Άσκηση
2_22289 σύνδεσμος
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρνουμε απο το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ.
Η παράλληλη στην ΑΒ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ζ και η παράλληλη στην ΑΓ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε.
Θεωρούμε τα Κ και Λ τα μέσα των ΒΔ και ΔΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
α)
(7 μονάδες)
β)
( 7μονάδες)
γ)
(11 μονάδες)
Λύση:
α) Στο τρίγωνο ΒΕΔ, η ΕΚ είναι διάμεσος. Απο εφαρμογή του βιβλίου (παρ. 10.3) ισχύει:
.
Στο σχήμα έχουμε:
(ομοίως δείχνουμε ότι
)
β) Στο τετράπλευρο ΑΕΔΖ ισχύει ότι:
και
επομένως είναι παραλληλόγραμμο.
Στα τρίγωνα ΑΕΖ, ΕΔΖ θεωρούμε βάσεις τις ΑΕ, ΔΖ (
ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου)
και τα ύψη, απο τις κορυφές Ε και Ζ,που αντιστοιχούν σε αυτές είναι ίσα, οπότε
.
Έχουμε τελικά:
γ) απο το σχήμα ισχύει:
αντικαθιστούμε τα συμπεράσματα από τα ερωτήματα α) και β) :