2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr
α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr
α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17698
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το .
Να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα :
α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς .
β) Είναι η συνάρτηση γνησίως μονότονη στο ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
γ) Παρουσιάζει η μέγιστο στο σημείο ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Λύση
α) Φέρνοντας τις προβολές των σημείων στον άξονα έχουμε : .
β) Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη.
Αν ήταν γνησίως αύξουσα, τότε για θα ίσχυε
ενώ αν ήταν γνησίως φθίνουσα, τότε για θα ίσχυε
αλλά από το ερ. α) έχουμε .
γ) Φέρνοντας την οριζόντια ευθεία που διέρχεται από το παρατηρούμε ότι
η συνάρτηση παίρνει και τιμές μεγαλύτερες του . Άρα το δεν είναι θέση μεγίστου.
Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το .
Να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα :
α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς .
β) Είναι η συνάρτηση γνησίως μονότονη στο ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
γ) Παρουσιάζει η μέγιστο στο σημείο ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Λύση
α) Φέρνοντας τις προβολές των σημείων στον άξονα έχουμε : .
β) Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη.
Αν ήταν γνησίως αύξουσα, τότε για θα ίσχυε
ενώ αν ήταν γνησίως φθίνουσα, τότε για θα ίσχυε
αλλά από το ερ. α) έχουμε .
γ) Φέρνοντας την οριζόντια ευθεία που διέρχεται από το παρατηρούμε ότι
η συνάρτηση παίρνει και τιμές μεγαλύτερες του . Άρα το δεν είναι θέση μεγίστου.
- Συνημμένα
-
- 17698.png (9.69 KiB) Προβλήθηκε 6806 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Απόκης σε Τετ Νοέμ 12, 2014 10:20 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17703
Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις :
και με παράμετρο .
α) Να βρείτε την τιμή του ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες.
β) Να παραστήσετε γραφικά τις ευθείες για .
γ) Υπάρχει τιμή του ώστε οι ευθείες να ταυτίζονται; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Λύση
α) To σύστημα έχει ορίζουσα . Πρέπει το σύστημα να είναι αδύνατο άρα
και τότε έχουμε τις ευθείες
και που είναι παράλληλες.
β) γ) Θα πρέπει το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις, δηλαδή αλλά τότε και από το ερώτημα α) είδαμε ότι οι ευθείες
είναι παράλληλες. Άρα δεν υπάρχει τέτοια τιμή του .
Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις :
και με παράμετρο .
α) Να βρείτε την τιμή του ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες.
β) Να παραστήσετε γραφικά τις ευθείες για .
γ) Υπάρχει τιμή του ώστε οι ευθείες να ταυτίζονται; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Λύση
α) To σύστημα έχει ορίζουσα . Πρέπει το σύστημα να είναι αδύνατο άρα
και τότε έχουμε τις ευθείες
και που είναι παράλληλες.
β) γ) Θα πρέπει το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις, δηλαδή αλλά τότε και από το ερώτημα α) είδαμε ότι οι ευθείες
είναι παράλληλες. Άρα δεν υπάρχει τέτοια τιμή του .
Γιώργος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_17704
Δίνεται η συνάρτηση
α) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της . (Μονάδες 12)
β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και να παραστήσετε γραφικά την σε διάστημα μιας περιόδου.
(Μονάδες 13)
α) Η περίοδος της συνάρτησης είναι
Η μέγιστη τιμή της είναι , όταν
και η ελάχιστη είναι όταν
β)
Με τη βοήθεια του παραπάνω πίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση στο διάστημα
Δίνεται η συνάρτηση
α) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της . (Μονάδες 12)
β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και να παραστήσετε γραφικά την σε διάστημα μιας περιόδου.
(Μονάδες 13)
α) Η περίοδος της συνάρτησης είναι
Η μέγιστη τιμή της είναι , όταν
και η ελάχιστη είναι όταν
β)
Με τη βοήθεια του παραπάνω πίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση στο διάστημα
- Συνημμένα
-
- GI_V_ALG_2_17704.doc
- (92 KiB) Μεταφορτώθηκε 218 φορές
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
xr.tsif έγραψε:ΑΠΟ ΓΙΩΡΓΟ ΛΕΚΚΑ
ΘΕΜΑ 2 - 17717
ΛΥΣΗ
α) Είναι .
β) .
Παρατήρηση
Θα μπορούσε να ζητήσει τον αριθμό των καθισμάτων στο κάτω και στο πάνω διάζωμα.
Απάντηση
Κάτω διάζωμα: καθίσματα.
Πάνω διάζωμα: καθίσματα.
μία παρατήρηση μόνο...
x είναι ο αριθμός σειρών του κάτω διαζώματος και y ο αριθμός σειρών του πάνω. Άρα το σύστημα είναι
14x+16y=374
x+y=25
οπότε το κάτω διάζωμα έχει 13 σειρές, άρα 182 καθίσματα
ενώ το πάνω έχει 12 σειρές δηλαδή, 192 καθίσματα
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Ερώτηση(το ίδιο πρόβλημα έχει συζητηθεί και για την Γ Λυκείου): Η λύση που έχει δοθεί στο β) θα θεωρηθεί πλήρης από όλους τους συνάδελφους;george visvikis έγραψε:GI_V_ALG_2_16962
Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης διέρχεται από τα σημεία
και .
α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της αιτιολογώντας την απάντησή σας.
(Μονάδες )
β) Να λύσετε την ανίσωση . (Μονάδες )
Λύση
α) . Είναι λοιπόν και . Επειδή όμως η είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως φθίνουσα.
β)
(δηλαδή είναι επιτρεπτή η χρήση της ισοδυναμίας αναπόδεικτα;)
Γιώργος Ροδόπουλος
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση της GI_V_ALG_2_17647
Έστω το σύστημα ( ):
α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (2,-3)
β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο.
Λύση:
α) Αρκεί η ευθεία (2) που θα επιλέξουμε να διέρχεται απο το σημείο (2,-3) με διαφορετικό συντελεστή διεύθυνσης απο την (1) *. Θα "επιλέξουμε" (...χμχμχμχμ ωραίο ερώτημα) την ευκολότερη ευθεία που διέρχεται απο αυτό το σημείο, την
η οποία προκύπτει με
Η (1) προφανώς διέρχεται απο το δοσμένο σημείο, άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση.
β) Θα επιλέξουμε ευθεία παράλληλη της (1). Επιλέγουμε ( ), οπότε το σύστημα είναι αδύνατο.
Παρατηρήσεις:
1) Η άσκηση είναι απαράδεκτη. Εξετάζει το τίποτα και εμπεριέχει αδικία. Ο μαθητής που παρακολουθεί μαθηματικά κατεύθυνσης θα είναι σε θέση να αντιληφθεί γρηγορότερα
ότι χωρίς επιπλέον χαρακτηριστικά ως προς την σχετική θέση των δύο ευθείων η επιλογή των παραμέτρων γίνεται "αυθαίρετα".
2) Δεν αντιλαμβάνομαι τον λόγο που η τράπεζα περιέχει ίδιες ασκήσεις. Πολύ δε περισσότερο δεν βλέπω τον λόγο να δίνονται οι απαντήσεις σε ίδιες ασκήσεις με διαφορετικά νούμερα.
(*) 17/11/14 Έκανα μια τροποποίηση, διότι είχα γράψει απίστευτη πατάτα
Έστω το σύστημα ( ):
α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (2,-3)
β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο.
Λύση:
α) Αρκεί η ευθεία (2) που θα επιλέξουμε να διέρχεται απο το σημείο (2,-3) με διαφορετικό συντελεστή διεύθυνσης απο την (1) *. Θα "επιλέξουμε" (...χμχμχμχμ ωραίο ερώτημα) την ευκολότερη ευθεία που διέρχεται απο αυτό το σημείο, την
η οποία προκύπτει με
Η (1) προφανώς διέρχεται απο το δοσμένο σημείο, άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση.
β) Θα επιλέξουμε ευθεία παράλληλη της (1). Επιλέγουμε ( ), οπότε το σύστημα είναι αδύνατο.
Παρατηρήσεις:
1) Η άσκηση είναι απαράδεκτη. Εξετάζει το τίποτα και εμπεριέχει αδικία. Ο μαθητής που παρακολουθεί μαθηματικά κατεύθυνσης θα είναι σε θέση να αντιληφθεί γρηγορότερα
ότι χωρίς επιπλέον χαρακτηριστικά ως προς την σχετική θέση των δύο ευθείων η επιλογή των παραμέτρων γίνεται "αυθαίρετα".
2) Δεν αντιλαμβάνομαι τον λόγο που η τράπεζα περιέχει ίδιες ασκήσεις. Πολύ δε περισσότερο δεν βλέπω τον λόγο να δίνονται οι απαντήσεις σε ίδιες ασκήσεις με διαφορετικά νούμερα.
(*) 17/11/14 Έκανα μια τροποποίηση, διότι είχα γράψει απίστευτη πατάτα
τελευταία επεξεργασία από Antonis_A σε Δευ Νοέμ 17, 2014 1:34 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 94
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Έχεις δίκιο Χρήστο. Ευχαριστώ πολύ. Ξεκούτιαναemag57 έγραψε:xr.tsif έγραψε:ΑΠΟ ΓΙΩΡΓΟ ΛΕΚΚΑ
ΘΕΜΑ 2 - 17717
ΛΥΣΗ
α) Είναι .
β) .
Παρατήρηση
Θα μπορούσε να ζητήσει τον αριθμό των καθισμάτων στο κάτω και στο πάνω διάζωμα.
Απάντηση
Κάτω διάζωμα: καθίσματα.
Πάνω διάζωμα: καθίσματα.
μία παρατήρηση μόνο...
x είναι ο αριθμός σειρών του κάτω διαζώματος και y ο αριθμός σειρών του πάνω. Άρα το σύστημα είναι
14x+16y=374
x+y=25
οπότε το κάτω διάζωμα έχει 13 σειρές, άρα 182 καθίσματα
ενώ το πάνω έχει 12 σειρές δηλαδή, 192 καθίσματα
-
- Δημοσιεύσεις: 94
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Αναρτώ την ορθή λύση μετά την παρατήρηση του Χρήστου.
- Συνημμένα
-
- ΘΕΜΑ 2 - 17717.docx
- (33.27 KiB) Μεταφορτώθηκε 221 φορές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Γιώργο,εσύ είσαι έμπειρος μαθηματικός και γνωρίζεις πολύ καλά την κατάσταση :hsiodos έγραψε:
....................
Ερώτηση(το ίδιο πρόβλημα έχει συζητηθεί και για την Γ Λυκείου): Η λύση που έχει δοθεί στο β) θα θεωρηθεί πλήρης από όλους τους συνάδελφους;
(δηλαδή είναι επιτρεπτή η χρήση της ισοδυναμίας αναπόδεικτα;)
Γιατί να μην είναι από όλους αποδεκτό; Πρόκειται άραγε για κανα μεγάλο θεώρημα ή κάποιο πρωτότυπο μαθηματικό επίτευγμα που ανακαλύφτηκε στην σύγχρονη Ελλάδα της χρεωκοπίας και της αποσύνθεσης ή μήπως για κάτι που το επινοούν αυθαίρετα οι μαθητές για να βγουν από τη δυσκολία ή το αδιέξοδο κάποιας άσκησης, με απώτερο σκοπό να ξεγελάσουν το διορθωτή στις εξετάσεις ; Τίποτα από τα δύο !
Πρόκειται για μια απλή φρασούλα που την λένε όλοι οι διδάσκοντας και την εφαρμόζουν στο πρώτο κιόλας μάθημα με τους μαθητές τους .Εϊναι ένα τελείως άμεσο συμπέρασμα του ορισμού .Το σχολικό το παρέλειψε προφανώς λόγου ....του προφανούς και όχι για να αποτελέσει παγίδα στον καθηγητή και το μαθητή που θα το χρησιμοποιήσει !
Αλλά, το έχω ξαναγράψει, αν πάμε στο σχολικό βιβλίο της β' λυκείου, σε αντίστοιχη εφαρμογή (σελιδα 167), εκεί χρησιμοποιείται ακριβώς αυτή η ιδιότητα της μονοτονίας για τη λύση της ανίσωσης.
Από μόνο του αυτό το γεγονός λύνει κάθε ερώτηση σε αυτό το ζήτημα !Κανένας δεν νομιμοποιείται να αφαιρέσει μονάδα από μαθητή που θα το χρησιμοποιήσει.
Μπάμπης
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Υποβάλω ξανά τις λύσεις των Θεμάτων 17692 και 17693
ύστερα από τις εύστοχες παρατηρήσεις του Δημήτρη Κατούνη (Dimkat )
ύστερα από τις εύστοχες παρατηρήσεις του Δημήτρη Κατούνη (Dimkat )
- Συνημμένα
-
- 2_ 17692 , 17693.docx
- (95.87 KiB) Μεταφορτώθηκε 201 φορές
ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Αν δεν κάνω λάθος, το θέμα αποσύρθηκε από την "Τράπεζα".Γιώργος Ρίζος έγραψε:GI_V_ALG_2_17664
Δίνονται οι γωνίες για τις οποίες ισχύει: .
Να αποδείξετε ότι:
α) (Μονάδες 10)
β) (Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ:
α) Είναι
β) Για τις τιμές των , που ορίζονται οι , δηλαδή για
είναι
ΣΧΟΛΙΟ:
Νομίζω ότι οι περιορισμοί που γράψαμε παραπάνω θα έπρεπε ΟΠΩΣΔΗΠΟΤΕ είτε να ζητούνται (θα δυσκόλευε το θέμα) είτε να δίνονται στην εκφώνηση.
Πιστεύω ότι θα αρκούσε μια συμπλήρωση με τους αναγκαίους περιορισμούς και ανάρτησή του ξανά με την ένδειξη (διορθωμένο- ενημερωμένο) με νέα ημερομηνία.
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Καλημέρα. Προστέθηκαν νέα θέματα. Κάνω την αρχή.
GL_V_ALG_2_19911
α) Να αποδείξετε ότι: .
Μονάδες 13
β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α), να λύσετε στο διάστημα την εξίσωση:
Μονάδες 12
Λύση
α) Εφαρμόζοντας τον τύπο έχουμε:
. Δηλαδή
β) Λόγω του πρώτου ερωτήματος ισχύει , οπότε έχουμε να λύσουμε την εξίσωση . Έχουμε:
\displaystyle{\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\kappa \pi - \frac{\pi }{3}\\
x = 2\kappa \pi + \pi - \frac{\pi }{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\kappa \pi - \frac{\pi }{3}\\
x = 2\kappa \pi + \frac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right.,\kappa \in {\rm Z}}\displaystyle{\left( {0,\pi } \right)}\displaystyle{x \in \left( {0,\pi } \right) \Leftrightarrow 0 < x < \pi \Leftrightarrow 0 < 2\kappa \pi - \frac{\pi }{3} < \pi \Leftrightarrow 0 < 2\kappa - \frac{1}{3} < 1 \Leftrightarrow }} και . Συνεπώς δεν υπάρχει τέτοιο ώστε να προκύπτει λύση στο διάστημα από τον πρώτο τύπο λύσεων.
• και . Οπότε και .
Δηλαδή η μοναδική λύση της εξίσωσης στο διάστημα είναι η
GL_V_ALG_2_19911
α) Να αποδείξετε ότι: .
Μονάδες 13
β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α), να λύσετε στο διάστημα την εξίσωση:
Μονάδες 12
Λύση
α) Εφαρμόζοντας τον τύπο έχουμε:
. Δηλαδή
β) Λόγω του πρώτου ερωτήματος ισχύει , οπότε έχουμε να λύσουμε την εξίσωση . Έχουμε:
\displaystyle{\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\kappa \pi - \frac{\pi }{3}\\
x = 2\kappa \pi + \pi - \frac{\pi }{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\kappa \pi - \frac{\pi }{3}\\
x = 2\kappa \pi + \frac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right.,\kappa \in {\rm Z}}\displaystyle{\left( {0,\pi } \right)}\displaystyle{x \in \left( {0,\pi } \right) \Leftrightarrow 0 < x < \pi \Leftrightarrow 0 < 2\kappa \pi - \frac{\pi }{3} < \pi \Leftrightarrow 0 < 2\kappa - \frac{1}{3} < 1 \Leftrightarrow }} και . Συνεπώς δεν υπάρχει τέτοιο ώστε να προκύπτει λύση στο διάστημα από τον πρώτο τύπο λύσεων.
• και . Οπότε και .
Δηλαδή η μοναδική λύση της εξίσωσης στο διάστημα είναι η
Παντούλας Περικλής
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_ALG_2_19912
Δίνεται γωνία για την οποία ισχύει ότι
α) Να αποδείξετε ότι ισχύει: .
(Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι .
(Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ:
α) Είναι , οπότε αντικαθιστώντας στην ισότητα έχουμε:
β) Θέτω στην ισότητα , η οποία γράφεται
άρα που απορρίπτεται ή άρα
Δεν χρειάζεται να παιδευτεί κανείς με την πληκτρολόγηση της 2_17664
Είναι έτοιμη (δείτε παραπάνω) με προσθήκη των απαραίτητων περιορισμών.
Δίνεται γωνία για την οποία ισχύει ότι
α) Να αποδείξετε ότι ισχύει: .
(Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι .
(Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ:
α) Είναι , οπότε αντικαθιστώντας στην ισότητα έχουμε:
β) Θέτω στην ισότητα , η οποία γράφεται
άρα που απορρίπτεται ή άρα
Δεν χρειάζεται να παιδευτεί κανείς με την πληκτρολόγηση της 2_17664
Είναι έτοιμη (δείτε παραπάνω) με προσθήκη των απαραίτητων περιορισμών.
- Συνημμένα
-
- GI_V_ALG_2_19912.doc
- (40 KiB) Μεταφορτώθηκε 152 φορές
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ 2_19914
Δίνεται η συνάρτηση , . (Μονάδες 8)
β) Είναι η άρτια συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)
γ) Με ποια μετατόπιση της προκύπτει η ; (Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α) Για κάθε , ισχύει:
¨Όμως .
Επομένως για κάθε .
Άρα η παρουσιάζει ελάχιστο στο .
β) Ισχύουν ότι :
• για κάθε και το
•
Επομένως η είναι άρτια συνάρτηση.
γ) Η προκύπτει από την μετατόπιση της στον άξονα;
κατά μονάδες.
Δίνεται η συνάρτηση , . (Μονάδες 8)
β) Είναι η άρτια συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)
γ) Με ποια μετατόπιση της προκύπτει η ; (Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ
α) Για κάθε , ισχύει:
¨Όμως .
Επομένως για κάθε .
Άρα η παρουσιάζει ελάχιστο στο .
β) Ισχύουν ότι :
• για κάθε και το
•
Επομένως η είναι άρτια συνάρτηση.
γ) Η προκύπτει από την μετατόπιση της στον άξονα;
κατά μονάδες.
- Συνημμένα
-
- 2_19914.docx
- (42.36 KiB) Μεταφορτώθηκε 158 φορές
ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
-
- Δημοσιεύσεις: 94
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Καλησπέρα. Πού βρίσκονται τα θέματα; όποιος μπορεί ας μου δώσει τον σύνδεσμο.
Ευχαριστώ
Ευχαριστώ
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Δες εδώ http://exams-repo.cti.gr/geniko-likeio-hmerisioΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:Καλησπέρα. Πού βρίσκονται τα θέματα; όποιος μπορεί ας μου δώσει τον σύνδεσμο.
Ευχαριστώ
Παντούλας Περικλής
-
- Δημοσιεύσεις: 94
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Καλημέρα. Ανεβάζω και την τελευταία άσκηση από την τετράδα.
- Συνημμένα
-
- ΑΣΚΗΣΗ 17664.docx
- (23.76 KiB) Μεταφορτώθηκε 169 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες