Δ' ΔΕΣΜΗ 1999
- parmenides51
- Δημοσιεύσεις: 6239
- Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
- Τοποθεσία: Πεύκη
- Επικοινωνία:
Δ' ΔΕΣΜΗ 1999
1. α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
β) i) Να αποδείξετε ότι για κάθε
ii) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει
για κάθε . Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο
2. α) Δίνονται τα σημεία του επιπέδου
i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην ευθεία .
ii) Έστω ο κύκλος με κέντρο το σημείο και ακτίνα .
Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας με τον παραπάνω κύκλο.
β) Έστω ένας δειγματικός χώρος με
i) Να βρείτε το
ii) Έστω η συνάρτηση με .
Θεωρούμε το ενδεχόμενο η γραφική παράσταση της έχει σημείο καμπής το .
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου .
3. α) Δίνεται η συνάρτηση και . Να βρείτε την τιμή του ώστε να ισχύει για κάθε
β) Δίνεται η συνάρτηση
i) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση και να αποδείξετε ότι για κάθε
ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τον άξονα και τις ευθείες και .
4. α) Έστω ένας πίνακας για τον οποίο ισχύει όπου ο μοναδιαίος πίνακας
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Έστω πίνακας για τον οποίο ισχύει . Να αποδείξετε ότι
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και το σύστημα με αγνώστους .
Υποθέτουμε ότι το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις. Να αποδείξετε ότι :
i)
ii) Η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα .
β) i) Να αποδείξετε ότι για κάθε
ii) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει
για κάθε . Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο
2. α) Δίνονται τα σημεία του επιπέδου
i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην ευθεία .
ii) Έστω ο κύκλος με κέντρο το σημείο και ακτίνα .
Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας με τον παραπάνω κύκλο.
β) Έστω ένας δειγματικός χώρος με
i) Να βρείτε το
ii) Έστω η συνάρτηση με .
Θεωρούμε το ενδεχόμενο η γραφική παράσταση της έχει σημείο καμπής το .
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου .
3. α) Δίνεται η συνάρτηση και . Να βρείτε την τιμή του ώστε να ισχύει για κάθε
β) Δίνεται η συνάρτηση
i) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση και να αποδείξετε ότι για κάθε
ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τον άξονα και τις ευθείες και .
4. α) Έστω ένας πίνακας για τον οποίο ισχύει όπου ο μοναδιαίος πίνακας
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Έστω πίνακας για τον οποίο ισχύει . Να αποδείξετε ότι
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και το σύστημα με αγνώστους .
Υποθέτουμε ότι το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις. Να αποδείξετε ότι :
i)
ii) Η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα .
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999
[quote="parmenides51"]1. α) Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.
β) i) Να αποδείξετε ότι για κάθε
ii) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει
για κάθε . Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο
ΛΥΣΗ:
α) Θεωρία
β) i)Έστω η , παραγωγίσιμη με για με
Έτσι η είναι γνησίως αύξουσα για
Τώρα για με , άρα για
ii) Αφού η παραγωγίσιμη, παραγωγίζοντας τη δοσμένη είναι αφού
και άρα και δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα στο
β) i) Να αποδείξετε ότι για κάθε
ii) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει
για κάθε . Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο
ΛΥΣΗ:
α) Θεωρία
β) i)Έστω η , παραγωγίσιμη με για με
Έτσι η είναι γνησίως αύξουσα για
Τώρα για με , άρα για
ii) Αφού η παραγωγίσιμη, παραγωγίζοντας τη δοσμένη είναι αφού
και άρα και δηλαδή η είναι γνησίως αύξουσα στο
1. Δεν διδάσκουμε με αυτό που λέμε και κάνουμε. Διδάσκουμε με αυτό που είμαστε.
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
2. Ο μέτριος δάσκαλος περιγράφει. Ο καλός δάσκαλος εξηγεί. Ο σωστός δάσκαλος αποδεικνύει. Ο σπουδαίος δάσκαλος εμπνέει. ( Γουίλιαμ Γουάρντ)
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999
α) i)parmenides51 έγραψε:4. α) Έστω ένας πίνακας για τον οποίο ισχύει όπου ο μοναδιαίος πίνακας
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Έστω πίνακας για τον οποίο ισχύει . Να αποδείξετε ότι
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και το σύστημα με αγνώστους .
Υποθέτουμε ότι το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις. Να αποδείξετε ότι :
i)
ii) Η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα .
(1)
ii) (2)
β) i) Αφού το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις θα ισχύει:
(3)
Πολ/ντας την 1η γραμμή με και αφαιρώντας την 2η γραμμή η γίνεται:
ii. με
Η συνάρτηση είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο ως πηλίκο συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
και
Από τη σχέση (4) θα είναι .
Από Θεώρημα , υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε
Ηλίας Καμπελής
-
- Δημοσιεύσεις: 711
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 05, 2011 9:13 pm
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999
Λίγο πιο απλά για το β:hlkampel έγραψε:α) i)parmenides51 έγραψε:4. α) Έστω ένας πίνακας για τον οποίο ισχύει όπου ο μοναδιαίος πίνακας
i) Να αποδείξετε ότι
ii) Έστω πίνακας για τον οποίο ισχύει . Να αποδείξετε ότι
β) Θεωρούμε παραγωγίσιμη συνάρτηση με πεδίο ορισμού το και το σύστημα με αγνώστους .
Υποθέτουμε ότι το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις. Να αποδείξετε ότι :
i)
ii) Η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα .
(1)
ii) (2)
β) i) Αφού το σύστημα έχει και μη μηδενικές λύσεις θα ισχύει:
(3)
Πολ/ντας την 1η γραμμή με και αφαιρώντας την 2η γραμμή η γίνεται:
ii. με
Η συνάρτηση είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο ως πηλίκο συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων.
και
Από τη σχέση (4) θα είναι .
Από Θεώρημα , υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε
Πολλαπλασιάζουμε την 1η εξίσωση με 2 και να την αφαιρούμε από την 2η.
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999
αi)Η εξίσωση της ευθείας που ορίζουν τα σημεία είναι ηparmenides51 έγραψε:
2. α) Δίνονται τα σημεία του επιπέδου
i) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το και είναι κάθετη στην ευθεία .
ii) Έστω ο κύκλος με κέντρο το σημείο και ακτίνα .
Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της ευθείας με τον παραπάνω κύκλο.
β) Έστω ένας δειγματικός χώρος με
i) Να βρείτε το
ii) Έστω η συνάρτηση με .
Θεωρούμε το ενδεχόμενο η γραφική παράσταση της έχει σημείο καμπής το .
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου .
με συντελεστή διεύθυνσης
Αν με συμβολίσουμε τον συντελεστή διεύθυνσης της ζητούμενης ευθείας, τότε,
Δοθέντος ότι η ζητούμενη ευθεία διερχεται από το σημείο , η εξίσωση της δίνεται από την
αii)Είναι,
Η εξίσωση του κύκλου είναι η
Οι συντεταγμένες των σημείων τομής θα βρεθούν από τις λύσεις του συστήματος
Αντικαθιστώντας την δεύτερη εξίσωση στην πρώτη έχουμε,
Τα ζητούμενα σημεία είναι τα
βi)Είναι,
βii)Για κάθε έχουμε,
Αν τότε με αποτέλεσμα η να είναι κυρτή
και κατά συνέπεια να μην παρουσιάζει καμπή.
Αν , τότε,
και άρα η παρουσιάζει καμπή στο σημείο
Αν , τότε, .
Έτσι, η παρουσιάζει καμπή στο σημείο .
Συνεπώς, η ζητούμενη πιθανότητα ισούται με
edit:Διόρθωση προσήμου που επηρέαζε την λύση.Ευχαριστώ τον κύριο Καμπελή για την υπόδειξη.
τελευταία επεξεργασία από BAGGP93 σε Τετ Ιούλ 03, 2013 12:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Παπαπέτρος Ευάγγελος
- Christos75
- Δημοσιεύσεις: 422
- Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
- Τοποθεσία: Athens
- Επικοινωνία:
Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 1999
Λύσηparmenides51 έγραψε: 3. α) Δίνεται η συνάρτηση και . Να βρείτε την τιμή του ώστε να ισχύει για κάθε
β) Δίνεται η συνάρτηση
i) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση και να αποδείξετε ότι για κάθε
ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης , τον άξονα και τις ευθείες και .
α)
Μας δίνεται η συνάρτηση
και η σχέση για κάθε
Αρχικά υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο της και έχω
εν συνεχεία, υπολογίζουμε και την δεύτερη παράγωγο
Αντικαθιστούμε τα παραπάνω στην δοσμένη σχέση και έχουμε
β)
i)
΄Εχουμε την συνάρτηση
Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγο της εν λόγω συνάρτησης
Θα βρούμε το πρόσημο της παραγώγου και έχουμε
Από πρόσημο τριωνύμου έχουμε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο και γνησίως φθίνουσα στο
Αφού η συνάρτηση είναι γνησίως στο προαναφερθέν διάστημα θα ισχύει
Αλλά
Συνεπώς,
ii) Το ζητούμενο εμβαδόν δίνεται από τον τύπο
τ.μ.
Χρήστος Λοΐζος
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης