Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

Άβαταρ μέλους
parmenides51
Δημοσιεύσεις: 6240
Εγγραφή: Πέμ Απρ 23, 2009 9:13 pm
Τοποθεσία: Πεύκη
Επικοινωνία:

Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από parmenides51 » Δευ Ιούλ 01, 2013 7:49 pm

Ουφ , πάει και το τελευταίο θέμα Δ΄Δέσμης (καλύψαμε όλα τα θέματα από τις χρονιές 1983-2001).
Όταν σχεδόν λυθούν τα θέματα της Δ΄Δέσμης θα συνεχίσω με τα εναπομείναντα της Α΄Δέσμης (1996-2001).



1. α) Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα \displaystyle{[\alpha,\beta]} και \displaystyle{f(\alpha)\ne f(\beta)} ,
τότε για κάθε αριθμό \displaystyle{\xi} μεταξύ των \displaystyle{f(\alpha)} και \displaystyle{f(\beta)} υπάρχει τουλάχιστον ένας \displaystyle{x_o\in (\alpha,\beta)} τέτοιος ώστε να ισχύει \displaystyle{f(x_o)=\xi }.
β) Να αποδείξετε ότι:
i ) Η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=x^3+2x-1-\eta \mu 2x\,\, , x\in \mathbb{R}} είναι γνησίως αύξουσα.
ii) Η εξίσωση \displaystyle{x^3+2x-1=\eta \mu 2x} έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα \displaystyle{(0,1)}.


2. α) Δίνεται το σύστημα \displaystyle{\left\{ \begin{matrix} 
   5x+5y=\lambda z  \\  
  2x+y=2z      \\  
 x +3y = 3 z  
\end{matrix} \right}} με \displaystyle{ \lambda\in \mathbb{R} }
i. Να βρείτε την τιμή του \displaystyle{\lambda} για την οποία το σύστημα έχει δύο τουλάχιστον διαφορετικές λύσεις.
ii. Αν \displaystyle{(x_1, y_1, z_1)} και \displaystyle{(x_2, y_2, z_2)} είναι δύο διαφορετικές λύσεις του συστήματος, να αποδείξετε ότι \displaystyle{x_1x_2 + y_1 y_2 = z_1z_2} .
β) Θεωρούμε στο καρτεσιανό επίπεδο \displaystyle{Oxy} τη γραμμή με εξίσωση \displaystyle{x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0}
i) Να αποδείξετε ότι η προηγούμενη εξίσωση παριστάνει κύκλο και να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία \displaystyle{O(0,0)} και \displaystyle{A(-6, 8)} είναι τα άκρα μιας διαμέτρου του κύκλου.


3. α) Η συνάρτηση \displaystyle{f : \mathbb{R}  \to  \mathbb{R} } έχει συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί την ισότητα \displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}f'(x) e^{f(x)} dx =0} όπου \displaystyle{\alpha,\beta \in \mathbb{R}} με \displaystyle{\alpha<\beta} .
Να αποδείξετε ότι:
i) \displaystyle{f(\alpha) = f(\beta)}
ii) Η εξίσωση \displaystyle{f'(x)=0} έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα \displaystyle{(\alpha,\beta)}.
β) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f (x) = 2x +  \frac{4}{x}\,\,  ,     x >0}
i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν \displaystyle{E(\lambda)} του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle{f},
τον άξονα \displaystyle{x'x} και τις ευθείες \displaystyle{x=\lambda, x=\lambda+1}, όπου \displaystyle{\lambda >0 }, είναι \displaystyle{E(\lambda) = 2\lambda+1+ 4\ln \left(\displaystyle 1+\frac{1}{\lambda} \right)}
ii) Να προσδιορίσετε την τιμή του \displaystyle{\lambda} για την οποία το εμβαδόν \displaystyle{E(\lambda)} γίνεται ελάχιστο.


4. α) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{g(x)=\int_{  0}^{x}{x} \sigma \upsilon \nu tdt \,\, ,  x\in  \mathbb{R} }
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{g'' (x) = 2\sigma \upsilon \nu x - x \eta \mu x \,\, , x \in \mathbb{R} } .
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \displaystyle{g} στο σημείο \displaystyle{A\left( \frac{\pi }{2}, g\left( \frac{\pi}{2} \right) \right)}.
β) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f(x) =  \frac{\alpha {{x}^{\text{2}}}+\beta x}{x-2} \,\, , x \in\mathbb{R} -\left\{ 2 \right\}} όπου \displaystyle{\alpha, \beta \in  \mathbb{R} }.
i) Αν η ευθεία \displaystyle{(\varepsilon) : y= 2x- 1} είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} στο \displaystyle{+\infty}, ποιες είναι οι τιμές των \displaystyle{\alpha, \beta} ;
ii) Έστω \displaystyle{\Omega = \left\{ \frac{\alpha }{2},  \alpha ,   \beta ,  2 \beta  \right\}} είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα,
όπου οι \displaystyle{\alpha, \beta} έχουν τις τιμές που προκύπτουν στο προηγούμενο ερώτημα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{g(x) = \frac{1}{12}{{x}^{4}-\frac{1}{3}(\lambda -1) }x^3+ 2x^2+2001\,\,, x \in\mathbb{R} \, \, , \lambda\in\Omega }
και το ενδεχόμενο \displaystyle{E=\{ \lambda \in \Omega|} η συνάρτηση \displaystyle{g} είναι κυρτή στο \displaystyle{ \mathbb{R}  \} }
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου \displaystyle{E}.


BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τρί Ιούλ 02, 2013 4:03 pm

parmenides51 έγραψε:


1. α) Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση \displaystyle{f} είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα \displaystyle{[\alpha,\beta]} και \displaystyle{f(\alpha)\ne f(\beta)} ,
τότε για κάθε αριθμό \displaystyle{\xi} μεταξύ των \displaystyle{f(\alpha)} και \displaystyle{f(\beta)} υπάρχει τουλάχιστον ένας \displaystyle{x_o\in (\alpha,\beta)} τέτοιος ώστε να ισχύει \displaystyle{f(x_o)=\xi }.
β) Να αποδείξετε ότι:
i ) Η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=x^3+2x-1-\eta \mu 2x\,\, , x\in \mathbb{R}} είναι γνησίως αύξουσα.
ii) Η εξίσωση \displaystyle{x^3+2x-1=\eta \mu 2x} έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα \displaystyle{(0,1)}.
α)Θεώρημα των Ενδιάμεσων Τιμών

βi)Για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R}} έχουμε

\displaystyle{f^\prime(x)=3x^2+2-2\,\sigma \upsilon \nu\,2x=3x^2+2\left[1-\sigma \upsilon \nu\,\left(2x\right)\right]=3x^2+4\,\eta \mu^2\,x\geq 0}

με την ισότητα να ισχύει μόνο για \displaystyle{x=0}

Επομένως, η συνάρτηση \displaystyle{f} είναι γνησίως αύξουσα στο \displaystyle{\mathbb{R}}



βii)Για \displaystyle{x\in\left[0,1\right]} είναι,

\displaystyle{x^3+2x-1=\eta \mu\,2x\Leftrightarrow x^3+2x-1-\eta \mu\,2x=0\Leftrightarrow f(x)=0}

Επειδή η \displaystyle{f} είναι συνεχής στο διάστημα \displaystyle{\left[0,1\right]} και \displaystyle{f(0)\cdot f(1)=-f(1)=\eta \mu\,2-2<0} ,

λόγω της \displaystyle{-x\leq \eta \mu\,x\leq x\,\,,x\geq 0}, από το Θεώρημα του Bolzano, έπεται ότι υπάρχει

\displaystyle{x_0\in\left(0,1\right)} τέτοιο, ώστε \displaystyle{f(x_0)=0} , που είναι και μοναδικό, λόγω μονοτονίας


Παπαπέτρος Ευάγγελος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τρί Ιούλ 02, 2013 11:39 pm

parmenides51 έγραψε:

4. α) Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{g(x)=\int_{  0}^{x}{x} \sigma \upsilon \nu tdt \,\, ,  x\in  \mathbb{R} }
i) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{g'' (x) = 2\sigma \upsilon \nu x - x \eta \mu x \,\, , x \in \mathbb{R} } .
ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \displaystyle{g} στο σημείο \displaystyle{A\left( \frac{\pi }{2}, g\left( \frac{\pi}{2} \right) \right)}.
β) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f(x) =  \frac{\alpha {{x}^{\text{2}}}+\beta x}{x-2} \,\, , x \in\mathbb{R} -\left\{ 2 \right\}} όπου \displaystyle{\alpha, \beta \in  \mathbb{R} }.
i) Αν η ευθεία \displaystyle{(\varepsilon) : y= 2x- 1} είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} στο \displaystyle{+\infty}, ποιες είναι οι τιμές των \displaystyle{\alpha, \beta} ;
ii) Έστω \displaystyle{\Omega = \left\{ \frac{\alpha }{2},  \alpha ,   \beta ,  2 \beta  \right\}} είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα,
όπου οι \displaystyle{\alpha, \beta} έχουν τις τιμές που προκύπτουν στο προηγούμενο ερώτημα.
Θεωρούμε τη συνάρτηση \displaystyle{g(x) = \frac{1}{12}{{x}^{4}-\frac{1}{3}(\lambda -1) }x^3+ 2x^2+2001\,\,, x \in\mathbb{R} \, \, , \lambda\in\Omega }
και το ενδεχόμενο \displaystyle{E=\{ \lambda \in \Omega|} η συνάρτηση \displaystyle{g} είναι κυρτή στο \displaystyle{ \mathbb{R}  \} }
Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου \displaystyle{E}.
αi)Για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R}} είναι,

\displaystyle{g(x)=\int_{0}^{x}x\,\sigma \upsilon \nu\,t\,dt=x\int_{0}^{x}\sigma \upsilon \nu\,t\,dt=x\left[\eta \mu\,t\right]_{0}^{x}=x\,\eta \mu\,x}

Η συνάρτηση \displaystyle{g} είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\mathbb{R}} ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με,

\displaystyle{g^\prime(x)=\eta \mu\,x+x\,\sigma \upsilon \nu\,x\,\,,x\in\mathbb{R}}

Η \displaystyle{g^\prime} είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\mathbb{R}} ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με,

\displaystyle{g''(x)=\sigma \upsilon \nu\,x+\sigma \upsilon \nu\,x-x\,\eta \mu\,x=2\,\sigma \upsilon \nu\,x-x\,\eta \mu\,x\,\,,x\in\mathbb{R}}

αii)Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της \displaystyle{f} στο σημείο της \displaystyle{A\left(\frac{\pi}{2},f\left(\frac{\pi}{2}\right)\right)} , δίνεται από τη σχέση,

\displaystyle{y-g\left(\frac{\pi}{2}\right)=g^\prime\left(\frac{\pi}{2}\right)\left(x-\frac{\pi}{2}\right)\Leftrightarrow y-\frac{\pi}{2}=x-\frac{\pi}{2}\Leftrightarrow y=x}

β)Εφόσον η ευθεία με εξίσωση \displaystyle{y=2x-1} είναι η ασύμπτωτη του γραφήματος της συνάρτησης \displaystyle{f}

στο \displaystyle{+\infty}, έχουμε ότι,

\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=2&\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{\alpha\,x^2+\beta\,x}{x^2-2x}=2\\&\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{x^2\left(\alpha+\frac{\beta}{x}\right)}{x^2\left(1-\frac{2}{x}\right)}=2\\&\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{\alpha+\frac{\beta}{x}}{1-\frac{2}{x}}=2\\&\Rightarrow \frac{\alpha+0}{1-0}=2\\&\Rightarrow \alpha=2\end{aligned}}

Έτσι, \displaystyle{f(x)=\frac{2x^2+\beta\,x}{x-2}\,\,,x\in\mathbb{R}-\left\{2\right\}}

Επί πλέον,

\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-2x\right)=1&\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{2x^2+\beta\,x}{x-2}-2x\right)=1\\&\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{2x^2+\beta\,x-2x^2+4x}{x-2}=1\\&\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{\left(\beta+4\right)x}{x\left(1-\frac{2}{x}\right)}=1\\&\Rightarrow \lim_{x\to +\infty}\frac{\beta+4}{1-\frac{2}{x}}=1\\&\Rightarrow \beta+4=1\\&\Rightarrow \beta=-3\end{aligned}}

βii)\displaystyle{\Omega=\left\{-6,-3,1,2\right\}}

Για κάθε \displaystyle{x\in\mathbb{R}} είναι,

\displaystyle{g^\prime(x)=\frac{x^3}{3}-\left(\lambda-1\right)x^2+4x\,\,,g''(x)=x^2-2\left(\lambda-1\right)x+4}

Η \displaystyle{g} είναι κυρτή στο \displaystyle{\mathbb{R}} αν και μόνο αν \displaystyle{g''(x)>0\ \forall x\in\mathbb{R}}.

Είναι,

\displaystyle{\begin{aligned} g''(x)=x^2-2\left(\lambda-1\right)x+4&=\left[x-\left(\lambda-1\right)\right]^2+4-\left(\lambda-1\right)^2\\&=\left[x-\left(\lambda-1\right)\right]^2+\left[2-\left(\lambda-1\right)\right]\left[2+\left(\lambda-1\right)\right]\\&=\left[x-\left(\lambda-1\right)\right]^2+\left(3-\lambda\right)\left(1+\lambda\right)\end{aligned}}

Αν \displaystyle{\lambda=-6} , τότε \displaystyle{g''(x)=\left(x+7\right)^2-45=\left(x+7-\sqrt{45}\right)\left(x+7+\sqrt{45}\right)<0\ \forall x\in\left[-7-\sqrt{45},\sqrt{45}-7\right]}

Αν \displaystyle{\lambda=-3} , τότε \displaystyle{g''(x)=\left(x+4\right)^2-12=\left(x+4+2\sqrt{3}\right)\left(x+4-2\sqrt{3}\right)<0\ \forall x\in\left[-4-2\sqrt{3},2\sqrt{3}-4\right]}

Αν \displaystyle{\lambda=1} , τότε \displaystyle{g''(x)=x^2+4>0\ \forall x\in\mathbb{R}}

Αν \displaystyle{\lambda=2} , τότε \displaystyle{g''(x)=\left(x-1\right)^2+3>0\ \forall x\in\mathbb{R}}

Άρα, \displaystyle{E=\left\{1,2\right\}} και άρα \displaystyle{P\left(E\right)=\frac{1}{2}}

Διαφορετικά, μπορούμε να εργαστούμε ως εξής,

\displaystyle{\begin{aligned} \forall x\in\mathbb{R}:g''(x)>0&\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb{R}:\left[x-\left(\lambda-1\right)\right]^2+\left(3-\lambda\right)\left(1+\lambda\right)>0\\&\Leftrightarrow \left(3-\lambda\right)\left(\lambda+1\right)>0\\&\Leftrightarrow \left[3-\lambda>0\ \land \lambda+1>0\right]\ \lor \left[3-\lambda<0\ \land \lambda+1<0\right]\\&\Leftrightarrow \left[\lambda<3\ \land \lambda>-1\right]\ \lor \left[\lambda>3\ \land \lambda<-1\right]\\&\Leftrightarrow \lambda\in\left(-1,3\right)\cup \varnothing\\&\Leftrightarrow \lambda\in\left(-1,3\right)\\&\Leftrightarrow \lambda\in\left\{1,2\right\}\end{aligned}}

Αλλιώς, επειδή η \displaystyle{g''} είναι ένα τριώνυμο του \displaystyle{x} με θετικό συντελεστή του \displaystyle{x^2},

παίρνει θετικές τιμές αν και μόνο αν η διακρίνουσα της είναι αρνητική, οπότε,

\displaystyle{\begin{aligned} \Delta<0&\Leftrightarrow 4\left(\lambda-1\right)^2-16<0\\&\Leftrightarrow \left(\lambda-1\right)^2<4\\&\Leftrightarrow \sqrt{\left(\lambda-1\right)^2}<\sqrt{4}\\&\Leftrightarrow \left|\lambda-1\right|<2\\&\Leftrightarrow -2<\lambda-1<2\\&\Leftrightarrow -1<\lambda<3\\&\Leftrightarrow \lambda\in\left\{1,2\right\}\end{aligned}}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τετ Ιούλ 03, 2013 12:29 am

parmenides51 έγραψε: 3. α) Η συνάρτηση \displaystyle{f : \mathbb{R}  \to  \mathbb{R} } έχει συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί την ισότητα \displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}f'(x) e^{f(x)} dx =0} όπου \displaystyle{\alpha,\beta \in \mathbb{R}} με \displaystyle{\alpha<\beta} .
Να αποδείξετε ότι:
i) \displaystyle{f(\alpha) = f(\beta)}
ii) Η εξίσωση \displaystyle{f'(x)=0} έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα \displaystyle{(\alpha,\beta)}.
β) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f (x) = 2x +  \frac{4}{x}\,\,  ,     x >0}
i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν \displaystyle{E(\lambda)} του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle{f},
τον άξονα \displaystyle{x'x} και τις ευθείες \displaystyle{x=\lambda, x=\lambda+1}, όπου \displaystyle{\lambda >0 }, είναι \displaystyle{E(\lambda) = 2\lambda+1+ 4\ln \left(\displaystyle 1+\frac{1}{\lambda} \right)}
ii) Να προσδιορίσετε την τιμή του \displaystyle{\lambda} για την οποία το εμβαδόν \displaystyle{E(\lambda)} γίνεται ελάχιστο.
α) (i) Είναι \displaystyle{\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f(x){{e}^{f(x)}}dx}=0\Rightarrow \left[ {{e}^{f(x)}} \right]_{\,\alpha }^{\,\beta }=0\Rightarrow {{e}^{f(\beta )}}-{{e}^{f(\alpha )}}=0\Rightarrow {{e}^{f(\beta )}}={{e}^{f(\alpha )}}\Rightarrow f(\alpha )=f(\beta )}.

(ii) Η \displaystyle{f} είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{\left[ \alpha ,\beta  \right]}, άρα συνεχής σ’ αυτό με \displaystyle{f(\alpha )=f(\beta )} και από το Θ. Rolle η εξίσωση \displaystyle{{f}'(x)=0} έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο \displaystyle{\left( \alpha ,\beta  \right)}.

β) (i) Στο \displaystyle{\left[ \lambda ,\lambda +1 \right]} η συνάρτηση είναι συνεχής και \displaystyle{f(x)>0}.

Τότε \displaystyle{E\left( \lambda  \right)=\int\limits_{\lambda }^{\lambda +1}{f(x)dx}=\int\limits_{\lambda }^{\lambda +1}{(2x+\frac{4}{x})dx}=\left[ {{x}^{2}}+4\ln x \right]_{\,\lambda }^{\,\lambda +1}={{\left( \lambda +1 \right)}^{2}}+4\ln \left( \lambda +1 \right)-}

\displaystyle{-{{\lambda }^{2}}-4\ln \lambda =2\lambda +1+4\ln \left( 1+\frac{1}{\lambda } \right)}.

(ii) Για \displaystyle{\lambda >0\Rightarrow {E}'(\lambda )=2+4\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{\lambda }}{{\left( 1+\frac{1}{\lambda } \right)}^{\prime }}=2+\frac{4\lambda }{1+\lambda }\left( -\frac{1}{{{\lambda }^{2}}} \right)=2-\frac{4}{{{\lambda }^{2}}+\lambda }=\frac{2\left( {{\lambda }^{2}}+\lambda -2 \right)}{{{\lambda }^{2}}+\lambda }},

οπότε \displaystyle{{E}'(\lambda )=0\Leftrightarrow {{\lambda }^{2}}+\lambda -2=0\Leftrightarrow \left( \lambda =-2\,\,\,\vee \,\,\,\lambda =1 \right)}. Δεκτή τιμή η \displaystyle{\lambda =1}.

Είναι \displaystyle{{E}'(\lambda )<0\Leftrightarrow 0<\lambda <1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,{E}'(\lambda )>0\Leftrightarrow \lambda >1}, άρα για \displaystyle{\lambda =1} έχουμε ελάχιστο.


Άβαταρ μέλους
Christos75
Δημοσιεύσεις: 419
Εγγραφή: Δευ Φεβ 02, 2009 9:41 pm
Τοποθεσία: Athens
Επικοινωνία:

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos75 » Τετ Ιούλ 03, 2013 1:17 am

parmenides51 έγραψε: 3. α) Η συνάρτηση \displaystyle{f : \mathbb{R}  \to  \mathbb{R} } έχει συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί την ισότητα \displaystyle{\int_{\alpha}^{\beta}f'(x) e^{f(x)} dx =0} όπου \displaystyle{\alpha,\beta \in \mathbb{R}} με \displaystyle{\alpha<\beta} .
Να αποδείξετε ότι:
i) \displaystyle{f(\alpha) = f(\beta)}
ii) Η εξίσωση \displaystyle{f'(x)=0} έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα \displaystyle{(\alpha,\beta)}.
β) Έστω η συνάρτηση \displaystyle{f (x) = 2x +  \frac{4}{x}\,\,  ,     x >0}
i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν \displaystyle{E(\lambda)} του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle{f},
τον άξονα \displaystyle{x'x} και τις ευθείες \displaystyle{x=\lambda, x=\lambda+1}, όπου \displaystyle{\lambda >0 }, είναι \displaystyle{E(\lambda) = 2\lambda+1+ 4\ln \left(\displaystyle 1+\frac{1}{\lambda} \right)}
ii) Να προσδιορίσετε την τιμή του \displaystyle{\lambda} για την οποία το εμβαδόν \displaystyle{E(\lambda)} γίνεται ελάχιστο.
Αν και με πρόλαβε ο Ορέστης και για να μην πάει χαμένος ο κόπος παραθέτω κι εγώ την λύση για το εν λόγω θέμα.

Λύση

α)
i) Μας δίνεται η σχέση για την συνάρτηση f: \displaystyle{\int_{\alpha }^{\beta }f'(x).e^{f(x)}dx=0}

Θα επεξεργαστούμε αυτήν την σχέση και θα έχουμε

\displaystyle{\int_{\alpha }^{\beta }f'(x).e^{f(x)}dx = 0\Leftrightarrow \int_{\alpha }^{\beta }(e^{f(x)})'dx = 0}

\displaystyle{\Leftrightarrow [e^{f(x)}]_{\alpha }^{\beta } = 0 \Leftrightarrow e^{f(\beta )}-e^{f(\alpha )} = 0 \Leftrightarrow e^{f(\beta )} = e^{f(\alpha )}\overset{e^{f}>0}{\rightarrow} }

\displaystyle{lne^{f(\beta )}=lne^{f(\alpha )}\Leftrightarrow f(\alpha ) = f(\beta )}

ii) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο \displaystyle{[\alpha ,\beta ]}

Η ίδια είναι παραγωγίσιμη στο \displaystyle{(\alpha ,\beta)}

και επίσης \displaystyle{f(\alpha )=f(\beta )} από το προηγούμενο ερώτημα

κατά συνέπεια, ικανοποιούνται οι προυποθέσεις για το θεώρημα Rolle, δηλαδή \displaystyle{\exists \xi\in (\alpha ,\beta ): f'(\xi) = 0} δηλαδή \xi ρίζα της f'

στο \displaystyle{(\alpha ,\beta )}.

β)
i) Μας δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=2x+\frac{4}{x}, x > 0}

Το ζητούμενο εμβαδόν δίνεται από την σχέση
\displaystyle{E = \int_{\lambda }^{\lambda +1} \mid f(x) \mid dx\overset{f(x)>0}{\rightarrow}}

\displaystyle{E = \int_{\lambda }^{\lambda +1} f(x)dx = \int_{\lambda }^{\lambda +1}(2x+\frac{4}{x})dx = \int_{\lambda }^{\lambda +1}2xdx + \int_{\lambda }^{\lambda +1}\frac{4}{x}dx =}

\displaystyle{\int_{\lambda }^{\lambda +1}(x^{2})'dx + 4\int_{\lambda }^{\lambda +1}(lnx)'dx = [x^{2}+4lnx]_{\lambda } ^{\lambda +1} =}

\displaystyle{(\lambda +1)^{2} + 4ln(\lambda +1)-(\lambda ^{2}+4ln\lambda) = \lambda ^{2} + 2\lambda + 1 + 4ln(\lambda +1) - \lambda ^{2} - 4ln\lambda =}

\displaystyle{2\lambda + 1 +4(ln(\lambda +1)-ln\lambda ) = 2\lambda + 1 + 4ln(\frac{\lambda +1}{\lambda }) = 2\lambda + 1 + 4ln(1+\frac{1}{\lambda }), \lambda  > 0}

ii)
Αναζητάμε την τιμή της παραμέτρου \lambda > 0 έτσι ώστε το εμβαδόν να ελαχιστοποιείται.

Βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης \displaystyle{E(\lambda )},

είναι \displaystyle{E'(\lambda ) = (2\lambda + 1 + 4ln(1+\frac{1}{\lambda }))' = 2 + 4(ln(1+\frac{1}{\lambda }))' = 2 + 4\frac{1}{1+\frac{1}{\lambda }}.(1+\frac{1}{\lambda })' =}

\displaystyle{2 + \frac{4\lambda }{\lambda +1}.(-\frac{1}{\lambda ^{2}}) = 2 - \frac{4\lambda }{\lambda +1}.\frac{1}{\lambda ^{2}} = 2 - \frac{4}{\lambda (\lambda +1)} =}

\displaystyle{\frac{2\lambda ^{2}+2\lambda -4}{\lambda (\lambda +1)}, \lambda > 0}

Αναζητούμε το πρόσημο της \displaystyle{E'(\lambda )} και έχουμε

\displaystyle{E'(\lambda )=0\xrightarrow[\lambda >0]{\lambda (\lambda +1)>0} 2\lambda ^{2} + 2\lambda - 4 = 0 \Leftrightarrow \lambda = 1 \vee \lambda = - 2}

η τελευταία τιμή για το \displaystyle{\lambda} απορρίπτεται αφού \displaystyle{\lambda > 0} οπότε δεκτή είναι μόνο η \displaystyle{\lambda = 1}

με πρόσημο τριωνύμου και πάλι διαπιστώνουμε ότι η ελάχιστη τιμή του εμβαδού επιτυγχάνεται για \displaystyle{\lambda = 1}


Χρήστος Λοΐζος
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Τετ Ιούλ 03, 2013 3:25 pm

parmenides51 έγραψε:

2. α) Δίνεται το σύστημα \displaystyle{\left\{ \begin{matrix} 
   5x+5y=\lambda z  \\  
  2x+y=2z      \\  
 x +3y = 3 z  
\end{matrix} \right}} με \displaystyle{ \lambda\in \mathbb{R} }
i. Να βρείτε την τιμή του \displaystyle{\lambda} για την οποία το σύστημα έχει δύο τουλάχιστον διαφορετικές λύσεις.
ii. Αν \displaystyle{(x_1, y_1, z_1)} και \displaystyle{(x_2, y_2, z_2)} είναι δύο διαφορετικές λύσεις του συστήματος, να αποδείξετε ότι \displaystyle{x_1x_2 + y_1 y_2 = z_1z_2} .
β) Θεωρούμε στο καρτεσιανό επίπεδο \displaystyle{Oxy} τη γραμμή με εξίσωση \displaystyle{x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0}
i) Να αποδείξετε ότι η προηγούμενη εξίσωση παριστάνει κύκλο και να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία \displaystyle{O(0,0)} και \displaystyle{A(-6, 8)} είναι τα άκρα μιας διαμέτρου του κύκλου.

Καλησπέρα.

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
                                     5x+5y=\lambda\,z\\ 
                                     2x+y\,\,=2z\\ 
                                     x+3y\,\,=3z 
                                    \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
                                                                                         5x+5y-\lambda\,z=0\\ 
                                                                                         2x+y-\,\,\,2z=0\\ 
                                                                                         x+3y-\,\,\,3z=0 
                                                                                        \end{matrix}}

Έστω \displaystyle{A=\left(\begin{matrix} 
                                                5 & 5 & -\lambda\\ 
                                                2 & 1 & \,\,-2\\ 
                                                1 & 3 & \,\,-3 
                                               \end{matrix}\right)}

ο πίνακας των πραγματικών συντελεστών των αγνώστων του συστήματος.

Για τον υπολογισμό της ορίζουσας εκτελούμε τις εξής γραμμοπράξεις, \displaystyle{\Gamma_{1}\to \Gamma_{1}-5\Gamma_{3}\,\,,\Gamma_{2}\to \Gamma_{2}-2\Gamma_{3}} και έχουμε

\displaystyle{\left|A\right|=\begin{vmatrix} 
                                                   0 & -10 & 15-\lambda\\ 
                                                   0 & -5  & 4\\ 
                                                   1 & 3 & \,\,-3 
                                                  \end{vmatrix}=\left(-1\right)^{1+3}\cdot 1\cdot \begin{vmatrix} 
                                                                                                                             -10 & 15-\lambda\\ 
                                                                                                                              -5 & \,\,4 
                                                                                                                             \end{vmatrix}=-40+75-5\lambda=5\left(7-\lambda\right)}

Αν \displaystyle{\left|A\right|\neq 0\Leftrightarrow \lambda\neq 7} , τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση την \displaystyle{\left(0,0,0\right)}

Αν \displaystyle{\lambda=7} , τότε το σύστημα γράφεται

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
                                     5x+5y-7z=0\\ 
                                     2x+y-2z=0\\ 
                                     x+3y-3z=0 
                                    \end{matrix}}

Εκτελώντας, στον επαυξημένο πίνακα, τις ίδιες γραμμοπράξεις με αυτές στον υπολογισμό της ορίζουσας του πίνακα των συντελεστών των αγνώστων, έχουμε

ότι το παραπάνω σύστημα είναι ισοδύναμο με το

\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
                                     -10y+8z=0\\ 
                                     -5y+4z=0\\ 
                                      x+3y-3z=0 
                                    \end{matrix}}

Από την δεύτερη εξίσωση είναι \displaystyle{y=\frac{4}{5}\,z} και αντικαθιστώντας στην τρίτη παίρνουμε, \displaystyle{x=\frac{3}{5}\,z}

Επομένως, για \displaystyle{\lambda=7} έχουμε άπειρες λύσεις, άρα και τουλάχιστον δύο διαφορετικές, της παρακάτω μορφής.

\displaystyle{X=\left(x,y,z\right)=\left(\frac{3}{5}\,z,\frac{4}{5}\,z,z\right)\,\,,z\in\mathbb{R}}

Αν τώρα \displaystyle{\left(x_1,y_1,z_1\right)\,\,,\left(x_2,y_2,z_2\right)} είναι δύο διαφορετικές λύσεις του συστήματος, τότε βρισκόμαστε στην

περίπτωση όπου \displaystyle{\lambda=7} και \displaystyle{\left(x_1,y_1,z_1\right)=\left(\frac{3}{5}\,z_1,\frac{4}{5}\,z_1,z_1\right) και

\displaystyle{\left(x_2,y_2,z_2\right)=\left(\frac{3}{5}\,z_2,\frac{4}{5}\,z_2,z_2\right)

Έτσι,

\displaystyle{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2=\frac{9}{25}\,z_1\cdot z_2+\frac{16}{25}\,z_1\cdot z_2=z_1\cdot z_2}

βi)Για \displaystyle{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2}} είναι,

\displaystyle{x^2+y^2+6x-8y=0\Leftrightarrow \left(x^2+6x+9\right)+\left(y^2-8y+16\right)=9+16\Leftrightarrow \left(x+3\right)^2+\left(y-4\right)^2=25}

Επομένως, η αρχική εξίσωση παριστάνει κύκλο κέντρου \displaystyle{K\left(-3,4\right)} και ακτίνας \displaystyle{r=\sqrt{25}=5}

βii)Αρχικά παρατηρούμε ότι τα σημεία \displaystyle{O,A} ανήκουν στον κύκλο διότι \displaystyle{(0+3)^2+(0-4)^2=3^2+4^2=5^2=25} και

\displaystyle{(-6+3)^2+(8-4)^2=(-3)^2+4^2=3^2+4^2=5^2=25}

Επομένως, το ευθύγραμμο τμήμα \displaystyle{\left(OA\right)} είναι μια χορδή του παραπάνω κύκλου και επειδή

\displaystyle{\left(OA\right)=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10=2\cdot r} , έπεται ότι το \displaystyle{\left(OA\right)} είναι διάμετρος του κύκλου.


Παπαπέτρος Ευάγγελος
orestisgotsis
Δημοσιεύσεις: 1309
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 25, 2012 10:19 pm

Re: Δ' ΔΕΣΜΗ 2001

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από orestisgotsis » Τετ Ιούλ 03, 2013 3:29 pm

parmenides51 έγραψε: 2. α) Δίνεται το σύστημα \displaystyle{\left\{ \begin{matrix} 
   5x+5y=\lambda z  \\  
  2x+y=2z      \\  
 x +3y = 3 z  
\end{matrix} \right}} με \displaystyle{ \lambda\in \mathbb{R} }
i. Να βρείτε την τιμή του \displaystyle{\lambda} για την οποία το σύστημα έχει δύο τουλάχιστον διαφορετικές λύσεις.
ii. Αν \displaystyle{(x_1, y_1, z_1)} και \displaystyle{(x_2, y_2, z_2)} είναι δύο διαφορετικές λύσεις του συστήματος, να αποδείξετε ότι \displaystyle{x_1x_2 + y_1 y_2 = z_1z_2} .
β) Θεωρούμε στο καρτεσιανό επίπεδο \displaystyle{Oxy} τη γραμμή με εξίσωση \displaystyle{x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0}
i) Να αποδείξετε ότι η προηγούμενη εξίσωση παριστάνει κύκλο και να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του.
ii) Να αποδείξετε ότι τα σημεία \displaystyle{O(0,0)} και \displaystyle{A(-6, 8)} είναι τα άκρα μιας διαμέτρου του κύκλου.
α) (i) Έστω \displaystyle{\left( \Sigma  \right):\left\{ \begin{matrix} 
   5x+5y=\lambda z\,\,\,\left( 1 \right)  \\ 
   2x+y=2z\,\,\,\left( 2 \right)  \\ 
   x+3y=3z\,\,\,\left( 3 \right)  \\ 
\end{matrix} \right.}. Από το σύστημα των \displaystyle{\left( 2 \right),\left( 3 \right)\Rightarrow x=\frac{3}{5}z,\,\,\,y=\frac{4}{5}z}

και από \displaystyle{\left( 1 \right)\Rightarrow \left( 7-\lambda  \right)z=0\,\,\,\left( 4 \right)}. Αν \displaystyle{\lambda \ne 7\Rightarrow \left( x,y,z \right)=\left( 0,0,0 \right)}, ενώ αν \displaystyle{\lambda =7\Rightarrow \left( x,y,z \right)=\left( \frac{3}{5}z,\,\,\frac{4}{5}z,\,\,z \right),\,\,\,z\in \mathbb{R}}.

(ii) Έστω \displaystyle{{{z}_{1}},{{z}_{2}}\in \mathbb{R},\,\,{{z}_{1}}\ne {{z}_{2}}\Rightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\frac{3}{5}{{z}_{1}}\cdot \frac{3}{5}{{z}_{2}}+\frac{4}{5}{{z}_{1}}\cdot \frac{4}{5}{{z}_{2}}=\frac{25}{25}{{z}_{1}}{{z}_{2}}={{z}_{1}}{{z}_{2}}}.

β) (i) Είναι \displaystyle{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-8y=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x+{{3}^{2}}+{{y}^{2}}-8y+{{4}^{2}}={{5}^{2}}\Leftrightarrow {{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}={{5}^{2}}}

\displaystyle{\Rightarrow K\left( -3,4 \right),\,\,\,\rho =5}.

(ii) Οι συντεταγμένες των \displaystyle{O,\,A} ικανοποιούν την εξίσωση του κύκλου, άρα ανήκουν σ’ αυτόν και είναι \displaystyle{OA=\sqrt{{{\left( -6-0 \right)}^{2}}+{{\left( 8-0 \right)}^{2}}}=10=2\cdot 5=2\rho }, οπότε \displaystyle{OA} διάμετρος.

Ελαφρώς διαφορετικά, ας την αφήσω.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Δ' Δέσμη”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης