Αναρτώ εδώ ένα κείμενο με κάποιους προβληματισμούς μου σχετικά με τη χρήση "πραγματικών" προβλημάτων στην Άλγεβρα της Β΄ Λυκείου. Θα χαιρόμουν να προκληθεί συζήτηση και οι προβληματισμοί μας να μην χαθούν στις ισοπέδωτικές διαδικασίες των προκάτ λογιστικών τυποποιημένων αξιολογήσεων (Βλέπετε
ΕΔΩ), αλλά να ληφθούν υπόψη από τους υπεύθυνους.
Σχετικά με τις διατυπώσεις των προβλημάτων της Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου
της Τράπεζας θεμάτων
(Ενημέρωση "Τράπεζας Θεμάτων Νοέμβριος 2014)
Θέλω να κάνω κάποιες παρατηρήσεις, διαβάζοντας τα θέματα της Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β΄ Λυκείου της Τράπεζας θεμάτων, που είναι διατυπωμένα υπό μορφή προβλήματος, δηλαδή τις ασκήσεις που έχουν στην εκφώνησή τους ένα σενάριο, που (υποτίθεται ότι) αντανακλά κάποια πραγματική κατάσταση, η οποία μπορεί να μοντελοποιηθεί και να μελετηθεί με τα εργαλεία της Άλγεβρας.
Τα περισσότερα αφορούν το κεφάλαιο το συστημάτων και έχουν τετριμμένες, χιλιοειπωμένες διατυπώσεις, που είναι απωθητικές για την πλειοψηφία των μαθητών.
Π.χ. ποια πραγματική κατάσταση εκφράζει το "πρόβλημα" 2_17651, όπου ένας, προφανώς ψυχαναγκαστικός, υπάλληλος μετρά όχι πόσα αυτοκίνητα και πόσα μηχανάκια χωρά το (παραδόξως τεράστιο) δημοτικό πάρκινγκ, αλλά πόσα οχήματα είναι μαζί και πόσες ρόδες έχουν συνολικά και κατόπιν λύνει σύστημα για να βρει τον αριθμό των αυτοκινήτων και των μηχανών. Θυμίζει τα παλιά ανούσια προβλήματα με τον χωρικό που μετρά μαζί πρόβατα και κότες, μετά μετρά τα πόδια τους και λύνοντας το συστηματάκι τα ταξινομεί κατ' είδος.
Αναρωτιέμαι τι προσφέρουν τέτοιου είδους διατυπώσεις σε θέματα εξέτασης του Ιουνίου. Ποιους στόχους από αυτούς της προκήρυξης εξυπηρετούν;
Το 2_17717 που αναφέρεται στα καθίσματα δύο διαζωμάτων ενός θεάτρου, είναι απλό σύστημα, αληθοφανές, δίχως ιδιαίτερη δυσκολία, αλλά και δίχως να εξυπηρετεί τίποτα σε επίπεδο Β΄ Λυκείου. Για το Γυμνάσιο θα ήταν καλό.
Όπως και το 2_16957 με τις ηλικίες δύο φίλων, των οποίων γνωρίζουμε το άθροισμα των ηλικιών και τη διαφορά μεταξύ τους.
Το 4_17834 αναφέρεται στους λόγους των ηλικιών γονέων προς το παιδί. Ζητείται η κατασκευή του συστήματος και η επίλυσή του.
Προφανώς, κι εδώ, το "σενάριο" δεν προσφέρει γλαφυρότητα στο πρόβλημα, ούτε τραβά το ενδιαφέρον των μαθητών. Δεν είναι "ρεαλιστικό", σύμφωνα με την επίσημη άποψη των υπευθύνων του προγράμματος
PISA(*). Το αναφέρουμε αυτό, γιατί η έμφαση στη διδασκαλία των μαθηματικών μέσω προβλημάτων, αποδίδεται στην προσπάθεια της βελτίωσης της θέσης μας στο διαγωνισμό αυτό.
Το ίδιο σχόλιο και για το 4_17850, όπου πρέπει να πολλαπλασιάσουμε ηλικίες για να βρούμε τη μοναδική δεκτή λύση. Αλήθεια, ποια φυσική έννοια έχει το γινόμενο ηλικιών;
Ένα μειονέκτημα των παραπάνω θεμάτων, που ίσως τώρα δεν γίνεται φανερό, αλλά τον Ιούνη οι διορθωτές θα το αντιμετωπίσουν, είναι
η εξάρτηση των δεύτερων ερωτημάτων από τα πρώτα. Δηλαδή όποιος μαθητής δεν απαντήσει στο πρώτο ερώτημα αποκλείεται να ασχοληθεί με το επόμενο. Αυτό και μόνο τα μετατρέπει σε ακατάλληλα για θέματα εξέτασης. Κι αυτό δε διορθώνεται γιατί απλούστατα σε ένα πρόβλημα ηλικιών δεν μπορείς να "καρφώσεις" το αποτέλεσμα από το πρώτο ερώτημα.
Γίνεται επικίνδυνα γελοίο ως θέμα. Π.χ. στο 4_17834, πώς θα μπορούσε να διατυπωθεί το ερώτημα (α), ώστε να δοθούν οι εξισώσεις, με στόχο στο (β) να ελεγχθεί μόνο αν οι μαθητές μπορούν να λύσουν το σύστημα;
Έτσι ένας μαθητής που ξέρει να λύνει σύστημα, αλλά δεν το κατασκεύασε σωστά στο πρώτο ερώτημα μηδενίζεται όπως κι αυτός που δεν θα ασχοληθεί καθόλου. Μη ξεχνάμε ότι πρόκειται για μάθημα Γενικής Παιδείας, στο οποίο εξετάζονται και μαθητές που σκοπεύουν να ακολουθήσουν άλλα επιστημονικά πεδία.
Στο πρόβλημα 4_17855 ο χρόνος ταλάντωσης δίνεται σε ώρες (!) αντί για sec, όπως είναι σύνηθες σε σχετικά προβλήματα (και στο 4_17481), με αποτέλεσμα να χρειάζονται
ώρες για την ταλάντωση ολίγων εκατοστών. Προφανώς, για να γίνει αληθοφανές, χρειάζεται διόρθωση.
Στο 4_17481 δίνεται ημιτονοειδής συνάρτηση που μελετά το ύψος ενός καθίσματος μιας ρόδας λούνα παρκ. Η συνάρτηση είναι σωστή και τα μεγέθη σχεδόν σωστά. Ελάχιστο ύψος τα
μέτρα και μέγιστο τα
. Θα προτιμούσαμε ελάχιστο ύψος το
μέτρο για να μη δυσκολευτούν επισκέπτες του λούνα παρκ στην ανάβαση, αλλά δε νομίζω ότι τίθεται πρόβλημα.
Κάνουν τρεις γύρους του ενός λεπτού, απολύτως λογικό.
Η μελέτη της κίνησης της ρόδας ως πρόβλημα είναι ελκυστικό. Υπάρχει σχετική (δύσκολη) άσκηση στις γενικές του βιβλίου, όπου πρέπει να κατασκευαστεί η εξίσωση που δίνει το ύψος του καθίσματος.
Χρησιμοποιώντας πολικές συντεταγμένες για το σημείο Μ που κινείται στον κύκλο, έχουμε
, όπου
η γωνία της
με τον οριζόντιο άξονα.
Οπότε το ύψος του είναι απλούστατα η τιμή του
, όσο το
διατρέχει τον κύκλο.
Η συνάρτηση, λοιπόν που δίνει το ύψος είναι συνημιτονοειδής καμπύλη.
Όμως και η χρήση της ημιτονοειδούς καμπύλης είναι αποδεκτή. Οι Φυσικοί, καθόσον ξέρω, συνηθίζουν να χρησιμοποιούν ημίτονα σε σχετικά προβλήματα. Όπου συναντούν συνημίτονο το μετατρέπουν σε ημίτονο με διαφορά φάσης
.
Όμως…, η μελέτη ξεκινά από τη χρονική στιγμή
, όπου το κάθισμα βρίσκεται στα
μέτρα. Αυτό φαντάζει παράλογο σε ένα πρόβλημα του πραγματικού κόσμου (κοντά στο ύφος των θεμάτων του PISA, μόνο που αυτά περιέχουν φτωχότερες μαθηματικές επεξεργασίες)
Θα πρότεινα, λοιπόν, μια άλλη συνάρτηση είτε με ημίτονο είτε με συνημίτονο, ώστε τη χρονική τιμή
να βρίσκεται στην ελάχιστη θέση (φόρτωσης).
Εδώ θα μπορούσε να είναι
.
Κάτι τέτοιο το κάνει πιο αληθοφανές, αλλά ασφαλώς του προσθέτει δυσκολία.
Συγκρινόμενο με άλλα "τέταρτα θέματα" αποδεικνύεται ότι μόνο ισοδύναμα δεν είναι τα θέματα, ως όφειλαν. Έτσι, όμως, καθίσταται η όλη διαδικασία (τυχαία επιλογή κατά σχολείο) άδικη και τελικά προβληματική.
Σε αναμονή των επόμενων θεμάτων και τυχόν τροποποιήσεων των παρόντων.
ΑΝΑΦΟΡΕΣ
[1] Θέματα Άλγεβρας Β΄ Λυκείου, Τράπεζα θεμάτων (ενημέρωση Νοέμβριος 2014),
http://exams-repo.cti.gr/category/89-alegvra?Itemid
(*) Η άποψη των υπευθύνων του PISA είναι:
Τα προβλήματα του «πραγματικού κόσμου» δίνουν ένα αυθεντικό περιεχόμενο στη χρήση των μαθηματικών, από τη στιγμή που η εφαρμογή των μαθηματικών είναι το κύριο εργαλείο για τη λύση του προβλήματος. Η αυθεντικότητα του προβλήματος έρχεται συχνά σε αντίθεση με τα συνήθη προβλήματα των σχολικών διαγωνισμάτων, όπου προτεραιότητά τους είναι η εξάσκηση με τα μαθηματικά, αντί της χρήσης των μαθηματικών για την επίλυση πραγματικών προβλημάτων.
Η αυθεντικότητα στη χρήση των μαθηματικών είναι ένας σημαντικός παράγοντας στο σχεδιασμό και την ανάλυση των περιεχομένων των διαγωνισμών PISA, στενά συνδεδεμένων με τον ορισμό της μαθηματικής γνώσης (επάρκειας).
Σημειώστε ότι ο όρος «αυθεντικό» δεν χρησιμοποιείται για να δηλώσει ότι τα περιεχόμενα είναι με μια έννοια γνήσια και πραγματικά. Ο PISA χρησιμοποιεί τον όρο «αυθεντικό» για να δηλώσει ότι η χρήση των μαθηματικών χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων, σε αντίθεση με την κατασκευή «προβλημάτων» ως όχημα για την εξάσκηση στα μαθηματικά.
Βλέπε σε ηλεκτρονική μορφή
εδώ (σ. 22).
Σε μορφή pdf το κείμενο είναι στο συνημμένο αρχείο.