2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Στον παρόντα φάκελο μπορούν να γίνουν προσκλήσεις για συγγραφή ομαδικών εργασιών που αφορούν μαθηματικά από μέλη του mathematica.gr. Η θεματολογία μπορεί να ποικίλει ανάλογα με τα ενδιαφέροντα των συγγραφέων.
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr

α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε {\color{orange}\LaTeX} και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4384
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Οκτ 25, 2014 12:03 am

Αγαπητοί φίλοι, ας συγκεντρώσουμε εδώ τις λύσεις, τις παρατηρήσεις και τυχόν διορθώσεις στις ασκήσεις που αναρτήθηκαν στην Τράπεζα Θεμάτων της Β΄Λυκείου
Κατόπιν θα συγκεντρωθούν και θα σελιδοποιηθούν ώστε να αναρτηθούν με την ευθύνη των επιμελητών του :logo: .
Ας φροντίσουμε να είναι πλήρως διατυπωμένες οι απαντήσεις μας, για να διευκολυνθούν οι συντάκτες των δελτίων.
Η πρόσκληση απευθύνεται σε κάθε μέλος και φίλο του :logo: που θα ήθελε να συμμετέχει.
Σ' αυτήν τη συζήτηση θα ασχοληθούμε με το
2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

edit 9-11-2014: Πρόσθεσα το σύνδεσμο των θεμάτων.


kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kgeo67 » Δευ Νοέμ 10, 2014 4:12 am

GI_V_ALG_2_17741
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_17741.docx
(22.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 641 φορές


Κωνσταντίνος Γεωργίου
kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kgeo67 » Δευ Νοέμ 10, 2014 4:49 am

GI_V_ALG_2_17736
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_17736.docx
(36.71 KiB) Μεταφορτώθηκε 415 φορές


Κωνσταντίνος Γεωργίου
Άβαταρ μέλους
asemarak
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 18, 2009 9:30 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από asemarak » Δευ Νοέμ 10, 2014 8:48 am

GI_V_ALG_2_17732

Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση f: ℝ→ℝ, η γραφική παράσταση της οποίας διέρχεται από τα σημεία Α(2, 3) και Β(4, 5) .
α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f. (Μονάδες 13)
β) Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο -2, να δείξετε ότι f(0)>0. (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

α) Αφού η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(2,3) και Β(4,5), ισχύουν f(2) = 3 και f(4) = 5.
Αν η συνάρτηση f ήταν γνησίως φθίνουσα, εφόσον 2 < 4, θα είχαμε f(2) > f(4) ή 3 > 5, πράγμα το οποίο είναι άτοπο.
Με δεδομένο ότι η f είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως αύξουσα.
β) Αφού η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x΄x στο -2, είναι f(-2) = 0.
Είναι -2 < 0 και f γνησίως αύξουσα. Άρα f(-2) < f(0), δηλαδή f(0) > 0.


Θοδωρής Καραμεσάλης
Grosrouvre
Δημοσιεύσεις: 294
Εγγραφή: Τρί Ιούλ 15, 2014 11:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Grosrouvre » Δευ Νοέμ 10, 2014 11:35 am

GI_V_ALG_2_16957

Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 27 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη.

α) Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 13)

β) Δίνεται επιπλέον η πληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες 12)

ΛΥΣΗ

Έστω x η ηλικία του Μάρκου και y η ηλικία του Βασίλη. Από τα δεδομένα, προκύπτει ότι:

x + y = 27 (1) και x > y (2).

α) Υποθέτουμε ότι οι x, y είναι θετικοί ρητοί αριθμοί.

Από τα παραπάνω, δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την ηλικία του καθενός, διότι η (1) αποτελεί μία γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, ενώ η (2) δεν αποτελεί ικανό δεσμό σε συνδιασμό με την (1). Για παράδειγμα, θα μπορούσε (x,y) = (18,9) ή (x,y) = (17,10) όπως και άλλοι συνδιασμοί.

β) Τώρα, ξέρουμε ότι και x - y = 5 (3) (καθώς x>y). Άρα

(1) + (3) \Longrightarrow 2x = 32 \Longrightarrow x=16.

Για x = 16, από την (1) έχουμε:

(1) \Longrightarrow 16 + y = 27 \Longrightarrow y = 27 - 16 \Longrightarrow y=11.

Δηλαδή, ο Μάρκος είναι 16 ετών και ο Βασίλης 11. Τα αποτελέσματα αυτά, επαληθεύουν όλα τα δεδομένα.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8298
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 10, 2014 2:09 pm

GI_V_ALG_2_16950

α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με
συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.
(Μονάδες 10)
β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις του συστήματος που ορίσατε στο
α) ερώτημα και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο.
(Μονάδες 15)

Λύση

α) \displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 
3x + 4y = 12\\ 
6x + 8y = 2 
\end{array} \right.}

Αν πολλαπλασιάσουμε την πρώτη εξίσωση με -2 και την προσθέσουμε στη δεύτερη, θα προκύψει η ισότητα -22=0. Άρα το σύστημα είναι πράγματι αδύνατο.

β) Οι εξισώσεις του συστήματος γράφονται αντίστοιχα \displaystyle{y =  - \frac{3}{4}x + 3,y =  - \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}}. Οι ευθείες που ορίζουν οι εξισώσεις του συστήματος είναι λοιπόν παράλληλες , άρα το σύστημα είναι αδύνατο.
2_16950.png
2_16950.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 7350 φορές
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_16950.docx
(142.89 KiB) Μεταφορτώθηκε 188 φορές
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Δευ Νοέμ 10, 2014 3:13 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


gGa
Δημοσιεύσεις: 49
Εγγραφή: Παρ Σεπ 11, 2009 5:55 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gGa » Δευ Νοέμ 10, 2014 2:48 pm

GI_V_ALG_2_16960
Η εξίσωση η οποία παριστάνει μια ευθεία είναι της μορφής : ax+by+c=0, η οποία αν λυθεί ως προς y μας γίνει \displaystyle{y=\lambda x+\beta    }, όπου λ ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας αυτής (\lambda =-\frac{a}{b}) και \displaystyle{\beta =\frac{c}{b} }, επίσης λ=εφω, όπου ω είναι η γωνία κλίσης της ευθείας με τον άξονα x'x.
Παρατηρώ ότι :
  • Η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες στα σημεία, Α(0,2) και Β(2,0), λαμβάνοντας την εξίσωση \displaystyle{y=\lambda x+\beta}:
    • για το σημείο Α(0,2) : \displaystyle{2=\lambda0+\beta \Rightarrow  \beta =2    }
    • για το σημείο Β(2,0) : \displaystyle{0=2\lambda +\beta \Rightarrow 2\lambda =-\beta \Rightarrow \lambda =-1    }
    Και έτσι η ευθεία (ε) θα έχει εξίσωση: \displaystyle{y=-x+2}
  • Η ευθεία (η) τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Γ(4,0) και έχει κλίση \displaystyle{45^{\circ} }.
    • Γνωρίζουμε όμως ότι κλίση ευθείας \displaystyle{\rightarrow \lambda \rightarrow \epsilon \varphi  \omega  }} και έτσι \displaystyle{\lambda =\epsilon \varphi 45^{\circ} =1 }.
      Επομένως η εξίσωση της ευθείας (η) γίνεται : \displaystyle{y=x+\beta  } και επειδή το σημείο Γ(4,0) ανήκει στην ευθεία αυτή τότε : \displaystyle{0=4+\beta \Rightarrow \beta =-4  }
    Τελικά η ευθεία (η) θα έχει εξίσωση \displaystyle{y=x-4  }
Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών αυτών θα λύσουμε σύστημα:
\displaystyle{\left\{\begin{matrix} 
y=x-4\\y=-x+2 
 
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
y=x-4\\ -x+2=x-4 
 
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 
y=-1\\x=3  
 
\end{matrix}\right. }

Το σημείο τομής θα έχει συντεταγμένες (3, -1).


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8298
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 10, 2014 3:32 pm

GI_V_ALG_2_16962

Η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης f: ℝ→ ℝ διέρχεται από τα σημεία
A(5,2) και B(4,9).
α) Να προσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f αιτιολογώντας την απάντησή σας.
(Μονάδες 12)
β) Να λύσετε την ανίσωση f(5-3x) < 2. (Μονάδες 13)

Λύση

α) \displaystyle{f(5) = 2,f(4) = 9}. Είναι λοιπόν 4<5 και f(4)>f(5). Επειδή όμως η f είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως φθίνουσα.

β) \displaystyle{f(5 - 3x) < 2 \Leftrightarrow f(5 - 3x) < f(5)\mathop  \Leftrightarrow \limits^{f \searrow } 5 - 3x > 5 \Leftrightarrow  - 3x > 0 \Leftrightarrow x < 0}
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_16962.docx
(103.74 KiB) Μεταφορτώθηκε 196 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8298
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 10, 2014 6:18 pm

GI_V_ALG_2_16965

Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x^2 – 4x + 5 , x∈ℝ
α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφήf(x) = (x - 2)^2+ 1. (Μονάδες 12)
β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f,
μετατοπίζοντας κατάλληλα την y = x^2. (Μονάδες 13)

Λύση.

α) \displaystyle{f(x) = {x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 + 1 = {(x - 2)^2} + 1}

β) Η γραφική παράσταση της f με τη μορφή f(x)=(x-2)^2+1 είναι μία οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=x^2 κατά 2 μονάδες προς τα δεξιά και ταυτόχρονα κατακόρυφη μετατόπιση κατά 1 μονάδα προς τα πάνω. Όλα αυτά φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
2_16965.png
2_16965.png (15.78 KiB) Προβλήθηκε 7275 φορές
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_16965.docx
(187.61 KiB) Μεταφορτώθηκε 191 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8298
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 10, 2014 7:35 pm

GI_V_ALG_2_16968

α) Είναι η τιμή \displaystyle{x = \frac{\pi }{4}} λύση της εξίσωσης \displaystyle{3\sigma \upsilon \nu 4x + 3 = 0}; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 10)

β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
\displaystyle{f(x) = \sigma \upsilon \nu 4x} με την ευθεία y = -1. (Μονάδες 15)

Λύση.

α) \displaystyle{3\sigma \upsilon \nu 4\frac{\pi }{4} + 3 = 3(\sigma \upsilon \nu \pi  + 1) = 3( - 1 + 1) = 0}.
Άρα η τιμή \displaystyle{x = \frac{\pi }{4}} είναι λύση της εξίσωσης \displaystyle{3\sigma \upsilon \nu 4x + 3 = 0}

β) Αναζητούμε τις λύσεις της εξίσωσης f(x)=y.

\displaystyle{\sigma \upsilon \nu 4x =  - 1 = \sigma \upsilon \nu \pi  \Leftrightarrow 4x = 2k\pi  + \pi  \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2} + \frac{\pi }{4},k \in Z}
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_16968.docx
(103.59 KiB) Μεταφορτώθηκε 201 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8298
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Νοέμ 10, 2014 8:07 pm

GI_V_ALG_2_17647

Δίνεται το σύστημα:
\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 
x - 2y = 8\\ 
ax + \beta y = \gamma  
\end{array} \right.}
με παραμέτρους \displaystyle{a,\beta ,\gamma  \in R}.
α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους \displaystyle{a,\beta ,\gamma } ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (2, -3). (Μονάδες 13)

β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους \displaystyle{a,\beta ,\gamma } ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο. (Μονάδες 12)

Ίσως να είναι καλή για εμπέδωση της θεωρίας μέσα στην τάξη, αλλά δεν νομίζω ότι ταιριάζει για εξετάσεις, μία άσκηση που έχει άπειρες σωστές απαντήσεις.


Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1421
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Νοέμ 10, 2014 11:53 pm

GI_V_ALG_2_17650

Δίνεται ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος \displaystyle{x\,\,cm}, πλάτος \displaystyle{y\,\,cm}, περίμετρο ίση με
\displaystyle{38\,\,cm} και με την ακόλουθη ιδιότητα:
Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά \displaystyle{2\,\,cm} και μειώσουμε το πλάτος του κατά \displaystyle{4\,\,cm}, θα
προκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του αρχικού.
α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.
(Μονάδες 10)
β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων \displaystyle{x,y} του ορθογωνίου. (Μονάδες 15)

Λύση
α) Το δοσμένο ορθογώνιο έχει εμβαδόν \displaystyle{xy} και περίμετρο \displaystyle{2x + 2y = 38} .
Αν γίνουν οι αλλαγές στις διαστάσεις του , το εμβαδόν του θα γίνει \displaystyle{(x + 2)(y - 4)} και θα είναι ίσο με το αρχικό . Επομένως έχουμε το σύστημα :
\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 
 2x + 2y = 38 \\  
 (x + 2)(y - 4) = xy \\  
 \end{array} \right.}
β) Είναι :
\displaystyle{\begin{array}{l} 
 \left\{ \begin{array}{l} 
 2x + 2y = 38 \\  
 (x + 2)(y - 4) = xy \\  
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
 x + y = 19 \\  
 xy - 4x + 2y - 8 = xy \\  
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
 x + y = 19 \\  
  - 4x + 2y = 8 \\  
 \end{array} \right. \Leftrightarrow  \\  
  \\  
  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
 y = 19 - x \\  
  - 2x + 19 - x = 4 \\  
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
 y = 19 - x \\  
  - 3x =  - 15 \\  
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
 y = 14 \\  
 x = 5 \\  
 \end{array} \right. \\  
 \end{array}}
Επομένως οι διαστάσεις του είναι \displaystyle{x = 5,y = 14}

Σχόλιο : Επειδή , παραδοσιακά , λέμε μήκος τη μεγαλύτερη πλευρά και επειδή εδώ προκύπτει
ότι το μήκος είναι μικρότερο από το πλάτος , ας μην παρασυρθούν οι μαθητές από τις λέξεις .
Η λύση είναι σωστή . Ελπίζω το ΙΕΠ να διορθώσει την εκφώνηση .

Εdit 14_11_14 : Προστέθηκε το σχόλιο ( Ευχαριστώ τον Γ. Ρίζο )
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Παρ Νοέμ 14, 2014 8:12 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Kαλαθάκης Γιώργης
kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kgeo67 » Τρί Νοέμ 11, 2014 12:50 am

GI_V_ALG_2_17734
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_17734.docx
(31.51 KiB) Μεταφορτώθηκε 284 φορές


Κωνσταντίνος Γεωργίου
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Τρί Νοέμ 11, 2014 2:20 am

ΘΕΜΑ 17652


Δίνεται γωνία \omega που ικανοποιεί τη σχέση:
\displaystyle{{{\left( \eta \mu \omega +\sigma \upsilon \nu \omega  \right)}^{2}}=1}
α) Να αποδείξετε ότι είτε \displaystyle{\eta \mu \omega =0} είτε\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega =0} . (Μονάδες 13)
β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας \omega. (Μονάδες 12)


ΛΥΣΗ

Α) Είναι \displaystyle{{{\left( \eta \mu \omega +\sigma \upsilon \nu \omega  \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow \eta {{\mu }^{2}}\omega +\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}\omega+ 2\eta \mu \omega \cdot \sigma \upsilon \nu \omega =1}

\displaystyle{\Leftrightarrow 1+2\eta \mu \omega \cdot \sigma \upsilon \nu \omega =1\Leftrightarrow 2\eta \mu \omega \cdot \sigma \upsilon \nu \omega =0}

\displaystyle{\Leftrightarrow \eta \mu \omega =0} ή \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega =0}

Β) Αν \displaystyle{\eta \mu \omega =0\Leftrightarrow \omega =2\kappa \pi } ή \displaystyle{\omega =2\kappa \pi +\pi =\left( 2\kappa +1 \right)\pi } ,\kappa \in \mathbb{Z} .

Γενικά \omega =\kappa \pi , \kappa \in \mathbb{Z}
(Δη λαδή τα ακέραια πολλαπλάσια του \pi )

Αν \displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega =0\Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \omega =\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{2}\Leftrightarrow \omega =2\kappa \pi \pm \frac{\pi }{2}} ,\kappa \in \mathbb{Z} .

Γενικά \omega =\kappa \pi +\frac{\pi }{2} , \kappa \in \mathbb{Z}

( Το σύνολο των δυνατών τιμών της γωνίας \omega θα μπορούσε να εκφραστεί γενικά από την σχέση \omega =\kappa \frac{\pi }{2} , \kappa \in \mathbb{Z}. )

ΕΓΙΝΕ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΥΣΤΕΡΑ ΑΠΟ Π.Μ. ΤΟΥ ΠΙΟ ΠΑΡΑΤΗΡΗΤΙΚΟΥ dimkat
Συνημμένα
2- 17652.docx
(41.1 KiB) Μεταφορτώθηκε 169 φορές
2- 17652.docx
(41.1 KiB) Μεταφορτώθηκε 150 φορές
τελευταία επεξεργασία από pap65 σε Πέμ Νοέμ 13, 2014 2:06 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Νοέμ 11, 2014 10:30 am

GI_V_ALG_2_18638

Δίνεται το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} 2x+y=3 \\a x+\beta y=\gamma \end{cases}} με παραμέτρους \displaystyle{a,\beta,\gamma \in \mathbb R}.

α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους \displaystyle{a,\beta,\gamma} ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση το ζεύγος \displaystyle{(-1,5)}.

β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους \displaystyle{a,\beta,\gamma} ώστε το σύστημα να έχει άπειρες λύσεις και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας.

Λύση

α) Το σύστημα έχει ορίζουσα \displaystyle{D=2\beta-a}. Για να έχει μοναδική λύση : \displaystyle{D\ne0\Leftrightarrow a\ne 2\beta~(1)}.

Αφού το ζεύγος \displaystyle{(-1,5)} επαληθεύει, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση (η πρώτη ικανοποιείται) και έχουμε \displaystyle{-a+5\beta=\gamma}~(2).

Φροντίζοντας να ισχύει η (1), επιλέγουμε π.χ. \displaystyle{a=1,\beta=3} και έτσι η (2) δίνει \displaystyle{\gamma =14}.

β) Για να έχει άπειρες λύσεις το σύστημα πρέπει \displaystyle{D=0\Leftrightarrow a=2\beta}. Επιλέγουμε π.χ. \displaystyle{a=2,\beta=1} και αντικαθιστούμε :

\displaystyle{\begin{cases} 2x+y=3 \\2 x+ y=\gamma \end{cases}} άρα προφανώς θα πρέπει \displaystyle{\gamma=3}. Tότε οι λύσεις είναι τα ζεύγη

που αποτελούν συντεταγμένες των σημείων της ευθείας \displaystyle{y=-2x+3}
Συνημμένα
18638.png
18638.png (7.75 KiB) Προβλήθηκε 6984 φορές


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Νοέμ 11, 2014 10:44 am

GI_V_ALG_2_18637

Δίνεται το σύστημα \displaystyle{\begin{cases} x-2y=9 \\a x+\beta y=\gamma \end{cases}} με παραμέτρους \displaystyle{a,\beta,\gamma \in \mathbb R}.

α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους \displaystyle{a,\beta,\gamma} ώστε το σύστημα να έχει μοναδική λύση το ζεύγος \displaystyle{(1,-4)}.

β) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους \displaystyle{a,\beta,\gamma} ώστε το σύστημα να είναι αδύνατο και να επαληθεύσετε γραφικά την επιλογή σας.

Λύση

α) Το σύστημα έχει ορίζουσα \displaystyle{D=\beta+2a}. Για να έχει μοναδική λύση : \displaystyle{D\ne0\Leftrightarrow \beta\ne -2a~(1)}.

Αφού το ζεύγος \displaystyle{(1,-4)} επαληθεύει, αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση (η πρώτη ικανοποιείται) και έχουμε \displaystyle{a-4\beta=\gamma}~(2).

Φροντίζοντας να ισχύει η (1), επιλέγουμε π.χ. \displaystyle{a=1,\beta=2} και έτσι η (2) δίνει \displaystyle{\gamma =-7}.


β) Για να είναι το σύστημα αδύνατο πρέπει \displaystyle{D=0\Leftrightarrow \beta=-2a}. Επιλέγουμε π.χ. \displaystyle{a=1,\beta=-2} και αντικαθιστούμε :

\displaystyle{\begin{cases} x-2y=9 \\ x-2y=\gamma \end{cases}} άρα προφανώς θα πρέπει \displaystyle{\gamma\ne 9}. Eπιλέγουμε π.χ. \displaystyle{\gamma=7}.

Tότε το σύστημα παριστάνει τις ευθείες \displaystyle{y=\frac{1}{2}x-\frac{9}{2},~y=\frac{1}{2}x-\frac{7}{2}} που είναι παράλληλες.
Συνημμένα
18637.png
18637.png (19.96 KiB) Προβλήθηκε 6973 φορές


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8298
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 11, 2014 11:06 am

GI_V_ALG_2_17651

Στο δημοτικό parking μιας επαρχιακής πόλης στις 10 το πρωί, το σύνολο των δίκυκλων και
τετράτροχων οχημάτων που έχουν παρκάρει είναι 830 και το πλήθος των τροχών τους
2.700.
α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους.
(Μονάδες 13)
β) Να βρείτε τον αριθμό των δίκυκλων καθώς και τον αριθμό των τετράτροχων οχημάτων.
(Μονάδες 12)

Λύση.

α) Έστω x,y ο αριθμός των δίκυκλων και των τετράτροχων οχημάτων αντίστοιχα.
Η μία εξίσωση του συστήματος είναι x+y=830 (1)

Τα δίκυκλα έχουν συνολικά 2x τροχούς, ενώ τα τετράτροχα 4y τροχούς. Η άλλη εξίσωση λοιπόν του συστήματος είναι 2x+4y=2700 ή x+y=1350 (2)

β) \displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 
x + y = 830\\ 
x + 2y = 1350 
\end{array} \right.\mathop  \Leftrightarrow \limits^{( - )} \left\{ \begin{array}{l} 
x + y = 830\\ 
y = 520 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
x = 310\\ 
y = 520 
\end{array} \right.}

Έχουμε λοιπόν 310 δίκυκλα και 520 τετράτροχα οχήματα.

Σχόλιο: Αν έβλεπα αυτή την άσκηση χωρίς να ξέρω σε ποια τάξη απευθύνεται, θα έλεγα ότι είναι της Γ' Γυμνασίου.
Συνημμένα
GI_V_ALG_2_17651.docx
(109.85 KiB) Μεταφορτώθηκε 183 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Νοέμ 11, 2014 1:23 pm

GI_V_ALG_2_18634

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=2x^2-12x+19}

α) Να δείξετε ότι γράφεται στη μορφή: \displaystyle{f(x)=2(x-3)^2+1}

β) Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης \displaystyle{g(x)=x^2}. Στο ίδιο σύστημα αξόνων,

να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της \displaystyle{f}, και να εξηγήσετε πως αυτή προκύπτει μετατοπίζοντας κατάλληλα τη γραφική παράσταση της \displaystyle{g}.

Λύση

α) Έχουμε : \displaystyle{f(x)=2x^2-12x+19=2x^2-12x+18+1=2(x^2-6x+9)+1=2(x-3)^2+1}

β) Η γραφική παράσταση της \displaystyle{f} (κόκκινη) θα προκύψει από τη γραφική παράσταση της \displaystyle{g} (μπλε) με δύο

μετατοπίσεις : μία οριζόντια προς τα δεξιά κατά \displaystyle{3} μονάδες και μία κατακόρυφη προς τα πάνω κατά μία μονάδα.
Συνημμένα
18634.png
18634.png (37.44 KiB) Προβλήθηκε 6863 φορές


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Νοέμ 11, 2014 1:55 pm

GI_V_ALG_2_17741

α) Να αποδείξετε ότι : \displaystyle{\frac{\eta \mu x}{1-\sigma \upsilon \nu x}+\frac{\eta \mu x}{1+\sigma \upsilon \nu x}=\frac{2}{\eta \mu x},~x\ne \kappa \pi,~\kappa \in \mathbb Z}

β) Να λυθεί η εξίσωση : \displaystyle{\frac{\eta \mu x}{1-\sigma \upsilon \nu x}+\frac{\eta \mu x}{1+\sigma \upsilon \nu x}=\frac{4}{\sqrt{3}}}

Λύση

α) \displaystyle{\frac{\eta \mu x}{1-\sigma \upsilon \nu x}+\frac{\eta \mu x}{1+\sigma \upsilon \nu x}=\frac{\eta \mu x(1+\sigma \upsilon \nu x)+\eta \mu x(1-\sigma \upsilon \nu x)}{(1-\sigma \upsilon \nu x)(1-\sigma \upsilon \nu x)}=\frac{\eta \mu x+\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x+\eta \mu x-\eta \mu x\sigma \upsilon \nu x}{1-\sigma \upsilon \nu^2x}=\frac{2\eta \mu x}{\eta \mu^2 x}=\frac{2}{\eta \mu x}}.

β) Από το πρώτο ερώτημα για \displaystyle{x\ne \kappa \pi,~\kappa \in \mathbb Z} η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την

\displaystyle{\frac{2}{\eta \mu x}=\frac{4}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow \eta \mu x=\frac{\sqrt{3}}{2}=\eta \mu \frac{\pi}{3} \Leftrightarrow x=2\kappa \pi+\frac{\pi}{3}~\acute{\eta}~x=2\kappa \pi+\frac{2\pi}{3},~\kappa \in \mathbb Z} (δεκτές)


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Τρί Νοέμ 11, 2014 2:05 pm

GI_V_ALG_2_17739

Έστω γωνία \displaystyle{x} για την οποία ισχύουν : \displaystyle{\frac{\pi}{2}<x<\pi} και \displaystyle{\eta \mu(\pi-x)-\eta \mu(\pi+x)=1}.

α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\eta \mu x=\frac{1}{2}}

β) Να βρείτε τη γωνία \displaystyle{x}

Λύση

α) Έχουμε \displaystyle{\eta \mu(\pi-x)-\eta \mu(\pi+x)=1\Leftrightarrow \eta\mu x-(-\eta \mu x)=1\Leftrightarrow 2\eta \mu x=1\Leftrightarrow \eta\mu x=\frac{1}{2}}

β) Είναι \displaystyle{\eta \mu x=\frac{1}{2}=\eta \mu \frac{\pi}{6}} και \displaystyle{\frac{\pi}{2}<x<\pi} άρα \displaystyle{x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}}


Γιώργος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης