Δ' ΔΕΣΜΗ 1998
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Δ' ΔΕΣΜΗ 1998
Μόλις τελειώσουν τα θέματα της Δ΄ Δέσμης (είναι μέχρι και το 2001, τρία έμειναν),
θα ανεβάσω τα υπόλοιπα της Α΄ Δέσμης με την σειρά (μένουν τα 1996-2001),
ώστε να μην υπάρχουν αρκετά άλυτα στο Ευρετήριο Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων .
1. α) Να αποδείξετε ότι αν υπάρχει μια αρχική συνάρτηση της σ’ ένα διάστημα τότε υπάρχουν άπειρες
και μάλιστα είναι όλες οι συναρτήσεις της μορφής και μόνο αυτές.
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου
και είναι κάθετη στην ευθεία .
2. Δίνεται η συνάρτηση όπου η παράμετρος είναι ένας πραγματικός αριθμός.
Μια επιχείρηση έχει έσοδα που δίνονται σε εκατομμύρια δραχμές από τον τύπο
όπου συμβολίζει το χρόνο σε έτη.
Το κόστος λειτουργίας της επιχείρησης δίνεται επίσης σε εκατομμύρια δραχμές σύμφωνα με τον τύπο .
α) Να βρείτε τη συνάρτηση κέρδους για όταν γνωρίζουμε ότι κατά το πρώτο έτος λειτουργίας
η επιχείρηση παρουσίασε ζημιά δώδεκα εκατομμύρια δραχμές.
β) Ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει η επιχείρηση να παρουσιάζει κέρδη;
γ) Ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης κέρδους στο τέλος του δεύτερου έτους;
δ) Να υπολογίσετε την τιμή του ολοκληρώματος .
3. Δίνεται η συνάρτηση όπου πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος του
α) Να δείξετε ότι
β) Να μελετήσετε ως προς τα ακρότατα τη συνάρτηση
γ) Αν είναι ρίζα της πρώτης παραγώγου και είναι ρίζα της δευτέρας παραγώγου της να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα
δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα όταν
4. Δίνεται ο πίνακας και οι πολυωνυμικές συναρτήσεις
και όπου και πραγματικοί αριθμοί.
α) Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι με
όπου είναι οι ρίζες της εξίσωσης
Οι πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων ικανοποιούν τις σχέσεις
Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του .
β) Θεωρούμε το ενδεχόμενο το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις
όπου ένας άγνωστος πίνακας και ο δειγματικός χώρος του (α) ερωτήματος.
Να υπολογίσετε την πιθανότητα .
γ) Να δείξετε ότι για το ενδεχόμενο του όπου η παρουσιάζει ακρότατο στο
και ο δειγματικός χώρος του (α) ερωτήματος ισχύει .
δ) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων και
θα ανεβάσω τα υπόλοιπα της Α΄ Δέσμης με την σειρά (μένουν τα 1996-2001),
ώστε να μην υπάρχουν αρκετά άλυτα στο Ευρετήριο Θεμάτων Πανελλαδικών Εξετάσεων .
1. α) Να αποδείξετε ότι αν υπάρχει μια αρχική συνάρτηση της σ’ ένα διάστημα τότε υπάρχουν άπειρες
και μάλιστα είναι όλες οι συναρτήσεις της μορφής και μόνο αυτές.
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου
και είναι κάθετη στην ευθεία .
2. Δίνεται η συνάρτηση όπου η παράμετρος είναι ένας πραγματικός αριθμός.
Μια επιχείρηση έχει έσοδα που δίνονται σε εκατομμύρια δραχμές από τον τύπο
όπου συμβολίζει το χρόνο σε έτη.
Το κόστος λειτουργίας της επιχείρησης δίνεται επίσης σε εκατομμύρια δραχμές σύμφωνα με τον τύπο .
α) Να βρείτε τη συνάρτηση κέρδους για όταν γνωρίζουμε ότι κατά το πρώτο έτος λειτουργίας
η επιχείρηση παρουσίασε ζημιά δώδεκα εκατομμύρια δραχμές.
β) Ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει η επιχείρηση να παρουσιάζει κέρδη;
γ) Ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης κέρδους στο τέλος του δεύτερου έτους;
δ) Να υπολογίσετε την τιμή του ολοκληρώματος .
3. Δίνεται η συνάρτηση όπου πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος του
α) Να δείξετε ότι
β) Να μελετήσετε ως προς τα ακρότατα τη συνάρτηση
γ) Αν είναι ρίζα της πρώτης παραγώγου και είναι ρίζα της δευτέρας παραγώγου της να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα
δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα όταν
4. Δίνεται ο πίνακας και οι πολυωνυμικές συναρτήσεις
και όπου και πραγματικοί αριθμοί.
α) Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι με
όπου είναι οι ρίζες της εξίσωσης
Οι πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων ικανοποιούν τις σχέσεις
Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του .
β) Θεωρούμε το ενδεχόμενο το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις
όπου ένας άγνωστος πίνακας και ο δειγματικός χώρος του (α) ερωτήματος.
Να υπολογίσετε την πιθανότητα .
γ) Να δείξετε ότι για το ενδεχόμενο του όπου η παρουσιάζει ακρότατο στο
και ο δειγματικός χώρος του (α) ερωτήματος ισχύει .
δ) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων και
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1998
1. α) Να αποδείξετε ότι αν υπάρχει μια αρχική συνάρτηση της σ’ ένα διάστημα τότε υπάρχουν άπειρες
και μάλιστα είναι όλες οι συναρτήσεις της μορφής και μόνο αυτές.
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου
και είναι κάθετη στην ευθεία .
Λύση
α) Θεωρία
β) Η εξίσωση γράφεται άρα ο κύκλος έχει κέντρο το . Η δοσμένη ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης
άρα η κάθετη σε αυτήν θα έχει και εξίσωση
και μάλιστα είναι όλες οι συναρτήσεις της μορφής και μόνο αυτές.
β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου
και είναι κάθετη στην ευθεία .
Λύση
α) Θεωρία
β) Η εξίσωση γράφεται άρα ο κύκλος έχει κέντρο το . Η δοσμένη ευθεία έχει συντελεστή διεύθυνσης
άρα η κάθετη σε αυτήν θα έχει και εξίσωση
Γιώργος
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1998
α)parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται ο πίνακας και οι πολυωνυμικές συναρτήσεις
και όπου και πραγματικοί αριθμοί.
α) Ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι με
όπου είναι οι ρίζες της εξίσωσης
Οι πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων ικανοποιούν τις σχέσεις
Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του .
β) Θεωρούμε το ενδεχόμενο το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις
όπου ένας άγνωστος πίνακας και ο δειγματικός χώρος του (α) ερωτήματος.
Να υπολογίσετε την πιθανότητα .
γ) Να δείξετε ότι για το ενδεχόμενο του όπου η παρουσιάζει ακρότατο στο
και ο δειγματικός χώρος του (α) ερωτήματος ισχύει .
δ) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων και
Άρα
Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω
Έτσι
Είναι
Άρα και
β) Έστω τότε:
Για να έχει το σύστημα και μη μηδενικές λύσεις, αφού είναι ομογενές πρέπει:
Έτσι οπότε
γ) Η συνάρτηση , αφού είναι τριώνυμο με , παρουσιάζει ελάχιστο για
Άρα οπότε
Οπότε
δ) Είναι δηλαδή
δηλαδή
Ηλίας Καμπελής
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1998
Λύσηparmenides51 έγραψε: 3. Δίνεται η συνάρτηση όπου πραγματικός αριθμός μεγαλύτερος του
α) Να δείξετε ότι
β) Να μελετήσετε ως προς τα ακρότατα τη συνάρτηση
γ) Αν είναι ρίζα της πρώτης παραγώγου και είναι ρίζα της δευτέρας παραγώγου της να βρείτε τη σχέση που συνδέει τα
δ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα όταν
α) Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο όπου
Είναι
=
Επίσης εάν θέσουμε στην την τιμή για τότε μας δίνει συνεπώς
β) Θα υπολογίσουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης και έχουμε
Οπότε αναζητούμε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου με τον γνωστό τρόπο και έχουμε
και αφού οπότε
εν συνεχεία
ομοίως
Συνεπώς η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο
συνεπώς η συνάρτηση έχει ολικό μέγιστο στο σημείο
γ) Από προηγούμενο ερώτημα έχουμε ότι
Υπολογίζουμε και την δεύτερη παράγωγο της εν λόγω συνάρτησης και έχουμε
Οπότε
Συνεπώς που είναι και η ζητούμενη σχέση.
δ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα και έχουμε
Χρήστος Λοΐζος
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1998
Λύσηparmenides51 έγραψε: 2. Δίνεται η συνάρτηση όπου η παράμετρος είναι ένας πραγματικός αριθμός.
Μια επιχείρηση έχει έσοδα που δίνονται σε εκατομμύρια δραχμές από τον τύπο
όπου συμβολίζει το χρόνο σε έτη.
Το κόστος λειτουργίας της επιχείρησης δίνεται επίσης σε εκατομμύρια δραχμές σύμφωνα με τον τύπο .
α) Να βρείτε τη συνάρτηση κέρδους για όταν γνωρίζουμε ότι κατά το πρώτο έτος λειτουργίας
η επιχείρηση παρουσίασε ζημιά δώδεκα εκατομμύρια δραχμές.
β) Ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει η επιχείρηση να παρουσιάζει κέρδη;
γ) Ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης κέρδους στο τέλος του δεύτερου έτους;
δ) Να υπολογίσετε την τιμή του ολοκληρώματος .
α) Αρχικά μας ζητάει να υπολογίσουμε την συνάρτηση κέρδους έχοντας ως δεδομένο τις συναρτήσεις εσόδων και κόστους.
Πράγματι, η ζητούμενη συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:
Θα υπολογίσουμε πρωτίστως τις συναρτήσεις κέρδους και εσόδων. Δηλαδή
Η συνάρτηση εσόδων είναι:
Η συνάρτηση κόστους είναι:
Συνεπώς η ζητούμενη συνάρτηση κέρδους εάν αντικαταστήσουμε τα παραπάνω στην είναι :
Σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης η επιχείριση παρουσιάζει ζημία κατά το πρώτο έτος λειτουργίας της, δηλαδή
Άρα
β) Για να βρούμε ποια χρονική στιγμή θα παρουσιάσει κέρδη αρκεί να λύσω την
Από πρόσημο τριωνύμου και με την προυπόθεση ότι η μόνη δεκτή λύση μεταξύ των δύο είναι η
Άρα, εφόσον . Συνεπώς η επειχείρηση θα παρουσιάζει κέρδος μετά τα τρία έτη.
γ) Ζητάμε το Δηλαδή Οπότε
που είναι και ο ζητούμενος ρυθμός μεταβολής.
δ) Θέλουμε να υπολογίσουμε το
Χρήστος Λοΐζος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες