Δ' ΔΕΣΜΗ 1995

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δ' ΔΕΣΜΗ 1995

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Κυρ Ιουν 30, 2013 12:33 am

1. α) Αν για τους \displaystyle{\nu \, x \, \nu} πίνακες \displaystyle{ A,B} ισχύει \displaystyle{A^2+2B=2{\color{red}A} B} και ο \displaystyle{B} αντιστρέφεται, να αποδείξετε ότι :
i) Ο πίνακας \displaystyle{A} αντιστρέφεται
ii) \displaystyle{2(A^{-1})^2+B^{-1}=2 A^{-1}}
β) Θεωρούμε ένα γραμμικό σύστημα \displaystyle{3 \, x \, 3} με πραγματικούς συντελεστές και με αγνώστους \displaystyle{x,y,z \in \mathbb{R} }.
Έστω \displaystyle{D} η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος και \displaystyle{D_x,D_y,D_z} οι ορίζουσες που προκύπτουν από την \displaystyle{D}
αν αντικαταστήσουμε την \displaystyle{1} η , \displaystyle{2} η και \displaystyle{3} η στήλη αντίστοιχα με την στήλη των σταθερών όρων του συστήματος.
Υποθέτουμε ότι \displaystyle{\kappa\lambda D=\kappa D_x+2\lambda D_y+(\kappa +2\lambda )D_z}, όπου \displaystyle{\kappa, \lambda \in \mathbb{R} ^*} . Να αποδείξετε ότι :
i) Αν το σύστημα έχει την μοναδική λύση \displaystyle{(x_0,y_0,z_0)} τότε \displaystyle{\kappa (x_0+z_0)+2\lambda(y_0+z_0)=\kappa \lambda}
ii) Αν το σύστημα είναι ομογενές τότε έχει και μη μηδενικές λύσεις.


2. α) Δίνεται ο αντιστρέψιμος \displaystyle{2 \, x \, 2} πίνακας \displaystyle{A} και ο \displaystyle{B=\left[ \begin{matrix} 
   \mathsf{\alpha -\beta +\gamma } & 0  \\ 
   \mathsf{\alpha -3-\gamma } & \mathsf{\beta +\gamma }  \\ 
	\end{matrix} \right]} .
Αν \displaystyle{AB=0} να βρεθούν τα \displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma}.
β) Έστω \displaystyle{\Omega} το σύνολο των ριζών της εξίσωσης \displaystyle{\left( x^{2}}+4x-5 \right)\left(x-7 \right)=0}
Υποθέτουμε ότι \displaystyle{\Omega} είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα .
Θεωρούμε το σύστημα \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
  & \left( \alpha -1995 \right)x+y=0 \\  
	 & \left(\alpha -1995 \right)\left( 2\alpha -7 \right)x+\left( \alpha -6 \right)y=0 \\  
	\end{matrix}} όπου \displaystyle{\alpha \in \Omega}
Έστω \displaystyle{A \subseteq \Omega} είναι το ενδεχόμενο το παραπάνω σύστημα να έχει και μη μηδενικές λύσεις .
Να βρεθεί η πιθανότητα \displaystyle{P(A)}.



3. α) i) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα \displaystyle{[\alpha,\beta]} και \displaystyle{f(\alpha)\ne f(\beta)} τότε
για κάθε αριθμό \displaystyle{\eta} μεταξύ των \displaystyle{f(\alpha)} και \displaystyle{f(\beta)} υπάρχει τουλάχιστον ένας \displaystyle{x_0 \in (\alpha,\beta)} τέτοιος ώστε να ισχύει \displaystyle{f(x_0 )=\eta}.
ii) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=x^{4}-2x^{2}+ \alpha \, , \alpha \in \mathbb{R}}
1. Αν \displaystyle{A(x_1,f(x_1)),  B(x_2,f(x_2)) ,  \Gamma(x_3,f(x_3))} είναι τοπικά ακρότατα της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} και \displaystyle{x_1<x_2<x_3},
να αποδείξετε ότι η ευθεία \displaystyle{AB} είναι κάθετη στην ευθεία \displaystyle{B\Gamma}.
2. Αν \displaystyle{0<\alpha<1} να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{f(x)=0} έχει ακριβώς μια λύση στο διάστημα \displaystyle{(-1,0)}.
β) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} δύο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\mathbb{R} } για την οποία ισχύει \displaystyle{f'(x)\ne 0} για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R} }
και η συνάρτηση \displaystyle{ g } τέτοια ώστε \displaystyle{g(x) f '(x)=2f(x)} για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R} } .
Να αποδείξετε ότι αν η γραφική παράσταση της \displaystyle{f} έχει σημείο καμπής το \displaystyle{A(x_0,f(x_0)) } τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \displaystyle{ g}
στο σημείο \displaystyle{Β(x_0,g(x_0)) } είναι παράλληλη στην ευθεία \displaystyle{y-2x+5=0}.


4. α) Η αξία μιας μηχανής που εκτυπώνει βιβλία μειώνεται με το χρόνο \displaystyle{t } σύμφωνα με τη συνάρτηση \displaystyle{f(t)=\frac{7A}{2}{{e}^{\displaystyle -\frac{t+28}{14}}},t\ge 0}
όπου \displaystyle{A} ένας θετικός αριθμός.
Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους \displaystyle{K(t)} από την πώληση των βιβλίων που εκτυπώνει η συγκεκριμένη μηχανή δίνεται από τη συνάρτηση \displaystyle{{K}'(t)=\frac{A}{4}{{e}^{\displaystyle -\frac{t}{7}}}\,,t\ge 0}
και υποθέτουμε ότι \displaystyle{K(0)=0}.
Να βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία θα πρέπει να πουληθεί η μηχανή έτσι ώστε το συνολικό κέρδος \displaystyle{P(t)} από τα βιβλία που πουλήθηκαν
συν την αξία της μηχανής να γίνεται μέγιστο.
β) Αν \displaystyle{G(x)=\int\limits_{1}^{x}{f(t)dt}} όπου \displaystyle{f(t)=\int_{1}^{3t}{\frac{{{e}^{u}}}{\sqrt{u}}du}} και \displaystyle{\color{red}x}>0, t>0} να βρείτε :
i) την \displaystyle{G''(1)}
ii) το \displaystyle{\lim_{x \to 0^+}\frac{\sqrt{x}\cdot {G}{\color{red}''}(x)-\sqrt{3}}{\sqrt{x+1}-1}}



edit's
1. διόρθωση τυπογραφικού στην εκφώνηση του 1ου θέματος λόγω \displaystyle{\LaTeX}, θενξ Ηλία
2. διόρθωση παραγώγου στo 4β.ii) :wallbash: σωστός (πάλι) ο Ορέστης
3. διόρθωση τυπογραφικού στην εκφώνηση του 4β λόγω \displaystyle{\LaTeX},
τελευταία επεξεργασία από parmenides51 σε Τρί Ιούλ 23, 2013 4:44 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1995

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Κυρ Ιουν 30, 2013 4:49 am

parmenides51 έγραψε:3. α) i) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα \displaystyle{[\alpha,\beta]} και \displaystyle{f(\alpha)\ne f(\beta)} τότε
για κάθε αριθμό \displaystyle{\eta} μεταξύ των \displaystyle{f(\alpha)} και \displaystyle{f(\beta)} υπάρχει τουλάχιστον ένας \displaystyle{x_0 \in (\alpha,\beta)} τέτοιος ώστε να ισχύει \displaystyle{f(x_0 )=\eta}.
ii) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=x^{4}-2x^{2}+ \alpha \, , \alpha \in \mathbb{R}}
1. Αν \displaystyle{A(x_1,f(x_1)),  B(x_2,f(x_2)) ,  \Gamma(x_3,f(x_3))} είναι τοπικά ακρότατα της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} και \displaystyle{x_1<x_2<x_3},
να αποδείξετε ότι η ευθεία \displaystyle{AB} είναι κάθετη στην ευθεία \displaystyle{B\Gamma}.
2. Αν \displaystyle{0<\alpha<1} να αποδείξετε ότι η εξίσωση \displaystyle{f(x)=0} έχει ακριβώς μια λύση στο διάστημα \displaystyle{(-1,0)}.
β) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f} δύο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\mathbb{R} } για την οποία ισχύει \displaystyle{f'(x)\ne 0} για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R} }
και η συνάρτηση \displaystyle{ g } τέτοια ώστε \displaystyle{g(x) f '(x)=2f(x)} για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R} } .
Να αποδείξετε ότι αν η γραφική παράσταση της \displaystyle{f} έχει σημείο καμπής το \displaystyle{A(x_0,f(x_0)) } τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της \displaystyle{ g}
στο σημείο \displaystyle{Β(x_0,g(x_0)) } είναι παράλληλη στην ευθεία \displaystyle{y-2x+5=0}.
\displaystyle{{{\alpha }_{i}})} Θεωρία

\displaystyle{{{\alpha }_{ii}})}
1. Έχουμε \displaystyle{{f}'(x)=4{{x}^{3}}-4x=4x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)} με \displaystyle{{f}'(x)=0\Leftrightarrow \left( x=0\,\,\,\vee \,\,\,x=1\,\,\,\vee \,\,\,x=-1 \right)}. Στις θέσεις αυτές η \displaystyle{{f}'(x)} αλλάζει πρόσημο,

αφού όλες οι ρίζες της πολυωνυμικής εξίσωσης \displaystyle{{f}'(x)=0} είναι απλές και επομένως στις θέσεις αυτές η \displaystyle{f} παρουσιάζει τοπικά ακρότατα

με \displaystyle{f(-1)=\alpha -1,\,\,\,f(0)=\alpha ,\,\,\,f(1)=\alpha -1}, οπότε \displaystyle{A\left( -1,\,\,\alpha -1 \right),\,\,B\left( 0,\,\,\alpha  \right),\,\,\Gamma \left( 1,\,\,\alpha -1 \right)}.

Είναι \displaystyle{{{\lambda }_{AB}}\cdot {{\lambda }_{B\Gamma }}=\frac{\alpha -(\alpha -1)}{0-(-1)}\cdot \frac{\alpha -1-\alpha }{1-0}=-1\Rightarrow AB\bot B\Gamma }.

2. Για κάθε \displaystyle{x\in \left( -1,0 \right)\Rightarrow \left( x<0,\,\,x-1<0,\,\,x+1>0 \right)\Rightarrow {f}'(x)>0}, επομένως η \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\left( -1,0 \right)} και η εξίσωση \displaystyle{f(x)=0} έχει

το πολύ μία ρίζα στο \displaystyle{\left( -1,0 \right)}. Η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο \displaystyle{\left[ -1,0 \right]} ως πολυωνυμική και \displaystyle{f(-1)\cdot f(0)=\alpha \left( \alpha -1 \right)<0} άρα η εξίσωση \displaystyle{f(x)=0} έχει τουλάχιστον

μία ρίζα στο \displaystyle{\left( -1,0 \right)}. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η \displaystyle{f(x)=0} έχει ακριβώς μία λύση στο \displaystyle{\left( -1,0 \right)}.

β) Εφόσον η \displaystyle{f} είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\mathbb{R}}και το \displaystyle{A\left( {{\text{x}}_{\text{o}}},\text{f}({{\text{x}}_{\text{o}}}) \right)} σημείο καμπής της \displaystyle{{{C}_{f}}} θα είναι \displaystyle{{f}''(x)=0}. Επειδή \displaystyle{{f}'(x)\ne 0,\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\,x\in \mathbb{R}} έχουμε:

\displaystyle{g(x)=\frac{2f(x)}{f(x)}} και \displaystyle{{g}'(x)=\frac{2{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}-2f(x){f}''(x)}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}}\Rightarrow {g}'({{x}_{0}})=\frac{2{{\left( {f}'({{x}_{0}}) \right)}^{2}}-2f({{x}_{0}}){f}''({{x}_{0}})}{{{\left( {f}'({{x}_{0}}) \right)}^{2}}}\Rightarrow {g}'({{x}_{0}})=\frac{2{{\left( {f}'({{x}_{0}}) \right)}^{2}}}{{{\left( f({{x}_{0}}) \right)}^{2}}}}\displaystyle{\Rightarrow {g}'(x)=2}, δηλαδή ο

συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της \displaystyle{{{C}_{g}}} στο \displaystyle{B\left( {{x}_{0}},g({{x}_{0}}) \right)} είναι ίσος με τον συντελεστή διεύθυνσης της ευθεία; \displaystyle{\left( \varepsilon  \right):y-2x+5=0} που σημαίνει ότι

η εφαπτομένη της \displaystyle{{{C}_{g}}} στο \displaystyle{B} είναι παράλληλη στην ευθεία \left( \varepsilon  \right).


Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 934
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1995

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Ιουν 30, 2013 9:12 am

parmenides51 έγραψε:1. α) Αν για τους \displaystyle{\nu \, x \, \nu} πίνακες \displaystyle{ A,B} ισχύει \displaystyle{A^2+2B=2{\color{red}A} B} και ο \displaystyle{B} αντιστρέφεται, να αποδείξετε ότι :
i) Ο πίνακας \displaystyle{A} αντιστρέφεται
ii) \displaystyle{2(A^{-1})^2+B^{-1}=2 A^{-1}}
β) Θεωρούμε ένα γραμμικό σύστημα \displaystyle{3 \, x \, 3} με πραγματικούς συντελεστές και με αγνώστους \displaystyle{x,y,z \in \mathbb{R} }.
Έστω \displaystyle{D} η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων του συστήματος και \displaystyle{D_x,D_y,D_z} οι ορίζουσες που προκύπτουν από την \displaystyle{D}
αν αντικαταστήσουμε την \displaystyle{1} η , \displaystyle{2} η και \displaystyle{3} η στήλη αντίστοιχα με την στήλη των σταθερών όρων του συστήματος.
Υποθέτουμε ότι \displaystyle{\kappa\lambda D=\kappa D_x+2\lambda D_y+(\kappa +2\lambda )D_z}, όπου \displaystyle{\kappa, \lambda \in \mathbb{R} ^*} . Να αποδείξετε ότι :
i) Αν το σύστημα έχει την μοναδική λύση \displaystyle{(x_0,y_0,z_0)} τότε \displaystyle{\kappa (x_0+z_0)+2\lambda(y_0+z_0)=\kappa \lambda}
ii) Αν το σύστημα είναι ομογενές τότε έχει και μη μηδενικές λύσεις.
α) i) {A^2} + 2B = 2AB \Leftrightarrow {A^2}{B^{ - 1}} + 2B{B^{ - 1}} = 2AB{B^{ - 1}} \Leftrightarrow {A^2}{B^{ - 1}} + 2I = 2A \Leftrightarrow

2A - {A^2}{B^{ - 1}} = 2I \Leftrightarrow A\left( {2I - A{B^{ - 1}}} \right) = 2I \Leftrightarrow \frac{1}{2}A\left( {2I - A{B^{ - 1}}} \right) = I

Άρα ο Α αντιστρέφεται και είναι {A^{ - 1}} = \frac{1}{2}\left( {2I - A{B^{ - 1}}} \right) \Leftrightarrow {A^{ - 1}} = I - \frac{1}{2}A{B^{ - 1}} (1)

ii) \left( 1 \right) \Leftrightarrow 2{A^{ - 1}} = 2I - A{B^{ - 1}}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{ \cdot {A^{ - 1}}} 2{A^{ - 1}}{A^{ - 1}} = 2{A^{ - 1}} - {A^{ - 1}}A{B^{ - 1}} \Leftrightarrow

\displaystyle{2{\left( {{A^{ - 1}}} \right)^2} = 2{A^{ - 1}} - {B^{ - 1}} \Leftrightarrow 2{\left( {{A^{ - 1}}} \right)^2} + {B^{ - 1}} = 2{A^{ - 1}}}

β) i) Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση τότε είναι D \ne 0 και

\displaystyle{{x_o} = \frac{{{D_x}}}{D},\quad {y_o} = \frac{{{D_y}}}{D},\quad {z_o} = \frac{{{D_z}}}{D}}

\displaystyle{\kappa \lambda D = \kappa {D_x} + 2\lambda {D_y} + \left( {\kappa  + 2\lambda } \right){D_z}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{:D \ne 0} \kappa \lambda  = \kappa {x_o} + 2\lambda {y_o} + \left( {\kappa  + 2\lambda } \right){z_o} \Leftrightarrow }

\displaystyle{\kappa {x_o} + 2\lambda {y_o} + \kappa {z_o} + 2\lambda {z_o} = \kappa \lambda  \Leftrightarrow \kappa \left( {{x_o} + {z_o}} \right) + 2\lambda \left( {{y_o} + {z_o}} \right) = \kappa \lambda }

ii. Αν το σύστημα είναι ομογενές τότε {D_x} = {D_y} = {D_z} = 0 και η δοσμένη σχέση γίνεται:

\displaystyle{\kappa \lambda D = \kappa {D_x} + 2\lambda {D_y} + \left( {\kappa  + 2\lambda } \right){D_z} \Leftrightarrow \kappa \lambda D = 0 \Leftrightarrow D = 0} αφού \kappa ,\lambda  \in R

Έτσι, επειδή D = 0, το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις.


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 934
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1995

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Κυρ Ιουν 30, 2013 9:49 am

parmenides51 έγραψε:2. α) Δίνεται ο αντιστρέψιμος \displaystyle{2 \, x \, 2} πίνακας \displaystyle{A} και ο \displaystyle{B=\left[ \begin{matrix} 
   \mathsf{\alpha -\beta +\gamma } & 0  \\ 
   \mathsf{\alpha -3-\gamma } & \mathsf{\beta +\gamma }  \\ 
	\end{matrix} \right]} .
Αν \displaystyle{AB=0} να βρεθούν τα \displaystyle{\alpha ,\beta ,\gamma}.
β) Έστω \displaystyle{\Omega} το σύνολο των ριζών της εξίσωσης \displaystyle{\left( x^{2}}+4x-5 \right)\left(x-7 \right)=0}
Υποθέτουμε ότι \displaystyle{\Omega} είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα .
Θεωρούμε το σύστημα \displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
  & \left( \alpha -1995 \right)x+y=0 \\  
	 & \left(\alpha -1995 \right)\left( 2\alpha -7 \right)x+\left( \alpha -6 \right)y=0 \\  
	\end{matrix}} όπου \displaystyle{\alpha \in \Omega}
Έστω \displaystyle{A \subseteq \Omega} είναι το ενδεχόμενο το παραπάνω σύστημα να έχει και μη μηδενικές λύσεις .
Να βρεθεί η πιθανότητα \displaystyle{P(A)}.
α) AB = O\mathop  \Leftrightarrow \limits^{ \cdot {A^{ - 1}}} {A^{ - 1}}AB = O \Leftrightarrow B = O

Άρα \left\{ \begin{array}{l} 
\alpha  - \beta  + \gamma  = 0\,\left( 1 \right)\\ 
\alpha  - 3 - \gamma  = 0\;\left( 2 \right)\\ 
\beta  + \gamma  = 0\quad \;\;\left( 3 \right) 
\end{array} \right.

\left( 1 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow 2\alpha  - \beta  - 3 = 0 \Leftrightarrow \beta  = 2\alpha  - 3\;\left( 4 \right)

\left( 3 \right) + \left( 2 \right) \Rightarrow \alpha  + \beta  - 3 = 0 \Leftrightarrow \beta  = 3 - \alpha \;\left( 5 \right)

\left( 4 \right)\mathop  \Rightarrow \limits^{\left( 5 \right)} 3 - \alpha  = 2\alpha  - 3 \Leftrightarrow \alpha  = 2

\left( 5 \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\alpha  = 2} \beta  = 1 και \left( 3 \right)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\beta  = 1} \gamma  =  - 1

β) \left( {{x^2} + 4x - 5} \right)\left( {x - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 0\;\dot \eta \;x - 7 = 0

Άρα \left( {{x^2} + 4x - 5} \right)\left( {x - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 0x = 1\;\dot \eta \;x =  - 5\;\dot \eta \;x = 7

Οπότε \Omega  = \left\{ { - 5,\,1,\,7} \right\}

Αφού το σύστημα είναι ομογενές και έχει και μη μηδενικές λύσεις θα ισχύει:

D = 0 \Leftrightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 
{\alpha  - 1995}&1\\ 
{\left( {\alpha  - 1995} \right)\left( {2\alpha  - 7} \right)}&{\alpha  - 6} 
\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow

\left( {\alpha  - 1995} \right)\left( {\alpha  - 6} \right) - \left( {\alpha  - 1995} \right)\left( {2\alpha  - 7} \right) = 0 \Leftrightarrow

\left( {\alpha  - 1995} \right)\left( {\alpha  - 6 - 2\alpha  + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow

\left( {\alpha  - 1995} \right)\left( {1 - \alpha } \right) = 0 \Leftrightarrow \alpha  = 1995\;\dot \eta \;\alpha  = 1

Άρα {\rm A} = \left\{ 1 \right\} \left( {1995 \notin \Omega } \right) και \displaystyle P\left( A \right) = \frac{{N\left( {\rm A} \right)}}{{{\rm N}\left( \Omega  \right)}} \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{3}
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Τετ Ιούλ 03, 2013 10:22 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Ηλίας Καμπελής
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1995

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Κυρ Ιουν 30, 2013 3:41 pm

parmenides51 έγραψε:4. α) Η αξία μιας μηχανής που εκτυπώνει βιβλία μειώνεται με το χρόνο \displaystyle{t } σύμφωνα με τη συνάρτηση \displaystyle{f(t)=\frac{7A}{2}{{e}^{\displaystyle -\frac{t+28}{14}}},t\ge 0}
όπου \displaystyle{A} ένας θετικός αριθμός.
Ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους \displaystyle{K(t)} από την πώληση των βιβλίων που εκτυπώνει η συγκεκριμένη μηχανή δίνεται από τη συνάρτηση \displaystyle{{K}'(t)=\frac{A}{4}{{e}^{\displaystyle -\frac{t}{7}}}\,,t\ge 0}
και υποθέτουμε ότι \displaystyle{K(0)=0}.
Να βρεθεί η χρονική στιγμή κατά την οποία θα πρέπει να πουληθεί η μηχανή έτσι ώστε το συνολικό κέρδος \displaystyle{P(t)} από τα βιβλία που πουλήθηκαν
συν την αξία της μηχανής να γίνεται μέγιστο.
β) Αν \displaystyle{G(x)=\int\limits_{1}^{x}{f(t)dt}} όπου \displaystyle{f(t)=\int_{1}^{3t}{\frac{{{e}^{u}}}{\sqrt{u}}du}} και \displaystyle{χ>0, t>0} να βρείτε :
i) την \displaystyle{G''(1)}
ii) το \displaystyle{\lim_{x \to 0^+}\frac{\sqrt{x}\cdot {G}''(x)-\sqrt{3}}{\sqrt{x+1}-1}}.
α) Για κάθε \displaystyle{t\ge 0} είναι \displaystyle{P(\text{t})=K\left( \text{t} \right)+f\left( \text{t} \right)~\Rightarrow {P}'(\text{t})={K}'\left( \text{t} \right)+{f}'\left( \text{t} \right)~}

\displaystyle{\Rightarrow {P}'(t)=\frac{A}{4}{{e}^{\displaystyle{-\frac{t}{7}}}+\frac{7A}{2}{{e}^{\displaystyle{-\frac{t+28}{14}}}\cdot {{\left( -\frac{t+28}{14} \right)}^{\prime }}=\frac{A}{4}\left( {{e}^{\displaystyle{-\frac{t}{7}}}-{{e}^{\displaystyle{-\frac{t+28}{14}}} \right)}.

Είναι \displaystyle{{P}'(t)=0\Leftrightarrow {{e}^{-\frac{t}{7}}}={{e}^{-\frac{t+28}{14}}}\Leftrightarrow t=28} με \displaystyle{{P}'(t)>0\Leftrightarrow t<28}, άρα η \displaystyle{P(t)} παρουσιάζει μέγιστο στο \displaystyle{t=28}. Επομένως η χρονική στιγμή κατά την

οποία πρέπει να πουληθεί η μηχανή, έτσι ώστε το συνολικό κέρδος από τα βιβλία που πουλήθηκαν συν την αξία της μηχανής να γίνεται μέγιστο, είναι η \displaystyle{t=28}.

{{\beta }_{i}}) Η \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) με \displaystyle{{f}'(t)=\frac{{{e}^{3t}}}{\sqrt{3t}}{{\left( 3t \right)}^{\prime }}=\frac{\sqrt{3}{{e}^{3t}}}{\sqrt{t}},\,\,\,t>0}. Επειδή η \displaystyle{f} είναι συνεχής, η \displaystyle{G} είναι παραγωγίσιμη

με \displaystyle{{G}'(x)=f(x),\,\,\,x>0} και \displaystyle{{G}''(x)={f}'(x)=\frac{\sqrt{3}{{e}^{3x}}}{\sqrt{x}}\Rightarrow {G}''(1)=\sqrt{3}\,{{e}^{3}}}

\displaystyle{{{\beta }_{ii}})} Είναι: \displaystyle{\underset{x\to {{0}^{\,+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}{G}''(x)-\sqrt{3}}{\sqrt{x+1}-1}=\underset{x\to {{0}^{\,+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{3}{{e}^{3x}}-\sqrt{3}}{\sqrt{x+1}-1}\,\,\overset{DLH}{\mathop{=}}\,\,\,\underset{x\to {{0}^{\,+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 6\sqrt{3}\,{{e}^{3x}}\sqrt{x+1} \right)=6\sqrt{3}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Δ' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης