2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Γιώργος Απόκης · #41

sifis80 έγραψε:
kgeo67 έγραψε:GI_V_GEO_2_19008
Αφού ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγoρείου δεν είναι περιττό να εξετάσουμε την τριγωνική ανισότητα;Υπάρχει περίπτωση τρεις θετικοί αριθμοί α,β, γ να ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα και όχι την τριγωνική ανισότητα;

Πράγματι είναι περιττό. Έστω ότι για τους θετικούς αριθμός $\displaystyle{a,b,c}$ ισχύει $\displaystyle{a^2=b^2+c^2}$ . Θα δείξουμε ότι ισχύει $\displaystyle{ |b-c|<a<b+c}$ .

Έχουμε $\displaystyle{a^2=b^2+c^2>b^2+c^2-2bc=(b-c)^2}$ άρα $\displaystyle{|a|>|b-c|\Rightarrow a>|b-c|}$

και $\displaystyle{a^2=b^2+c^2<b^2+c^2+2bc=(b+c)^2}$ άρα $\displaystyle{|a|<|b+c|\Rightarrow a<b+c}$

Στέλιος Μαρίνης · #42

Επισυνάπτω αρχείο στο οποίο παρουσιάζονται τα θέματα με υποδείξεις για τη λύση τους. Προσωπικά θα το μοιράσω στους μαθητές μου για να λύσουν με τη βοήθεια των υποδείξεων τις ασκήσεις ώστε να τις μάθουν, μιας και οι λυμένες ασκήσεις δεν νομίζω ότι βοηθούν τόσο τους μαθητές εκείνους που δυσκολεύονται να λύσουν μόνοι τους θέματα αυτή; της κατηγορίας (2ο).

kgeo67 · #43

Γιώργος Απόκης έγραψε:
sifis80 έγραψε:
kgeo67 έγραψε:GI_V_GEO_2_19008
Αφού ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγoρείου δεν είναι περιττό να εξετάσουμε την τριγωνική ανισότητα;Υπάρχει περίπτωση τρεις θετικοί αριθμοί α,β, γ να ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα και όχι την τριγωνική ανισότητα;
Πράγματι είναι περιττό. Έστω ότι για τους θετικούς αριθμός $\displaystyle{a,b,c}$ ισχύει $\displaystyle{a^2=b^2+c^2}$ . Θα δείξουμε ότι ισχύει $\displaystyle{ |b-c|<a<b+c}$ .

Έχουμε $\displaystyle{a^2=b^2+c^2>b^2+c^2-2bc=(b-c)^2}$ άρα $\displaystyle{|a|>|b-c|\Rightarrow a>|b-c|}$

και $\displaystyle{a^2=b^2+c^2<b^2+c^2+2bc=(b+c)^2}$ άρα $\displaystyle{|a|<|b+c|\Rightarrow a<b+c}$

Ευχαριστώ τους sifis80, Antonis_A και Γιώργο Απόκη για την παρατήρηση, θα συμφωνήσω απόλυτα μαζί σας. Χρειάζεται να το διορθώσω στο συνημμένο; Μόλις τώρα το είδα, λόγω φόρτου εργασίας είχα αρκετές μέρες να μπω στον ιστότοπο.

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #44

ΚΑΛΗΣΠΕΡΑ. Μετά την εύστοχη υπόδειξη του συναδέλφου dimkat ανεβάζω την σωστή λύση της άσκησης 2_19035 (γιατί είχε παραλειφθεί ολόκληρη παράγραφος) και ζητώ συγνώμη αν ταλαιπώρησα, άθελά μου, κάποιους συναδέλφους. Ευχαριστώ.

AMD · #45

Άσκηση 2_22289 σύνδεσμος

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρνουμε απο το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ.
Η παράλληλη στην ΑΒ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ζ και η παράλληλη στην ΑΓ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε.
Θεωρούμε τα Κ και Λ τα μέσα των ΒΔ και ΔΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:

α) $(EK\Delta)=\frac{(BE\Delta)}{2}$ (7 μονάδες)

β) $(E\Delta Z)=\frac{(AE\Delta Z)}{2}$ ( 7μονάδες)

γ) $2(KEZ\Lambda)=(AB\Gamma)$ (11 μονάδες)

Λύση:

α) Στο τρίγωνο ΒΕΔ, η ΕΚ είναι διάμεσος. Απο εφαρμογή του βιβλίου (παρ. 10.3) ισχύει: $(BEK)=(EK\Delta)$ .

Στο σχήμα έχουμε: $(BE\Delta)= (BEK) + (EK\Delta) \Leftrightarrow (BE\Delta)= 2(EK\Delta)$

(ομοίως δείχνουμε ότι $(\Delta Z\Gamma) = 2(\Delta Z \Lambda)$ )

β) Στο τετράπλευρο ΑΕΔΖ ισχύει ότι: $AE \parallel \Delta Z$ και $AZ \parallel \Delta E$ επομένως είναι παραλληλόγραμμο.
Στα τρίγωνα ΑΕΖ, ΕΔΖ θεωρούμε βάσεις τις ΑΕ, ΔΖ ( $AE=\Delta Z$ ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου)
και τα ύψη, απο τις κορυφές Ε και Ζ,που αντιστοιχούν σε αυτές είναι ίσα, οπότε $(AEZ)=(E\Delta Z)$ .

Έχουμε τελικά: $(AE\Delta Z) = (AEZ) + (E\Delta Z) \Leftrightarrow (AE\Delta Z) = 2(E\Delta Z)$

γ) απο το σχήμα ισχύει: $(KEZ\Lambda)= (EK\Delta) + (E\Delta Z) + (\Delta Z\Lambda)$

αντικαθιστούμε τα συμπεράσματα από τα ερωτήματα α) και β) :

$(KEZ\Lambda)= \frac{(BE\Delta)}{2} + \frac{(AE\Delta Z)}{2} + \frac{(\Delta Z\Gamma)}{2} \Leftrightarrow$

$(KEZ\Lambda)= \frac{(BE\Delta) +(AE\Delta Z) + (\Delta Z\Gamma)}{2} \Leftrightarrow$

$(KEZ\Lambda)= \frac{(AB\Gamma)}{2}$

#46

Άσκηση 2_22291

Δίνεται κύκλος (K,R)

και δύο διάμετροί του

και $\Gamma\Delta$ . Έστω

εξωτερικό σημείο του κύκλου τέτοιο, ώστε AM=10

,

και $\Gamma M=14$ .
α) Να αποδείξετε ότι : MA^2 +MB^2 = 2(MK^2 + R^2 )

(Μονάδες 9)
β) Να αποδείξετε ότι : $M\Gamma^2 +M\Delta^2 = 2(MK^2 + R^2 )$ (Μονάδες 7)
γ) Να υπολογίσετε το μήκος του $\Delta M$ . (Μονάδες 9)

Λύση

: 2_22291.png (12.18 KiB) Προβλήθηκε 4154 φορές

α,β) Επειδή τα τρίγωνα $MAB, M\Gamma\Delta$ έχουν $AB=\Gamma\Delta=2R$ και κοινή διάμεσο

, από το

ο θεώρημα των διαμέσων θα είναι:
$\displaystyle{M{A^2} + M{B^2} = M{\Gamma ^2} + M{\Delta ^2} = 2M{K^2} + \frac{{{{(2R)}^2}}}{2} = 2(M{K^2} + {R^2})}$

γ) $\displaystyle{M{A^2} + M{B^2} = M{\Gamma ^2} + M{\Delta ^2} \Leftrightarrow M{\Delta ^2} = M{A^2} + M{B^2} - M{\Gamma ^2} = }$

$\displaystyle{100 + 144 - 196 \Leftrightarrow M{\Delta ^2} = 48 \Leftrightarrow M\Delta = 4\sqrt 3 }$

ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ · #47

AΣΚΗΣΗ 2_22318

2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση