2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#1

Αγαπητοί φίλοι, ας συγκεντρώσουμε εδώ τις λύσεις, τις παρατηρήσεις και τυχόν διορθώσεις στις ασκήσεις που στην Τράπεζα Θεμάτων της Β΄Λυκείου.
Κατόπιν θα συγκεντρωθούν και θα σελιδοποιηθούν ώστε να αναρτηθούν με την ευθύνη των επιμελητών του

.
Ας φροντίσουμε να είναι πλήρως διατυπωμένες οι απαντήσεις μας, για να διευκολυνθούν οι συντάκτες των δελτίων.
Η πρόσκληση απευθύνεται σε κάθε μέλος και φίλο του

που θα ήθελε να συμμετέχει.
Σ' αυτήν τη συζήτηση θα ασχοληθούμε με το
2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

edit 9-11-2014: Πρόσθεσα το σύνδεσμο των θεμάτων.

Γιώργος Απόκης · #2

GI_V_GEO_2_18975

Δίνεται τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB=9,~A\Gamma=15}$ . Από το βαρύκεντρο $\displaystyle{\Theta}$ φέρνουμε ευθεία παράλληλη

στην πλευρά $\displaystyle{B\Gamma}$ που τέμνει τις $\displaystyle{AB,A\Gamma}$ στα $\displaystyle{\Delta,E}$ αντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{A\Delta}{AB}=\frac{2}{3}}$ και $\displaystyle{\frac{AE}{E\Gamma}=2}$

β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων $\displaystyle{A\Delta,~\Gamma E}$

Λύση

α) Το $\displaystyle{\Theta}$ είναι το βαρύκεντρο άρα θα έχουμε $\displaystyle{\frac{A\Theta}{AM}=\frac{2}{3}~(1),~~\frac{A\Theta}{\Theta M}=2}~(2)}$ .

Aφού τα τρίγωνα έχουν $\displaystyle{\Delta E // B\Gamma }$ , από το Θεώρημα του Θαλή θα ισχύουν :

$\displaystyle{\frac{A\Delta}{AB}=\frac{A\Theta}{AM}\overset{(1)}=\frac{2}{3}}$ και $\displaystyle{\frac{AE}{E\Gamma}=\frac{A\Theta}{\Theta M}\overset{(2)}=2}$ .

β) Έχουμε $\displaystyle{\frac{A\Delta}{AB}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow \frac{A\Delta}{9}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow A\Delta =6}$

και $\displaystyle{\frac{AE}{E\Gamma}=\frac{2}{1}\Leftrightarrow \frac{AE+E\Gamma}{E\Gamma}=\frac{2+1}{1}\Leftrightarrow \frac{A\Gamma}{E\Gamma}=\frac{3}{1}\Leftrightarrow \frac{15}{E\Gamma}=\frac{3}{1}\Leftrightarrow E\Gamma=5}$

Edit : Στο β) είχα υπολογίσει άλλο τμήμα, ευχαριστώ τον dimkat για την επισήμανση

A.Taouktsoglou · #3

GI_V_GEO_2_19040

Λύση:
α) Ισχύει $\Delta \Gamma = {\rm B}\Gamma - {\rm B}\Delta = 5 - 3 = 2$ . (1)
Στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ η ${\rm A}\Delta$ είναι εσωτερική διχοτόμος.
Άρα ισχύει η αναλογία $\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{{\Delta {\rm B}}}{{\Delta \Gamma }} \Leftrightarrow \frac{6}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{3}{2}$
Πολλαπλασιάζουμε χιαστί και έχουμε $3{\rm A}\Gamma = 12 \Leftrightarrow {\rm A}\Gamma = 4$ .

β) Ισχύει $\Gamma {\rm E} = {\rm B}{\rm E} - {\rm B}\Gamma = 15 - 5 = 10$ . (2)
Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε $\Delta {\rm E} = \Delta \Gamma + \Gamma {\rm E} = 2 + 10 = 12$ .

A.Taouktsoglou · #4

GI_V_GEO_2_19031

Λύση:

α) Στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Delta$ η ${\rm A}{\rm E}$ είναι εσωτερική διχοτόμος.
Άρα ισχύει η αναλογία $\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Delta }} = \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{{{\rm E}\Delta }} \Leftrightarrow \frac{8}{{12}} = \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{9}$ .
Απλοποιώντας το πρώτο κλάσμα η αναλογία γράφεται $\frac{2}{3} = \frac{{{\rm E}{\rm B}}}{9}$ .
Πολλαπλασιάζουμε χιαστί και έχουμε $3{\rm E}{\rm B} = 18 \Leftrightarrow {\rm E}{\rm B} = 6$ .

β) Στο τρίγωνο $\Delta {\rm B}\Gamma$ έχουμε ${\rm Z}{\rm E}//{\rm B}\Gamma$ οπότε από το Θεώρημα Θαλή έχουμε $\frac{{\Delta {\rm E}}}{{{\rm E}{\rm B}}} = \frac{{\Delta {\rm Z}}}{{{\rm Z}\Gamma }} \Leftrightarrow \frac{9}{6} = \frac{{\Delta {\rm Z}}}{6}$
Άρα απλοποιώντας τους παρονομαστές έχουμε $\Delta {\rm Z} = 9$ .

A.Taouktsoglou · #5

GI_V_GEO_2_19005

Λύση:

α) Στο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ η ${\rm A}\Delta$ είναι εσωτερική διχοτόμος.
Άρα ισχύει η αναλογία $\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{{\Delta {\rm B}}}{{\Delta \Gamma }}$ .
Επομένως, $\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow {\rm A}{\rm B} = \frac{3}{4}{\rm A}\Gamma$ .

β) Από τη σχέση ${\rm A}{\rm B} = \frac{3}{4}{\rm A}\Gamma$ προκύπτει ότι ${\rm A}{\rm B} < {\rm A}\Gamma$ .
Από τη σχέση ${\rm B}\Gamma = \frac{5}{4}{\rm A}\Gamma$ προκύπτει ότι ${\rm B}\Gamma > {\rm A}\Gamma$ .
Άρα ${\rm A}{\rm B} < {\rm A}\Gamma < {\rm B}\Gamma$ , δηλ. η ${\rm B}\Gamma$ είναι η μεγαλύτερη πλευρά του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ .

Υπολογίζουμε λοιπόν
● ${\rm B}\Gamma ^2 = \left( {\frac{5}{4}{\rm A}\Gamma } \right)^2 = \frac{{25}}{{16}}{\rm A}\Gamma ^2$ και
● ${\rm A}{\rm B}^2 + {\rm A}\Gamma ^2 = \left( {\frac{3}{4}{\rm A}\Gamma } \right)^2 + {\rm A}\Gamma ^2 = \frac{9}{{16}}{\rm A}\Gamma ^2 + {\rm A}\Gamma ^2 = \frac{9}{{16}}{\rm A}\Gamma ^2 + \frac{{16}}{{16}}{\rm A}\Gamma ^2 = \frac{{25}}{{16}}{\rm A}\Gamma ^2$
Άρα ${\rm B}\Gamma ^2 = {\rm A}{\rm B}^2 + {\rm A}\Gamma ^2$ , οπότε
σύμφωνα με το αντίστροφο του Πυθαγορείου Θεωρήματος το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ είναι ορθογώνιο με $\hat {\rm A} = 90^\circ$ .

A.Taouktsoglou · #6

: GI _V_GEO_2_19038.png (15.97 KiB) Προβλήθηκε 7966 φορές

GI_V_GEO_2_19038

Λύση:

α) Τα τρίγωνα ${\rm A}\Delta {\rm B}$ και ${\rm O}\Gamma {\rm B}$ έχουν:
1. ${\rm A}\hat \Delta {\rm B} = {\rm O}\hat \Gamma {\rm B} = 90^\circ$
(ως εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν σε ημικύκλιο)
2. $\Gamma \hat {\rm B}{\rm O}$ κοινή γωνία

Άρα τα τρίγωνα ${\rm A}\Delta {\rm B}$ και ${\rm O}\Gamma {\rm B}$ είναι όμοια.

β) Τα τρίγωνα ${\rm A}\Delta {\rm B}$ και ${\rm O}\Gamma {\rm B}$ είναι όμοια, με λόγο ομοιότητας $\lambda = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm O}{\rm B}}}$ .
Όμως η ${\rm A}{\rm B}$ είναι διάμετρος, ενώ η ${\rm O}{\rm B}$ ακτίνα του ίδιου κύκλου.
Άρα, ${\rm A}{\rm B} = 2{\rm O}{\rm B}$ , οπότε $\lambda = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm O}{\rm B}}} = \frac{{2{\rm O}{\rm B}}}{{{\rm O}{\rm B}}} = 2$ .
Άρα, ο λόγος των εμβαδών των δύο όμοιων τριγώνων θα ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους,
δηλ. $\frac{{({\rm A}\Delta {\rm B})}}{{({\rm O}\Gamma {\rm B})}} = \lambda ^2 = 4$ .
Επομένως, $({\rm A}\Delta {\rm B}) = 4({\rm O}\Gamma {\rm B})$ .

#7

ΟΛΕΣ οι εκφωνήσεις του 2ου θέματος σε word .

kgeo67 · #8

GI_V_GEO_2_19001

kgeo67 · #9

GI_V_GEO_2_19008

Νίκος Ξενιάδης · #10

δεν γνωρίζω αν έχει λυθεί αλλά σας το στέλνω , ότι άλλο υπάρχει ενημερώστε με .
Νίκος Ξενιάδης

#11

Εδώ η GI_V_GEO_2_18984

Θεωρούμε δύο τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Delta EZ$ .
α) Να εξετάσετε σε ποιές από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα $AB\Gamma$ και $\Delta EZ$ είναι όμοια και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
i. AB=8

, $A\Gamma=12$ , $\displaystyle{\widehat A = {35^0}}$ , $\Delta E=20$ , $\Delta Z=30$ , $\displaystyle{\widehat \Delta = {35^0}}$

ii. $\displaystyle{\widehat {\rm A} = {47^0},\widehat {\rm B} = {38^0},\widehat {\rm E} = {47^0},\widehat \Delta = {95^0}}$

iii. $AB=A\Gamma$ , $\displaystyle{\widehat {\rm A} = \widehat \Delta }$ , $\Delta E=\Delta Z$ (Μονάδες

)

β) Στις περιπτώσεις που το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι όμοιο με το $\Delta EZ$ , να γράψετε τους ίσους λόγους των ομόλογων πλευρών τους. (Μονάδες

)

Λύση.

α) i. Τα τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν δύο πλευρές ανάλογες $\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Delta {\rm E}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Delta {\rm Z}}} = \frac{2}{5}}$ και τις περιεχόμενες γωνίες ίσες.

ii. Από τις γωνίες που δίνονται προκύπτει ότι $\displaystyle{\widehat \Gamma = {95^0},\widehat {\rm Z} = {38^0}}$ , επομένως τα τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία.

iii. Τα τρίγωνα είναι ισοσκελή και έχουν ίση τη γωνία της κορυφής, οπότε είναι όμοια.

β) i. $\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Delta {\rm E}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Delta {\rm Z}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm E}{\rm Z}}}}$

ii. $\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm E}{\rm Z}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Delta {\rm E}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{\Delta {\rm Z}}}}$

iii. $\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{\Delta {\rm E}}} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{\Delta {\rm Z}}} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm E}{\rm Z}}}}$

Νίκος Ξενιάδης · #12

Καλημέρα σας στέλνω και ένα ακόμη
Νίκος Ξενιάδης

#13

GI_V_GEO_2_19028

Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο $AB\Gamma\Delta$ ( $AB//\Gamma\Delta$ ) και

το ύψος του. Αν είναι $AB=3, \Gamma\Delta=7$ και $B\Gamma=4$ τότε,

α) να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{\rm B}{\rm E} = 2\sqrt 3 }$ . (Μονάδες

)

β) να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου $AB\Gamma$ . (Μονάδες

)

Λύση.

α) Φέρνω και το άλλο ύψος

του τραπεζίου. Είναι ZE=AB=3

, άρα $\Delta Z=E\Gamma=2$ . Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο $EB\Gamma$ έχουμε:

$\displaystyle{{\rm B}{{\rm E}^2} = {\rm B}{\Gamma ^2} - {\rm E}{\Gamma ^2} = 16 - 4 = 12 \Leftrightarrow {\rm B}{\rm E} = 2\sqrt 3 }$

: 2_19028.png (11.54 KiB) Προβλήθηκε 7526 φορές

β) 1ος τρόπος: Το τρίγωνο $AB\Gamma$ , έχει βάση AB=3

και ύψος $\displaystyle{\Gamma {\rm H} = 2\sqrt 3 }$ , οπότε $\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = \frac{1}{2}{\rm A}{\rm B} \cdot \Gamma {\rm H} = 3\sqrt 3 }$

2ος τρόπος: Στο ορθογώνιο τρίγωνο $EB\Gamma$ , είναι $\displaystyle{{\rm E}\Gamma = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{2} \Leftrightarrow {\rm E}\widehat {\rm B}\Gamma = {30^0} \Rightarrow {\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma = {120^0}}$ . Άρα:

$\displaystyle{({\rm A}{\rm B}\Gamma ) = \frac{1}{2}{\rm A}{\rm B} \cdot {\rm B}\Gamma \eta \mu {120^0} = 6\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 3\sqrt 3 }$

Νίκος Ξενιάδης · #14

μια ακόμη

#15

Καλησπέρα σε όλους. Αν είναι εύκολο, ας καταγράψει κάποιος ποιες απομένουν.

pap65 · #16

18993
18997
19011
19014
19015
19017
19019
19021
19023
19024
19026
19030
19033
19036
19042

pap65 · #17

Κάποια συννημένα είναι σε doc και όλες οι εξισώσεις είναι εικόνες. ( όπως και οι εκφωνήσεις )
Αυτός που θα κάνει την μορφοποίηση δεν θα έχει πρόβλημα ;
πρέπει να ξαναγραφούν;

#18

GI_V_GEO_2_19042

Δίνεται τρίγωνο $AB\Gamma$ με πλευρές a = 7

, $\beta = 4$ και $\displaystyle{{\mu _\beta } = \sqrt {33} }$
α) Να αποδείξετε ότι $\gamma=5$ . (Μονάδες

)
β) Να βρείτε το είδος του τριγώνου $AB\Gamma$ ως προς τις γωνίες του. (Μονάδες

)

Λύση.

α) $\displaystyle{{\mu _\beta }^2 = \frac{{2{\alpha ^2} + 2{\gamma ^2} - {\beta ^2}}}{4} \Leftrightarrow 33 = \frac{{98 + 2{\gamma ^2} - 16}}{4} \Leftrightarrow {\gamma ^2} = 25 \Leftrightarrow \gamma = 5}$

β) $\displaystyle{{\beta ^2} + {\gamma ^2} = 16 + 25 = 41 < 49 = {\alpha ^2} \Leftrightarrow {\alpha ^2} > {\beta ^2} + {\gamma ^2}}$ . Άρα το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο στη γωνία $\widehat A$

#19

GI_V_GEO_2_18993
α) Να εξετάσετε αν δύο τρίγωνα ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ και $\Delta {\rm E}{\rm Z}$ είναι όμοια σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
i) ${\rm{{\rm A}\Gamma = 4 }}{\rm{, {\rm B}\Gamma = 16 }}{\rm{, {\rm B}{\rm A} = 18}}{\rm{, \Delta {\rm Z} = 10}}{\rm{, {\rm E}{\rm Z} = 40}}{\rm{, \Delta {\rm E} = 48}}$

ii) $\widehat{\rm{A}} = 63^0 \,,\,\,\widehat\Gamma = 83^0 ,\widehat{\rm{\Delta }} = 63^0,\widehat{\rm E} = 34^0 \,$ (Μονάδες 15)
β) Έστω τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ με πλευρές ${\rm{{\rm A}{\rm B} = 6}}{\rm{, {\rm A}\Gamma = 7}}{\rm{, {\rm B}\Gamma = 8}}$ . Ποιο θα είναι το μήκος των πλευρών ενός τριγώνου $\Delta {\rm E}{\rm Z}$ το οποίο είναι όμοιο με το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma$ , με λόγο ομοιότητας

; (Μονάδες 10)

ΛΥΣΗ:

αi) Έστω ότι τα τρίγωνα είναι όμοια με λόγο ομοιότητας $\displaystyle \lambda > 0$ .
Είναι $\displaystyle {\rm A}\Gamma < {\rm B}\Gamma < {\rm A}{\rm B}\;\; \Rightarrow \;\;\lambda {\rm A}\Gamma < \lambda {\rm B}\Gamma < \lambda {\rm A}{\rm B}$ , οπότε οι ομόλογες πλευρές των $\displaystyle {\rm A}\Gamma ,\;{\rm B}\Gamma ,\;{\rm A}{\rm B}$ είναι αντίστοιχα οι $\displaystyle \Delta {\rm Z},\;{\rm E}{\rm Z},\;\Delta {\rm E}$

Όμως $\displaystyle \frac{{\Delta {\rm Z}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{5}{2},\;\;\frac{{{\rm E}{\rm Z}}}{{{\rm B}\Gamma }} = \frac{5}{2},\;\;\frac{{\Delta {\rm E}}}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{8}{3}$ , άτοπο, άρα δεν είναι όμοια.

ii) Είναι $\displaystyle \widehat\Gamma = 180^\circ - \widehat{\rm A} - \widehat{\rm B} = 34^\circ$ , οπότε τα δύο τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, άρα είναι όμοια.

β) Έστω $\displaystyle x,\;y,\;z$ τα μήκη των πλευρών του $\displaystyle \Delta {\rm E}{\rm Z}$ με $\displaystyle x < y < z$ .

Αφού το $\displaystyle \Delta {\rm E}{\rm Z}$ είναι όμοιο με το $\displaystyle {\rm A}{\rm B}\Gamma$ με λόγο $\displaystyle \lambda = 3$ , θα είναι
$\displaystyle x = 3AB = 18,\;\;y = 3{\rm A}\Gamma = 21,\;z = 3{\rm B}\Gamma = 24$

ΣΧΟΛΙΟ: Θα έπρεπε το ερώτημα (β) να συμπληρωθεί με τη διάταξη των πλευρών του $\displaystyle \Delta {\rm E}{\rm Z}$ , για να έχουμε μοναδική απάντηση.

#20

GI_V_GEO_2_18997

Ένας άνθρωπος σπρώχνει ένα κουτί προς τα πάνω στη ράμπα του παρακάτω σχήματος.

: 2_18997.png (34.79 KiB) Προβλήθηκε 7353 φορές

α) Να αποδείξετε ότι για το ύψος

, που απέχει το κουτί από το έδαφος κάθε χρονική στιγμή, ισχύει ότι $\displaystyle{y = \frac{s}{4}}$ , όπου

το μήκος που έχει διανύσει το κουτί πάνω στη ράμπα. (Μονάδες

)

β) Όταν το κουτί απέχει από το έδαφος 2 m

, να βρείτε:
i. Το μήκος

που έχει διανύσει το κουτί στη ράμπα. (Μονάδες 3)
ii. Την απόσταση του σημείου $\Delta$ από την άκρη της ράμπας

. (Μονάδες 7)

Λύση.

α) $\displaystyle{\frac{y}{5} = \frac{s}{{A\Gamma }} \Leftrightarrow y = \frac{{5s}}{{20}} \Leftrightarrow y = \frac{s}{4}}$

β) i. $\displaystyle{s = 4y\mathop \Leftrightarrow \limits^{y = 2} s = 8m}$

ii. Από Πυθαγόρειο θεώρημα: $\displaystyle{A{\Delta ^2} = {s^2} - {y^2} = {8^2} - {2^2} = 60 \Leftrightarrow A\Delta = 2\sqrt {15} m}$

2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση