2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Στον παρόντα φάκελο μπορούν να γίνουν προσκλήσεις για συγγραφή ομαδικών εργασιών που αφορούν μαθηματικά από μέλη του mathematica.gr. Η θεματολογία μπορεί να ποικίλει ανάλογα με τα ενδιαφέροντα των συγγραφέων.
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr

α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε {\color{orange}\LaTeX} και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#41

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Νοέμ 12, 2014 9:30 am

GI_V_ALG_2_17698

Στο παρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση \displaystyle{C_f} μιας συνάρτησης \displaystyle{f} με πεδίο ορισμού το \displaystyle{\mathbb R}.

Να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα :

α) Να διατάξετε από το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς \displaystyle{f(x_1),f(x_2),f(x_3)}.

β) Είναι η συνάρτηση γνησίως μονότονη στο \displaystyle{\mathbb R} ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

γ) Παρουσιάζει η \displaystyle{f} μέγιστο στο σημείο \displaystyle{x_2} ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

Λύση

α) Φέρνοντας τις προβολές των σημείων στον άξονα \displaystyle{y'y} έχουμε : \displaystyle{f(x_1)<f(x_3)<f(x_2)}.

β) Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη.

Αν ήταν γνησίως αύξουσα, τότε για \displaystyle{x_1<x_2<x_3} θα ίσχυε \displaystyle{f(x_1)<f(x_2)<f(x_3)}

ενώ αν ήταν γνησίως φθίνουσα, τότε για \displaystyle{x_1<x_2<x_3} θα ίσχυε \displaystyle{f(x_1)>f(x_2)>f(x_3)}

αλλά από το ερ. α) έχουμε \displaystyle{f(x_1)<f(x_3)<f(x_2)}.

γ) Φέρνοντας την οριζόντια ευθεία που διέρχεται από το \displaystyle{\left(x_2,f(x_2)\right)} παρατηρούμε ότι

η συνάρτηση παίρνει και τιμές μεγαλύτερες του \displaystyle{f(x_2)}. Άρα το \displaystyle{x_2} δεν είναι θέση μεγίστου.
Συνημμένα
17698.png
17698.png (9.69 KiB) Προβλήθηκε 4586 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Απόκης σε Τετ Νοέμ 12, 2014 10:20 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#42

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Νοέμ 12, 2014 9:47 am

GI_V_ALG_2_17703

Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις :

\displaystyle{(\epsilon_1):2x-y=-1} και \displaystyle{(\epsilon_1):(\lambda-1)x-y=6} με παράμετρο \displaystyle{\lambda\in \mathbb R}.

α) Να βρείτε την τιμή του \displaystyle{\lambda} ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες.

β) Να παραστήσετε γραφικά τις ευθείες για \displaystyle{\lambda=3}.

γ) Υπάρχει τιμή του \displaystyle{\lambda} ώστε οι ευθείες να ταυτίζονται; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

Λύση

α) To σύστημα έχει ορίζουσα \displaystyle{D=-2+\lambda-1=\lambda-3}. Πρέπει το σύστημα να είναι αδύνατο άρα

\displaystyle{D=0\Leftrightarrow \lambda-3=0\Leftrightarrow \lambda=3} και τότε έχουμε τις ευθείες

\displaystyle{(\epsilon_1):2x-y=-1} και \displaystyle{(\epsilon_1):2x-y=6} που είναι παράλληλες.

β)
17703.png
17703.png (16.82 KiB) Προβλήθηκε 4583 φορές
γ) Θα πρέπει το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις, δηλαδή \displaystyle{D=0} αλλά τότε \displaystyle{\lambda=3} και από το ερώτημα α) είδαμε ότι οι ευθείες

είναι παράλληλες. Άρα δεν υπάρχει τέτοια τιμή του \displaystyle{\lambda}.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#43

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τετ Νοέμ 12, 2014 9:50 am

Mένει μόνο η 17704


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4431
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#44

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Νοέμ 12, 2014 10:34 am

GI_V_ALG_2_17704

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle f\left( x \right) =  - 3\sigma \upsilon \nu 2x,\;\;x \in R
α) Να βρείτε την περίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f. (Μονάδες 12)
β) Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και να παραστήσετε γραφικά την f σε διάστημα μιας περιόδου.
(Μονάδες 13)


α) Η περίοδος της συνάρτησης είναι \displaystyle T = \frac{{2\pi }}{2} = \pi

Η μέγιστη τιμή της είναι 3, όταν \displaystyle \sigma \upsilon \nu 2x =  - 1 \Leftrightarrow 2x = 2\kappa \pi  + \pi  \Leftrightarrow x = \kappa \pi  + \frac{\pi }{2},\;\;\kappa  \in {\rm Z}

και η ελάχιστη είναι -3 όταν \displaystyle \sigma \upsilon \nu 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = 2\kappa \pi  \Leftrightarrow x = \kappa \pi ,\;\;\kappa  \in {\rm Z}
β)
2-17704  (1).jpg
2-17704 (1).jpg (14.61 KiB) Προβλήθηκε 4524 φορές
Με τη βοήθεια του παραπάνω πίνακα τιμών σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση στο διάστημα \displaystyle \left[ {o,\;{\rm{\pi }}} \right]
2-17704(2).jpg
2-17704(2).jpg (10.43 KiB) Προβλήθηκε 4524 φορές
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_17704.doc
(92 KiB) Μεταφορτώθηκε 170 φορές


emag57
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Παρ Ιαν 31, 2014 12:45 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#45

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από emag57 » Τετ Νοέμ 12, 2014 11:04 pm

xr.tsif έγραψε:ΑΠΟ ΓΙΩΡΓΟ ΛΕΚΚΑ
ΘΕΜΑ 2 - 17717
ΛΥΣΗ
α) Είναι \left.\begin{matrix} 
16x+14y=374 & \\  
x+y=25 &  
\end{matrix}\right\}.

β) \left.\begin{matrix} 
16x+14y=374 & \\  
x+y=25 &  
\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \left.\begin{matrix} 
16(25-y)+14y=374 & \\  
x=25-y &  
\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \left.\begin{matrix} 
y=13 & \\  
x=12 &  
\end{matrix}\right\}.

Παρατήρηση
Θα μπορούσε να ζητήσει τον αριθμό των καθισμάτων στο κάτω και στο πάνω διάζωμα.
Απάντηση
Κάτω διάζωμα: 16 \cdot 12=192 καθίσματα.
Πάνω διάζωμα: 14 \cdot 13=182 καθίσματα.

μία παρατήρηση μόνο...
x είναι ο αριθμός σειρών του κάτω διαζώματος και y ο αριθμός σειρών του πάνω. Άρα το σύστημα είναι

14x+16y=374
x+y=25

οπότε το κάτω διάζωμα έχει 13 σειρές, άρα 182 καθίσματα
ενώ το πάνω έχει 12 σειρές δηλαδή, 192 καθίσματα


hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#46

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Πέμ Νοέμ 13, 2014 12:30 pm

george visvikis έγραψε:GI_V_ALG_2_16962

Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης f: ℝ→ ℝ διέρχεται από τα σημεία
A(5,2) και B(4,9).
α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f αιτιολογώντας την απάντησή σας.
(Μονάδες 12)
β) Να λύσετε την ανίσωση f(5-3x) < 2. (Μονάδες 13)

Λύση

α) \displaystyle{f(5) = 2,f(4) = 9}. Είναι λοιπόν 4<5 και f(4)>f(5). Επειδή όμως η f είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως φθίνουσα.

β) \displaystyle{f(5 - 3x) < 2 \Leftrightarrow f(5 - 3x) < f(5)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{f \searrow } 5 - 3x > 5 \Leftrightarrow  - 3x > 0 \Leftrightarrow x < 0}
Ερώτηση(το ίδιο πρόβλημα έχει συζητηθεί και για την Γ Λυκείου): Η λύση που έχει δοθεί στο β) θα θεωρηθεί πλήρης από όλους τους συνάδελφους;

(δηλαδή είναι επιτρεπτή η χρήση της ισοδυναμίας \displaystyle{ 
f(x_1 ) < f(x_2 )\mathop  \Leftrightarrow \limits^{f\,\gamma \nu \, \searrow } \,\,x_1  > x_2 } αναπόδεικτα;)


Γιώργος Ροδόπουλος
Antonis_A
Δημοσιεύσεις: 54
Εγγραφή: Δευ Σεπ 15, 2014 8:59 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#47

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis_A » Πέμ Νοέμ 13, 2014 1:37 pm

μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση της GI_V_ALG_2_17647

Έστω το σύστημα ( \displaystyle{a,\beta ,\gamma  \in R} ):
\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 
(1): x - 2y = 8 \\ 
(2): ax + \beta y = \gamma  
\end{array} \right.}

α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους \displaystyle{a,\beta ,\gamma } ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (2,-3)
β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους \displaystyle{a,\beta ,\gamma } ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο.

Λύση:

α) Αρκεί η ευθεία (2) που θα επιλέξουμε να διέρχεται απο το σημείο (2,-3) με διαφορετικό συντελεστή διεύθυνσης απο την (1) *. Θα "επιλέξουμε" (...χμχμχμχμ ωραίο ερώτημα) την ευκολότερη ευθεία που διέρχεται απο αυτό το σημείο, την x=2
η οποία προκύπτει με \displaystyle{a=1,\beta =0 ,\gamma =2}
Η (1) προφανώς διέρχεται απο το δοσμένο σημείο, άρα το σύστημα έχει μοναδική λύση.

β) Θα επιλέξουμε ευθεία παράλληλη της (1). Επιλέγουμε ( \displaystyle{a=1,\beta =-8 ,\gamma =0}), οπότε το σύστημα είναι αδύνατο.

Παρατηρήσεις:
1) Η άσκηση είναι απαράδεκτη. Εξετάζει το τίποτα και εμπεριέχει αδικία. Ο μαθητής που παρακολουθεί μαθηματικά κατεύθυνσης θα είναι σε θέση να αντιληφθεί γρηγορότερα
ότι χωρίς επιπλέον χαρακτηριστικά ως προς την σχετική θέση των δύο ευθείων η επιλογή των παραμέτρων γίνεται "αυθαίρετα".
2) Δεν αντιλαμβάνομαι τον λόγο που η τράπεζα περιέχει ίδιες ασκήσεις. Πολύ δε περισσότερο δεν βλέπω τον λόγο να δίνονται οι απαντήσεις σε ίδιες ασκήσεις με διαφορετικά νούμερα.
(*) 17/11/14 Έκανα μια τροποποίηση, διότι είχα γράψει απίστευτη πατάτα
τελευταία επεξεργασία από Antonis_A σε Δευ Νοέμ 17, 2014 1:34 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#48

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Πέμ Νοέμ 13, 2014 8:54 pm

emag57 έγραψε:
xr.tsif έγραψε:ΑΠΟ ΓΙΩΡΓΟ ΛΕΚΚΑ
ΘΕΜΑ 2 - 17717
ΛΥΣΗ
α) Είναι \left.\begin{matrix} 
16x+14y=374 & \\  
x+y=25 &  
\end{matrix}\right\}.

β) \left.\begin{matrix} 
16x+14y=374 & \\  
x+y=25 &  
\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \left.\begin{matrix} 
16(25-y)+14y=374 & \\  
x=25-y &  
\end{matrix}\right\}\Leftrightarrow \left.\begin{matrix} 
y=13 & \\  
x=12 &  
\end{matrix}\right\}.

Παρατήρηση
Θα μπορούσε να ζητήσει τον αριθμό των καθισμάτων στο κάτω και στο πάνω διάζωμα.
Απάντηση
Κάτω διάζωμα: 16 \cdot 12=192 καθίσματα.
Πάνω διάζωμα: 14 \cdot 13=182 καθίσματα.

μία παρατήρηση μόνο...
x είναι ο αριθμός σειρών του κάτω διαζώματος και y ο αριθμός σειρών του πάνω. Άρα το σύστημα είναι

14x+16y=374
x+y=25

οπότε το κάτω διάζωμα έχει 13 σειρές, άρα 182 καθίσματα
ενώ το πάνω έχει 12 σειρές δηλαδή, 192 καθίσματα
Έχεις δίκιο Χρήστο. Ευχαριστώ πολύ. Ξεκούτιανα


ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#49

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Πέμ Νοέμ 13, 2014 10:13 pm

Αναρτώ την ορθή λύση μετά την παρατήρηση του Χρήστου.
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 2 - 17717.docx
(33.27 KiB) Μεταφορτώθηκε 176 φορές


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5356
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#50

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Παρ Νοέμ 14, 2014 12:43 am

hsiodos έγραψε:
....................
Ερώτηση(το ίδιο πρόβλημα έχει συζητηθεί και για την Γ Λυκείου): Η λύση που έχει δοθεί στο β) θα θεωρηθεί πλήρης από όλους τους συνάδελφους;

(δηλαδή είναι επιτρεπτή η χρήση της ισοδυναμίας \displaystyle{ 
f(x_1 ) < f(x_2 )\mathop  \Leftrightarrow \limits^{f\,\gamma \nu \, \searrow } \,\,x_1  > x_2 } αναπόδεικτα;)
Γιώργο,εσύ είσαι έμπειρος μαθηματικός και γνωρίζεις πολύ καλά την κατάσταση :
μονοτονία.PNG
μονοτονία.PNG (17.15 KiB) Προβλήθηκε 4301 φορές

Γιατί να μην είναι από όλους αποδεκτό; Πρόκειται άραγε για κανα μεγάλο θεώρημα ή κάποιο πρωτότυπο μαθηματικό επίτευγμα που ανακαλύφτηκε στην σύγχρονη Ελλάδα της χρεωκοπίας και της αποσύνθεσης ή μήπως για κάτι που το επινοούν αυθαίρετα οι μαθητές για να βγουν από τη δυσκολία ή το αδιέξοδο κάποιας άσκησης, με απώτερο σκοπό να ξεγελάσουν το διορθωτή στις εξετάσεις ; Τίποτα από τα δύο !
Πρόκειται για μια απλή φρασούλα που την λένε όλοι οι διδάσκοντας και την εφαρμόζουν στο πρώτο κιόλας μάθημα με τους μαθητές τους .Εϊναι ένα τελείως άμεσο συμπέρασμα του ορισμού .Το σχολικό το παρέλειψε προφανώς λόγου ....του προφανούς και όχι για να αποτελέσει παγίδα στον καθηγητή και το μαθητή που θα το χρησιμοποιήσει !

Αλλά, το έχω ξαναγράψει, αν πάμε στο σχολικό βιβλίο της β' λυκείου, σε αντίστοιχη εφαρμογή (σελιδα 167), εκεί χρησιμοποιείται ακριβώς αυτή η ιδιότητα της μονοτονίας για τη λύση της ανίσωσης.
Από μόνο του αυτό το γεγονός λύνει κάθε ερώτηση σε αυτό το ζήτημα !Κανένας δεν νομιμοποιείται να αφαιρέσει μονάδα από μαθητή που θα το χρησιμοποιήσει.


Μπάμπης


pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#51

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Παρ Νοέμ 14, 2014 4:07 pm

Υποβάλω ξανά τις λύσεις των Θεμάτων 17692 και 17693
ύστερα από τις εύστοχες παρατηρήσεις του Δημήτρη Κατούνη (Dimkat )
Συνημμένα
2_ 17692 , 17693.docx
(95.87 KiB) Μεταφορτώθηκε 152 φορές


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4431
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#52

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Νοέμ 15, 2014 7:30 pm

Γιώργος Ρίζος έγραψε:GI_V_ALG_2_17664

Δίνονται οι γωνίες \displaystyle  
\omega ,\;\theta για τις οποίες ισχύει:\displaystyle  
\omega  + \theta  = 135^\circ .
Να αποδείξετε ότι:
α) \displaystyle  
\varepsilon \phi \left( {\omega  + \theta } \right) =  - 1 (Μονάδες 10)
β) \displaystyle  
\varepsilon \phi \omega  + \varepsilon \phi \theta  + 1 = \varepsilon \phi \omega  \cdot \varepsilon \phi \theta (Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ:
α) Είναι \displaystyle  
\varepsilon \phi \left( {\omega  + \theta } \right) = \varepsilon \phi 135^\circ  = \varepsilon \phi \left( {180^\circ  - 45^\circ } \right) =  - \varepsilon \phi 45^\circ  =  - 1

β) Για τις τιμές των \displaystyle  
\omega ,\;\theta , που ορίζονται οι \displaystyle  
\varepsilon \phi \omega ,\;\varepsilon \phi \theta , δηλαδή για \displaystyle  
\left\{ \begin{array}{l} 
 \omega  \ne \kappa  \cdot 180^\circ  + 90^\circ  \\  
 \theta  \ne \lambda  \cdot 180^\circ  + 90^\circ  \\  
 \omega  + \theta  = 135^\circ  \\  
 \end{array} \right.,\;\;\kappa ,\;\lambda  \in {\rm Z}
είναι
\displaystyle \varepsilon \phi \left( {\omega  + \theta } \right) =  - 1 \Leftrightarrow \frac{{\varepsilon \phi \omega  + \varepsilon \phi \theta }}{{1 - \varepsilon \phi \omega  \cdot \varepsilon \phi \theta }} =  - 1 \Leftrightarrow \varepsilon \phi \omega  + \varepsilon \phi \theta  + 1 = \varepsilon \phi \omega  \cdot \varepsilon \phi \theta

ΣΧΟΛΙΟ:
Νομίζω ότι οι περιορισμοί που γράψαμε παραπάνω θα έπρεπε ΟΠΩΣΔΗΠΟΤΕ είτε να ζητούνται (θα δυσκόλευε το θέμα) είτε να δίνονται στην εκφώνηση.
Αν δεν κάνω λάθος, το θέμα αποσύρθηκε από την "Τράπεζα".
Πιστεύω ότι θα αρκούσε μια συμπλήρωση με τους αναγκαίους περιορισμούς και ανάρτησή του ξανά με την ένδειξη (διορθωμένο- ενημερωμένο) με νέα ημερομηνία.


Άβαταρ μέλους
Broly
Δημοσιεύσεις: 220
Εγγραφή: Σάβ Φεβ 27, 2010 11:29 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#53

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Broly » Σάβ Νοέμ 15, 2014 8:17 pm

x+y=w


~Κώστας
perpant
Δημοσιεύσεις: 451
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#54

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Τρί Νοέμ 25, 2014 12:04 pm

Καλημέρα. Προστέθηκαν νέα θέματα. Κάνω την αρχή.

GL_V_ALG_2_19911

α) Να αποδείξετε ότι: \displaystyle{\eta \mu \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sigma \upsilon \nu x + \frac{1}{2}\eta \mu x}.
Μονάδες 13
β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α), να λύσετε στο διάστημα \displaystyle{\left( {0,\pi } \right)} την εξίσωση: \displaystyle{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sigma \upsilon \nu x + \frac{1}{2}\eta \mu x = 0}
Μονάδες 12
Λύση
α) Εφαρμόζοντας τον τύπο \displaystyle{\eta \mu \left( {\alpha  + \beta } \right) = \eta \mu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta  + \sigma \upsilon \nu \alpha \eta \mu \beta } έχουμε:

\displaystyle{\eta \mu \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \eta \mu x\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} + \sigma \upsilon \nu x\eta \mu \frac{\pi }{3} = \eta \mu x \cdot \frac{1}{2} + \sigma \upsilon \nu x \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}. Δηλαδή \displaystyle{\eta \mu \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sigma \upsilon \nu x + \frac{1}{2}\eta \mu x}

β) Λόγω του πρώτου ερωτήματος ισχύει \displaystyle{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sigma \upsilon \nu x + \frac{1}{2}\eta \mu x = \eta \mu \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)}, οπότε έχουμε να λύσουμε την εξίσωση \displaystyle{\eta \mu \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0}. Έχουμε:

\displaystyle{\eta \mu \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \eta \mu \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = \eta \mu 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
x + \frac{\pi }{3} = 2\kappa \pi  + 0\\ 
x + \frac{\pi }{3} = 2\kappa \pi  + \pi  - 0 
\end{array} \right. \Leftrightarrow }\displaystyle{\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\kappa \pi - \frac{\pi }{3}\\
x = 2\kappa \pi + \pi - \frac{\pi }{3}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\kappa \pi - \frac{\pi }{3}\\
x = 2\kappa \pi + \frac{{2\pi }}{3}
\end{array} \right.,\kappa \in {\rm Z}}. 
 
Θέλουμε τις λύσεις του διαστήματος \displaystyle{\left( {0,\pi } \right)}. Οπότε: 
 
•	\displaystyle{x \in \left( {0,\pi } \right) \Leftrightarrow 0 < x < \pi \Leftrightarrow 0 < 2\kappa \pi - \frac{\pi }{3} < \pi \Leftrightarrow 0 < 2\kappa - \frac{1}{3} < 1 \Leftrightarrow }}\displaystyle{\frac{1}{3} < 2\kappa  < 1 + \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{6} < \kappa  < \frac{2}{3}} και \displaystyle{\kappa  \in {\rm Z}}. Συνεπώς δεν υπάρχει \displaystyle{\kappa  \in {\rm Z}} τέτοιο ώστε να προκύπτει λύση στο διάστημα \displaystyle{\left( {0,\pi } \right)} από τον πρώτο τύπο λύσεων.

\displaystyle{x \in \left( {0,\pi } \right) \Leftrightarrow 0 < x < \pi  \Leftrightarrow 0 < 2\kappa \pi  + \frac{{2\pi }}{3} < \pi  \Leftrightarrow 0 < 2\kappa  + \frac{2}{3} < 1 \Leftrightarrow }\displaystyle{ - \frac{2}{3} < 2\kappa  < 1 - \frac{2}{3} \Leftrightarrow  - \frac{2}{3} < \kappa  < \frac{1}{6}} και \displaystyle{\kappa  \in {\rm Z}}. Οπότε \displaystyle{\kappa  = 0} και \displaystyle{x = \frac{{2\pi }}{3}}.

Δηλαδή η μοναδική λύση της εξίσωσης στο διάστημα \displaystyle{\left( {0,\pi } \right)} είναι η \displaystyle{x = \frac{{2\pi }}{3}}


Παντούλας Περικλής
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4431
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#55

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Νοέμ 25, 2014 12:23 pm

GI_V_ALG_2_19912


Δίνεται γωνία \displaystyle \omega για την οποία ισχύει ότι \displaystyle  - \sigma \upsilon \nu 2\omega  + 5\eta \mu \omega  - 2 = 0
α) Να αποδείξετε ότι ισχύει: \displaystyle 2\eta {\mu ^2}\omega  + 5\eta \mu \omega  - 3 = 0 .
(Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι \displaystyle \eta \mu \omega  = \frac{1}{2} .
(Μονάδες 13)

ΛΥΣΗ:

α) Είναι \displaystyle \sigma \upsilon \nu 2\omega  = 1 - 2\eta {\mu ^2}\omega , οπότε αντικαθιστώντας στην ισότητα \displaystyle \sigma \upsilon \nu 2\omega  = 1 - 2\eta {\mu ^2}\omega έχουμε:

\displaystyle  - \left( {1 - 2\eta {\mu ^2}\omega } \right) + 5\eta \mu \omega  - 2 = 0 \Leftrightarrow 2\eta {\mu ^2}\omega  + 5\eta \mu \omega  - 3 = 0

β) Θέτω \displaystyle y = \eta \mu \omega ,\;\; - 1 \le y \le 1 στην ισότητα \displaystyle 2\eta {\mu ^2}\omega  + 5\eta \mu \omega  - 3 = 0 , η οποία γράφεται

\displaystyle 2{y^2} + 5y - 3 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{{ - 5 \pm 7}}{4} άρα \displaystyle y =  - 3 που απορρίπτεται ή \displaystyle y = \frac{1}{2} άρα \displaystyle \eta \mu \omega  = \frac{1}{2}



Δεν χρειάζεται να παιδευτεί κανείς με την πληκτρολόγηση της 2_17664
Είναι έτοιμη (δείτε παραπάνω) με προσθήκη των απαραίτητων περιορισμών.
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_19912.doc
(40 KiB) Μεταφορτώθηκε 111 φορές


pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#56

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Τρί Νοέμ 25, 2014 1:09 pm

Να κάνω την 19914


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#57

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Τρί Νοέμ 25, 2014 1:31 pm

ΘΕΜΑ 2_19914

Δίνεται η συνάρτηση f\left( x \right)={{x}^{2}}-5 , \displaystyle{x\in \mathbb{R}} . (Μονάδες 8)
β) Είναι η f άρτια συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)
γ) Με ποια μετατόπιση της g\left( x \right)={{x}^{2}} προκύπτει η {{C}_{f}} ; (Μονάδες 9)

ΛΥΣΗ

α) Για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}, ισχύει: {{x}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-5\ge -5\Leftrightarrow f\left( x \right)\ge -5

¨Όμως f\left( 0 \right)=-5.

Επομένως f\left( x \right)\ge f\left( 0 \right) για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}}.

Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x=0 .

β) Ισχύουν ότι :

• για κάθε \displaystyle{x\in {{D}_{f}}=\mathbb{R}} και το \displaystyle{-x\in {{D}_{f}}=\mathbb{R}}

f\left( -x \right)={{\left( -x \right)}^{2}}-5={{x}^{2}}-5=f\left( x \right)

Επομένως η f είναι άρτια συνάρτηση.

γ) Η {{C}_{f}} προκύπτει από την μετατόπιση της {{C}_{g}} στον άξονα; {y}'y
κατά -5 μονάδες.
Συνημμένα
2_19914.docx
(42.36 KiB) Μεταφορτώθηκε 118 φορές


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#58

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Τρί Νοέμ 25, 2014 8:00 pm

Καλησπέρα. Πού βρίσκονται τα θέματα; όποιος μπορεί ας μου δώσει τον σύνδεσμο.
Ευχαριστώ


perpant
Δημοσιεύσεις: 451
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#59

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Τρί Νοέμ 25, 2014 9:06 pm

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:Καλησπέρα. Πού βρίσκονται τα θέματα; όποιος μπορεί ας μου δώσει τον σύνδεσμο.
Ευχαριστώ
Δες εδώ http://exams-repo.cti.gr/geniko-likeio-hmerisio


Παντούλας Περικλής
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 74
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#60

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Τετ Νοέμ 26, 2014 6:23 am

Καλημέρα. Ανεβάζω και την τελευταία άσκηση από την τετράδα.
Συνημμένα
ΑΣΚΗΣΗ 17664.docx
(23.76 KiB) Μεταφορτώθηκε 127 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης