2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Στον παρόντα φάκελο μπορούν να γίνουν προσκλήσεις για συγγραφή ομαδικών εργασιών που αφορούν μαθηματικά από μέλη του mathematica.gr. Η θεματολογία μπορεί να ποικίλει ανάλογα με τα ενδιαφέροντα των συγγραφέων.
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr

α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε {\color{orange}\LaTeX} και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4366
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Οκτ 25, 2014 12:06 am

Αγαπητοί φίλοι, ας συγκεντρώσουμε εδώ τις λύσεις, τις παρατηρήσεις και τυχόν διορθώσεις στις ασκήσεις που στην Τράπεζα Θεμάτων της Β΄Λυκείου.
Κατόπιν θα συγκεντρωθούν και θα σελιδοποιηθούν ώστε να αναρτηθούν με την ευθύνη των επιμελητών του :logo: .
Ας φροντίσουμε να είναι πλήρως διατυπωμένες οι απαντήσεις μας, για να διευκολυνθούν οι συντάκτες των δελτίων.
Η πρόσκληση απευθύνεται σε κάθε μέλος και φίλο του :logo: που θα ήθελε να συμμετέχει.
Σ' αυτήν τη συζήτηση θα ασχοληθούμε με το
2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

edit 9-11-2014: Πρόσθεσα το σύνδεσμο των θεμάτων.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τετ Νοέμ 12, 2014 2:52 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Δευ Νοέμ 10, 2014 1:52 pm

GI_V_GEO_2_18975

Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{AB\Gamma} με \displaystyle{AB=9,~A\Gamma=15}. Από το βαρύκεντρο \displaystyle{\Theta} φέρνουμε ευθεία παράλληλη

στην πλευρά \displaystyle{B\Gamma} που τέμνει τις \displaystyle{AB,A\Gamma} στα \displaystyle{\Delta,E} αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι \displaystyle{\frac{A\Delta}{AB}=\frac{2}{3}} και \displaystyle{\frac{AE}{E\Gamma}=2}

β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων \displaystyle{A\Delta,~\Gamma E}

Λύση

α) Το \displaystyle{\Theta} είναι το βαρύκεντρο άρα θα έχουμε \displaystyle{\frac{A\Theta}{AM}=\frac{2}{3}~(1),~~\frac{A\Theta}{\Theta M}=2}~(2)}.

Aφού τα τρίγωνα έχουν \displaystyle{\Delta E // B\Gamma }, από το Θεώρημα του Θαλή θα ισχύουν :

\displaystyle{\frac{A\Delta}{AB}=\frac{A\Theta}{AM}\overset{(1)}=\frac{2}{3}} και \displaystyle{\frac{AE}{E\Gamma}=\frac{A\Theta}{\Theta M}\overset{(2)}=2}.

β) Έχουμε \displaystyle{\frac{A\Delta}{AB}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{A\Delta}{9}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow A\Delta =6}

και \displaystyle{\frac{AE}{E\Gamma}=\frac{2}{1}\Leftrightarrow \frac{AE+E\Gamma}{E\Gamma}=\frac{2+1}{1}\Leftrightarrow \frac{A\Gamma}{E\Gamma}=\frac{3}{1}\Leftrightarrow  \frac{15}{E\Gamma}=\frac{3}{1}\Leftrightarrow E\Gamma=5}

Edit : Στο β) είχα υπολογίσει άλλο τμήμα, ευχαριστώ τον dimkat για την επισήμανση
Συνημμένα
18975.png
18975.png (6.39 KiB) Προβλήθηκε 4918 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Απόκης σε Τετ Νοέμ 12, 2014 11:26 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Γιώργος
A.Taouktsoglou
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 11, 2014 11:33 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Taouktsoglou » Δευ Νοέμ 10, 2014 4:03 pm

GI_V_GEO_2_19040

Λύση:
α) Ισχύει \Delta \Gamma  = {\rm B}\Gamma  - {\rm B}\Delta  = 5 - 3 = 2. (1)
Στο τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma η {\rm A}\Deltaείναι εσωτερική διχοτόμος.
Άρα ισχύει η αναλογία \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{{\Delta {\rm B}}}{{\Delta \Gamma }} \Leftrightarrow \frac{6}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{3}{2}
Πολλαπλασιάζουμε χιαστί και έχουμε 3{\rm A}\Gamma  = 12 \Leftrightarrow {\rm A}\Gamma  = 4.

β) Ισχύει \Gamma {\rm E} = {\rm B}{\rm E} - {\rm B}\Gamma  = 15 - 5 = 10. (2)
Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε \Delta {\rm E} = \Delta \Gamma  + \Gamma {\rm E} = 2 + 10 = 12.


A.Taouktsoglou
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 11, 2014 11:33 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Taouktsoglou » Δευ Νοέμ 10, 2014 6:24 pm

GI_V_GEO_2_19031

Λύση:

α) Στο τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Delta η {\rm A}{\rm E}είναι εσωτερική διχοτόμος.
Άρα ισχύει η αναλογία \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Delta }} = \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{{{\rm E}\Delta }} \Leftrightarrow \frac{8}{{12}} = \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{9}.
Απλοποιώντας το πρώτο κλάσμα η αναλογία γράφεται \frac{2}{3} = \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{9}.
Πολλαπλασιάζουμε χιαστί και έχουμε 3{\rm E}{\rm B} = 18 \Leftrightarrow {\rm E}{\rm B} = 6.

β) Στο τρίγωνο \Delta {\rm B}\Gamma έχουμε {\rm Z}{\rm E}//{\rm B}\Gamma οπότε από το Θεώρημα Θαλή έχουμε \frac{{\Delta {\rm E}}}{{{\rm E}{\rm B}}} = \frac{{\Delta {\rm Z}}}{{{\rm Z}\Gamma }} \Leftrightarrow \frac{9}{6} = \frac{{\Delta {\rm Z}}}{6}
Άρα απλοποιώντας τους παρονομαστές έχουμε \Delta {\rm Z} = 9.


A.Taouktsoglou
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 11, 2014 11:33 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Taouktsoglou » Δευ Νοέμ 10, 2014 6:48 pm

GI_V_GEO_2_19005

Λύση:

α) Στο τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma η {\rm A}\Deltaείναι εσωτερική διχοτόμος.
Άρα ισχύει η αναλογία \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{{\Delta {\rm B}}}{{\Delta \Gamma }}.
Επομένως, \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {\rm A}{\rm B} = \frac{3}{4}{\rm A}\Gamma.

β) Από τη σχέση {\rm A}{\rm B} = \frac{3}{4}{\rm A}\Gamma προκύπτει ότι {\rm A}{\rm B} < {\rm A}\Gamma.
Από τη σχέση {\rm B}\Gamma  = \frac{5}{4}{\rm A}\Gamma προκύπτει ότι {\rm B}\Gamma  > {\rm A}\Gamma.
Άρα {\rm A}{\rm B} < {\rm A}\Gamma  < {\rm B}\Gamma, δηλ. η {\rm B}\Gamma είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου {\rm A}{\rm B}\Gamma.

Υπολογίζουμε λοιπόν
{\rm B}\Gamma ^2  = \left( {\frac{5}{4}{\rm A}\Gamma } \right)^2  = \frac{{25}}{{16}}{\rm A}\Gamma ^2 και
{\rm A}{\rm B}^2  + {\rm A}\Gamma ^2  = \left( {\frac{3}{4}{\rm A}\Gamma } \right)^2  + {\rm A}\Gamma ^2  = \frac{9}{{16}}{\rm A}\Gamma ^2  + {\rm A}\Gamma ^2  = \frac{9}{{16}}{\rm A}\Gamma ^2  + \frac{{16}}{{16}}{\rm A}\Gamma ^2  = \frac{{25}}{{16}}{\rm A}\Gamma ^2
Άρα {\rm B}\Gamma ^2  = {\rm A}{\rm B}^2  + {\rm A}\Gamma ^2, οπότε
σύμφωνα με το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος το τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma είναι ορθογώνιο με \hat {\rm A} = 90^\circ.


A.Taouktsoglou
Δημοσιεύσεις: 10
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 11, 2014 11:33 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Taouktsoglou » Δευ Νοέμ 10, 2014 7:29 pm

GI _V_GEO_2_19038.png
GI _V_GEO_2_19038.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 4799 φορές
GI_V_GEO_2_19038

Λύση:

α) Τα τρίγωνα {\rm A}\Delta {\rm B} και {\rm O}\Gamma {\rm B} έχουν:
1. {\rm A}\hat \Delta {\rm B} = {\rm O}\hat \Gamma {\rm B} = 90^\circ
(ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε ημικύκλιο)
2. \Gamma \hat {\rm B}{\rm O} κοινή γωνία

Άρα τα τρίγωνα {\rm A}\Delta {\rm B} και {\rm O}\Gamma {\rm B} είναι όμοια.

β) Τα τρίγωνα {\rm A}\Delta {\rm B} και {\rm O}\Gamma {\rm B} είναι όμοια, με λόγο ομοιότητας \lambda  = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm O}{\rm B}}}.
Όμως η {\rm A}{\rm B} είναι διάμετρος, ενώ η {\rm O}{\rm B} ακτίνα του ίδιου κύκλου.
Άρα, {\rm A}{\rm B} = 2{\rm O}{\rm B}, οπότε \lambda  = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm O}{\rm B}}} = \frac{{2{\rm O}{\rm B}}}{{{\rm O}{\rm B}}} = 2.
Άρα, ο λόγος των εμβαδών των δύο όμοιων τριγώνων θα ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους,
δηλ. \frac{{({\rm A}\Delta {\rm B})}}{{({\rm O}\Gamma {\rm B})}} = \lambda ^2  = 4.
Επομένως, ({\rm A}\Delta {\rm B}) = 4({\rm O}\Gamma {\rm B}).


Άβαταρ μέλους
swsto
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 385
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:43 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από swsto » Τρί Νοέμ 11, 2014 7:47 am

ΟΛΕΣ οι εκφωνήσεις του 2ου θέματος σε word .
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 2o ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B (2).zip
ΕΊΧΑ ΑΝΕΒΆΣΕΙ ΛΑΘΟΣ ΑΡΧΕΙΟ
(440.39 KiB) Μεταφορτώθηκε 260 φορές
τελευταία επεξεργασία από swsto σε Τετ Νοέμ 12, 2014 9:47 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Σωτήρης Στόγιας
kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kgeo67 » Τρί Νοέμ 11, 2014 11:58 pm

GI_V_GEO_2_19001
Συνημμένα
GI_V_GEO_2_19001.docx
(55.39 KiB) Μεταφορτώθηκε 275 φορές


Κωνσταντίνος Γεωργίου
kgeo67
Δημοσιεύσεις: 19
Εγγραφή: Δευ Νοέμ 16, 2009 10:37 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kgeo67 » Τετ Νοέμ 12, 2014 12:44 am

GI_V_GEO_2_19008
Συνημμένα
GI_V_GEO_2_19008.docx
(178.56 KiB) Μεταφορτώθηκε 240 φορές


Κωνσταντίνος Γεωργίου
Νίκος Ξενιάδης
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Τετ Οκτ 16, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ξενιάδης » Τετ Νοέμ 12, 2014 9:38 am

δεν γνωρίζω αν έχει λυθεί αλλά σας το στέλνω , ότι άλλο υπάρχει ενημερώστε με .
Νίκος Ξενιάδης
Συνημμένα
ngeoB2-19045-2.doc
(113 KiB) Μεταφορτώθηκε 127 φορές
τελευταία επεξεργασία από Νίκος Ξενιάδης σε Τρί Νοέμ 18, 2014 3:07 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 12, 2014 10:25 am

Εδώ η GI_V_GEO_2_18984

Θεωρούμε δύο τρίγωνα AB\Gamma και \Delta EZ.
α) Να εξετάσετε σε ποιές από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα AB\Gamma και\Delta EZ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
i. AB=8, A\Gamma=12, \displaystyle{\widehat A = {35^0}} , \Delta E=20, \Delta Z=30, \displaystyle{\widehat \Delta  = {35^0}}

ii. \displaystyle{\widehat {\rm A} = {47^0},\widehat {\rm B} = {38^0},\widehat {\rm E} = {47^0},\widehat \Delta  = {95^0}}

iii. AB=A\Gamma , \displaystyle{\widehat {\rm A} = \widehat \Delta } , \Delta E=\Delta Z (Μονάδες 15)

β) Στις περιπτώσεις που το τρίγωνο AB\Gamma είναι όμοιο με το \Delta EZ, να γράψετε τους ίσους λόγους των ομόλογων πλευρών τους. (Μονάδες 10)

Λύση.

α) i. Τα τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν δύο πλευρές ανάλογες \displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Delta {\rm E}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Delta {\rm Z}}} = \frac{2}{5}} και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες.

ii. Από τις γωνίες που δίνονται προκύπτει ότι \displaystyle{\widehat \Gamma  = {95^0},\widehat {\rm Z} = {38^0}}, επομένως τα τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία.

iii. Τα τρίγωνα είναι ισοσκελή και έχουν ίση τη γωνία της κορυφής, οπότε είναι όμοια.

β) i. \displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Delta {\rm E}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Delta {\rm Z}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm E}{\rm Z}}}}

ii. \displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm E}{\rm Z}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Delta {\rm E}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{\Delta {\rm Z}}}}

iii. \displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Delta {\rm E}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Delta {\rm Z}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm E}{\rm Z}}}}
Συνημμένα
GI_V_GEO_2_18984.docx
(122.53 KiB) Μεταφορτώθηκε 150 φορές
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Νοέμ 12, 2014 10:58 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Νίκος Ξενιάδης
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Τετ Οκτ 16, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ξενιάδης » Τετ Νοέμ 12, 2014 10:44 am

Καλημέρα σας στέλνω και ένα ακόμη
Νίκος Ξενιάδης
Συνημμένα
ngeo2-19043.docx
(49.01 KiB) Μεταφορτώθηκε 199 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 12, 2014 11:23 am

GI_V_GEO_2_19028

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο AB\Gamma\Delta (AB//\Gamma\Delta) και BE το ύψος του. Αν είναι AB=3, \Gamma\Delta=7 και B\Gamma=4 τότε,

α) να αποδείξετε ότι \displaystyle{{\rm B}{\rm E} = 2\sqrt 3 }. (Μονάδες 13)

β) να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου AB\Gamma. (Μονάδες 12)

Λύση.

α) Φέρνω και το άλλο ύψος AZ του τραπεζίου. Είναι ZE=AB=3, άρα \Delta Z=E\Gamma=2. Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο EB\Gamma έχουμε:

\displaystyle{{\rm B}{{\rm E}^2} = {\rm B}{\Gamma ^2} - {\rm E}{\Gamma ^2} = 16 - 4 = 12 \Leftrightarrow {\rm B}{\rm E} = 2\sqrt 3 }
2_19028.png
2_19028.png (11.54 KiB) Προβλήθηκε 4359 φορές
β) 1ος τρόπος: Το τρίγωνο AB\Gamma, έχει βάση AB=3 και ύψος \displaystyle{\Gamma {\rm H} = 2\sqrt 3 }, οπότε \displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = \frac{1}{2}{\rm A}{\rm B} \cdot \Gamma {\rm H} = 3\sqrt 3 }

2ος τρόπος: Στο ορθογώνιο τρίγωνο EB\Gamma, είναι \displaystyle{{\rm E}\Gamma  = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2} \Leftrightarrow {\rm E}\widehat {\rm B}\Gamma  = {30^0} \Rightarrow {\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma  = {120^0}}. Άρα:

\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = \frac{1}{2}{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm B}\Gamma \eta \mu {120^0} = 6\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 }
Συνημμένα
GI_V_GEO_2_19028.docx
(158.55 KiB) Μεταφορτώθηκε 149 φορές


Νίκος Ξενιάδης
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Τετ Οκτ 16, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ξενιάδης » Τετ Νοέμ 12, 2014 1:52 pm

μια ακόμη
Συνημμένα
ngeo2-18990.doc
(75 KiB) Μεταφορτώθηκε 191 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4366
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Νοέμ 12, 2014 2:54 pm

Καλησπέρα σε όλους. Αν είναι εύκολο, ας καταγράψει κάποιος ποιες απομένουν.


pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Τετ Νοέμ 12, 2014 3:42 pm

18993
18997
19011
19014
19015
19017
19019
19021
19023
19024
19026
19030
19033
19036
19042


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Τετ Νοέμ 12, 2014 3:46 pm

Κάποια συννημένα είναι σε doc και όλες οι εξισώσεις είναι εικόνες. ( όπως και οι εκφωνήσεις )
Αυτός που θα κάνει την μορφοποίηση δεν θα έχει πρόβλημα ;
πρέπει να ξαναγραφούν;


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 12, 2014 4:18 pm

GI_V_GEO_2_19042

Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma με πλευρές a = 7, \beta = 4 και \displaystyle{{\mu _\beta } = \sqrt {33} }
α) Να αποδείξετε ότι \gamma=5. (Μονάδες 13)
β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου AB\Gamma ως προς τις γωνίες του. (Μονάδες 12)

Λύση.

α) \displaystyle{{\mu _\beta }^2 = \frac{{2{\alpha ^2} + 2{\gamma ^2} - {\beta ^2}}}{4} \Leftrightarrow 33 = \frac{{98 + 2{\gamma ^2} - 16}}{4} \Leftrightarrow {\gamma ^2} = 25 \Leftrightarrow \gamma  = 5}

β) \displaystyle{{\beta ^2} + {\gamma ^2} = 16 + 25 = 41 < 49 = {\alpha ^2} \Leftrightarrow {\alpha ^2} > {\beta ^2} + {\gamma ^2}}. Άρα το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο στη γωνία \widehat A
Συνημμένα
GI_V_GEO_2_19042.docx
(102.98 KiB) Μεταφορτώθηκε 141 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4366
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Νοέμ 12, 2014 5:26 pm

GI_V_GEO_2_18993
α) Να εξετάσετε αν δύο τρίγωνα {\rm A}{\rm B}\Gamma και \Delta {\rm E}{\rm Z} είναι όμοια σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
i) {\rm{{\rm A}\Gamma  = 4 }}{\rm{, {\rm B}\Gamma  = 16 }}{\rm{, {\rm B}{\rm A} = 18}}{\rm{, \Delta {\rm Z} = 10}}{\rm{, {\rm E}{\rm Z} = 40}}{\rm{, \Delta {\rm E} = 48}}

ii) \widehat{\rm{A}} = 63^0 \,,\,\,\widehat\Gamma  = 83^0 ,\widehat{\rm{\Delta }} = 63^0,\widehat{\rm E} = 34^0 \, (Μονάδες 15)
β) Έστω τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma με πλευρές {\rm{{\rm A}{\rm B} = 6}}{\rm{, {\rm A}\Gamma  = 7}}{\rm{, {\rm B}\Gamma  = 8}}. Ποιο θα είναι το μήκος των πλευρών ενός τριγώνου \Delta {\rm E}{\rm Z} το οποίο είναι όμοιο με το τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Gamma, με λόγο ομοιότητας 3; (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ:

αi) Έστω ότι τα τρίγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας \displaystyle  
\lambda  > 0 .
Είναι \displaystyle  
{\rm A}\Gamma  < {\rm B}\Gamma  < {\rm A}{\rm B}\;\; \Rightarrow \;\;\lambda {\rm A}\Gamma  < \lambda {\rm B}\Gamma  < \lambda {\rm A}{\rm B}, οπότε οι ομόλογες πλευρές των \displaystyle  
{\rm A}\Gamma ,\;{\rm B}\Gamma ,\;{\rm A}{\rm B} είναι αντίστοιχα οι \displaystyle  
\Delta {\rm Z},\;{\rm E}{\rm Z},\;\Delta {\rm E}

Όμως \displaystyle  
\frac{{\Delta {\rm Z}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{5}{2},\;\;\frac{{{\rm E}{\rm Z}}}{{{\rm B}\Gamma }} = \frac{5}{2},\;\;\frac{{\Delta {\rm E}}}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{8}{3} , άτοπο, άρα δεν είναι όμοια.

ii) Είναι \displaystyle  
\widehat\Gamma  = 180^\circ  - \widehat{\rm A} - \widehat{\rm B} = 34^\circ , οπότε τα δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, άρα είναι όμοια.

β) Έστω \displaystyle  
x,\;y,\;z τα μήκη των πλευρών του \displaystyle  
\Delta {\rm E}{\rm Z} με \displaystyle  
x < y < z .

Αφού το \displaystyle  
\Delta {\rm E}{\rm Z} είναι όμοιο με το \displaystyle  
{\rm A}{\rm B}\Gamma με λόγο \displaystyle  
\lambda  = 3, θα είναι
\displaystyle  
x = 3AB = 18,\;\;y = 3{\rm A}\Gamma  = 21,\;z = 3{\rm B}\Gamma  = 24


ΣΧΟΛΙΟ: Θα έπρεπε το ερώτημα (β) να συμπληρωθεί με τη διάταξη των πλευρών του \displaystyle  
\Delta {\rm E}{\rm Z}, για να έχουμε μοναδική απάντηση.
Συνημμένα
GI_V_GEO_2_18993.doc
(42.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 138 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τετ Νοέμ 12, 2014 6:42 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8222
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#20

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 12, 2014 5:45 pm

GI_V_GEO_2_18997

Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί προς τα πάνω στη ράμπα του παρακάτω σχήματος.
2_18997.png
2_18997.png (34.79 KiB) Προβλήθηκε 4186 φορές

α) Να αποδείξετε ότι για το ύψος y, που απέχει το κουτί από το έδαφος κάθε χρονική στιγμή, ισχύει ότι \displaystyle{y = \frac{s}{4}}, όπου s το μήκος που έχει διανύσει το κουτί πάνω στη ράμπα. (Μονάδες 15)

β) Όταν το κουτί απέχει από το έδαφος 2 m, να βρείτε:
i. Το μήκος s που έχει διανύσει το κουτί στη ράμπα. (Μονάδες 3)
ii. Την απόσταση του σημείου \Deltaαπό την άκρη της ράμπας A. (Μονάδες 7)

Λύση.

α) \displaystyle{\frac{y}{5} = \frac{s}{{A\Gamma }} \Leftrightarrow y = \frac{{5s}}{{20}} \Leftrightarrow y = \frac{s}{4}}

β) i. \displaystyle{s = 4y\mathop  \Leftrightarrow \limits^{y = 2} s = 8m}

ii. Από Πυθαγόρειο θεώρημα: \displaystyle{A{\Delta ^2} = {s^2} - {y^2} = {8^2} - {2^2} = 60 \Leftrightarrow A\Delta  = 2\sqrt {15} m}
Συνημμένα
GI_V_GEO_2_18997.docx
(117.92 KiB) Μεταφορτώθηκε 149 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες