4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#81

Άσκηση 4_22796

Δίνονται οι συναρτήσεις  f(x)=ln(e^x-1)

και

α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων

και

. (Μονάδες 4)
β) Να λύσετε τις ανισώσεις f(x)>0

και

(Μονάδες 8)
γ) Να συγκρίνετε τους αριθμούς f(ln3)

 και $\displaystyle{g\left( {\frac{2}{e}} \right)}$ (Μονάδες 6)
δ) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f(2x) - f(x) = g\left( {\sqrt {e - 1} } \right)}$ (Μονάδες 7)

Λύση

α) Για την

: $\displaystyle{{e^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow {e^x} > 1 \Leftrightarrow {e^x} > {e^0} \Leftrightarrow x > 0}$ . Άρα $\displaystyle{{D_f} = (0, + \infty )}$

Για την

: $\displaystyle{{x^2} > 0 \Leftrightarrow x \ne 0}$ . Άρα $\displaystyle{{D_g} = {R^*}}$

β) $\displaystyle{f(x) > 0 \Leftrightarrow \ln ({e^x} - 1) > \ln 1 \Leftrightarrow {e^x} > 2 \Leftrightarrow {e^x} > {e^{\ln 2}} \Leftrightarrow x > \ln 2}$

$\displaystyle{g(x) < 0 \Leftrightarrow \ln {x^2} < \ln 1 \Leftrightarrow {x^2} < 1 \Leftrightarrow - 1 < x < 1}$ . Επειδή όμως $\displaystyle{x \ne 0}$ , οι λύσεις της ανίσωσης είναι: $\displaystyle{x \in ( - 1,0) \cup (0,1)}$

γ) $\displaystyle{f(\ln 3) = \ln \left( {{e^{\ln 3}} - 1} \right) = \ln (3 - 1) = \ln 2}$

$\displaystyle{g\left( {\frac{2}{e}} \right) = \ln {\left( {\frac{2}{e}} \right)^2} = 2\left( {\ln 2 - \ln e} \right) = 2(\ln 2 - 1)}$

Αλλά, $\displaystyle{1 < 2 < e \Leftrightarrow 0 < \ln 2 < 1}$ , οπότε g(x)<0<f(x)

.

δ) Η εξίσωση ορίζεται για x>0

$\displaystyle{f(2x) - f(x) = g\left( {\sqrt {e - 1} } \right) \Leftrightarrow \ln \left( {{e^{2x}} - 1} \right) - \ln \left( {{e^x} - 1} \right) = \ln {\left( {\sqrt {e - 1} } \right)^2} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{\ln \frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^x} - 1}} = \ln (e - 1) \Leftrightarrow \frac{{{e^{2x}} - 1}}{{{e^x} - 1}} = e - 1 \Leftrightarrow \frac{{({e^x} - 1)({e^x} + 1)}}{{{e^x} - 1}} = e - 1 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{e^x} + 1 = e - 1 \Leftrightarrow {e^x} = e - 2 \Leftrightarrow x = \ln (e - 2) < 0}$

Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη.

Σχόλιο: Το βρίσκω αρκετά δύσκολο θέμα για μάθημα Γενικής Παιδείας (ειδικά αν συγκριθεί με αντίστοιχα θέματα Γεωμετρίας). Επίσης κρίνω το τελευταίο ερώτημα κάπως αντιδεοντολογικό. Αυτή όμως είναι απλώς η προσωπική μου γνώμη.

#82

4_22777

Στο σχήμα φαίνονται η γραφική παράσταση της συνάρτησης και η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A (0, 1)

και

.
α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας. (Μονάδες 7)
β) Αν η ευθεία έχει εξίσωση y = -3x + 1

, να βρείτε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων της ευθείας με τη γραφική παράσταση της

. (Μονάδες 9)
γ) Να λύσετε την ανίσωση (Μονάδες 9)

: 21-01-2015 Τράπεζα Άλγεβρα Β b.jpg (8.03 KiB) Προβλήθηκε 9255 φορές

α) Η ευθεία, αφού δεν είναι κατακόρυφη έχει εξίσωση της μορφής $\displaystyle y = \alpha x + \beta ,\;\;\alpha ,\;\beta \in R$

Αφού διέρχεται από τα σημεία A, B

, οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της,

οπότε είναι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} 1 = \alpha \cdot 0 + \beta \\ - 2 = 1 \cdot \alpha + \beta \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \beta = 1\\ \alpha = - 3 \end{array} \right.$ , άρα η ευθεία έχει εξίσωση $\displaystyle y = - 3x + 1$

β) Βρίσκουμε τα κοινά τους σημεία, λύνοντας το σύστημα $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} y = - {x^3} - {x^2}\\ y = - 3x + 1 \end{array} \right.$
Είναι $\displaystyle - {x^3} - {x^2} = - 3x + 1 \Leftrightarrow - {x^3} - {x^2} + 3x - 1 = 0$

Με σχήμα Horner

: 21-01-2015 Τράπεζα Άλγεβρα Β.jpg (4.45 KiB) Προβλήθηκε 9255 φορές

βρίσκουμε ότι το x = 1

είναι ρίζα της εξίσωσης, η οποία γράφεται $\displaystyle \left( {x - 1} \right)\left( { - {x^2} - 2x + 1} \right) = 0$

Οι ρίζες της $\displaystyle - {x^2} - 2x + 1 = 0$ είναι $\displaystyle {x_{1,\;2}} = \frac{{2 \pm \sqrt 8 }}{{ - 2}} = - 1 \pm \sqrt 2$

Για $\displaystyle x = - 1 - \sqrt 2 ,\;\;y = - 3\left( { - 1 - \sqrt 2 } \right) + 1 = 4 + 3\sqrt 2$ ,

για $\displaystyle x = - 1 + \sqrt 2 ,\;\;y = - 3\left( { - 1 + \sqrt 2 } \right) + 1 = 4 - 3\sqrt 2$ ,

για x = 1

,

,

οπότε τα σημεία τομής τους είναι $\displaystyle \Gamma \left( { - 1 - \sqrt 2 ,\;4 + 3\sqrt 2 } \right),\;\;\Delta \left( { - 1 + \sqrt 2 ,\;4 - 3\sqrt 2 } \right),\;\;{\rm B}\left( {1,\; - 2} \right)$

γ) Είναι $\displaystyle - {x^3} - {x^2} < - 3x + 1 \Leftrightarrow - {x^3} - {x^2} + 3x - 1 < 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( { - {x^2} - 2x + 1} \right) < 0$

Το πρόσημό του $\displaystyle {\rm P}\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( { - {x^2} - 2x + 1} \right)$ δίνεται στον πίνακα

: 21-01-2015 Τράπεζα Άλγεβρα Β a.jpg (10.23 KiB) Προβλήθηκε 9255 φορές

οπότε $\displaystyle P\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow - 1 - \sqrt 2 < x < - 1 + \sqrt 2 \;\;\; \vee \;\;\;\;x > 1$

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι στα διαστήματα $\displaystyle \left( { - 1 - \sqrt 2 ,\;\; - 1 + \sqrt 2 } \right),\;\;\left( {1,\; + \infty } \right)$ η γραφική παράσταση της ευθείας είναι πάνω από τη γραφική παράσταση της καμπύλης.

ΣΧΟΛΙΟ: Θα προτιμούσα η εκφώνηση να διατυπώνεται
(α) Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A, B

έχει εξίσωση y = -3x + 1

και (β) Βρείτε τις συντεταγμένες των κοινών σημείων της παραπάνω ευθείας με τη γραφική παράσταση της

.
Η διατύπωση στο (β): "Αν η ευθεία έχει εξίσωση ..." είναι τουλάχιστον άκομψη. Ο υποθετικός σύνδεσμος που κολλάει; Υπάρχει περίπτωση να μην είναι αυτή η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία A, B

;

#83

Άσκηση 4_22794

Δίνεται το πολυώνυμο $P( x) = x^3 + ax^2 + \beta x + 6 , a,\beta∈R$ .
α) Να υπολογίσετε τις τιμές των

και $\beta$ ώστε το πολυώνυμο P( x)

να έχει παράγοντα το x +1

και η αριθμητική τιμή του για x = 2

να είναι ίση με

. (Μονάδες 7)
β) Για a=-2

και $\beta=3$
i. Να γράψετε την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης του πολυωνύμου P( x)

με το

. (Μονάδες 5)
ii. Να λύσετε την ανίσωση P( x) ≤ −x +14

. (Μονάδες 7)
iii. Να λύσετε την ανίσωση P(lnx) ≤ −lnx +14

. (Μονάδες 6)

Λύση

α) Είναι $\displaystyle{P( - 1) = 0 \Leftrightarrow - 1 + \alpha - \beta + 6 = 0 \Leftrightarrow \alpha - \beta = - 5}$
$\displaystyle{{\rm P}(2) = 12 \Leftrightarrow 8 + 4\alpha + 2\beta + 6 = 0 \Leftrightarrow 2\alpha + \beta = - 1}$
Προσθέτοντας κατά μέλη βρίσκουμε a=-2

και αντικαθιστώντας σε μία από τις δύο εξισώσεις, $\beta=3$

β) i. $\displaystyle{P(x) = {x^3} - 2{x^2} + 3x + 6 = {x^3} - 2{x^2} + 3x - 6 + 12 = {x^2}(x - 2) + 3(x - 2) + 12}$
$\displaystyle{ \Leftrightarrow P(x) = (x - 2)({x^2} + 3) + 12}$

ii. $\displaystyle{P(x) \le - x + 14 \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + 4x - 8 \le 0 \Leftrightarrow {x^2}(x - 2) + 4(x - 2) \le 0 \Leftrightarrow }$
$\displaystyle{(x - 2)({x^2} + 4) \le 0 \Leftrightarrow x \le 2}$ (αφού x^2+4>0

, για κάθε $x\in R$ )

iii. Αρχικά πρέπει x>0

και σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα θα είναι:
$\displaystyle{P(\ln x) \le - x + 14 \Leftrightarrow \ln x \le 2 \Leftrightarrow \ln x \le \ln {e^2} \Leftrightarrow x \le {e^2}}$ , έχουμε τελικά: $\displaystyle{0 < x \le {e^2}}$

edit: Διόρθωση του αποτελέσματος στο τελευταίο ερώτημα λόγω τυπογραφικού. Διορθώθηκε και το συνημμένο. Ευχαριστώ τον AMD για την επισήμανση

#84

4_22791

Δίνεται η συνάρτηση $f ( x) = a ⋅2^x + \beta$ για κάθε $x\in R$ και $a,\beta\in R$ . Η γραφική παράσταση της
συνάρτησης

διέρχεται από τα σημεία A(1,3)

και

.
α) Να αποδείξετε ότι a = 5

και $\beta = -7$ . (Μονάδες 7)
β) Να βρείτε το κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

με τον άξονα y′y

. (Μονάδες 4)
γ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι γνησίως αύξουσα στο

. (Μονάδες 7)
δ) Να λύσετε την ανίσωση $\displaystyle{f\left( {{2^x} - 31} \right) < 3}$ (Μονάδες 7)

Λύση

α) $\displaystyle{f(1) = 3 \Leftrightarrow 2a + \beta = 3,f(2) = 13 \Leftrightarrow 4a + \beta = 13}$
Αφαιρώντας κατά μέλη τις δύο εξισώσεις βρίσκουμε $\displaystyle{2a = 10 \Leftrightarrow a = 5}$ και αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση $\beta=-7$ .

β) Η συνάρτηση γράφεται $\displaystyle{f(x) = 5 \cdot {2^x} - 7}$ και τέμνει τον y'y

στο σημείο B(0,f(0)

. $\displaystyle{f(0) = 5 \cdot {2^0} - 7 = - 2}$ , άρα B(0,-2)

.

γ) Για κάθε $x_1,x_2\in R$ με x_1<x_2

είναι

$\displaystyle{{2^{{x_1}}} < {2^{{x_2}}} \Leftrightarrow 5 \cdot {2^{{x_1}}} < 5 \cdot {2^{{x_2}}} \Leftrightarrow 5 \cdot {2^{{x_1}}} - 7 < 5 \cdot {2^{{x_2}}} - 7 \Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})}$
Άρα η είναι

γνησίως αύξουσα στο

.

δ) Έστω 2^x-31=y

. Η ανίσωση γράφεται:
$\displaystyle{5 \cdot {2^y} - 7 < 3 \Leftrightarrow 5 \cdot {2^y} < 10 \Leftrightarrow {2^y} < 2 \Leftrightarrow y < 1}$
Άρα: $\displaystyle{{2^x} - 31 < 1 \Leftrightarrow {2^x} < 32 = {2^5} \Leftrightarrow x < 5}$

#85

Άσκηση 4_22769

Δίνεται το πολυώνυμο $2x^3+ax^2+\beta x+2$ με $a,\beta\in R$ .
α) Αν το πολυώνυμο P(x)

έχει παράγοντα το x-2

και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το x+1

είναι ίσο με

, να βρείτε τα $a,\beta\in R$ . (Μονάδες 7)
β) Αν a = -5

και $\beta = 1$ , να λύσετε την εξίσωση P(x)=0

. (Μονάδες 8)
γ) Να λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{2\sigma \upsilon {\nu ^3}\omega + 5\eta {\mu ^2}\omega + \sigma \upsilon \nu \omega - 3 = 0}$ . (Μονάδες 10)

Λύση

α) Από την υπόθεση έχουμε:
$\displaystyle{{\rm P}(2) = 0 \Leftrightarrow 16 + 4\alpha + 2\beta + 2 = 0 \Leftrightarrow 2\alpha + \beta = - 9}$ και $\displaystyle{{\rm P}( - 1) = - 6 \Leftrightarrow - 2 + \alpha - \beta + 2 = - 6 \Leftrightarrow \alpha - \beta = - 6}$
Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε a=-5

και αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση $\beta=1$

β) Το πολυώνυμο γράφεται $\displaystyle{P(x) = 2{x^3} - 5{x^2} + x + 2}$
$\displaystyle{P(x) = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} - 5{x^2} + x + 2 = 0 \Leftrightarrow 2{x^3} - 4{x^2} - ({x^2} - x - 2) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2{x^2}(x - 2) - (x - 2)(x + 1) = 0 \Leftrightarrow (x - 2)(2{x^2} - x - 1) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(x = 2 \vee 2{x^2} - x - 1 = 0) \Leftrightarrow x = 2 \vee x = 1 \vee x = -\frac{1}{2}}$

γ) $\displaystyle{2\sigma \upsilon {\nu ^3}\omega + 5\eta {\mu ^2}\omega + \sigma \upsilon \nu \omega - 3 = 0 \Leftrightarrow 2\sigma \upsilon {\nu ^3}\omega + 5 - 5\sigma \upsilon {\nu ^2}\omega + \sigma \upsilon \nu \omega - 3 = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{2\sigma \upsilon {\nu ^3}\omega - 5\sigma \upsilon {\nu ^2}\omega + \sigma \upsilon \nu \omega + 2 = 0 \Leftrightarrow {\rm P}(\sigma \upsilon \nu \omega ) = 0}$

Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega = 1 \vee \sigma \upsilon \nu \omega = - \frac{1}{2}}$ (η λύση $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega = 2}$ απορρίπτεται αφού $\displaystyle{|\sigma \upsilon \nu \omega | \le 1}$ )

● $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega = 1 \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \omega = \sigma \upsilon \nu 0 \Leftrightarrow \omega = 2\kappa \pi ,\kappa \in {\rm Z}}$

● $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \omega = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \omega = \sigma \upsilon \nu \frac{{2\pi }}{3} \Leftrightarrow \omega = 2\lambda \pi \pm \frac{{2\pi }}{3},\lambda \in {\rm Z}}$

Σημείωση: Προφανώς θέλουν η εξίσωση P(x)=0

να λυθεί με σχήμα Horner αφού γνωρίζουμε ήδη ότι έχει μία ρίζα x=2

. Το έλυσα με παραγοντοποίηση γιατί δεν ξέρω πώς να μεταφέρω το σχήμα (αν όχι με geogebra).

asemarak · #86

4_20339

Μια ρόδα ποδηλάτου περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της. Σημειώνουμε ένα σημείο

της ρόδας (όπως φαίνεται στο σχήμα),

το οποίο τη χρονική στιγμή t = 0

, είναι το σημείο επαφής της ρόδας με μια επιφάνεια. Η συνάρτηση που εκφράζει την απόσταση

(σε m) του σημείου

από την επιφάνεια, t sec

μετά την αρχή της κίνησης δίνεται από τη σχέση:

$h(t)=-0,2\sigma \upsilon \nu (\omega t)+0,2$ , με $\omega$ θετική πραγματική σταθερά.

Υποθέτουμε ότι το σημείο

κάνει ένα πλήρη κύκλο σε 4sec

.

α) Να αποδείξετε ότι $\omega =\frac{\pi }{2}$ . (Μονάδες 5)

β) Να προσδιορίσετε την απόσταση του

από την επιφάνεια τις στιγμές: $t_{1}=1sec$ , $t_{2}=2sec$ και $t_{3}=7sec$ . (Μονάδες 6)

γ) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της

. (Μονάδες 5)

δ) Να προσδιορίσετε την ακτίνα της ρόδας. (Μονάδες 9)

: 20339.png (18.5 KiB) Προβλήθηκε 9097 φορές

ΛΥΣΗ

α) Αφού το σημείο

κάνει ένα πλήρη κύκλο σε 4sec

, είναι $T=4\Leftrightarrow \frac{2\pi }{\omega }=4\Leftrightarrow \omega =\frac{\pi }{2}$ .

Η συνάρτηση γράφεται: $h(t)=-0,2\sigma \upsilon \nu (\frac{\pi t}{2})+0,2$

β) Η απόσταση του

από την επιφάνεια τη στιγμή $t_{1}=1sec$ είναι ίση με $h(1)=-0,2\sigma \upsilon \nu (\frac{\pi }{2})+0,2 =0,2m$ ,

τη στιγμή $t_{2}=2sec$ είναι ίση με $h(2)=-0,2\sigma \upsilon \nu (\frac{2\pi }{2})+0,2 =-0,2\cdot (-1)+0,2=0,2+0,2=0,4m$

και τη στιγμή $t_{3}=7sec$ είναι ίση με $h(7)=-0,2\sigma \upsilon \nu (\frac{ 7 \pi }{2})+0,2 =-0,2\sigma \upsilon \nu (2\pi +\frac{ 3 \pi }{2})+0,2=$

$-0,2\sigma \upsilon \nu ( \frac{ 3 \pi }{2})+0,2=0+0,2=0,2m$ .

γ) Αφού η συνάρτηση $f(t)=-0,2\sigma \upsilon \nu (\frac{\pi t}{2})$ έχει μέγιστη τιμή $f_{max}=|-0,2|=0,2m$

και ελάχιστη τιμή $f_{min}=-|-0,2|=-0,2m$ ,

η μέγιστη τιμή της

θα είναι $h_{max}=f_{max}+0,2=0,4m$ και η ελάχιστη τιμή $h_{min}=f_{min}+0,2=0m$ .

δ) Η διάμετρος της ρόδας είναι ίση με $\delta = h_{max}-h_{min}=0,4-0=0,4m$ ,

οπότε η ακτίνα της είναι ίση με $\rho =\frac{\delta }{2}=\frac{0,4}{2}=0,2m$ .

depymak · #87

Αναρτώ προτεινόμενη λύση για την 4_22799
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Δίδεται η συνάρτηση f(x)=log(x-2)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
β)Να υπολογίσετε τον αριθμό: $100^{log\sqrt{6}}$
γ) Να λύσετε την εξίσωση :
$4\cdot 4^{f(x)}-9\cdot 2^{f(x)}+100^{log\sqrt{6}}-4=0$
ΛΥΣΗ
a)
$D_{f}=\left \{ x\epsilon \e \mathbb{R}:x-2> 0 \right \}=\left ( 0,\infty \right )$
b)
$100^{log\sqrt{6}}=(10^2)^{log\sqrt{6}}=10^{2log\sqrt{6}}=10^{log\sqrt{6}^2}=10^{log\6}=6$
c)
$4\cdot 4^{f(x)}-9\cdot 2^{f(x)}+100^{log\sqrt{6}}-4=0\Leftrightarrow 4\cdot 2^{2f(x)}-9\cdot 2^{f(x)}+100^{log\sqrt{6}}-4=0\Leftrightarrow$
$4\cdot \left (2^{f(x)} \right )^2-9\cdot 2^{f(x)}+100^{log\sqrt{6}}-4=0\Leftrightarrow 4\cdot \left (2^{f(x)} \right )^2-9\cdot 2^{f(x)}+6-4=0\Leftrightarrow 4\cdot \left (2^{f(x)} \right )^2-9\cdot 2^{f(x)}+2=0$
Θέτω $2^{f(x)} =y$
Συνεπώς η πιο πάνω εξίσωση λαμβάνει τη μορφή:
4y^2-9y+2=0

Τριώνυμο με διακρίνουσα Δ=49 και ρίζες $y_{1}=2 ,y_{2}=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}=2^{-2}$
>>Για $y_{1}=2$ έχουμε:
$2^{f(x)}=2\Leftrightarrow 2^{f(x)}=2^1$
Kαθώς όμως η εκθετική συνάρτηση είναι 1-1 , έχουμε f(x)=1 ή log(x-2)=log10
Όμως και η λογαριθμική συνάρτηση είναι 1-1, οπότε x-2=10 ή χ=12
Ομοίως
>>Για $y_{2}=2^{-2}$ έχουμε:
$2^{f(x)}=2^{-2}\overset{1-1}{\rightarrow}f(x)=-2\rightarrow log(x-2)=log(10^{-2})$
$\overset{1-1}{\rightarrow}x-2=\frac{1}{100}$
Άρα $χ=2+\frac{1}{100}=\frac{201}{100}$ ή χ=2,01
Και αυτή η λύση όπως και η προηγούμενη , ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x)

depymak έγραψε:επιθυμώ να λύσω την 4_22799 και την 4_22790
ευχαριστώ.

#88

ΘΕΜΑ 4 – 22775

Λύνω και σχολιάζω το θέμα αυτό παίρνοντας αφορμή από μαι συζήτηση που είχα με τον φίλο Γιώργο Λέκκα και την εύλογη παρατήρησή του:
"πώς το παιδί θα "εκτιμήσει" την τιμή σ΄αυτή την άθλια γρ. παράσταση; Αν απαντήσει 1,9 θα του το πάρω λάθος; όχι βέβαια!! - μιλώ για το α), η επαλήθευση είναι σε ανεξάρτητο ερώτημα"

Μια εταιρεία εκτίμησε ότι το κέρδος της Ρ (σε χιλιάδες ευρώ) από την πώληση ενός συγκεκριμένου προϊόντος ήταν: $P(x) = - 0.5{x^3} + 1.9{x^2} + 1$ , $0 \le x \le 4$ όπου x είναι η διαφημιστική δαπάνη (σε χιλιάδες ευρώ).
Για αυτό το προϊόν, ξόδεψε για διαφήμιση

χιλιάδες ευρώ και το κέρδος της ήταν 4,6

χιλιάδες ευρώ.

α) i. Να χρησιμοποιήσετε την παραπάνω γραφική παράσταση της συνάρτησης P(x)

για να εκτιμήσετε ένα άλλο ποσό

που θα μπορούσε να δαπανήσει για διαφήμιση η εταιρεία ώστε να έχει το ίδιο κέρδος. (Μονάδες 5)
ii. Να επαληθεύσετε αλγεβρικά το αποτέλεσμα του ερωτήματος i. (Μονάδες 10)
β) Πόσα χρήματα πρέπει να δαπανήσει η εταιρεία για διαφήμιση, ώστε το κέρδος της να είναι μεγαλύτερο από 4,6

χιλιάδες ευρώ; (Μονάδες 10)

: 8-02-2015 Τράπεζα Άλγεβρα Β.jpg (15.75 KiB) Προβλήθηκε 8973 φορές

ΛΥΣΗ:

α)
i. Φέρνουμε την οριζόντια ευθεία από το

. Παρατηρούμε ότι τέμνει την καμπύλη περίπου στο A(2, 4,6)

.

ii. Επιλύουμε την εξίσωση $\displaystyle P\left( x \right) = 4,6\;\;,\;\;x \in \left[ {0,\;4} \right]$ που γράφεται $\displaystyle - 0,5{x^3} + 1,9{x^2} - 3,6 = 0 \Leftrightarrow 5{x^3} - 19{x^2} + 36 = 0$
Με σχήμα Horner βρίσκουμε τις ρίζες x = 2, x = 3

στο διάστημα [0, 4]

.

β) Η ανίσωση $\displaystyle P\left( x \right) > 4,6\;\;,\;\;x \in \left[ {0,\;4} \right]$ γράφεται $\displaystyle - 0,5{x^3} + 1,9{x^2} - 3,6 = 0 \Leftrightarrow 5{x^3} - 19{x^2} + 36 = 0$
$\displaystyle \Leftrightarrow \left( {5x + 6} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0$ , που αληθεύει στο διάστημα (2, 3)

, για εκείνα τα

που ανήκουν στο [0, 4]

.

ΣΧΟΛΙΑ-ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ:
1) Το περιεχόμενο της άσκησης δικαιολογεί το χαρακτηρισμό της ως 4ο θέμα; Ποιες προδιαγραφές του υλοποιεί;

2) Στο (β) αν δοθεί εποπτική απάντηση: "Από το σχήμα φαίνεται ότι το κέρδος της είναι μεγαλύτερο από 4,6

χιλιάδες ευρώ όταν 2<x<3

, θα γίνει δεκτή; Θα ήθελα οι συντάκτες να απαντήσουν Ναι ή Όχι και γιατί;

3) Έστω ότι στο αii) δοθεί η λύση: "Για να επαληθεύσουμε την παραπάνω εκτίμηση, μπορούμε να υπολογίσουμε το P(2)

και να διαπιστώσουμε ότι είναι ίσο με 4,6

, και αυτή είναι η μοναδική δυνατή τιμή, αφού η οριζόντια ευθεία που φέραμε από το

τέμνει την καμπύλη σε ένα μόνο ακόμα σημείο". Αυτή η λύση γίνεται δεκτή; Συνδιάστε το με την παρατήρηση του Γιώργου παραπάνω

4) Στην ουσία τώρα! Προσέξτε: "Μια εταιρεία εκτίμησε ότι το κέρδος της ήταν $P(x) = - 0.5{x^3} + 1.9{x^2} + 1$ , με $0 \le x \le 4$ , όπου

είναι η διαφημιστική δαπάνη (σε χιλιάδες ευρώ)".
Η λέξη "ήταν" είναι άκομψη. Δηλώνει μία τιμή, ενώ δίνει συνεχή συνάρτηση σε διάστημα. Τέλος πάντων, ας το παραβλέψουμε.
Το σενάριο είναι προφανώς εξωπραγματικό. Το κέρδος δεν εξαρτάται μόνο από τη διαφήμιση! Αν ακούσουν κάτι τέτοιο όσοι σπουδάζουν επιχειρησιακή έρευνα θα λιποθυμήσουν(το λιγότερο…). Μα και έτσι να ήταν, είναι δυνατόν να συνδέονται με τριτοβάθμια εξίσωση;
Πώς θα εξηγήσουμε στους μαθητές π.χ. γιατί αν το κόστος διαφήμισης είναι 2,5

χιλιάδες ευρώ έχουμε τις μέγιστες πωλήσεις, ενώ αν συνεχίσουμε να το διαφημίζουμε οι πωλήσεις πέφτουν; Από ποια έρευνα αγοράς προκύπτει κάτι τέτοιο;
Για σκεφτείτε. Το διάστημα [0, 4]

γιατί επελέγη; Μα προφανώς αν δώσουμε πάνω από

χιλιάρικα για διαφήμιση, τα κέρδη θα γίνουν… αρνητικά. Και μάλιστα, αν μεγαλώσει πολύ η διαφημιστική δαπάνη, η ζημιά θα πάει στο (συν) άπειρο!
Αντίθετα, αν, λέμε αν γινόταν στον κόσμο των μαθηματικών…, να είχαμε αρνητικό κόστος διαφήμισης, όχι πολύ

χιλιάδες ευρώ θα είχαμε κέρδη των

χιλιάδων ευρώ! Τρελή επιτυχία, (αν προσθέσουμε και τα έσοδα της αρνητικής διαφήμισης).

: 8-02-2015 Τράπεζα B Λυκείου.png (14.73 KiB) Προβλήθηκε 8977 φορές

Πολλοί συνάδελφοι ξέρω ότι αναζητούν πληροφορίες για τη διεθνή έρευνα PISA που θα επαναληφθεί σε λίγο καιρό. Στα θέματα της έρευνας αυτής κυριαρχούν τα λεγόμενα ρεαλιστικά μαθηματικά. Υπάρχουν πολλά πραγματικά ή αληθοφανή σενάρια, που καμμία σχέση δεν έχουν με ανούσια, απωθητικά σενάρια, όπως το παραπάνω, που είναι κατασκευασμένα για το τίποτα, εφόσον και το μαθηματικό περιεχόμενο του είναι αρκετά φτωχό για "τέταρτο θέμα".

Για όσους ενδιαφέρονται παραπάνω μπορούν να βρουν σχετικά παραδείγματα στο δικτυακό τόπο του PISA.GR, αλλά και κάποια στοιχεία για το περιεχόμενο του και παραδείγματα μαθηματικών θεμάτων ΕΔΩ.

akis_man · #89

ΘΕΜΑ: GI_V_ALG_4_22764

Έστω $P\left( x \right)$ πολυώνυμο τρίτου βαθμού το οποίο διαιρείται με το πολυώνυμο ${{x}^{2}}+2x$ και είναι τέτοιο, ώστε $P\left( 1 \right)=0$ και $P\left( 2 \right)=8$ .
α. Να αποδείξετε ότι $P\left( x \right)={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x$ .
(Μονάδες 10)
β. Να λύσετε την εξίσωση $P\left( x \right)=8$ .
(Μονάδες 6)
γ. Να λύσετε την ανίσωση $P\left( x \right)>2$ .
(Μονάδες 9)

Στόχοι: Πολυωνυμική εξίσωση, Πράξεις πολυωνύμων, Ανισώσεις
Γνωστικές απαιτήσεις: (4.1), (4.2), (4.3), (4.4), (4.5)

4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση