίσετε το ώστε η εφαπτομένη αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
β) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη στο η οποία έχει συνεχή στο , παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο
και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο .
Αν ισχύει να υπολογίσετε το .
Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με παράγωγο
Για είναι,
Η είναι κυρτή στο και κοίλη στο
αii)Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο της είναι η
Το σημείο ανήκει στην παραπάνω ευθεία αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της, οπότε,
β)Εφόσον η παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, από το Θεώρημα
του Fermat, έπεται ότι
Επίσης,
Είναι,
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1994
αi)Αφού η ευθεία με εξίσωση είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο , έχουμε ότιparmenides51 έγραψε:
4. α) Έστω ότι η ευθεία είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης στο .
i) Να βρείτε τα όρια και
ii) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό , αν
β) Να αποδείξετε ότι :
i)
ii) Η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση την .
Είναι,
βi)Η συνάρτηση με τύπο είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με
Έχουμε,
Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι αυτή η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο το
Επομένως,
βii)Η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με
Άρα, η συνάρτηση ως γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, έχει το πολύ μια ρίζα.
Παρατηρούμε ότι .
Έτσι, η εξίσωση , που είναι ισοδύναμη με την ,
έχει μοναδική ρίζα την
Παπαπέτρος Ευάγγελος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες