Δ' ΔΕΣΜΗ 1994

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δ' ΔΕΣΜΗ 1994

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Παρ Ιουν 28, 2013 1:44 am

1. α) Δίνεται ο θετικός πραγματικός αριθμός \displaystyle{\alpha} και η συνάρτηση \displaystyle{f({x})={\alpha }{{{x }}^{2}}-2{x }\ln {x }} με \displaystyle{x\in \left( 0,+\infty  \right)}.
i) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η \displaystyle{f} είναι κυρτή ή κοίλη.
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \displaystyle{f} στο σημείο \displaystyle{A(1,f(1))}
και να προσδιορίσετε το \displaystyle{\alpha} ώστε η εφαπτομένη αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
β) Έστω μια συνάρτηση \displaystyle{f} ορισμένη στο \displaystyle{\mathbb{R}} η οποία έχει συνεχή \displaystyle{f''} στο \displaystyle{\mathbb{R}}, παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο \displaystyle{x_0=2}
και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο \displaystyle{A(0,1)}.
Αν ισχύει \displaystyle{\int\limits_{0}^{2}{\left[ x f''({x})+3{f}'({x }) \right]}dx=-\frac{8}{3}} να υπολογίσετε το \displaystyle{f(2)}.


2. α) Έστω \displaystyle{A,B} πίνακες \displaystyle{ \nu \,x \nu} τέτοιοι ώστε \displaystyle{A+(B-\mathbb{I})=AB-\mathbb{I}}, όπου \displaystyle{ \mathbb{I}} ο μοναδιαίος \displaystyle{ \nu \,x \nu} πίνακας .
Να αποδείξετε ότι ο πίνακας \displaystyle{ (A-\mathbb{I})} αντιστρέφεται.
β) Έστω \displaystyle{A} ένας \displaystyle{ \nu \,x \nu} πίνακας για τον οποίο υποθέτουμε ότι \displaystyle{\mathbb{I}-A^2+A^4=\mathbb{O}}, όπου \displaystyle{\mathbb{I} , \mathbb{O}} ο μοναδιαίος και μηδενικός \displaystyle{ \nu \,x \nu} πίνακας αντίστοιχα.
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{A^6+\mathbb{I}=\mathbb{O}}, ο \displaystyle{A} έχει αντίστροφο και \displaystyle{A^{-1}= - A^5}.
ii) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{-A^{308}+(A^{-1})^{105}=A^2+A^3}.


3. α) Αν μια συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής σε ένα διάστημα \displaystyle{\Delta} και \displaystyle{f '(x)=0} για κάθε εσωτερικό σημείο \displaystyle{x} του \displaystyle{\Delta}
τότε να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f} είναι σταθερή σε όλο το διάστημα \displaystyle{\Delta}.
β) Έστω \displaystyle{\Omega} ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και \displaystyle{A,B} είναι υποσύνολα του \displaystyle{\Omega} .
Έστω \displaystyle{{P({A}')\le 0,28} και \displaystyle{P({B}')\le 0,71}. Να αποδείξετε ότι :
i) \displaystyle{P(A\cap B)\ge 1,01-P(A\cup B)}
ii) το ενδεχόμενο \displaystyle{A\cap B} δεν είναι το \displaystyle{\varnothing}.


4. α) Έστω ότι η ευθεία \displaystyle{y=2x+5} είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης \displaystyle{f} στο \displaystyle{+\infty}.
i) Να βρείτε τα όρια \displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}} και \displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\left[ f(x)-2x \right]}
ii) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό \displaystyle{ \mu} , αν \displaystyle{\lim_{x\to +\infty} \frac{{\mu } f(x)+4x}{x f(x )-2x^2+3x}=1}
β) Να αποδείξετε ότι :
i) \displaystyle{{{e}^x}-x+1>0\,\,\forall \in R}
ii) Η εξίσωση \displaystyle{2{{e}^x}+2x={x^{2}}+2} έχει ακριβώς μια λύση την \displaystyle{x=0}.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1362
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1994

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Ιουν 28, 2013 12:30 pm

2. α) Έστω \displaystyle{A,B} πίνακες \displaystyle{ \nu \,x \nu} τέτοιοι ώστε \displaystyle{A+(B-\mathbb{I})=AB-\mathbb{I}}, όπου \displaystyle{ \mathbb{I}} ο μοναδιαίος \displaystyle{ \nu \,x \nu} πίνακας .
Να αποδείξετε ότι ο πίνακας \displaystyle{ (A-\mathbb{I})} αντιστρέφεται.
β) Έστω \displaystyle{A} ένας \displaystyle{ \nu \,x \nu} πίνακας για τον οποίο υποθέτουμε ότι \displaystyle{\mathbb{I}-A^2+A^4=\mathbb{O}}, όπου \displaystyle{\mathbb{I} , \mathbb{O}} ο μοναδιαίος και μηδενικός \displaystyle{ \nu \,x \nu} πίνακας αντίστοιχα.
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{A^6+\mathbb{I}=\mathbb{O}}, ο \displaystyle{A} έχει αντίστροφο και \displaystyle{A^{-1}= - A^5}.
ii) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{-A^{308}+(A^{-1})^{105}=A^2+A^3}.

\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \alpha )\,\,\,\,A + (B - {\rm I}) = AB - {\rm I} \Leftrightarrow A - AB + (B - {\rm I}) =  - {\rm I} \Leftrightarrow A({\rm I} - B) - ({\rm I} - B) =  - {\rm I} \Leftrightarrow  \\  
  \Leftrightarrow (A - {\rm I})(B - {\rm I}) = {\rm I} \Leftrightarrow {(A - {\rm I})^{ - 1}} = B - {\rm I} \\  
  \\  
 \beta )\,\,\,{\rm I} - {A^2} + {A^4} = \,\,0\,\,\, \Rightarrow {A^4} = {A^2} - \,\,{\rm I} \Rightarrow {{\rm A}^6} = {{\rm A}^4} - {{\rm A}^2} =  - \,\,{\rm I} \\  
  \\  
 i)\,\,\,\,{{\rm A}^6} =  - \,\,\,{\rm I} \Leftrightarrow {\rm A}( - {{\rm A}^5}) = {\rm I} \Leftrightarrow {{\rm A}^{ - 1}} =  - {{\rm A}^5} \\  
  \\  
 ii)\,\,\,\,\, - {A^{308}} + {({A^{ - 1}})^{105}} =  - {{\rm A}^{308}} + {\left( { - {{\rm A}^5}} \right)^{105}} =  - {{\rm A}^{308}} - {{\rm A}^{525}} =  - {\left( {{{\rm A}^6}} \right)^{51}}{{\rm A}^2} - {\left( {{{\rm A}^6}} \right)^{87}}{{\rm A}^3} \\  
  \\  
  =  - {( - \,\,{\rm I}\,\,)^{51}}{{\rm A}^2} - {( - \,\,{\rm I}\,\,)^{87}}{{\rm A}^3} = {{\rm A}^2} + {{\rm A}^3} \\  
 \end{array}}


Kαλαθάκης Γιώργης
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1994

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Παρ Ιουν 28, 2013 4:32 pm

3. α) Αν μια συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής σε ένα διάστημα \displaystyle{\Delta} και \displaystyle{f '(x)=0} για κάθε εσωτερικό σημείο \displaystyle{x} του \displaystyle{\Delta}
τότε να αποδείξετε ότι η \displaystyle{f} είναι σταθερή σε όλο το διάστημα \displaystyle{\Delta}.
β) Έστω \displaystyle{\Omega} ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και \displaystyle{A,B} είναι υποσύνολα του \displaystyle{\Omega} .
Έστω \displaystyle{{P({A}')\le 0,28} και \displaystyle{P({B}')\le 0,71}. Να αποδείξετε ότι :
i) \displaystyle{P(A\cap B)\ge 1,01-P(A\cup B)}
ii) το ενδεχόμενο \displaystyle{A\cap B} δεν είναι το \displaystyle{\varnothing}.

Λύση

α) Θεωρία

β) i) Έχουμε : \displaystyle{P(A')\leq 0,28\Rightarrow 1-P(A)\leq 0,28\Rightarrow P(A)\geq 0,72}

και \displaystyle{P(B')\leq 0,71\Rightarrow 1-P(B)\leq 0,71\Rightarrow P(B)\geq 0,29}. Mε πρόσθεση κατά μέλη :

\displaystyle{P(A)+P(B)\geq 0,72+0,29\Rightarrow P(A\cap B)+P(A\cup B)\geq 1,01\Rightarrow P(A\cap B)\ge 1,01-P(A\cup B) }

ii) Aν \displaystyle{A\cap B=\emptyset} τότε θα είχαμε : \displaystyle{P(A\cap B)=0} και η σχέση του ερωτήματος i) θα γινόταν

\displaystyle{0\ge 1,01-P(A\cup B)\Rightarrow P(A\cup B)\geq 1,01>1 } που είναι άτοπο.


Γιώργος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1352
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1994

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Παρ Ιουν 28, 2013 5:50 pm

parmenides51 έγραψε:1. α) Δίνεται ο θετικός πραγματικός αριθμός \displaystyle{\alpha} και η συνάρτηση \displaystyle{f({x})={\alpha }{{{x }}^{2}}-2{x }\ln {x }} με \displaystyle{x\in \left( 0,+\infty  \right)}.
i) Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η \displaystyle{f} είναι κυρτή ή κοίλη.
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \displaystyle{f} στο σημείο \displaystyle{A(1,f(1))}
και να προσδιορίσετε το \displaystyle{\alpha} ώστε η εφαπτομένη αυτή να διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
β) Έστω μια συνάρτηση \displaystyle{f} ορισμένη στο \displaystyle{\mathbb{R}} η οποία έχει συνεχή \displaystyle{f''} στο \displaystyle{\mathbb{R}}, παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο \displaystyle{x_0=2}
και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο \displaystyle{A(0,1)}.
Αν ισχύει \displaystyle{\int\limits_{0}^{2}{\left[ x f''({x})+3{f}'({x }) \right]}dx=-\frac{8}{3}} να υπολογίσετε το \displaystyle{f(2)}.
αi)Η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με παράγωγο

\displaystyle{f^\prime(x)=2\alpha\,x-2\left(\ln x+1\right)\,,x>0}

Η συνάρτηση \displaystyle{f^\prime} είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με παράγωγο

\displaystyle{f''(x)=2\alpha-\frac{2}{x}\,,x>0}

Για \displaystyle{x>0} είναι,

\displaystyle{f''(x)>0\Leftrightarrow 2\alpha-\frac{2}{x}>0\Leftrightarrow \frac{1}{x}<\alpha\Leftrightarrow x>\frac{1}{a}}

\displaystyle{f''(x)<0\ \forall x\in\left(0,\frac{1}{a}\right)\,\,,f''\left(\frac{1}{a}\right)=0}

Η \displaystyle{f} είναι κυρτή στο \displaystyle{\left[\frac{1}{a},+\infty\right)} και κοίλη στο \displaystyle{\left(0,\frac{1}{a}\right]}

αii)Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} στο σημείο της \displaystyle{A\left(1,f(1)\right)} είναι η

\displaystyle{f^\prime(1)\,x-y+\left(f(1)-f^\prime(1)\right)=0\Leftrightarrow \left(2\alpha-2\right)x-y+\left(2-\alpha\right)=0}

Το σημείο \displaystyle{O(0,0)} ανήκει στην παραπάνω ευθεία αν και μόνο αν οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της, οπότε,

\displaystyle{\left(2\alpha-2\right)\cdot 0-0+\left(2-\alpha\right)=0\Leftrightarrow \alpha=2}

β)Εφόσον η \displaystyle{f} παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο \displaystyle{x=2} και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό, από το Θεώρημα

του Fermat, έπεται ότι \displaystyle{f^\prime(2)=0}

Επίσης, \displaystyle{A\left(0,1\right)\in C_{f}\Leftrightarrow f(0)=1}

Είναι,

\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{2}\left[x\,f''(x)+3f^\prime(x)\right]\,dx=-\frac{8}{3}&\Rightarrow \int_{0}^{2}\left[\left(x\,f''(x)+f^\prime(x)\right)+2f^\prime(x)\right]\,dx=-\frac{8}{3}\\&\Rightarrow \int_{0}^{2}\,d\left(x\,f^\prime(x)+2f(x)\right)=-\frac{8}{3}\\&\Rightarrow \left[x\,f^\prime(x)+2f(x)\right]_{0}^{2}=-\frac{8}{3}\\&\Rightarrow 2f^\prime(2)+2f(2)-0-2f(0)=-\frac{8}{3}\\&\Rightarrow 2f(2)-2=-\frac{8}{3}\\&\Rightarrow f(2)=-\frac{1}{3}\end{aligned}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1352
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1994

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Σάβ Ιουν 29, 2013 9:20 pm

parmenides51 έγραψε:

4. α) Έστω ότι η ευθεία \displaystyle{y=2x+5} είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης \displaystyle{f} στο \displaystyle{+\infty}.
i) Να βρείτε τα όρια \displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}} και \displaystyle{\lim_{x\to +\infty }\left[ f(x)-2x \right]}
ii) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό \displaystyle{ \mu} , αν \displaystyle{\lim_{x\to +\infty} \frac{{\mu } f(x)+4x}{x f(x )-2x^2+3x}=1}
β) Να αποδείξετε ότι :
i) \displaystyle{{{e}^x}-x+1>0\,\,\forall \in R}
ii) Η εξίσωση \displaystyle{2{{e}^x}+2x={x^{2}}+2} έχει ακριβώς μια λύση την \displaystyle{x=0}.
αi)Αφού η ευθεία με εξίσωση \displaystyle{y=2x+5} είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} στο \displaystyle{+\infty}, έχουμε ότι

\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\left[f(x)-\left(2x+5\right)\right]=0\Leftrightarrow \lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-2x\right)=5}

Είναι,

\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{f(x)}{x}-2\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)-2x}{x}=0\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=2}

\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty}\frac{\mu\,f(x)+4x}{x\,f(x)-2x^2+3x}=1&\Leftrightarrow \lim_{x\to +\infty}\displaystyle{\frac{\mu\,\frac{f(x)}{x}+4}{f(x)-2x+3}}=1\\&\Leftrightarrow \lim_{x\to +\infty}\displaystyle{\frac{\mu\,\frac{f(x)}{x}+4}{\left(f(x)-2x-5\right)+8}}=1\\&\Leftrightarrow \frac{2\mu+4}{8}=1\\&\Leftrightarrow 2\mu+4=8\\&\Leftrightarrow 2\mu=4\\&\Leftrightarrow \mu=2\end{aligned}}

βi)Η συνάρτηση \displaystyle{h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}} με τύπο \displaystyle{h(x)=e^{x}-x-1} είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της με

\displaystyle{h^\prime(x)=e^{x}-1}

Έχουμε, \displaystyle{\forall x>0:h^\prime(x)>0\,\,,\forall x<0:h^\prime(x)<0\,\,,h^\prime(0)=0}

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι αυτή η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο σημείο \displaystyle{x=0} το \displaystyle{h(0)=0}

Επομένως,

\displaystyle{\forall x\in\mathbb{R}:h(x)\geq h(0)\Rightarrow \forall x\in\mathbb{R}:e^{x}-x\geq 1\Rightarrow \forall x\in\mathbb{R}:e^{x}-x+1\geq 2>0\,\,(I)}

βii)Η συνάρτηση \displaystyle{\varphi(x)=2e^{x}-x^2+2x+2\,\,,x\in\mathbb{R}} είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\mathbb{R}} με

\displaystyle{\varphi^\prime(x)=2e^{x}-2x+2=2\left(e^{x}-x+1\right)\stackrel{(I)}{>}0}

Άρα, η συνάρτηση \displaystyle{\varphi} ως γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, έχει το πολύ μια ρίζα.

Παρατηρούμε ότι \displaystyle{\varphi(0)=0}.

Έτσι, η εξίσωση \displaystyle{\varphi(x)=0} , που είναι ισοδύναμη με την \displaystyle{2e^{x}+2x=x^2+2} ,

έχει μοναδική ρίζα την \displaystyle{x=0}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Δ' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης